صفحة 84 - كتاب الهندسة - الصف 11 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 تبسيط الدوال باستخدام جداول كارنوف

المفاهيم الأساسية

جدول كارنوف: أداة تُستخدم لتبسيط الدوال المنطقية ذات المتغيرات المتعددة (مثل A، B، C، D) عن طريق تجميع الخلايا المجاورة التي تحتوي على القيمة (1).

خريطة المفاهيم

```markmap

الجبر البوليني ونظرية دي مورجان (صفحة 68)

1. أساسيات الجبر البوليني

المجموعة

• {0، 1}

العمليات الأساسية

• AND (.)
• OR (+)

قاعدة المخرج

• ناتج العمليات (AND و OR) ينتمي إلى المجموعة {0، 1}

2. خصائص العمليات

خصائص AND

• A . 1 = A
• A . 0 = 0
• A . A = A
• A . A̅ = 0

خصائص OR

• A + 1 = 1
• A + 0 = A
• A + A = A
• A + A̅ = 1

3. القوانين الأساسية

قانون التوزيع

• A . (B + C) = A.B + A.C
• A + (B . C) = (A + B) . (A + C)

قانون النفي المزدوج

• A̿ = A

4. نظرية دي مورجان

الصيغ

• (A . B . C)̅ = A̅ + B̅ + C̅
• (A + B + C)̅ = A̅ . B̅ . C̅

طريقة التطبيق

• استبدال كل عنصر بمتممه
• تغيير AND إلى OR (والعكس)

5. معلومات عامة

البوابات المنطقية

• قد تحتوي على أكثر من مدخلين
• لها مخرج واحد فقط

تطبيق القواعد

• تنطبق نفس القواعد على منطق العمليات

6. مثال: إثبات العلاقة (صفحة 69)

طريقة الإثبات

#### باستخدام جدول الحقيقة

• تمثل المتغيرات (A, B, C) في الصفوف
• تمثل الأعمدة المعادلات المراد حسابها

#### باستخدام الجبر البوليني

• استخدام القواعد التي تم تعلمها

العلاقة المثبتة

• (A + B) \cdot (A + C) = (A + B \cdot C)

7. البوابات المنطقية الأساسية (صفحة 70)

بوابة NOT

• المدخلات: 1 (A)
• المخرج: Y = \overline{A}
• جدول الحقيقة:

- A=1 → Y=0

- A=0 → Y=1

بوابة AND

• المدخلات: 2 (A, B)
• المخرج: Y = A \cdot B
• جدول الحقيقة:

- (0,0) → 0

- (0,1) → 0

- (1,0) → 0

- (1,1) → 1

بوابة OR

• المدخلات: 2 (A, B)
• المخرج: Y = A + B
• جدول الحقيقة:

- (0,0) → 0

- (0,1) → 1

- (1,0) → 1

- (1,1) → 1

8. البوابات المنطقية XOR و NAND و NOR (صفحة 71-72)

بوابة XOR

• المدخلات: 2 (A, B)
• المخرج: Y = A ⊕ B
• السلوك: 0 إذا كان المدخلان متماثلين، 1 إذا كانا مختلفين

بوابة NAND

• التكوين: AND متبوعة بـ NOT
• المخرج: Y = \overline{A \cdot B}
• السلوك: عكس مخرج بوابة AND

بوابة NOR

• التكوين: OR متبوعة بـ NOT
• المخرج: Y = \overline{A + B}
• السلوك: عكس مخرج بوابة OR

9. معلومات عامة (صفحة 72)

البوابات المركبة

• تسمى مجموعة دوال AND أو OR المدمجة معاً والتي تليها بوابات NOT باسم NAND أو NOR.
• تمثل بوابات NAND و NOR أقل من الترانزستورات في معظم الأنظمة المنطقية.

10. البوابات المنطقية NOR و XNOR (صفحة 73)

بوابة NOR

• التكوين: OR متبوعة بـ NOT
• المخرج: Y = \overline{A + B}
• السلوك: عكس مخرج بوابة OR
• جدول الحقيقة:

- (0,0) → 1

- (0,1) → 0

- (1,0) → 0

- (1,1) → 1

بوابة XNOR

• التكوين: XOR متبوعة بـ NOT
• المخرج: Y = \overline{A ⊕ B}
• السلوك: عكس مخرج بوابة XOR
• جدول الحقيقة:

- (0,0) → 1

- (0,1) → 0

- (1,0) → 0

- (1,1) → 1

11. ملخص العمليات المنطقية (صفحة 73)

الجدول 3.3: العمليات المنطقية والتعبيرات

• NOT: Ā
• AND: A · B
• OR: A + B
• XOR: A ⊕ B
• NAND: \overline{A · B}
• NOR: \overline{A + B}
• XNOR: \overline{A ⊕ B}

12. رسم الدوائر المنطقية من دالة (صفحة 74)

طريقة الرسم

• البدء برسم المخرجات أولاً
• ثم رسم المدخلات

مثال: إنشاء دائرة الدالة

• Y = A · B + A · C

خطوات الرسم

#### الخطوة 1

• إنشاء البوابة المنطقية OR

#### الخطوة 2

• إنشاء البوابات المنطقية AND و AND

#### الخطوة 3

• إنشاء البوابات المنطقية NOT لكل من A و C

13. تصميم الدالة بالبوابات المنطقية (صفحة 75)

مثال التبسيط

• الدالة الأصلية: Y = (A + B) \cdot (A + C)
• الدالة المبسطة: Y = A + (B \cdot C)

المقارنة بين الدائرتين

#### دائرة 1 (غير مبسطة)

• تستخدم: بوابتين OR و بوابة AND واحدة
• التصميم: (A+B) → OR1، (A+C) → OR2، مخرجهما → AND

#### دائرة 2 (مبسطة)

• يستخدم: بوابة OR واحدة و بوابة AND واحدة
• التصميم: (B.C) → AND، الناتج مع A → OR

فائدة التبسيط

• تقليل عدد البوابات المنطقية المستخدمة.
• تقليل تكلفة المواد في تصميم الأجهزة الإلكترونية.

14. تمارين (صفحة 76)

التمرين 1

• ما الفرق الرئيسي بين الدائرة الرقمية والدائرة الكهربائية؟

التمرين 2

• ما البوابة المنطقية التي تنتج دائماً القيمة 1 عند وجود مدخلات مختلفة؟

التمرين 3

• صل نوع العملية بالتعبير المنطقي المناسب.

#### العمليات

• NOT
• AND
• OR
• XOR
• NAND
• NOR
• XNOR

#### التعبيرات المنطقية

• A · B
• A + B
• A ⊕ B
• Ā

15. تمرين: تحديد البوابات وملء جداول الحقيقة (صفحة 77)

بوابة NAND

• التعبير البوليني: Y = \overline{A \cdot B}
• جدول الحقيقة:

- A=0, B=0 → Y=1

- A=0, B=1 → Y=1

- A=1, B=0 → Y=1

- A=1, B=1 → Y=0

بوابة NOR

• التعبير البوليني: Y = \overline{A + B}
• جدول الحقيقة:

- A=0, B=0 → Y=1

- A=0, B=1 → Y=0

- A=1, B=0 → Y=0

- A=1, B=1 → Y=0

بوابة XOR

• التعبير البوليني: Y = A ⊕ B
• جدول الحقيقة:

- A=0, B=0 → Y=0

- A=0, B=1 → Y=1

- A=1, B=0 → Y=1

- A=1, B=1 → Y=0

16. تمارين تطبيقية (صفحة 78)

التمرين 5

• بسّط الدالة Y = Ā · (B + C) ثم ارسم جدول الحقيقة.

التمرين 6

• استخدم الجبر البوليني لتبسيط الدالة Y = A · [B + C · (D + E)] إلى أبسط دائرة ممكنة.

التمرين 7

• استخدم الدالة Y = Ā · B + A · B لرسم الدائرة من مُخرجاتها إلى مُدخلاتها.

#### رسم الدائرة

• يتم تمثيل الدالة برسم بوابة OR.
• مدخلا البوابة هما التعبيران Ā · B و A · B.

17. تمارين على البوابات المنطقية (صفحة 79)

التمرين 8

#### الجزء الأول

• اكتب التعبير البوليني لكل بوابة منطقية تم تمثيلها بالشكل.

#### الجزء الثاني

• ما ناتج المخرج إذا كان كل من A و B و C صوابا (1)؟

#### العناصر المرئية المرتبطة

• مخطط البوابات المنطقية: يوضح مجموعتين من البوابات (OR، XOR، AND، NOT). كل مجموعة تأخذ المدخلات A، B، C وتعطي مخرجاً بناءً على تكوين البوابات.

18. مخططات كارنوف (صفحة 80)

تعريف

• مخططات طورها موريس كارنوف عام 1953م في مختبرات بيل.
• تُستخدم لتصميم الدوائر الرقمية وتمثيل مخرجاتها المعقدة بوضوح.

الهدف

• استبدال حسابات الجبر المنطقي المعقدة لأكثر من مدخلين متغيرين.
• عرض نفس معلومات جدول الحقيقة بتنسيق أكثر إحكامًا وسهولة في القراءة.

طريقة التمثيل

• في جدول كارنوف، تُستبدل المتغيرات بالرقم 1 ومتمماتها بالرقم 0.

19. تبسيط الدوال باستخدام جدول كارنوف (صفحة 81)

خطوات التبسيط

#### 1. تحديد الحد الأصفر من حدود الدالة.

#### 2. تحديد الأحاد (1) ووضعها في جدول كارنوف.

#### 3. إنشاء حلقات بين الأحاد المتجاورة (1) في عدد زوجي من المربعات (2 أو 4 أو 8).

#### 4. كتابة الحد الأصفر من الحدود الناتجة عن طريق حذف الحد ومتممه في الحلقة.

#### 5. ربط الحدود المتبقية، وهي حد من كل حلقة بعملية OR (+) في الشكل النهائي للدالة.

مثال التبسيط

• الدالة الأصلية: B · A + B · A + B · A + B · A = Y
• الحدود المحذوفة: A · B ، A · B
• الشكل النهائي للدالة: Y=A+B

قواعد مهمة

• يجب أن تكون الأحاد المدمجة عدداً زوجياً دائماً.
• في الحلقة، إذا تغير متغير (مثل B) فإنه يُحذف، ويبقى المتغير الثابت (مثل A).

20. مثال تطبيقي على التبسيط (صفحة 82)

الدالة الأصلية

• Y = A · B + A · B + A · B

التبسيط باستخدام الجبر البوليني

• يمكن تبسيط الدوال ذات متغيرين بسهولة باستخدام الجبر البوليني دون الحاجة لجدول كارنوف.

نتيجة التبسيط

• الدالة المبسطة: Y = A + B

المقارنة البصرية

#### الدائرة المعقدة (قبل التبسيط)

• تستخدم بوابات AND و OR و NOT متعددة لتنفيذ Y = A · B + A · B + A · B.

#### الدائرة المبسطة (بعد التبسيط)

• تستخدم بوابة OR واحدة فقط لتنفيذ Y = A + B.

جدول كارنوف للمتغيرين (A, B)

| | B=0 | B=1 |

|---|---|---|

| A=0 | 0 | 1 |

| A=1 | 1 | 1 |

21. تبسيط الدوال باستخدام كارنوف (صفحة 83)

استخدام جدول كارنوف

• للدوائر ثنائية المدخل: ليس شائعاً، تُبسط عادةً بالجبر البولي.
• للدوال بأكثر من مدخلين: يمكن الاستعانة بجدول كارنوف.

طريقة بناء الجدول (3 متغيرات A, B, C)

• الصف الأفقي: قيمتا 0 و 1 للمتغيرين A و B، بحيث تتغير قيمة متغير واحد فقط في المربعات المتتالية.
• العمود الرأسي: قيم المتغير C.

مثال تطبيقي

• الدالة: A . B . C + A . B . C + A . B . C
• التبسيط باستخدام الجبر البولي: افتراض أن الحد A . B . C + A . B . C يُبسط إلى A . C لأن B + B = 1.
• النتيجة المبسطة: Y = B · C + A · C

ملاحظة مهمة

• يمكن أن توصل الحدود الصفرية الجديدة إلى الخلايا التي تحتوي على الأحاد بالفعل.

22. تبسيط دوال بأربعة متغيرات (صفحة 84)

مثال 1

• الدالة الأصلية: Y = A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D
• الدالة المبسطة: Y = A · B

مثال 2

• الدالة الأصلية: Y = A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D
• الدالة المبسطة: Y = A · D + A · B · C

مثال 3

• الدالة الأصلية: Y = A · B · C · D + A · B · C · D
• الدالة المبسطة: Y = B · C · D

ملاحظة عامة

• في بعض الحالات، عندما تظهر الأعداد (1) في مواضع الحدود الخارجية لجدول كارنوف، يمكن الوصول إلى الحدود الصغرى منها.

```

نقاط مهمة

• يوضح جدول كارنوف كيفية تبسيط دوال منطقية معقدة ذات أربعة متغيرات (A, B, C, D).
• يتم التبسيط عن طريق تجميع الخلايا المجاورة التي تحتوي على (1) في الجدول.
• النتيجة النهائية هي دالة منطقية أبسط بكثير من الصيغة الأصلية.

انظر إلى مثال آخر بأربعة متغيرات (A و B و C و D)، وسيتم تبسيط الدالة الآتية باستخدام جدول كارنوف:

Y = A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D

بعد تبسيط الدالة باستخدام جدول كارنوف، ستحصل على الدالة الآتية:

Y = A · B

في بعض الحالات حيث تظهر الأعداد (1) في مواضع الحدود الخارجية لجدول كارنوف، تستطيع الوصول إلى الحدود الصغرى منها.

مثال

Y = A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D

بعد تبسيط الدالة باستخدام جدول كارنوف، تحصل على المخرج الآتي:

Y = A · D + A · B · C

مثال

Y = A · B · C · D + A · B · C · D

بعد تبسيط الدالة باستخدام جدول كارنوف، تحصل على المخرج الآتي:

Y = B · C · D

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

84

انظر إلى مثال آخر بأربعة متغيرات (A و B و C و D)، وسيتم تبسيط الدالة الآتية باستخدام جدول كارنوف: Y = A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D بعد تبسيط الدالة باستخدام جدول كارنوف، ستحصل على الدالة الآتية: Y = A · B في بعض الحالات حيث تظهر الأعداد (1) في مواضع الحدود الخارجية لجدول كارنوف، تستطيع الوصول إلى الحدود الصغرى منها. مثال Y = A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D + A · B · C · D بعد تبسيط الدالة باستخدام جدول كارنوف، تحصل على المخرج الآتي: Y = A · D + A · B · C مثال Y = A · B · C · D + A · B · C · D بعد تبسيط الدالة باستخدام جدول كارنوف، تحصل على المخرج الآتي: Y = B · C · D وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 84 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: مثال Description: A 4-variable Karnaugh map (AB on top, CD on side) with values 0 and 1. The 1s are grouped in a 2x2 block in the top-right quadrant and a 2x1 block in the bottom-right quadrant. Table Structure: Headers: AB\CD | 00 | 01 | 11 | 10 Rows: Row 1: 00 | 0 | 0 | 0 | 1 Row 2: 01 | 0 | 0 | 0 | 1 Row 3: 11 | 0 | 0 | 0 | 0 Row 4: 10 | 0 | 0 | 0 | 0 Calculation needed: Simplification of Boolean function using Karnaugh map X-axis: AB (00, 01, 11, 10) Y-axis: CD (00, 01, 11, 10) Data: The Karnaugh map shows the output of a digital logic function. The 1s represent input combinations that result in an output of 1. Key Values: The grouping of 1s leads to simplified Boolean expressions. Context: Demonstrates the process of simplifying a 4-variable Boolean function using a Karnaugh map by grouping adjacent 1s. **TABLE**: مثال Description: A 4-variable Karnaugh map (AB on top, CD on side) with values 0 and 1. The 1s are grouped in a 2x1 block in the top-right quadrant and a 2x1 block in the bottom-right quadrant. Table Structure: Headers: AB\CD | 00 | 01 | 11 | 10 Rows: Row 1: 00 | 0 | 0 | 0 | 1 Row 2: 01 | 0 | 0 | 0 | 1 Row 3: 11 | 0 | 0 | 0 | 0 Row 4: 10 | 0 | 0 | 0 | 0 Calculation needed: Simplification of Boolean function using Karnaugh map X-axis: AB (00, 01, 11, 10) Y-axis: CD (00, 01, 11, 10) Data: The Karnaugh map shows the output of a digital logic function. The 1s represent input combinations that result in an output of 1. Key Values: The grouping of 1s leads to simplified Boolean expressions. Context: Demonstrates simplification of a Boolean function where 1s are grouped to derive the simplified expression Y = A · D + A · B · C. **TABLE**: مثال Description: A 4-variable Karnaugh map (AB on top, CD on side) with values 0 and 1. The 1s are grouped in a 2x1 block in the top-right quadrant. Table Structure: Headers: AB\CD | 00 | 01 | 11 | 10 Rows: Row 1: 00 | 0 | 0 | 0 | 1 Row 2: 01 | 0 | 0 | 0 | 1 Row 3: 11 | 0 | 0 | 0 | 0 Row 4: 10 | 0 | 0 | 0 | 0 Calculation needed: Simplification of Boolean function using Karnaugh map X-axis: AB (00, 01, 11, 10) Y-axis: CD (00, 01, 11, 10) Data: The Karnaugh map shows the output of a digital logic function. The 1s represent input combinations that result in an output of 1. Key Values: The grouping of 1s leads to simplified Boolean expressions. Context: Demonstrates simplification of a Boolean function where 1s are grouped to derive the simplified expression Y = B · C · D.