صفحة 211 - كتاب الرياضيات - الصف 8 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: اكتب عبارة يمكن استعمالها لإيجاد الحد النوني لكل متتابعة فيما يأتي، ثم أوجد الحدود الثلاثة التالية فيها: ٨، ١٢، ١٦، ...

الإجابة: ح ن = ٤ن + ٤؛ متتابعة حسابية، الحدود: ٢٠، ٢٤، ٢٨

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | الحد الأول (أ₁) | ٨ | | الحد الثاني (أ₂) | ١٢ | | الحد الثالث (أ₃) | ١٦ | | **المطلوب ١** | عبارة الحد النوني (ح_ن) | | **المطلوب ٢** | الحدود الثلاثة التالية (الحد الرابع، الخامس، السادس) |
2. **الخطوة 2: تحديد نوع المتتابعة والقانون الأساسي** > نلاحظ أن الفرق بين حدود المتتابعة ثابت: - الفرق (د) = أ₂ - أ₁ = ١٢ - ٨ = ٤ - الفرق (د) = أ₃ - أ₂ = ١٦ - ١٢ = ٤ ∴ المتتابعة **حسابية** وأساسها (د) = ٤. **قانون الحد النوني في المتتابعة الحسابية:** $ح_ن = أ_1 + (ن - 1) \times د$
3. **الخطوة 3: إيجاد عبارة الحد النوني** بتعويض أ₁ = ٨، د = ٤ في القانون: $ح_ن = ٨ + (ن - 1) \times 4$ $ح_ن = ٨ + 4ن - 4$ $ح_ن = 4ن + 4$ ∴ **عبارة الحد النوني:** $ح_ن = 4ن + 4$.
4. **الخطوة 4: إيجاد الحدود الثلاثة التالية** نستخدم العبارة $ح_ن = 4ن + 4$: - الحد الرابع (ن = ٤): $ح_٤ = 4(4) + 4 = 16 + 4 = 20$ - الحد الخامس (ن = ٥): $ح_٥ = 4(5) + 4 = 20 + 4 = 24$ - الحد السادس (ن = ٦): $ح_٦ = 4(6) + 4 = 24 + 4 = 28$
5. **الإجابة النهائية:** عبارة الحد النوني هي $ح_ن = 4ن + 4$، والحدود الثلاثة التالية هي **٢٠، ٢٤، ٢٨**.

سؤال 2: -٧، -١٤، -٢١، -٢٨، ...

الإجابة: ح ن = -٧ن؛ متتابعة حسابية، الحدود: -٣٥، -٤٢، -٤٩

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | الحد الأول (أ₁) | -٧ | | الحد الثاني (أ₂) | -١٤ | | الحد الثالث (أ₃) | -٢١ | | الحد الرابع (أ₄) | -٢٨ | | **المطلوب ١** | عبارة الحد النوني (ح_ن) | | **المطلوب ٢** | الحدود الثلاثة التالية (الحد الخامس، السادس، السابع) |
2. **الخطوة 2: تحديد نوع المتتابعة والقانون الأساسي** > نلاحظ أن الفرق بين حدود المتتابعة ثابت: - الفرق (د) = أ₂ - أ₁ = -١٤ - (-٧) = -١٤ + ٧ = -٧ - الفرق (د) = أ₃ - أ₂ = -٢١ - (-١٤) = -٢١ + ١٤ = -٧ - الفرق (د) = أ₄ - أ₃ = -٢٨ - (-٢١) = -٢٨ + ٢١ = -٧ ∴ المتتابعة **حسابية** وأساسها (د) = -٧. **قانون الحد النوني في المتتابعة الحسابية:** $ح_ن = أ_1 + (ن - 1) \times د$
3. **الخطوة 3: إيجاد عبارة الحد النوني** بتعويض أ₁ = -٧، د = -٧ في القانون: $ح_ن = -٧ + (ن - 1) \times (-7)$ $ح_ن = -٧ -7ن + 7$ $ح_ن = -7ن$ ∴ **عبارة الحد النوني:** $ح_ن = -7ن$.
4. **الخطوة 4: إيجاد الحدود الثلاثة التالية** نستخدم العبارة $ح_ن = -7ن$: - الحد الخامس (ن = ٥): $ح_٥ = -7(5) = -35$ - الحد السادس (ن = ٦): $ح_٦ = -7(6) = -42$ - الحد السابع (ن = ٧): $ح_٧ = -7(7) = -49$
5. **الإجابة النهائية:** عبارة الحد النوني هي $ح_ن = -7ن$، والحدود الثلاثة التالية هي **-٣٥، -٤٢، -٤٩**.

سؤال 3: أوجد قيمة كل دالة فيما يأتي: د(٣) إذا كان د(س) = -٢س + ٦

الإجابة: د(٣) = -٢(٣) + ٦ = ٠

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | الدالة | د(س) = -٢س + ٦ | | قيمة الإدخال (س) | ٣ | | **المطلوب** | قيمة المخرَج د(٣) |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** > لإيجاد قيمة دالة عند قيمة معينة لـ **س**، نعوض هذه القيمة مكان **س** في قاعدة الدالة ثم نحسب.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** قاعدة الدالة هي: $د(س) = -2س + 6$ نعوض س = ٣: $د(٣) = -2(3) + 6$ $د(٣) = -6 + 6$ $د(٣) = 0$
4. **الإجابة النهائية:** قيمة الدالة عند س = ٣ هي **٠**.

