1. احسب متوسط المسافة بين فيستا (كويكب) و بين الشمس علماً بأنه يستغرق 3.63 year للدوران حول الشمس.
لحساب متوسط المسافة (نصف المحور الأكبر للمدار) نستخدم قانون كبلر الثالث الذي ينص على أن مربع مدة الدورة (T²) يتناسب مع مكعب متوسط المسافة (a³). باستخدام الأرض كمرجع، حيث مدة دورتها T₁ = 1 سنة ومتوسط بعدها a₁ = 1 وحدة فلكية (AU)، يمكن تطبيق العلاقة:
\frac{T^2}{a^3} = \frac{T_1^2}{a_1^3}
بالتعويض: T = 3.63 سنة، T₁ = 1 سنة، a₁ = 1 AU.
\frac{(3.63)^2}{a^3} = \frac{(1)^2}{(1)^3}
\frac{13.1769}{a^3} = 1
a^3 = 13.1769
a = \sqrt[3]{13.1769} \approx 2.36
إذن، متوسط المسافة بين كويكب فيستا والشمس هو حوالي 2.36 وحدة فلكية (AU).
---
2. وضح نوع العلاقة بين متوسط المسافة لفيستا ومدة دورانه حول الشمس.
العلاقة بين متوسط المسافة (a) ومدة الدوران (T) هي علاقة طردية غير خطية، حيث يزداد زمن الدورة كلما زاد متوسط المسافة عن الشمس. هذه العلاقة محددة بدقة بواسطة قانون كبلر الثالث: T^2 \propto a^3 . أي أن مربع زمن الدورة يتناسب طردياً مع مكعب متوسط المسافة.
---
3. لماذا يلجأ العلماء إلى قوانين كبلر عند تعاملهم مع حركة المذنبات التي تتعدد مصادرها.
يلجأ العلماء إلى قوانين كبلر لأنها قوانين عامة تصف حركة الأجرام السماوية حول نجم مركزي (كالشمس) بغض النظر عن مصدرها أو تكوينها. المذنبات، سواء أتت من سحابة أورت أو حزام كايبر، تتحرك في مدارات حول الشمس تخضع لهذه القوانين. تسمح قوانين كبلر للعلماء بحساب وتوقع خصائص مدار المذنب (مثل نصف المحور الأكبر، وزمن الدورة، والسرعة) بمجرد معرفة بعض المعطيات، مما يساعد في تتبع مسارها وتقييم أي خطر محتمل.
---
4. أكملت وكالة الفضاء السعودية مهمتها على سطح القمر ولذا فهي ترغب بمغادرة مركبتها حدد سرعة هروبها من القمر إذا كانت كتلة القمر 7.35 × 10^22 kg و نصف القطر 1.5 × 10^6 m.
سرعة الهروب (v) من جرم سماوي تُحسب باستخدام العلاقة:
v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}
حيث:
- G هو ثابت الجذب العام ويساوي
6.67 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2/\text{kg}^2
- M هي كتلة القمر =
7.35 \times 10^{22} \text{ kg}
- r هو نصف قطر القمر =
1.5 \times 10^{6} \text{ m}
نقوم بالتعويض في المعادلة:
v = \sqrt{\frac{2 \times (6.67 \times 10^{-11}) \times (7.35 \times 10^{22})}{1.5 \times 10^{6}}}
v = \sqrt{\frac{9.8049 \times 10^{12}}{1.5 \times 10^{6}}}
v = \sqrt{6.5366 \times 10^{6}}
v \approx 2556.7 \text{ m/s}
إذن، سرعة الهروب المطلوبة للمركبة لمغادرة جاذبية القمر هي حوالي 2.56 × 10³ م/ث.