صفحة 83 - كتاب الهندسة - الصف 11 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 تبسيط الدوال المنطقية باستخدام كارنوف (صفحة 83)

المفاهيم الأساسية

جدول كارنوف: أداة تُستخدم لتبسيط الدوال المنطقية التي تحتوي على أكثر من مدخلين، حيث يتم تمثيل المخرجات (الأحاد) في جدول لتسهيل عملية التجميع والتبسيط.

خريطة المفاهيم

```markmap

الجبر البوليني ونظرية دي مورجان (صفحة 68)

1. أساسيات الجبر البوليني

المجموعة

• {0، 1}

العمليات الأساسية

• AND (.)
• OR (+)

قاعدة المخرج

• ناتج العمليات (AND و OR) ينتمي إلى المجموعة {0، 1}

2. خصائص العمليات

خصائص AND

• A . 1 = A
• A . 0 = 0
• A . A = A
• A . A̅ = 0

خصائص OR

• A + 1 = 1
• A + 0 = A
• A + A = A
• A + A̅ = 1

3. القوانين الأساسية

قانون التوزيع

• A . (B + C) = A.B + A.C
• A + (B . C) = (A + B) . (A + C)

قانون النفي المزدوج

• A̿ = A

4. نظرية دي مورجان

الصيغ

• (A . B . C)̅ = A̅ + B̅ + C̅
• (A + B + C)̅ = A̅ . B̅ . C̅

طريقة التطبيق

• استبدال كل عنصر بمتممه
• تغيير AND إلى OR (والعكس)

5. معلومات عامة

البوابات المنطقية

• قد تحتوي على أكثر من مدخلين
• لها مخرج واحد فقط

تطبيق القواعد

• تنطبق نفس القواعد على منطق العمليات

6. مثال: إثبات العلاقة (صفحة 69)

طريقة الإثبات

#### باستخدام جدول الحقيقة

• تمثل المتغيرات (A, B, C) في الصفوف
• تمثل الأعمدة المعادلات المراد حسابها

#### باستخدام الجبر البوليني

• استخدام القواعد التي تم تعلمها

العلاقة المثبتة

• (A + B) \cdot (A + C) = (A + B \cdot C)

7. البوابات المنطقية الأساسية (صفحة 70)

بوابة NOT

• المدخلات: 1 (A)
• المخرج: Y = \overline{A}
• جدول الحقيقة:

- A=1 → Y=0

- A=0 → Y=1

بوابة AND

• المدخلات: 2 (A, B)
• المخرج: Y = A \cdot B
• جدول الحقيقة:

- (0,0) → 0

- (0,1) → 0

- (1,0) → 0

- (1,1) → 1

بوابة OR

• المدخلات: 2 (A, B)
• المخرج: Y = A + B
• جدول الحقيقة:

- (0,0) → 0

- (0,1) → 1

- (1,0) → 1

- (1,1) → 1

8. البوابات المنطقية XOR و NAND و NOR (صفحة 71-72)

بوابة XOR

• المدخلات: 2 (A, B)
• المخرج: Y = A ⊕ B
• السلوك: 0 إذا كان المدخلان متماثلين، 1 إذا كانا مختلفين

بوابة NAND

• التكوين: AND متبوعة بـ NOT
• المخرج: Y = \overline{A \cdot B}
• السلوك: عكس مخرج بوابة AND

بوابة NOR

• التكوين: OR متبوعة بـ NOT
• المخرج: Y = \overline{A + B}
• السلوك: عكس مخرج بوابة OR

9. معلومات عامة (صفحة 72)

البوابات المركبة

• تسمى مجموعة دوال AND أو OR المدمجة معاً والتي تليها بوابات NOT باسم NAND أو NOR.
• تمثل بوابات NAND و NOR أقل من الترانزستورات في معظم الأنظمة المنطقية.

10. البوابات المنطقية NOR و XNOR (صفحة 73)

بوابة NOR

• التكوين: OR متبوعة بـ NOT
• المخرج: Y = \overline{A + B}
• السلوك: عكس مخرج بوابة OR
• جدول الحقيقة:

- (0,0) → 1

- (0,1) → 0

- (1,0) → 0