سؤال 4: ق(-٢) إذا كان ق(س) = س/٣ + ٥

الإجابة: ق(-٢) = -٢/٣ + ٥ = ٤ و ١/٣

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | الدالة | ق(س) = س/٣ + ٥ | | قيمة الإدخال (س) | -٢ | | **المطلوب** | قيمة المخرَج ق(-٢) |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** > لإيجاد قيمة دالة عند قيمة معينة لـ **س**، نعوض هذه القيمة مكان **س** في قاعدة الدالة ثم نحسب.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل التفصيلية** قاعدة الدالة هي: $ق(س) = \frac{س}{3} + 5$ نعوض س = -٢: $ق(-2) = \frac{-2}{3} + 5$ > نكتب العدد ٥ في صورة كسر مقامه ٣: $5 = \frac{15}{3}$ $ق(-2) = \frac{-2}{3} + \frac{15}{3}$ $ق(-2) = \frac{-2 + 15}{3}$ $ق(-2) = \frac{13}{3}$ > الكسر $\frac{13}{3}$ يساوي $4\frac{1}{3}$ بالعدد الكسري.
4. **الإجابة النهائية:** قيمة الدالة عند س = -٢ هي **١٣/٣** أو **٤ و ١/٣**.

سؤال 5: وظائف: يتناسب إيراد علي من عمله طرديًا مع زمن العمل، فإذا كان إيراده ١٨٦٢,٥ ريالاً بعد ٢٥ ساعة عمل. فكم يتقاضى إذا عمل ٣٠ ساعة؟

الإجابة: الإيراد ٢٢٣٥ ريالاً

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الكمية | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | الإيراد ١ | إ₁ | ١٨٦٢.٥ | ريال | | زمن العمل ١ | ز₁ | ٢٥ | ساعة | | زمن العمل ٢ | ز₂ | ٣٠ | ساعة | | **المطلوب** | الإيراد ٢ (إ₂) | ? | ريال |
2. **الخطوة 2: القانون أو المبدأ المستخدم** > الإيراد يتناسب **طرديًا** مع زمن العمل. أي: $\frac{إيراد}{زمن} = ثابت$ أو $\frac{إ_1}{ز_1} = \frac{إ_2}{ز_2}$ هذا يعني أن **نسبة الإيراد إلى الزمن ثابتة**.
3. **الخطوة 3: تعيين النسبة الثابتة** من المعطيات الأولى: $\frac{إ_1}{ز_1} = \frac{1862.5}{25} = 74.5$ > إذن، **معدل الإيراد** هو **٧٤.٥ ريال/ساعة**.
4. **الخطوة 4: حساب الإيراد للزمن الجديد** بما أن النسبة ثابتة: $\frac{إ_2}{ز_2} = 74.5$ $\frac{إ_2}{30} = 74.5$ نضرب الطرفين في ٣٠: $إ_2 = 74.5 \times 30 = 2235$
5. **الإجابة النهائية:** إذا عمل علي لمدة ٣٠ ساعة، فسيكون إيراده **٢٢٣٥ ريالاً**.

سؤال 6: أمطار: إذا كانت كمية الأمطار الهاطلة حتى الساعة ٦ مساءً ٣ سم، فإذا استمر هطل الأمطار بمقدار ٠,٥ سم لكل من الساعات الثلاث التالية. فكم سنتمترا مقدار هطل الأمطار حتى الساعة ٩ مساءً؟

الإجابة: الزيادة ١,٥ سم، الإجمالي ٤,٥ سم

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الكمية | القيمة | الوحدة | |--------|--------|--------| | هطل الأمطار حتى ٦ مساءً | ٣ | سم | | معدل الهطل بعد ٦ مساءً | ٠.٥ | سم/ساعة | | عدد الساعات من ٦ مساءً إلى ٩ مساءً | ٣ | ساعة | | **المطلوب** | إجمالي هطل الأمطار حتى ٩ مساءً | ? | سم |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** > إجمالي الهطل = الهطل الأولي + (معدل الهطل × عدد الساعات).
3. **الخطوة 3: حساب كمية الأمطار المضافة** كمية الأمطار المضافة من الساعة ٦ إلى ٩ مساءً: $\text{الزيادة} = 0.5 \times 3 = 1.5$ سم.
4. **الخطوة 4: حساب الإجمالي** $\text{الإجمالي} = 3 + 1.5 = 4.5$ سم.
5. **الإجابة النهائية:** مقدار هطل الأمطار حتى الساعة ٩ مساءً هو **٤.٥ سم**.

سؤال 7: خلايا النحل: يبدأ النحل البلدي عمل الخلايا بخلية ابتدائية واحدة سداسية الشكل، ثم تقوم بعمل حلقة تلو الأخرى حول الخلية الابتدائية، كما هو موضح بالشكل أدناه، لتشكل الحلقات المتتالية حول الخلية الابتدائية متتابعة حسابية: أ) اكتب الحد النوني الممثل لعدد الخلايا في الحلقات. ب) أوجد عدد خلايا النحل في الحلقة السادسة.

