مثال - كتاب الهندسة - الصف 11 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 تبسيط الدوال المنطقية باستخدام جدول كارنوف

المفاهيم الأساسية

الحد الأصغر (Minterm): يسمى الحد B · A بالحد الأصغر.

الحد الأكبر (Maxterm): يسمى الحد B + A بالحد الأكبر.

خريطة المفاهيم

```markmap

الجبر البوليني ونظرية دي مورجان (صفحة 68)

1. أساسيات الجبر البوليني

المجموعة

• {0، 1}

العمليات الأساسية

• AND (.)
• OR (+)

قاعدة المخرج

• ناتج العمليات (AND و OR) ينتمي إلى المجموعة {0، 1}

2. خصائص العمليات

خصائص AND

• A . 1 = A
• A . 0 = 0
• A . A = A
• A . A̅ = 0

خصائص OR

• A + 1 = 1
• A + 0 = A
• A + A = A
• A + A̅ = 1

3. القوانين الأساسية

قانون التوزيع

• A . (B + C) = A.B + A.C
• A + (B . C) = (A + B) . (A + C)

قانون النفي المزدوج

• A̿ = A

4. نظرية دي مورجان

الصيغ

• (A . B . C)̅ = A̅ + B̅ + C̅
• (A + B + C)̅ = A̅ . B̅ . C̅

طريقة التطبيق

• استبدال كل عنصر بمتممه
• تغيير AND إلى OR (والعكس)

5. معلومات عامة

البوابات المنطقية

• قد تحتوي على أكثر من مدخلين
• لها مخرج واحد فقط

تطبيق القواعد

• تنطبق نفس القواعد على منطق العمليات

6. مثال: إثبات العلاقة (صفحة 69)

طريقة الإثبات

#### باستخدام جدول الحقيقة

• تمثل المتغيرات (A, B, C) في الصفوف
• تمثل الأعمدة المعادلات المراد حسابها

#### باستخدام الجبر البوليني

• استخدام القواعد التي تم تعلمها

العلاقة المثبتة

• (A + B) \cdot (A + C) = (A + B \cdot C)

7. البوابات المنطقية الأساسية (صفحة 70)

بوابة NOT

• المدخلات: 1 (A)
• المخرج: Y = \overline{A}
• جدول الحقيقة:

- A=1 → Y=0

- A=0 → Y=1

بوابة AND

• المدخلات: 2 (A, B)
• المخرج: Y = A \cdot B
• جدول الحقيقة:

- (0,0) → 0

- (0,1) → 0

- (1,0) → 0

- (1,1) → 1

بوابة OR

• المدخلات: 2 (A, B)
• المخرج: Y = A + B
• جدول الحقيقة:

- (0,0) → 0

- (0,1) → 1

- (1,0) → 1

- (1,1) → 1

8. البوابات المنطقية XOR و NAND و NOR (صفحة 71-72)

بوابة XOR

• المدخلات: 2 (A, B)
• المخرج: Y = A ⊕ B
• السلوك: 0 إذا كان المدخلان متماثلين، 1 إذا كانا مختلفين

بوابة NAND

• التكوين: AND متبوعة بـ NOT
• المخرج: Y = \overline{A \cdot B}
• السلوك: عكس مخرج بوابة AND

بوابة NOR

• التكوين: OR متبوعة بـ NOT
• المخرج: Y = \overline{A + B}
• السلوك: عكس مخرج بوابة OR

9. معلومات عامة (صفحة 72)

البوابات المركبة

• تسمى مجموعة دوال AND أو OR المدمجة معاً والتي تليها بوابات NOT باسم NAND أو NOR.
• تمثل بوابات NAND و NOR أقل من الترانزستورات في معظم الأنظمة المنطقية.

10. البوابات المنطقية NOR و XNOR (صفحة 73)

بوابة NOR

• التكوين: OR متبوعة بـ NOT
• المخرج: Y = \overline{A + B}
• السلوك: عكس مخرج بوابة OR
• جدول الحقيقة:

- (0,0) → 1

- (0,1) → 0

- (1,0) → 0

- (1,1) → 1

بوابة XNOR

• التكوين: XOR متبوعة بـ NOT
• المخرج: Y = \overline{A ⊕ B}
• السلوك: عكس مخرج بوابة XOR
• جدول الحقيقة:

- (0,0) → 1

- (0,1) → 0

- (1,0) → 0

- (1,1) → 1

11. ملخص العمليات المنطقية (صفحة 73)

الجدول 3.3: العمليات المنطقية والتعبيرات

• NOT: Ā
• AND: A · B
• OR: A + B
• XOR: A ⊕ B
• NAND: \overline{A · B}
• NOR: \overline{A + B}
• XNOR: \overline{A ⊕ B}

12. رسم الدوائر المنطقية من دالة (صفحة 74)

طريقة الرسم

• البدء برسم المخرجات أولاً
• ثم رسم المدخلات

مثال: إنشاء دائرة الدالة

• Y = A · B + A · C

خطوات الرسم

#### الخطوة 1

• إنشاء البوابة المنطقية OR

#### الخطوة 2

• إنشاء البوابات المنطقية AND و AND

#### الخطوة 3

• إنشاء البوابات المنطقية NOT لكل من A و C

13. تصميم الدالة بالبوابات المنطقية (صفحة 75)

مثال التبسيط

• الدالة الأصلية: Y = (A + B) \cdot (A + C)
• الدالة المبسطة: Y = A + (B \cdot C)

المقارنة بين الدائرتين

#### دائرة 1 (غير مبسطة)

• تستخدم: بوابتين OR و بوابة AND واحدة
• التصميم: (A+B) → OR1، (A+C) → OR2، مخرجهما → AND

#### دائرة 2 (مبسطة)

• يستخدم: بوابة OR واحدة و بوابة AND واحدة
• التصميم: (B.C) → AND، الناتج مع A → OR

فائدة التبسيط

• تقليل عدد البوابات المنطقية المستخدمة.
• تقليل تكلفة المواد في تصميم الأجهزة الإلكترونية.

14. تمارين (صفحة 76)

التمرين 1

• ما الفرق الرئيسي بين الدائرة الرقمية والدائرة الكهربائية؟

التمرين 2

• ما البوابة المنطقية التي تنتج دائماً القيمة 1 عند وجود مدخلات مختلفة؟

التمرين 3

• صل نوع العملية بالتعبير المنطقي المناسب.

#### العمليات

• NOT
• AND
• OR
• XOR
• NAND
• NOR
• XNOR

#### التعبيرات المنطقية

• A · B
• A + B
• A ⊕ B
• Ā

15. تمرين: تحديد البوابات وملء جداول الحقيقة (صفحة 77)

بوابة NAND

• التعبير البوليني: Y = \overline{A \cdot B}
• جدول الحقيقة:

- A=0, B=0 → Y=1

- A=0, B=1 → Y=1

- A=1, B=0 → Y=1

- A=1, B=1 → Y=0

بوابة NOR

• التعبير البوليني: Y = \overline{A + B}
• جدول الحقيقة:

- A=0, B=0 → Y=1

- A=0, B=1 → Y=0

- A=1, B=0 → Y=0

- A=1, B=1 → Y=0

بوابة XOR

• التعبير البوليني: Y = A ⊕ B
• جدول الحقيقة:

- A=0, B=0 → Y=0

- A=0, B=1 → Y=1

- A=1, B=0 → Y=1

- A=1, B=1 → Y=0

16. تمارين تطبيقية (صفحة 78)

التمرين 5

• بسّط الدالة Y = Ā · (B + C) ثم ارسم جدول الحقيقة.

التمرين 6

• استخدم الجبر البوليني لتبسيط الدالة Y = A · [B + C · (D + E)] إلى أبسط دائرة ممكنة.

التمرين 7

• استخدم الدالة Y = Ā · B + A · B لرسم الدائرة من مُخرجاتها إلى مُدخلاتها.

#### رسم الدائرة

• يتم تمثيل الدالة برسم بوابة OR.
• مدخلا البوابة هما التعبيران Ā · B و A · B.

17. تمارين على البوابات المنطقية (صفحة 79)

التمرين 8

#### الجزء الأول

• اكتب التعبير البوليني لكل بوابة منطقية تم تمثيلها بالشكل.

#### الجزء الثاني

• ما ناتج المخرج إذا كان كل من A و B و C صوابا (1)؟

#### العناصر المرئية المرتبطة

• مخطط البوابات المنطقية: يوضح مجموعتين من البوابات (OR، XOR، AND، NOT). كل مجموعة تأخذ المدخلات A، B، C وتعطي مخرجاً بناءً على تكوين البوابات.

18. مخططات كارنوف (صفحة 80)

تعريف

• مخططات طورها موريس كارنوف عام 1953م في مختبرات بيل.
• تُستخدم لتصميم الدوائر الرقمية وتمثيل مخرجاتها المعقدة بوضوح.

الهدف

• استبدال حسابات الجبر المنطقي المعقدة لأكثر من مدخلين متغيرين.
• عرض نفس معلومات جدول الحقيقة بتنسيق أكثر إحكامًا وسهولة في القراءة.

طريقة التمثيل

• في جدول كارنوف، تُستبدل المتغيرات بالرقم 1 ومتمماتها بالرقم 0.

19. تبسيط الدوال باستخدام جدول كارنوف (صفحة 81)

خطوات التبسيط

#### 1. تحديد الحد الأصفر من حدود الدالة.

#### 2. تحديد الأحاد (1) ووضعها في جدول كارنوف.

#### 3. إنشاء حلقات بين الأحاد المتجاورة (1) في عدد زوجي من المربعات (2 أو 4 أو 8).

#### 4. كتابة الحد الأصفر من الحدود الناتجة عن طريق حذف الحد ومتممه في الحلقة.

#### 5. ربط الحدود المتبقية، وهي حد من كل حلقة بعملية OR (+) في الشكل النهائي للدالة.

مثال التبسيط

• الدالة الأصلية: B · A + B · A + B · A + B · A = Y
• الحدود المحذوفة: A · B ، A · B
• الشكل النهائي للدالة: Y=A+B

قواعد مهمة

• يجب أن تكون الأحاد المدمجة عدداً زوجياً دائماً.
• في الحلقة، إذا تغير متغير (مثل B) فإنه يُحذف، ويبقى المتغير الثابت (مثل A).

```

نقاط مهمة

• يتم تبسيط الدوال المنطقية باستخدام جدول كارنوف.
• الخطوة الأولى هي تحديد الحدود الصغرى (Minterms) للدالة.
• يتم وضع قيم "1" في جدول كارنوف بناءً على الحدود الصغرى.
• يتم إنشاء حلقات لتجميع الخلايا المجاورة التي تحتوي على "1"، ويجب أن يكون عدد الخلايا في الحلقة زوجياً (2، 4، 8...).
• عند تكوين الحلقة، يُحذف المتغير الذي يظهر ومتممه داخل نفس الحلقة.
• الناتج النهائي هو عملية OR (+) بين الحدود المتبقية من كل حلقة.

يمكنك الاستعانة بجدول كارنوف لتبسيط الدالة B · A + B · A + B · A + B · A = Y باستخدام ام عدد من الحدود الصغرى.

حدود الدالة (Terms of the Function) يشير إلى الدالة باسم الحدود الصغرى، حيث يسمى الحد B · A بالحد الأصغر (Minterm)، ويسمى الحد B + A بالحد الأكبر (Maxterm).

كتابة الحد الأصفر من الحدود الناتجة عن طريق حذف الحد الذي تحتوي على الحد ومتممه في الحلقة. في الحلقة العامودية نلاحظ أن الحد B يتغير وبالتالي تصبح النتيجة الحد A فقط.

يجب أن تكون الأحاد المدمجة عدداً زوجياً دائماً.

عملية تبسيط الدالة المنطقية أعلاه قد اكتملت. يمكن تلخيص خطوات العملية السابقة في الآتي:

تحديد الحد الأصفر من حدود الدالة.

تحديد الأحاد (1) ووضعها في جدول كارنوف.

إنشاء حلقات بين الأحاد المتجاورة (1) في عدد زوجي من المربعات (2 أو 4 أو 8).

كتابة الحد الأصفر من الحدود الناتجة عن طريق حذف الحد ومتممه في الحلقة.

الحدود المحذوفة: A · B ، A · B

ربط الحدود المتبقية، وهي حد من كل حلقة بعملية OR (+) في الشكل النهائي للدالة:

الشكل النهائي للدالة: Y=A+B

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

يمكنك الاستعانة بجدول كارنوف لتبسيط الدالة B · A + B · A + B · A + B · A = Y باستخدام ام عدد من الحدود الصغرى. --- SECTION: مثال --- حدود الدالة (Terms of the Function) يشير إلى الدالة باسم الحدود الصغرى، حيث يسمى الحد B · A بالحد الأصغر (Minterm)، ويسمى الحد B + A بالحد الأكبر (Maxterm). كتابة الحد الأصفر من الحدود الناتجة عن طريق حذف الحد الذي تحتوي على الحد ومتممه في الحلقة. في الحلقة العامودية نلاحظ أن الحد B يتغير وبالتالي تصبح النتيجة الحد A فقط. يجب أن تكون الأحاد المدمجة عدداً زوجياً دائماً. عملية تبسيط الدالة المنطقية أعلاه قد اكتملت. يمكن تلخيص خطوات العملية السابقة في الآتي: --- SECTION: 1 --- تحديد الحد الأصفر من حدود الدالة. --- SECTION: 2 --- تحديد الأحاد (1) ووضعها في جدول كارنوف. --- SECTION: 3 --- إنشاء حلقات بين الأحاد المتجاورة (1) في عدد زوجي من المربعات (2 أو 4 أو 8). --- SECTION: 4 --- كتابة الحد الأصفر من الحدود الناتجة عن طريق حذف الحد ومتممه في الحلقة. الحدود المحذوفة: A · B ، A · B --- SECTION: 5 --- ربط الحدود المتبقية، وهي حد من كل حلقة بعملية OR (+) في الشكل النهائي للدالة: الشكل النهائي للدالة: Y=A+B وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: A 2x2 Karnaugh map showing the minterms for a function of two variables A and B. The output is 1 for minterms A'B, AB', and AB. Table Structure: Headers: A\B | 0 | 1 Rows: Row 1: 0 | 0 | 1 Row 2: 1 | 1 | 1 Calculation needed: Karnaugh map for a 2-variable function Context: Illustrates the Karnaugh map representation of a Boolean function. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing a simplified Boolean expression derived from a Karnaugh map. It highlights the term A, indicating that B is eliminated due to its complementary nature within the circled group. Context: Demonstrates the process of simplifying a Boolean function by grouping terms in a Karnaugh map. **DIAGRAM**: Untitled Description: A visual representation of a Karnaugh map step, focusing on identifying the 'yellow' (highlighted) term, which is 'A'. This step likely involves grouping '1's in the map. Context: Illustrates the initial step in simplifying a Boolean function using a Karnaugh map: identifying the relevant terms. **DIAGRAM**: Untitled Description: A visual showing a Karnaugh map with '1's placed in specific cells, representing the output of a Boolean function. This step is crucial for grouping and simplification. Context: Shows the placement of '1's in a Karnaugh map, corresponding to the function's minterms. **DIAGRAM**: Untitled Description: A visual depicting a Karnaugh map with circles drawn around adjacent '1's. The circles represent groups of 2, 4, or 8 adjacent '1's, which are used for simplification. Context: Illustrates the grouping of adjacent '1's in a Karnaugh map to form simplified terms. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing the simplification process in a Karnaugh map. It indicates that when a variable and its complement are present within a group (like B and B'), they are eliminated, leaving only the other variable (A). Context: Explains the rule of eliminating complementary variables (like B and B') when simplifying Boolean expressions using Karnaugh maps. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing the final simplified Boolean function Y = A + B, derived from the Karnaugh map simplification process. It visually represents the OR operation. Context: Presents the final simplified Boolean expression obtained after applying Karnaugh map rules.