- (1,1) → 1

بوابة XNOR

• التكوين: XOR متبوعة بـ NOT
• المخرج: Y = \overline{A ⊕ B}
• السلوك: عكس مخرج بوابة XOR
• جدول الحقيقة:

- (0,0) → 1

- (0,1) → 0

- (1,0) → 0

- (1,1) → 1

11. ملخص العمليات المنطقية (صفحة 73)

الجدول 3.3: العمليات المنطقية والتعبيرات

• NOT: Ā
• AND: A · B
• OR: A + B
• XOR: A ⊕ B
• NAND: \overline{A · B}
• NOR: \overline{A + B}
• XNOR: \overline{A ⊕ B}

12. رسم الدوائر المنطقية من دالة (صفحة 74)

طريقة الرسم

• البدء برسم المخرجات أولاً
• ثم رسم المدخلات

مثال: إنشاء دائرة الدالة

• Y = A · B + A · C

خطوات الرسم

#### الخطوة 1

• إنشاء البوابة المنطقية OR

#### الخطوة 2

• إنشاء البوابات المنطقية AND و AND

#### الخطوة 3

• إنشاء البوابات المنطقية NOT لكل من A و C

13. تصميم الدالة بالبوابات المنطقية (صفحة 75)

مثال التبسيط

• الدالة الأصلية: Y = (A + B) \cdot (A + C)
• الدالة المبسطة: Y = A + (B \cdot C)

المقارنة بين الدائرتين

#### دائرة 1 (غير مبسطة)

• تستخدم: بوابتين OR و بوابة AND واحدة
• التصميم: (A+B) → OR1، (A+C) → OR2، مخرجهما → AND

#### دائرة 2 (مبسطة)

• يستخدم: بوابة OR واحدة و بوابة AND واحدة
• التصميم: (B.C) → AND، الناتج مع A → OR

فائدة التبسيط

• تقليل عدد البوابات المنطقية المستخدمة.
• تقليل تكلفة المواد في تصميم الأجهزة الإلكترونية.

14. تمارين (صفحة 76)

التمرين 1

• ما الفرق الرئيسي بين الدائرة الرقمية والدائرة الكهربائية؟

التمرين 2

• ما البوابة المنطقية التي تنتج دائماً القيمة 1 عند وجود مدخلات مختلفة؟

التمرين 3

• صل نوع العملية بالتعبير المنطقي المناسب.

#### العمليات

• NOT
• AND
• OR
• XOR
• NAND
• NOR
• XNOR

#### التعبيرات المنطقية

• A · B
• A + B
• A ⊕ B
• Ā

15. تمرين: تحديد البوابات وملء جداول الحقيقة (صفحة 77)

بوابة NAND

• التعبير البوليني: Y = \overline{A \cdot B}
• جدول الحقيقة:

- A=0, B=0 → Y=1

- A=0, B=1 → Y=1

- A=1, B=0 → Y=1

- A=1, B=1 → Y=0

بوابة NOR

• التعبير البوليني: Y = \overline{A + B}
• جدول الحقيقة:

- A=0, B=0 → Y=1

- A=0, B=1 → Y=0

- A=1, B=0 → Y=0

- A=1, B=1 → Y=0

بوابة XOR

• التعبير البوليني: Y = A ⊕ B
• جدول الحقيقة:

- A=0, B=0 → Y=0

- A=0, B=1 → Y=1

- A=1, B=0 → Y=1

- A=1, B=1 → Y=0

16. تمارين تطبيقية (صفحة 78)

التمرين 5

• بسّط الدالة Y = Ā · (B + C) ثم ارسم جدول الحقيقة.

التمرين 6

• استخدم الجبر البوليني لتبسيط الدالة Y = A · [B + C · (D + E)] إلى أبسط دائرة ممكنة.

التمرين 7

• استخدم الدالة Y = Ā · B + A · B لرسم الدائرة من مُخرجاتها إلى مُدخلاتها.

#### رسم الدائرة

• يتم تمثيل الدالة برسم بوابة OR.
• مدخلا البوابة هما التعبيران Ā · B و A · B.

17. تمارين على البوابات المنطقية (صفحة 79)

التمرين 8

#### الجزء الأول

• اكتب التعبير البوليني لكل بوابة منطقية تم تمثيلها بالشكل.

#### الجزء الثاني

• ما ناتج المخرج إذا كان كل من A و B و C صوابا (1)؟

#### العناصر المرئية المرتبطة

• مخطط البوابات المنطقية: يوضح مجموعتين من البوابات (OR، XOR، AND، NOT). كل مجموعة تأخذ المدخلات A، B، C وتعطي مخرجاً بناءً على تكوين البوابات.

18. مخططات كارنوف (صفحة 80)

تعريف

• مخططات طورها موريس كارنوف عام 1953م في مختبرات بيل.
• تُستخدم لتصميم الدوائر الرقمية وتمثيل مخرجاتها المعقدة بوضوح.

الهدف

• استبدال حسابات الجبر المنطقي المعقدة لأكثر من مدخلين متغيرين.
• عرض نفس معلومات جدول الحقيقة بتنسيق أكثر إحكامًا وسهولة في القراءة.

طريقة التمثيل

• في جدول كارنوف، تُستبدل المتغيرات بالرقم 1 ومتمماتها بالرقم 0.

19. تبسيط الدوال باستخدام جدول كارنوف (صفحة 81)

خطوات التبسيط

#### 1. تحديد الحد الأصفر من حدود الدالة.

#### 2. تحديد الأحاد (1) ووضعها في جدول كارنوف.

#### 3. إنشاء حلقات بين الأحاد المتجاورة (1) في عدد زوجي من المربعات (2 أو 4 أو 8).

#### 4. كتابة الحد الأصفر من الحدود الناتجة عن طريق حذف الحد ومتممه في الحلقة.

#### 5. ربط الحدود المتبقية، وهي حد من كل حلقة بعملية OR (+) في الشكل النهائي للدالة.

مثال التبسيط

• الدالة الأصلية: B · A + B · A + B · A + B · A = Y
• الحدود المحذوفة: A · B ، A · B
• الشكل النهائي للدالة: Y=A+B

قواعد مهمة

• يجب أن تكون الأحاد المدمجة عدداً زوجياً دائماً.
• في الحلقة، إذا تغير متغير (مثل B) فإنه يُحذف، ويبقى المتغير الثابت (مثل A).

20. مثال تطبيقي على التبسيط (صفحة 82)

الدالة الأصلية

• Y = A · B + A · B + A · B

التبسيط باستخدام الجبر البوليني

• يمكن تبسيط الدوال ذات متغيرين بسهولة باستخدام الجبر البوليني دون الحاجة لجدول كارنوف.

نتيجة التبسيط

• الدالة المبسطة: Y = A + B

المقارنة البصرية

#### الدائرة المعقدة (قبل التبسيط)

• تستخدم بوابات AND و OR و NOT متعددة لتنفيذ Y = A · B + A · B + A · B.

#### الدائرة المبسطة (بعد التبسيط)

• تستخدم بوابة OR واحدة فقط لتنفيذ Y = A + B.

جدول كارنوف للمتغيرين (A, B)

| | B=0 | B=1 |

|---|---|---|

| A=0 | 0 | 1 |

| A=1 | 1 | 1 |

21. تبسيط الدوال باستخدام كارنوف (صفحة 83)

استخدام جدول كارنوف

• للدوائر ثنائية المدخل: ليس شائعاً، تُبسط عادةً بالجبر البولي.
• للدوال بأكثر من مدخلين: يمكن الاستعانة بجدول كارنوف.

طريقة بناء الجدول (3 متغيرات A, B, C)

• الصف الأفقي: قيمتا 0 و 1 للمتغيرين A و B، بحيث تتغير قيمة متغير واحد فقط في المربعات المتتالية.
• العمود الرأسي: قيم المتغير C.

مثال تطبيقي

• الدالة: A . B . C + A . B . C + A . B . C
• التبسيط باستخدام الجبر البولي: افتراض أن الحد A . B . C + A . B . C يُبسط إلى A . C لأن B + B = 1.
• النتيجة المبسطة: Y = B · C + A · C

ملاحظة مهمة

• يمكن أن توصل الحدود الصفرية الجديدة إلى الخلايا التي تحتوي على الأحاد بالفعل.

```

نقاط مهمة

• جدول كارنوف مفيد بشكل خاص لتبسيط الدوال المنطقية التي تحتوي على ثلاثة متغيرات أو أكثر.
• عند بناء الجدول لثلاثة متغيرات (A, B, C)، يوضع متغيران في الصفوف (AB) والثالث في الأعمدة (C).
• يجب أن تتغير قيمة متغير واحد فقط بين كل خلية متجاورة في الصف أو العمود.
• مثال التبسيط في الصفحة يوضح كيف يمكن استخدام الجبر البولي مع الجدول للوصول إلى الدالة المبسطة النهائية: Y = B · C + A · C.

ليس من الشائع استخدام جدول كارنوف لدوائر البوابة المنطقية ثنائية المدخل، حيث يتم تبسيطها عادةً باستخدام الجبر البولي، وعند وجود دوال ببوابات منطقية بأكثر من مدخلين، يمكن الاستعانة بجدول كارنوف في تبسيط الدائرة. لتشاهد مثالاً على مخطط كارنوف مع 3 مدخلات (A و B و C).

تضع في الصف الأفقي القيمتان 0 و 1 للمتغيرين A و B، بحيث تتغير قيمة متغير واحد فقط في المربعات المتتالية.

اختر مدخلين في الصف ومدخلاً واحداً في العمود.

لتشاهد أين سيتم وضع الأحاد (1) في جدول كارنوف للدالة الآتية:

افترض أن الحد . C A . B . C + A . B . C + A . B . C لكل طرفين: B + B = 1

يفترض الحد . B إلى المتغير A. لذلك للجبر البولي يكون الحد: . B . C = A . B . C + A . B . C

يمكن أن توصل الحدود الصفرية الجديدة إلى الخلايا التي تحتوي على الأحاد بالفعل.

Y = B · C + A · C

ليس من الشائع استخدام جدول كارنوف لدوائر البوابة المنطقية ثنائية المدخل، حيث يتم تبسيطها عادةً باستخدام الجبر البولي، وعند وجود دوال ببوابات منطقية بأكثر من مدخلين، يمكن الاستعانة بجدول كارنوف في تبسيط الدائرة. لتشاهد مثالاً على مخطط كارنوف مع 3 مدخلات (A و B و C). تضع في الصف الأفقي القيمتان 0 و 1 للمتغيرين A و B، بحيث تتغير قيمة متغير واحد فقط في المربعات المتتالية. اختر مدخلين في الصف ومدخلاً واحداً في العمود. لتشاهد أين سيتم وضع الأحاد (1) في جدول كارنوف للدالة الآتية: افترض أن الحد . C A . B . C + A . B . C + A . B . C لكل طرفين: B + B = 1 يفترض الحد . B إلى المتغير A. لذلك للجبر البولي يكون الحد: . B . C = A . B . C + A . B . C يمكن أن توصل الحدود الصفرية الجديدة إلى الخلايا التي تحتوي على الأحاد بالفعل. Y = B · C + A · C --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: AB | 00 | 01 | 11 | 10 Rows: Row 1: C 0 | | | 1 | 1 Row 2: C 1 | 0 | 1 | 1 | 0 Empty cells: Cell (0,0) empty, Cell (0,1) empty, Cell (0,2) empty, Cell (1,0) empty Context: Example Karnaugh map for simplifying a Boolean function with 3 variables (A, B, C). **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: AB | 00 | 01 | 11 | 10 Rows: Row 1: C 0 | 0 | 0 | 1 | 1 Row 2: C 1 | 0 | 1 | 1 | 0 Context: Karnaugh map showing the placement of '1's for a specific Boolean function. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: AB | 00 | 01 | 11 | 10 Rows: Row 1: C 0 | | | 1 | Row 2: C 1 | | 1 | 1 | Empty cells: Cell (0,0) empty, Cell (0,1) empty, Cell (0,3) empty, Cell (1,0) empty, Cell (1,3) empty Context: Karnaugh map illustrating grouping of '1's for simplification.