الإجابة: أ) an = 6n، ب) 36 خلية

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المشكلة وتحديد المعطيات** - الخلية الابتدائية: خلية واحدة. - كل حلقة تضيف عددًا من الخلايا يشكل **متتابعة حسابية**. - من الرسم (غير موضح هنا ولكن مستنتج من الإجابة): الحلقة الأولى تضيف ٦ خلايا، الثانية ١٢، الثالثة ١٨، ... - **المطلوب أ:** عبارة الحد النوني (a_n) لعدد الخلايا في الحلقات. - **المطلوب ب:** عدد الخلايا في الحلقة السادسة.
2. **الخطوة 2: استنتاج المتتابعة من الوصف** > إذا اعتبرنا أن الحلقة الأولى (ن=١) فيها ٦ خلايا، والحلقة الثانية (ن=٢) فيها ١٢ خلية، والحلقة الثالثة (ن=٣) فيها ١٨ خلية،... نكتب الحدود: ٦، ١٢، ١٨، ... نلاحظ أن الفرق بين حدودها ثابت: $د = 12 - 6 = 6$ و $د = 18 - 12 = 6$ ∴ متتابعة حسابية أساسها د = ٦، والحد الأول أ₁ = ٦.
3. **الخطوة 3: إيجاد عبارة الحد النوني (المطلوب أ)** **قانون الحد النوني في المتتابعة الحسابية:** $a_n = a_1 + (n-1) \times d$ $a_n = 6 + (n-1) \times 6$ $a_n = 6 + 6n - 6$ $a_n = 6n$ ∴ **عبارة الحد النوني:** $a_n = 6n$.
4. **الخطوة 4: إيجاد عدد الخلايا في الحلقة السادسة (المطلوب ب)** الحلقة السادسة تعني ن = ٦. $a_6 = 6 \times 6 = 36$ ∴ عدد الخلايا في الحلقة السادسة = **٣٦ خلية**.
5. **الإجابة النهائية:** - **أ)** العبارة النونية لعدد الخلايا في الحلقات هي $a_n = 6n$. - **ب)** عدد خلايا النحل في الحلقة السادسة هو **٣٦ خلية**.

سؤال 8: مثل كل دالة فيما يأتي بيانيًا: ص = -٢ س + ٥

الإجابة: الميل -2، يمر بـ (0، 5) و (1، 3)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | معادلة المستقيم | ص = -٢ س + ٥ | | **المطلوب** | تمثيل الدالة بيانيًا |
2. **الخطوة 2: خصائص المعادلة** المعادلة على الصورة $ص = م س + ب$ (ميل وتقاطع): - **الميل (م)** = -٢ - **تقاطع المحور الصادي (ب)** = ٥ (النقطة (٠، ٥)).
3. **الخطوة 3: إيجاد نقطتين للرسم** 1. **النقطة الأولى:** عند س = ٠: $ص = -2(0) + 5 = 5$ ∴ النقطة أ: (٠، ٥). 2. **النقطة الثانية:** اختيار قيمة مناسبة لـ س، مثلاً س = ١: $ص = -2(1) + 5 = -2 + 5 = 3$ ∴ النقطة ب: (١، ٣).
4. **الخطوة 4: خطوات التمثيل البياني (توجيه للطالب)** 1. ارسم نظام إحداثيات متعامد. 2. حدد النقطة أ (٠، ٥) على المحور الصادي. 3. حدد النقطة ب (١، ٣). 4. ارسم خطًا مستقيمًا يمر بالنقطتين أ و ب وامده في كلا الاتجاهين. 5. **ملاحظة:** لأن الميل سالب (-٢)، فالخط ينحدر من اليسار الأعلى إلى اليمين الأسفل.
5. **الإجابة النهائية:** يمكن تمثيل المستقيم بيانيًا باستخدام النقطتين (٠، ٥) و (١، ٣) وإيصالهما بخط مستقيم. ميل المستقيم هو **-٢** ويتقاطع مع المحور الصادي عند **٥**.

سؤال 9: ص = ١/٣ س - ١

الإجابة: الميل 1/3، يمر بـ (0، -1) و (3، 0)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | معادلة المستقيم | ص = (١/٣) س - ١ | | **المطلوب** | تمثيل الدالة بيانيًا |
2. **الخطوة 2: خصائص المعادلة** المعادلة على الصورة $ص = م س + ب$: - **الميل (م)** = $\frac{1}{3}$ - **تقاطع المحور الصادي (ب)** = -١ (النقطة (٠، -١)).
3. **الخطوة 3: إيجاد نقطتين للرسم** 1. **النقطة الأولى:** عند س = ٠: $ص = \frac{1}{3}(0) - 1 = -1$ ∴ النقطة أ: (٠، -١). 2. **النقطة الثانية:** اختيار قيمة مناسبة لـ س، مثلاً س = ٣: $ص = \frac{1}{3}(3) - 1 = 1 - 1 = 0$ ∴ النقطة ب: (٣، ٠).
4. **الخطوة 4: خطوات التمثيل البياني (توجيه للطالب)** 1. ارسم نظام إحداثيات متعامد. 2. حدد النقطة أ (٠، -١) على المحور الصادي. 3. حدد النقطة ب (٣، ٠). 4. ارسم خطًا مستقيمًا يمر بالنقطتين أ و ب وامده في كلا الاتجاهين. 5. **ملاحظة:** لأن الميل موجب ($\frac{1}{3}$)، فالخط ينحدر من اليسار الأسفل إلى اليمين الأعلى.
5. **الإجابة النهائية:** يمكن تمثيل المستقيم بيانيًا باستخدام النقطتين (٠، -١) و (٣، ٠) وإيصالهما بخط مستقيم. ميل المستقيم هو **١/٣** ويتقاطع مع المحور الصادي عند **-١**.

سؤال 10: أوجد ميل المستقيم المار بكل زوج من النقاط فيما يأتي: أ(-٢، ٥)، ب(-٢، ١)

الإجابة: الميل غير معرف

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الإحداثيات | |--------|-------------| | النقطة أ | (-٢، ٥) | | النقطة ب | (-٢، ١) | | **المطلوب** | ميل المستقيم المار بهاتين النقطتين |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** **قانون ميل المستقيم المار بنقطتين (س₁، ص₁) و (س₂، ص₂):** $م = \frac{ص_2 - ص_1}{س_2 - س_1}$
3. **الخطوة 3: تطبيق القانون** لتكن أ هي (س₁، ص₁) = (-٢، ٥) وب هي (س₂، ص₂) = (-٢، ١). نعوض في القانون: $م = \frac{1 - 5}{-2 - (-2)} = \frac{-4}{-2 + 2} = \frac{-4}{0}$
4. **الخطوة 4: تفسير النتيجة** > القسمة على **صفر** غير معرّفة في الرياضيات. هذا يعني أن المستقيم **عمودي** على المحور السيني (محور السينات)، لأن إحداثيَّي **س** للنقطتين متساويان. ميل المستقيم العمودي **غير مُعرَّف**.
5. **الإجابة النهائية:** ميل المستقيم المار بالنقطتين (-٢، ٥) و (-٢، ١) هو **غير معرَّف** (وهو مستقيم عمودي).

سؤال 11: هـ(٢، -١)، و(٥، -٣)

الإجابة: الميل = -2/3

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الإحداثيات | |--------|-------------| | النقطة هـ | (٢، -١) | | النقطة و | (٥، -٣) | | **المطلوب** | ميل المستقيم المار بهاتين النقطتين |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** **قانون ميل المستقيم المار بنقطتين (س₁، ص₁) و (س₂، ص₂):** $م = \frac{ص_2 - ص_1}{س_2 - س_1}$
3. **الخطوة 3: تطبيق القانون** لتكن هـ هي (س₁، ص₁) = (٢، -١) و و هي (س₂، ص₂) = (٥، -٣). نعوض في القانون: $م = \frac{-3 - (-1)}{5 - 2} = \frac{-3 + 1}{3} = \frac{-2}{3}$
4. **الإجابة النهائية:** ميل المستقيم المار بالنقطتين (٢، -١) و (٥، -٣) هو **-٢/٣**.

سؤال 12: اختيار من متعدد: زرع عصام ١٨ زهرة في ٣٠ دقيقة. فكم زهرة يزرع في ٥٥ دقيقة بالمعدل نفسه؟ أ) ٣٠ ب) ٣٣ ج) ٣٦ د) ٣٨

الإجابة: الإجابة (ب) 33

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | الكمية | القيمة | |--------|--------| | عدد الزهور المزروعة (م₁) | ١٨ زهرة | | الزمن المستغرق (ز₁) | ٣٠ دقيقة | | الزمن الجديد (ز₂) | ٥٥ دقيقة | | **المطلوب** | عدد الزهور المزروعة (م₂) | ? |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** > عدد الزهور يتناسب **طرديًا** مع الزمن، لأن المعدل ثابت. $\frac{م_1}{ز_1} = \frac{م_2}{ز_2}$
3. **الخطوة 3: حساب عدد الزهور للزمن الجديد** نفرض أن عدد الزهور في ٥٥ دقيقة هو م₂. $\frac{18}{30} = \frac{م_2}{55}$ > نضرب طرفي المعادلة في ٥٥: $م_2 = \frac{18}{30} \times 55$ > نبسط الكسر $\frac{18}{30} = \frac{3}{5}$ $م_2 = \frac{3}{5} \times 55 = \frac{3 \times 55}{5} = \frac{165}{5} = 33$
4. **الخطوة 4: مقارنة بالخيارات** الخيارات: أ) ٣٠ ب) ٣٣ ج) ٣٦ د) ٣٨ الإجابة المحسوبة هي **٣٣**، وهي تتطابق مع الخيار (ب).
5. **الإجابة النهائية:** عدد الزهور التي يمكن لعصام زراعتها في ٥٥ دقيقة هو **٣٣ زهرة**.

سؤال 13: اختيار من متعدد: أي زوج مرتب فيما يأتي هو حل للمعادلة ص = -٣س؟ أ) (٣، ١) ب) (-٣، ١) ج) (١، ٣) د) (١، -٣)

الإجابة: الإجابة (د) (1، -3)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | المعادلة | ص = -٣ س | | الخيارات (أزواج مرتبة) | أ) (٣، ١) ب) (-٣، ١) ج) (١، ٣) د) (١، -٣) | | **المطلوب** | تحديد الزوج المرتب الذي يحقق المعادلة |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** > الزوج المرتب (س، ص) هو حل للمعادلة إذا كان عند تعويض قيمتَي س و ص في المعادلة، تتحقق المساواة.
3. **الخطوة 3: اختبار كل خيار** | الخيار | الزوج (س، ص) | التعويض في ص = -٣ س | النتيجة | هل يحقق؟ | |--------|--------------|---------------------|---------|------------| | أ | (٣، ١) | $١ = -٣(٣) = -٩$ | ١ ≠ -٩ | ❌ | | ب | (-٣، ١) | $١ = -٣(-٣) = ٩$ | ١ ≠ ٩ | ❌ | | ج | (١، ٣) | $٣ = -٣(١) = -٣$ | ٣ ≠ -٣ | ❌ | | د | (١، -٣) | $-٣ = -٣(١) = -٣$ | -٣ = -٣ | ✔ |
4. **الإجابة النهائية:** الزوج المرتب الذي يمثل حلًا للمعادلة $ص = -٣س$ هو **(١، -٣)**، وهو الخيار (د).

سؤال 14: اختيار من متعدد: أوجد ميل المستقيم في الشكل الآتي. أ) -٤/٣ ب) -٣/٤ ج) ٣/٤ د) ٤/٣

الإجابة: الإجابة (ب) الميل -3/4

خطوات الحل:

1. > **ملاحظة:** السؤال يشير إلى شكل غير موجود هنا. بناءً على الإجابة المعطاة (الميل = -٣/٤)، سنقدم طريقة عامة لحساب ميل المستقيم من رسمه.
2. **الخطوة 1: المبدأ المستخدم** > ميل المستقيم = $\frac{\text{التغير في الصادات}}{\text{التغير في السينات}} = \frac{\Delta ص}{\Delta س}$. من الرسم، نختار نقطتين واضحتين على المستقيم.
3. **الخطوة 2: خطوات حساب الميل من الرسم (افتراضيًا)** 1. اختر نقطتين على المستقيم، مثلاً أ (س₁، ص₁) و ب (س₂، ص₂). 2. احسب التغير في الصادات: $\Delta ص = ص_2 - ص_1$. 3. احسب التغير في السينات: $\Delta س = س_2 - س_1$. 4. الميل $م = \frac{\Delta ص}{\Delta س}$.
4. **الخطوة 3: تفسير الإجابة المعطاة** الإجابة المعطاة هي **الميل = -٣/٤**. هذا يعني: - الميل **سالب**، مما يدل على أن المستقيم ينحدر من اليسار الأعلى إلى اليمين الأسفل. - $\frac{\Delta ص}{\Delta س} = \frac{-3}{4}$، أي عند التحرك ٤ وحدات إلى اليمين (زيادة في س)، نتحرك ٣ وحدات إلى الأسفل (نقص في ص).
5. **الإجابة النهائية:** بناءً على الخيارات والشكل، ميل المستقيم هو **-٣/٤**، وهو الخيار (ب).

سؤال 15: درجات حرارة: تستعمل الدالة: ف = ٩/٥ س + ٣٢ لتحويل درجات الحرارة السيليزية س إلى فهرنهايتة ف. حوّل درجة الحرارة السيليزية ٢٥° إلى فهرنهايتية.

الإجابة: 77 درجة فهرنهايت

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | الرمز | القيمة | الوحدة | |--------|-------|--------|--------| | دالة التحويل | ف | $ف = \frac{9}{5} س + ٣٢$ | درجة فهرنهايت | | درجة الحرارة السيليزية | س | ٢٥ | درجة مئوية | | **المطلوب** | درجة الحرارة بالفهرنهايت | ف | درجة فهرنهايت |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** > معادلة التحويل المعطاة: $ف = \frac{9}{5} س + ٣٢$.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل** نعوض س = ٢٥ في المعادلة: $ف = \frac{9}{5} \times 25 + 32$ > نبسط الضرب أولاً: $\frac{9}{5} \times 25 = 9 \times 5 = 45$ ثم نكمل: $ف = 45 + 32 = 77$
4. **الإجابة النهائية:** درجة الحرارة ٢٥° سيليزية تعادل **٧٧ درجة فهرنهايت**.

سؤال 16: إطار: استعمل نجار إطارًا عرضه ١,٧٥ سم لإحاطة صورة طولها ١٥ سم وعرضها ٩ سم، أوجد محيط الإطار.

الإجابة: المحيط = 62 سم

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: فهم المشكلة وتحديد المعطيات** - **الصورة:** طولها = ١٥ سم، عرضها = ٩ سم. - **الإطار:** عرضه منتظم = ١.٧٥ سم من كل جانب. - **المطلوب:** محيط الإطار الخارجي.
2. **الخطوة 2: حساب أبعاد الإطار الخارجي** > عرض الإطار يضاف من **كلا الجانبين** للطول والعرض. - **الطول الخارجي للإطار:** طول الصورة + (عرض الإطار × ٢) = ١٥ + (١.٧٥ × ٢) = ١٥ + ٣.٥ = **١٨.٥ سم**. - **العرض الخارجي للإطار:** عرض الصورة + (عرض الإطار × ٢) = ٩ + (١.٧٥ × ٢) = ٩ + ٣.٥ = **١٢.٥ سم**.
3. **الخطوة 3: حساب محيط الإطار** > **محيط المستطيل = ٢ × (الطول + العرض)**. المحيط = ٢ × (١٨.٥ + ١٢.٥) = ٢ × (٣١) = **٦٢ سم**.
4. **الإجابة النهائية:** محيط الإطار الذي يحيط بالصورة هو **٦٢ سم**.

سؤال 17: توفير: في حصالة خالد ٢٠ ريالاً، ويضيف لها ٥ ريالات كل أسبوع. كم ريالاً سيكون في حصالته بعد ٧ أسابيع؟

الإجابة: 55 ريالاً

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | العنصر | القيمة | |--------|--------| | المبلغ الابتدائي | ٢٠ ريالاً | | الإضافة الأسبوعية | ٥ ريالات | | عدد الأسابيع | ٧ أسابيع | | **المطلوب** | المبلغ الإجمالي بعد ٧ أسابيع | ? |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** > المبلغ الإجمالي = المبلغ الابتدائي + (عدد الأسابيع × الإضافة الأسبوعية). أو يمكن تمثيله بمتتابعة حسابية حيث الحد الأول أ₁ = ٢٠، والأساس د = ٥.
3. **الخطوة 3: خطوات الحل** 1. حساب إجمالي الإضافات خلال ٧ أسابيع: $\text{إجمالي الإضافات} = 5 \times 7 = 35$ ريالاً. 2. إضافة المبلغ الابتدائي: $\text{المبلغ الإجمالي} = 20 + 35 = 55$ ريالاً.
4. **الخطوة 4: طريقة أخرى باستخدام المتتابعة الحسابية** المبلغ بعد ن أسبوع: $ح_ن = ٢٠ + (ن-١) \times ٥$. بعد ٧ أسابيع (ن=٧): $ح_٧ = ٢٠ + (٧-١) \times ٥ = ٢٠ + ٣٠ = ٥٠$ ؟ > **ملاحظة:** هذه الصيغة تعطي المبلغ **في بداية الأسبوع السابع** إذا كان الحد الأول يمثل بداية الأسبوع الأول. لكن السؤال واضح: المبلغ الابتدائي ٢٠، ثم يضاف ٥ كل أسبوع. بعد أسبوع واحد يصبح ٢٥، بعد أسبوعين ٣٠، وهكذا. لذا بعد ٧ أسابيع، عدد عمليات الإضافة هو ٧. الصيغة الصحيحة: **المبلغ = ٢٠ + (٥ × ٧)**.
5. **الإجابة النهائية:** سيكون في حصالة خالد بعد ٧ أسابيع مبلغ **٥٥ ريالاً**.

أي زوج مرتب فيما يأتي هو حل للمعادلة ص = -٣س؟

• أ) (٣، ١)
• ب) (-٣، ١)
• ج) (١، ٣)
• د) (١، -٣)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: (١، -٣)

الشرح: 1. المعادلة هي ص = -٣س. 2. نختبر الخيار (أ) (٣، ١): ١ = -٣(٣) => ١ = -٩ (خطأ). 3. نختبر الخيار (ب) (-٣، ١): ١ = -٣(-٣) => ١ = ٩ (خطأ). 4. نختبر الخيار (ج) (١، ٣): ٣ = -٣(١) => ٣ = -٣ (خطأ). 5. نختبر الخيار (د) (١، -٣): -٣ = -٣(١) => -٣ = -٣ (صحيح).

تلميح: عوض قيم س و ص من كل زوج مرتب في المعادلة ص = -٣س وتحقق أيها يحقق المساواة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

اكتب عبارة يمكن استعمالها لإيجاد الحد النوني للمتتابعة ٨، ١٢، ١٦، ...، ثم أوجد الحدود الثلاثة التالية فيها.

• أ) ح ن = ٤ن + ٤؛ والحدود التالية: ٢٠، ٢٤، ٢٨
• ب) ح ن = ٤ن؛ والحدود التالية: ١٦، ٢٠، ٢٤
• ج) ح ن = ٨ن - ٤؛ والحدود التالية: ٢٨، ٣٦، ٤٤
• د) ح ن = ٤ن + ٨؛ والحدود التالية: ٢٤، ٢٨، ٣٢

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ح ن = ٤ن + ٤؛ والحدود التالية: ٢٠، ٢٤، ٢٨

الشرح: ١. أوجد أساس المتتابعة (د): ١٢ - ٨ = ٤. ٢. الحد الأول (أ1) = ٨. ٣. صيغة الحد النوني: ح ن = أ1 + (ن-1)د = ٨ + (ن-1)٤ = ٨ + ٤ن - ٤ = ٤ن + ٤. ٤. الحدود الثلاثة التالية (الحد الرابع، الخامس، السادس): ح٤ = ٤(٤) + ٤ = ١٦ + ٤ = ٢٠ ح٥ = ٤(٥) + ٤ = ٢٠ + ٤ = ٢٤ ح٦ = ٤(٦) + ٤ = ٢٤ + ٤ = ٢٨ ٥. الإجابة: ح ن = ٤ن + ٤؛ والحدود التالية: ٢٠، ٢٤، ٢٨

تلميح: أوجد الفرق المشترك (أساس المتتابعة) بين الحدود المتتالية، ثم استخدم صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية (ح ن = أ1 + (ن-1)د).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد قيمة الدالة د(٣) إذا كان د(س) = -٢س + ٦.

• أ) ١٢
• ب) -١٢
• ج) ٠
• د) ٤

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٠

الشرح: ١. الدالة المعطاة: د(س) = -٢س + ٦. ٢. عوض س = ٣ في الدالة: د(٣) = -٢(٣) + ٦ ٣. احسب الناتج: د(٣) = -٦ + ٦ = ٠. ٤. الإجابة: ٠

تلميح: لإيجاد قيمة دالة عند قيمة معينة للمتغير، عوض هذه القيمة مكان المتغير في قاعدة الدالة ثم احسب الناتج.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

وظائف: يتناسب إيراد علي من عمله طرديًا مع زمن العمل، فإذا كان إيراده ١٨٦٢,٥ ريالاً بعد ٢٥ ساعة عمل. فكم يتقاضى إذا عمل ٣٠ ساعة؟

• أ) ٢٠٤٨ ريالاً
• ب) ٢٢٣٥ ريالاً
• ج) ٢٣٧٢.٥ ريالاً
• د) ٢١٠٠ ريالاً

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٢٢٣٥ ريالاً

الشرح: ١. حساب معدل الإيراد لكل ساعة (ثابت التناسب): المعدل = الإيراد / الزمن = ١٨٦٢.٥ ريال / ٢٥ ساعة = ٧٤.٥ ريال/ساعة. ٢. حساب الإيراد لـ ٣٠ ساعة: الإيراد = المعدل × الزمن = ٧٤.٥ ريال/ساعة × ٣٠ ساعة = ٢٢٣٥ ريالاً. ٣. الإجابة: ٢٢٣٥ ريالاً

تلميح: في التناسب الطردي، تكون نسبة الكميتين ثابتة. يمكنك حساب المعدل لكل ساعة أولاً.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين أ(-٢، ٥) وب(٢، ١).

• أ) -١
• ب) ١
• ج) غير معرف
• د) -٤

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: -١

الشرح: ١. النقاط المعطاة: أ(س١, ص١) = (-٢, ٥) وب(س٢, ص٢) = (٢, ١). ٢. طبق صيغة الميل: الميل = (١ - ٥) / (٢ - (-٢)) الميل = (-٤) / (٢ + ٢) الميل = (-٤) / ٤ = -١. ٣. الإجابة: -١

تلميح: استخدم صيغة ميل المستقيم: الميل = (ص٢ - ص١) / (س٢ - س١).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

اختيار من متعدد: زرع عصام ١٨ زهرة في ٣٠ دقيقة. فكم زهرة يزرع في ٥٥ دقيقة بالمعدل نفسه ؟

• أ) ٣٠
• ب) ٣٣
• ج) ٣٦
• د) ٣٨

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ٣٣ زهرة

الشرح: ١. افترض أن عدد الزهور التي يزرعها في ٥٥ دقيقة هو س. ٢. ضع التناسب: ١٨ زهرة / ٣٠ دقيقة = س زهرة / ٥٥ دقيقة. ٣. اضرب طرفي المعادلة في ٥٥ لإيجاد س: س = (١٨ / ٣٠) × ٥٥ س = (٣ / ٥) × ٥٥ س = ٣ × ١١ = ٣٣ زهرة. ٤. الإجابة: ٣٣ زهرة

تلميح: أوجد معدل زراعة الزهور في الدقيقة الواحدة، ثم اضربه في الزمن الجديد.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

اكتب عبارة يمكن استعمالها لإيجاد الحد النوني للمتتابعة الحسابية: -٧، -١٤، -٢١، -٢٨، ...، ثم أوجد الحدود الثلاثة التالية فيها.

• أ) ح ن = -٧ن + ٧؛ الحدود هي: -٢٨، -٣٥، -٤٢
• ب) ح ن = -٧ن؛ الحدود هي: -٣٥، -٤٢، -٤٩
• ج) ح ن = ٧ن؛ الحدود هي: ٣٥، ٤٢، ٤٩
• د) ح ن = -٧ن - ٧؛ الحدود هي: -٤٢، -٤٩، -٥٦

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ح ن = -٧ن؛ الحدود هي: -٣٥، -٤٢، -٤٩

الشرح: 1. نجد الفرق المشترك (د): د = -14 - (-7) = -7. 2. نستخدم صيغة الحد النوني: ح_ن = أ_1 + (ن-1)د = -7 + (ن-1)(-7) = -7 -7ن + 7 = -7ن. 3. نوجد الحدود التالية: ح_5 = -7(5) = -35، ح_6 = -7(6) = -42، ح_7 = -7(7) = -49. 4. الإجابة: ح ن = -٧ن؛ الحدود هي: -٣٥، -٤٢، -٤٩.

تلميح: لإيجاد الحد النوني لمتتابعة حسابية، احسب الفرق المشترك (د) ثم استخدم الصيغة ح_ن = أ_1 + (ن - 1) × د. ثم عوض عن ن للحدود التالية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد قيمة ق(-٢) إذا كان ق(س) = س/٣ + ٥.

• أ) ٥ و ٢/٣
• ب) ٣ و ١/٣
• ج) ٤ و ١/٣
• د) ٦ و ٢/٣

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٤ و ١/٣

الشرح: 1. الدالة المعطاة: ق(س) = س/٣ + ٥. 2. المطلوب إيجاد ق(-٢)، لذا نعوض س = -٢: ق(-٢) = (-٢)/٣ + ٥. 3. نوحد المقامات: ٥ = ١٥/٣. 4. ق(-٢) = -٢/٣ + ١٥/٣ = ١٣/٣. 5. نحول الكسر غير الفعلي إلى عدد كسري: ١٣/٣ = ٤ و ١/٣.

تلميح: عوض قيمة س المعطاة في الدالة، ثم اتبع ترتيب العمليات الصحيح.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أمطار: إذا كانت كمية الأمطار الهاطلة حتى الساعة ٦ مساءً ٣ سم، فإذا استمر هطل الأمطار بمقدار ٠,٥ سم لكل من الساعات الثلاث التالية. فكم سنتمترا مقدار هطل الأمطار حتى الساعة ٩ مساءً؟

• أ) ٤,٥ سم
• ب) ٣,٥ سم
• ج) ٥,٠ سم
• د) ٣,٠ سم

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: ٤,٥ سم

الشرح: 1. كمية الأمطار الأولية = ٣ سم. 2. عدد الساعات من ٦ مساءً إلى ٩ مساءً = ٣ ساعات. 3. معدل الهطل = ٠,٥ سم/ساعة. 4. كمية الأمطار المضافة = ٠,٥ سم/ساعة × ٣ ساعات = ١,٥ سم. 5. إجمالي هطل الأمطار = ٣ سم + ١,٥ سم = ٤,٥ سم.

تلميح: احسب كمية الأمطار الإضافية أولاً بضرب معدل الهطل في عدد الساعات، ثم أضفها إلى الكمية الأولية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين هـ(٢، -١)، و(٥، -٣).

• أ) ٢/٣
• ب) -٣/٢
• ج) ٣/٢
• د) -٢/٣

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: -٢/٣

الشرح: 1. النقطتان هـ(س_1, ص_1) = (٢، -١) وو(س_2, ص_2) = (٥، -٣). 2. نطبق قانون الميل: م = (ص_2 - ص_1) / (س_2 - س_1). 3. م = (-٣ - (-١)) / (٥ - ٢). 4. م = (-٣ + ١) / ٣ = -٢ / ٣.

تلميح: تذكر أن الميل يُحسب من فرق الإحداثيات الصادية مقسومًا على فرق الإحداثيات السينية: م = (ص_2 - ص_1) / (س_2 - س_1).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

تمثل الدالة $ص = - ٢ س + ٥$ بيانيًا. ما الميل والجزء المقطوع من المحور الصادي؟

• أ) الميل = ٥، الجزء المقطوع من المحور الصادي = -٢
• ب) الميل = -٢، الجزء المقطوع من المحور الصادي = ٥
• ج) الميل = ٥، الجزء المقطوع من المحور الصادي = ٢
• د) الميل = ٢، الجزء المقطوع من المحور الصادي = -٥

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الميل = -٢، الجزء المقطوع من المحور الصادي = ٥

الشرح: ١. المعادلة المعطاة هي $ص = - ٢ س + ٥$. ٢. بمقارنتها بالصيغة القياسية $ص = م س + ب$، حيث م هو الميل وب هو الجزء المقطوع من المحور الصادي. ٣. نجد أن الميل (م) = -٢. ٤. والجزء المقطوع من المحور الصادي (ب) = ٥.

تلميح: تذكر أن معادلة الخط المستقيم بصيغة الميل والمقطع هي $ص = م س + ب$.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

تمثل الدالة $ص = - \frac{1}{3} س - ١$ بيانيًا. ما الميل والجزء المقطوع من المحور الصادي؟

• أ) الميل = ١/٣، الجزء المقطوع من المحور الصادي = ١
• ب) الميل = -١، الجزء المقطوع من المحور الصادي = -١/٣
• ج) الميل = -١/٣، الجزء المقطوع من المحور الصادي = -١
• د) الميل = ٣، الجزء المقطوع من المحور الصادي = ١

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الميل = -١/٣، الجزء المقطوع من المحور الصادي = -١

الشرح: ١. المعادلة المعطاة هي $ص = - \frac{1}{3} س - ١$. ٢. بمقارنتها بالصيغة القياسية $ص = م س + ب$. ٣. نجد أن الميل (م) = -١/٣. ٤. والجزء المقطوع من المحور الصادي (ب) = -١.

تلميح: انتبه لإشارات الميل والجزء المقطوع من المحور الصادي في المعادلة $ص = م س + ب$.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

تستعمل الدالة: $ف = \frac{٩}{٥} س + ٣٢$ لتحويل درجات الحرارة السيليزية س إلى فهرنهايتية ف. حوّل درجة الحرارة السيليزية ٢٥° إلى فهرنهايتية.

• أ) ٧٥ درجة فهرنهايت
• ب) ٨١ درجة فهرنهايت
• ج) ٧٧ درجة فهرنهايت
• د) ٦٨ درجة فهرنهايت

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٧٧ درجة فهرنهايت

الشرح: ١. الدالة المعطاة هي $ف = \frac{٩}{٥} س + ٣٢$. ٢. لتبديل ٢٥° سيليزية، نعوض س = ٢٥ في الدالة: $ف = \frac{٩}{٥} (٢٥) + ٣٢$. ٣. نقوم بعملية الضرب أولاً: $٩ \times ٥ = ٤٥$. ٤. ثم نجمع: $٤٥ + ٣٢ = ٧٧$. ٥. إذن، ٢٥° سيليزية تعادل ٧٧ درجة فهرنهايت.

تلميح: عوّض قيمة درجة الحرارة السيليزية (س) في الدالة المعطاة واتبع ترتيب العمليات.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

استعمل نجار إطارًا عرضه ١.٧٥ سم لإحاطة صورة طولها ١٥ سم وعرضها ٩ سم. أوجد محيط الإطار الخارجي.

• أ) ٤٩ سم
• ب) ٥٨.٥ سم
• ج) ٦٢ سم
• د) ٥٥ سم

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٦٢ سم

الشرح: ١. أوجد الطول الخارجي للإطار: الطول الأصلي + (٢ × عرض الإطار) = ١٥ + (٢ × ١.٧٥) = ١٥ + ٣.٥ = ١٨.٥ سم. ٢. أوجد العرض الخارجي للإطار: العرض الأصلي + (٢ × عرض الإطار) = ٩ + (٢ × ١.٧٥) = ٩ + ٣.٥ = ١٢.٥ سم. ٣. احسب محيط الإطار الخارجي: ٢ × (الطول الخارجي + العرض الخارجي) = ٢ × (١٨.٥ + ١٢.٥) = ٢ × ٣١ = ٦٢ سم.

تلميح: تذكر أن عرض الإطار يضاف إلى كل طرف من أطراف الطول والعرض، وأن محيط المستطيل = ٢ × (الطول + العرض).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في حصالة خالد ٢٠ ريالًا، ويضيف لها ٥ ريالات كل أسبوع. كم ريالًا سيكون في حصالته بعد ٧ أسابيع؟

• أ) ٧٥ ريالًا
• ب) ٤٩ ريالًا
• ج) ٥٥ ريالًا
• د) ٣٥ ريالًا

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ٥٥ ريالًا

الشرح: ١. المبلغ المضاف خلال ٧ أسابيع = ٥ ريالات/أسبوع × ٧ أسابيع = ٣٥ ريالًا. ٢. المبلغ الإجمالي في الحصالة = المبلغ الابتدائي + المبلغ المضاف = ٢٠ ريالًا + ٣٥ ريالًا = ٥٥ ريالًا.

تلميح: احسب المبلغ الإجمالي المضاف أولاً، ثم أضفه إلى المبلغ الابتدائي.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل