صفحة 213 - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 10: إذا كان الشكل الآتي يمثل منحنى المستقيم ص = -٢س + ١، فما الجدول الذي يعبر عن الأزواج المرتبة التي تقع على المستقيم؟

الإجابة: س10: الإجابة الصحيحة: (د)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | معادلة المستقيم: $ص = -٢س + ١$ | تحديد الجدول الذي يعبر عن الأزواج المرتبة $(س، ص)$ التي تقع على هذا المستقيم |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** > الأزواج المرتبة التي تقع على المستقيم تحقق معادلته. أي أننا نعوض قيمة $س$ في المعادلة لحساب قيمة $ص$ المقابلة.
3. **الخطوة 3: إنشاء أزواج مرتبة من المعادلة** نختار قيماً مناسبة لـ $س$ ونحسب $ص$: 1. عند $س = ٠$: $ص = -٢(٠) + ١ = ١$ ← $(٠, ١)$ 2. عند $س = ١$: $ص = -٢(١) + ١ = -١$ ← $(١, -١)$ 3. عند $س = -١$: $ص = -٢(-١) + ١ = ٣$ ← $(-١, ٣)$ 4. عند $س = ٢$: $ص = -٢(٢) + ١ = -٣$ ← $(٢, -٣)$
4. **الخطوة 4: مقارنة النتائج مع خيارات الجداول (الافتراضية)** بناءً على الأزواج المحسوبة: $(٠, ١)$، $(١, -١)$، $(-١, ٣)$، $(٢, -٣)$، نبحث عن الجدول الذي يحتوي على هذه القيم أو مجموعة منها بشكل متسق.
5. > **الخطوة 5: الإجابة النهائية** الجدول الصحيح هو الذي تتطابق قيمه مع الأزواج المرتبة المستخرجة من معادلة المستقيم $ص = -٢س + ١$. وفقاً للإجابة المعطاة، الجدول المناسب هو الخيار **(د)**.

سؤال 11: إذا كانت د(س) = ٢س - ١/٣، فما قيمة د(٢/٣)؟

الإجابة: س11: د(2/3) = 1 الإجابة: (ج)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | الدالة: $د(س) = ٢س - \frac{١}{٣}$ | إيجاد قيمة $د(\frac{٢}{٣})$ |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** > لحساب قيمة الدالة عند قيمة محددة، نعوض بقيمة $س$ في قاعدة الدالة.
3. **الخطوة 3: التعويض في قاعدة الدالة** $$د(\frac{٢}{٣}) = ٢ \times (\frac{٢}{٣}) - \frac{١}{٣}$$
4. **الخطوة 4: إجراء العمليات الحسابية** 1. حساب حاصل الضرب: $٢ \times \frac{٢}{٣} = \frac{٤}{٣}$. 2. طرح الكسور: $\frac{٤}{٣} - \frac{١}{٣} = \frac{٤ - ١}{٣} = \frac{٣}{٣}$. 3. تبسيط الناتج: $\frac{٣}{٣} = ١$.
5. > **الخطوة 5: الإجابة النهائية** قيمة الدالة عند $س = \frac{٢}{٣}$ تساوي **١**.

سؤال 12: ما أساس المتتابعة الحسابية: ٢٠، ١٦، ١٢، ٨، ...

الإجابة: س12: الأساس = -4 الإجابة: (د)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | المتتابعة: ٢٠، ١٦، ١٢، ٨، ... | إيجاد أساس المتتابعة الحسابية (الفرق المشترك) |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** > أساس المتتابعة الحسابية ($د$) = الحد $ن$ - الحد $(ن-١)$ لأي حدين متتاليين.
3. **الخطوة 3: حساب الفرق بين حدين متتاليين** نختار أول حدين: $$د = ١٦ - ٢٠ = -٤$$ نتحقق من حدين آخرين للتأكد من ثبات الفرق: $$د = ١٢ - ١٦ = -٤$$ $$د = ٨ - ١٢ = -٤$$
4. **الخطوة 4: التحقق من أن المتتابعة حسابية** > بما أن الفرق بين كل حدين متتاليين ثابت ويساوي $-٤$، فإن المتتابعة **حسابية**.
5. > **الخطوة 5: الإجابة النهائية** أساس (أو الفرق المشترك) للمتتابعة الحسابية المعطاة هو **-٤**.

سؤال 13: يكلف شراء نوع من الطيور ٢٥٠ ريالاً، وتكلف العناية به ٧٠ ريالاً كل شهر لطعامه، ومستلزماته وعلاجه ورعايته وتدريبه. اكتب معادلة وحلها لإيجاد تكلفة شراء الطير والعناية به لمدة عامين.

الإجابة: س13: المعادلة: 70m + 250 = C لمدة عامين: 24(70) + 250 = 1930 ريالاً

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | تكلفة الشراء (ثابتة): ٢٥٠ ريالاً | 1. كتابة معادلة للتكلفة الكلية ($C$). | | تكلفة العناية الشهرية (متغيرة): ٧٠ ريالاً/شهر | 2. إيجاد التكلفة الكلية لمدة عامين. | | المدة: عامين = ٢٤ شهراً | |
2. **الخطوة 2: صياغة المعادلة العامة** > التكلفة الكلية = التكلفة الثابتة + (التكلفة الشهرية × عدد الأشهر). إذا رمزنا لعدد الأشهر بالرمز $م$، والتكلفة الكلية بالرمز $C$، فإن: $$C = ٧٠م + ٢٥٠$$
3. **الخطوة 3: تطبيق المعادلة على المدة المطلوبة (عامين)** عدد الأشهر $م = ٢٤$ شهراً. $$C = ٧٠ \times ٢٤ + ٢٥٠$$
4. **الخطوة 4: إجراء العمليات الحسابية** 1. حساب تكلفة العناية: $٧٠ \times ٢٤ = ١٦٨٠$ ريالاً. 2. إضافة تكلفة الشراء: $١٦٨٠ + ٢٥٠ = ١٩٣٠$ ريالاً.
5. > **الخطوة 5: الإجابة النهائية** - **المعادلة:** $C = ٧٠م + ٢٥٠$. - **التكلفة الكلية لمدة عامين:** **١٩٣٠ ريالاً سعودياً**.

سؤال 14: إذا كان ميل المستقيم الموضح أدناه ٤/٥، فما قيمة ن؟

الإجابة: س14: الميل = 4/5 ، 8/ن = 4/5 ، ن = 10

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | ميل المستقيم = $\frac{٤}{٥}$ | إيجاد قيمة $ن$ في الشكل (المفترض أن هناك نقطتين إحداهما $(?, ٨)$ والأخرى $(?, ن)$). | | من الرسم (غير موضح)، يُستدل أن: $\frac{٨}{ن} = \frac{٤}{٥}$ | |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** > ميل المستقيم ($م$) = الفرق في الإحداثيات الصادية / الفرق في الإحداثيات السينية. $$م = \frac{ص_٢ - ص_١}{س_٢ - س_١}$$ ووفقاً للمعطيات، لدينا: $\frac{٨}{ن} = \frac{٤}{٥}$.
3. **الخطوة 3: حل التناسب لإيجاد قيمة $ن$** $$\frac{٨}{ن} = \frac{٤}{٥}$$ باستخدام **الضرب التبادلي**: $$٨ \times ٥ = ٤ \times ن$$ $$٤٠ = ٤ن$$
4. **الخطوة 4: حل المعادلة** بقسمة الطرفين على ٤: $$ن = \frac{٤٠}{٤} = ١٠$$
5. > **الخطوة 5: الإجابة النهائية** قيمة $ن$ التي تحقق ميل المستقيم $\frac{٤}{٥}$ هي **١٠**.

سؤال 15: يبيع محل خضار كل ٣ كيلوجرامات من التفاح بـ ٢١ ريالاً، فما ثمن ١٠ كيلوجرامات من التفاح نفسه؟

الإجابة: س15: سعر الكيلو = 7 ريال ثمن 10 كجم = 70 ريالاً

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | المعطيات | المطلوب | |----------|---------| | ٣ كيلوجرامات تفاح → ٢١ ريالاً | إيجاد ثمن ١٠ كيلوجرامات من نفس التفاح | | الكمية الجديدة: ١٠ كجم | |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** > **التناسب الطردي:** العلاقة بين الكمية والسعر علاقة طردية (كلما زادت الكمية زاد السعر بنفس المعدل).
3. **الخطوة 3: إيجاد سعر الوحدة (سعر الكيلو)** سعر الكيلو الواحد = السعر الكلي ÷ الكمية. $$\text{سعر الكيلو} = \frac{٢١}{٣} = ٧ \text{ ريالات/كجم}$$
4. **الخطوة 4: حساب ثمن الكمية المطلوبة (١٠ كجم)** الثمن = سعر الكيلو × عدد الكيلوجرامات. $$ثمن ١٠ \text{ كجم} = ٧ \times ١٠ = ٧٠ \text{ ريالاً}$$
5. > **الخطوة 5: الإجابة النهائية (بصياغة أخرى)** ثمن شراء **عشرة كيلوجرامات** من التفاح هو **سبعون ريالاً سعودياً**.

سؤال 16: يقدم مركز للتزلج عرضين لدخوله، فيعرض تذكرة الدخول اليومية بـ ٤٠ ريالاً أو الاشتراك الشهري بـ ٤٠٠ ريال. أ) هل المتتابعة المتكونة من التكلفة الكلية للدخول اليومي تمثل متتابعة حسابية أم لا؟ فسر إجابتك. ب) هل المتتابعة المتكونة من التكلفة الكلية للاشتراك الشهري تمثل متتابعة حسابية أم لا؟ فسر إجابتك. ج) كم مرة يمكن لشخص دخول مركز التزلج بحيث يكون الاشتراك الشهري أفضل من الدخول اليومي؟

الإجابة: س 16 (الجدول): 200, 160, 120, 80, 40. س 16 (أ): نعم، متتابعة حسابية الفرق = 40. س 16 (ب): نعم، متتابعة حسابية الفرق = 0. س 16 (ج): الاشتراك أفضل من 11 مرة فأكثر

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تحديد المعطيات والمطلوب** | العرض | التكلفة | المدة | |-------|---------|-------| | دخول يومي | ٤٠ ريال/يوم | يوم | | اشتراك شهري | ٤٠٠ ريال/شهر | شهر | **المطلوب:** أ) التحقق مما إذا كانت تكاليف الدخول اليومي تشكل متتابعة حسابية. ب) التحقق مما إذا كانت تكاليف الاشتراك الشهري تشكل متتابعة حسابية. ج) إيجاد عدد مرات الدخول الذي يجعل الاشتراك الشهري أفضل (أوفر).
2. **الخطوة 2: تعريف المتتابعة الحسابية** > **المتتابعة الحسابية:** متتابعة يكون الفرق بين حدين متتاليين فيها ثابتاً (يُسمى الأساس).
3. **الخطوة 3: حل الجزء (أ) - الدخول اليومي** - تكلفة الدخول بعد $ن$ يوم = $٤٠ \times ن$. - الحدود: عند ن=١: ٤٠، ن=٢: ٨٠، ن=٣: ١٢٠، ... - الفرق بين حدين متتاليين: ٨٠ - ٤٠ = ٤٠، ١٢٠ - ٨٠ = ٤٠ (ثابت). > ✅ **نعم**، تمثل متتابعة حسابية لأن الفرق المشترك ثابت ويساوي **٤٠**.
4. **الخطوة 4: حل الجزء (ب) - الاشتراك الشهري** - التكلفة بعد $م$ شهر = $٤٠٠ \times م$. - الحدود: ٤٠٠، ٨٠٠، ١٢٠٠، ... - الفرق بين حدين متتاليين: ٨٠٠ - ٤٠٠ = ٤٠٠، ١٢٠٠ - ٨٠٠ = ٤٠٠ (ثابت). > ✅ **نعم**، تمثل متتابعة حسابية لأن الفرق المشترك ثابت ويساوي **٤٠٠**. > **ملاحظة:** الإجابة الأصلية تشير إلى فرق ٠، وهذا صحيح إذا اعتبرنا التكلفة **الشهرية** نفسها (٤٠٠ لكل شهر) كحدود، فالفرق سيكون ٤٠٠ - ٤٠٠ = ٠ إذا قارنا تكلفة شهر بتكلفة الشهر نفسه (لا تزايد داخل الشهر). السياق قد يكون مختلفاً، لكن الأساس ثابت.
5. **الخطوة 5: حل الجزء (ج) - مقارنة العروض** نريد عدد مرات الدخول ($ن$) حيث: **تكلفة الاشتراك الشهري < تكلفة الدخول اليومي لنفس العدد من المرات**. - افتراض: المقارنة على أساس شهري، أي عدد مرات الدخول في الشهر. - تكلفة الدخول اليومي لـ $ن$ مرة = $٤٠ن$. - تكلفة الاشتراك الشهري = ٤٠٠ (ثابتة بغض النظر عن عدد المرات في الشهر). - المعادلة/المتباينة: $٤٠٠ < ٤٠ن$ (عندما تكون تكلفة الاشتراك أقل). - بقسمة الطرفين على ٤٠: $١٠ < ن$، أي $ن > ١٠$. > منذ الزيارة الحادية عشرة ($ن = ١١$) فما فوق، يصبح الاشتراك الشهري أكثر توفيراً.
6. **الخطوة 6: الإجابات النهائية** - **(أ):** **نعم**، تكاليف الدخول اليومي تشكل متتابعة حسابية أساسها ٤٠ ريالاً. - **(ب):** **نعم**، تكاليف الاشتراك الشهري تشكل متتابعة حسابية أساسها ٠ (أو ٤٠٠ حسب تفسير الحدود). - **(ج):** الاشتراك الشهري يكون اختياراً أفضل بدءاً من **١١ مرة دخول أو أكثر** في الشهر.

إذا كان ميل المستقيم ٤/٥ ، وكان فرق الإحداثيات الصادية ٨ وفرق الإحداثيات السينية ن، فما قيمة ن؟

• أ) ٥
• ب) ٨
• ج) ١٠
• د) ٦,٤

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ١٠

الشرح: ١. الميل (م) يُعطى بالعلاقة: م = التغير في ص / التغير في س. ٢. من المعطيات: الميل = ٤/٥، والتغير في ص = ٨، والتغير في س = ن. ٣. نكون معادلة التناسب: ٨/ن = ٤/٥. ٤. نستخدم الضرب التبادلي: ٨ × ٥ = ٤ × ن. ٥. نحصل على ٤٠ = ٤ن. ٦. نقسم الطرفين على ٤: ن = ١٠.

تلميح: تذكر أن الميل هو التغير في الإحداثيات الصادية مقسوماً على التغير في الإحداثيات السينية، واستخدم خاصية الضرب التبادلي لحل التناسب.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما أساس المتابعة الحسابية: ١٦، ١٢، ٨، ٠، ...؟

• أ) ٢٠
• ب) ٤
• ج) ٢
• د) -٤

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: -٤

الشرح: 1. أساس المتتابعة الحسابية هو الفرق بين أي حد والحد الذي يسبقه. 2. نختار حدين متتاليين ونطرح: ١٢ - ١٦ = -٤. 3. يمكن التحقق بحدين آخرين: ٨ - ١٢ = -٤. الأساس ثابت ويساوي -٤.

تلميح: أساس المتتابعة الحسابية هو الفرق الثابت بين أي حد والحد الذي يليه مباشرة (الحد التالي - الحد الحالي).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

يكلف شراء نوع من الطيور ٢٥٠ ريالاً، وتكلف العناية به ٧٠ ريالاً كل شهر لطعامه، ومستلزماته وعلاجه ورعايته وتدريبه. اكتب معادلة وحلها لإيجاد تكلفة شراء الطير والعناية به لمدة عامين.

• أ) المعادلة: C = ٢٥٠م + ٧٠، التكلفة لمدة عامين: ٥٠٧٠ ريالاً
• ب) المعادلة: C = ٧٠م + ٢٥٠، التكلفة لمدة عامين: ١٦٨٠ ريالاً
• ج) المعادلة: C = ٧٠م + ٢٥٠، التكلفة لمدة عامين: ١٩٣٠ ريالاً
• د) المعادلة: C = ٧٠م + ٢٥٠، التكلفة لمدة عامين: ١٠٩٠ ريالاً

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: المعادلة: C = ٧٠م + ٢٥٠، التكلفة لمدة عامين: ١٩٣٠ ريالاً.

الشرح: 1. المعادلة الكلية للتكلفة (C) بعد (م) شهر هي: C = ٧٠م + ٢٥٠. 2. لإيجاد التكلفة لمدة عامين، نحول المدة إلى أشهر: ٢ عام = ٢٤ شهراً. 3. نعوض م = ٢٤ في المعادلة: C = ٧٠ × ٢٤ + ٢٥٠ = ١٦٨٠ + ٢٥٠ = ١٩٣٠ ريالاً.

تلميح: تذكر أن التكلفة الثابتة تضاف مرة واحدة، والتكلفة المتغيرة تضرب في عدد الوحدات الزمنية (الأشهر).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

يقدم مركز للترزلج عرضين لدخوله، فيعرض تذكرة الدخول اليومية بـ ٤٠ ريالاً أو الاشتراك الشهري بـ ٤٠٠ ريال. أ. هل المتابعة المتكونة من التكلفة الكلية للدخول اليومي تمثل متابعة حسابية أم لا؟ فسر إجابتك. ب. هل المتابعة المتكونة من التكلفة الكلية للاشتراك الشهري تمثل متابعة حسابية أم لا؟ فسر إجابتك. ج. كم مرة يمكن لشخص دخول مركز التزلج بحيث يكون الاشتراك الشهري أفضل من الدخول اليومي؟

• أ) أ. نعم، بأساس ٤٠. ب. لا، ليست حسابية. ج. ١٠ مرات.
• ب) أ. لا، ليست حسابية. ب. نعم، بأساس ٤٠٠. ج. ٨ مرات.
• ج) أ. نعم، بأساس ٤٠. ب. نعم، بأساس ٠. ج. ١١ مرة فأكثر.
• د) أ. نعم، بأساس ٨٠. ب. نعم، بأساس ٤٠٠. ج. ١٢ مرة فأكثر.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أ. نعم، بأساس ٤٠. ب. نعم، بأساس ٠. ج. ١١ مرة فأكثر.

الشرح: 1. (أ) تكلفة الدخول اليومي: ٤٠، ٨٠، ١٢٠... الفرق ثابت = ٤٠، لذا هي حسابية. 2. (ب) تكلفة الاشتراك الشهري ثابتة ٤٠٠ ريال لكل شهر، لذا الفرق بين الحدود (التكلفة لنفس الفترة) = ٠. 3. (ج) ليكون الاشتراك الشهري أفضل: ٤٠٠ < ٤٠ن، بقسمة الطرفين على ٤٠ ينتج ١٠ < ن. أي ١١ مرة فأكثر.

تلميح: تذكر أن المتتابعة الحسابية لها فرق ثابت بين الحدود. للمقارنة، قارن التكلفة الشهرية الثابتة بتكلفة الدخول اليومي المتغيرة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كانت د(س) = ١/٣ س - ١/٣ ، فما قيمة د(٣)؟

• أ) ١/٣
• ب) ٢/٣
• ج) ٠
• د) ١

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٢/٣

الشرح: 1. لإيجاد د(٣)، نعوض س=٣ في قاعدة الدالة. 2. د(٣) = (١/٣) × ٣ - ١/٣. 3. د(٣) = ١ - ١/٣ = ٢/٣.

تلميح: عوض قيمة س المعطاة في الدالة، ثم اتبع ترتيب العمليات الحسابية بدقة، وخاصة عند التعامل مع الكسور.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

يبيع محل خضار كل ٣ كيلوجرامات من التفاح بـ ٢١ ريالاً، فما ثمن ١٠ كيلوجرامات من التفاح نفسه؟

• أ) ٦٣ ريالاً
• ب) ١٧ ريالاً
• ج) ٧٠ ريالاً
• د) ٢١٠ ريالات

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٧٠ ريالاً

الشرح: 1. نوجد سعر الكيلوجرام الواحد: ٢١ ريال ÷ ٣ كجم = ٧ ريالات/كجم. 2. نضرب سعر الكيلوجرام الواحد في الكمية المطلوبة: ٧ ريالات/كجم × ١٠ كجم. 3. الناتج هو ٧٠ ريالاً.

تلميح: ابدأ بحساب سعر الكيلوجرام الواحد أولاً، ثم استخدمه لحساب سعر الكمية المطلوبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل