الإثراء العلمي - كتاب الفيزياء - الصف 10 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: 1. احسب أوجد تمدد الزمن $\frac{t_s}{t_0}$ لزمن دوران الأرض حول الشمس إذا علمت أن $v_{earth} = 10889\text{ km/s}$.

الإجابة: س:1 $c = 3 \times 10^8\text{ m/s}, v = 1.089 \times 10^7\text{ m/s}$ $\frac{t_s}{t_0} = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \approx 1.00066$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنفهم هذا السؤال، نحتاج أولاً لتحديد المعطيات والقيم الثابتة: - سرعة الأرض ($v_{earth}$) = $10889\text{ km/s}$. - سرعة الضوء ($c$) وهي ثابت كوني = $3 \times 10^8\text{ m/s}$. يجب أن نوحد الوحدات، لذا نحول سرعة الأرض من كيلومتر/ثانية إلى متر/ثانية: $v_{earth} = 10889 \times 1000\text{ m/s} = 1.0889 \times 10^7\text{ m/s}$.
2. **الخطوة 2 (القانون):** المطلوب هو حساب تمدد الزمن $\frac{t_s}{t_0}$. نستخدم قانون تمدد الزمن في النسبية الخاصة: $$\frac{t_s}{t_0} = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$$ حيث: - $t_s$: الزمن المقاس بواسطة مراقب متحرك (الزمن المتمدد). - $t_0$: الزمن المقاس بواسطة مراقب ساكن بالنسبة للحدث (الزمن الأصلي). - $v$: سرعة الجسم المتحرك. - $c$: سرعة الضوء.
3. **الخطوة 3 (الحل):** الآن نعوض بالقيم التي لدينا في القانون: $$\frac{t_s}{t_0} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1.0889 \times 10^7\text{ m/s}}{3 \times 10^8\text{ m/s}})^2}}$$ نحسب النسبة $v/c$ أولاً: $$\frac{v}{c} = \frac{1.0889 \times 10^7}{3 \times 10^8} \approx 0.0362966$$ ثم نربع هذه النسبة: $$(v/c)^2 \approx (0.0362966)^2 \approx 0.0013174$$ الآن نكمل التعويض في القانون: $$\frac{t_s}{t_0} = \frac{1}{\sqrt{1-0.0013174}}$$ $$\frac{t_s}{t_0} = \frac{1}{\sqrt{0.9986826}}$$ $$\frac{t_s}{t_0} = \frac{1}{0.999341}$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قيمة تمدد الزمن $\frac{t_s}{t_0}$ هي تقريباً: **1.00066**

سؤال 2: 2. احسب اشتق معادلة حساب تمدد الزمن $t_s$.

الإجابة: س:2 في إطار الساعة $d = ct_0/2$ للمراقب الأرضي $(c \frac{t_s}{2})^2 = d^2 + (v \frac{t_s}{2})^2$ $c^2t_s^2 = c^2t_0^2 + v^2t_s^2 \Rightarrow t_s = \frac{t_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم الأساسي):** لنفترض وجود ساعة ضوئية بسيطة، تتكون من مرآتين متوازيتين تفصل بينهما مسافة عمودية $d$. ينعكس شعاع ضوئي بين هاتين المرآتين. في الإطار المرجعي الذي تكون فيه الساعة ساكنة، يستغرق شعاع الضوء زمنًا $t_0$ للانتقال من مرآة إلى أخرى والعودة. خلال هذا الزمن، يقطع الضوء مسافة $2d$. إذن، يمكننا القول أن $2d = c t_0$، وبالتالي $d = \frac{c t_0}{2}$.
2. **الخطوة 2 (تحديد المسافات والأزمنة من منظور مراقب متحرك):** الآن، نتخيل أن هذه الساعة الضوئية تتحرك بسرعة ثابتة $v$ في اتجاه أفقي بالنسبة لمراقب آخر. بالنسبة لهذا المراقب المتحرك، يبدو مسار الضوء مائلاً، حيث يقطع الضوء مسافة أطول. إذا كان الزمن الذي يقيسه هذا المراقب هو $t_s$، فإن الضوء يقطع مسافة $c \frac{t_s}{2}$ للانتقال من مرآة إلى أخرى (وتر المثلث). خلال هذا النصف من الزمن، تكون الساعة قد تحركت مسافة أفقية قدرها $v \frac{t_s}{2}$. المسافة العمودية بين المرآتين $d$ تبقى كما هي.
3. **الخطوة 3 (تطبيق نظرية فيثاغورس):** يمكننا الآن تطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الذي يتكون من المسافة العمودية $d$ (أحد ضلعي القائمة)، والمسافة الأفقية $v \frac{t_s}{2}$ (الضلع الآخر للقائمة)، والمسافة التي يقطعها الضوء $c \frac{t_s}{2}$ (الوتر). فتكون المعادلة: $$(c \frac{t_s}{2})^2 = d^2 + (v \frac{t_s}{2})^2$$
4. **الخطوة 4 (الاشتقاق والنتيجة):** الآن نعوض بقيمة $d$ التي وجدناها في الخطوة الأولى ($d = \frac{c t_0}{2}$) في المعادلة: $$(c \frac{t_s}{2})^2 = (\frac{c t_0}{2})^2 + (v \frac{t_s}{2})^2$$ نفك الأقواس ونضرب جميع الحدود في 4 للتخلص من المقامات: $$c^2 t_s^2 = c^2 t_0^2 + v^2 t_s^2$$ ننقل الحدود التي تحتوي على $t_s^2$ إلى طرف واحد: $$c^2 t_s^2 - v^2 t_s^2 = c^2 t_0^2$$ نأخذ $t_s^2$ كعامل مشترك: $$t_s^2 (c^2 - v^2) = c^2 t_0^2$$ نقسم الطرفين على $(c^2 - v^2)$: $$t_s^2 = \frac{c^2 t_0^2}{c^2 - v^2}$$ لتبسيط المعادلة، نقسم البسط والمقام في الطرف الأيمن على $c^2$: $$t_s^2 = \frac{t_0^2}{1 - (v^2/c^2)}$$ وأخيرًا، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين للحصول على $t_s$: $$t_s = \frac{t_0}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$$ إذن، معادلة حساب تمدد الزمن هي: **$t_s = \frac{t_0}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$**

سؤال 3: 3. ناقش ما الفرق بين تمدد الزمن وزمن الحركة؟

الإجابة: س:3 $t_0$: الزمن بساعة الجسم المتحرك (الأقصر). $t_s$: الزمن بمراقب ساكن، حيث $t_s = \gamma t_0$ (تمدد الزمن).

خطوات الحل:

1. **الشرح:** الفكرة في هذا السؤال هي التمييز بين مفهومين أساسيين في النسبية الخاصة وهما الزمن الأصلي (أو زمن الحركة) وتمدد الزمن. **زمن الحركة ($t_0$):** يُعرف بزمن الساعة الصحيح أو الزمن الأصلي. وهو الزمن الذي يقيسه مراقب يكون ساكنًا بالنسبة للحدث أو الجسم المتحرك. بمعنى آخر، هو أقصر زمن يمكن قياسه للحدث، لأنه يُقاس في الإطار المرجعي الذي يحدث فيه الحدث في نفس النقطة المكانية. **تمدد الزمن ($t_s$):** هو الزمن الذي يقيسه مراقب يكون متحركًا بالنسبة للحدث أو الجسم المتحرك. وفقًا للنسبية الخاصة، يلاحظ المراقب المتحرك أن الساعة التي تتحرك بالنسبة له تسير بشكل أبطأ. هذا يعني أن الزمن الذي يقيسه المراقب المتحرك ($t_s$) سيكون دائمًا أطول من الزمن الأصلي ($t_0$). العلاقة بينهما تُعطى بالمعادلة: $t_s = \frac{t_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$، حيث يُعرف المعامل $\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$ بمعامل لورنتز ($\gamma$)، وهو دائمًا أكبر من أو يساوي 1. هذا يعني أن $t_s \ge t_0$. إذن، الفرق الرئيسي هو أن **زمن الحركة ($t_0$) هو الزمن الأقصر الذي يقيسه مراقب ساكن بالنسبة للحدث، بينما تمدد الزمن ($t_s$) هو الزمن الأطول الذي يقيسه مراقب يتحرك بالنسبة للحدث.**

احسب أوجد تمدد الزمن لزمن دوران الأرض حول الشمس إذا علمت أن V_earth = 10889 km/s.

• أ) 1.00066
• ب) 1.066
• ج) 1.0066
• د) 1.0666

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 1.00066

الشرح: ١. تحويل السرعة: v = 10889 km/s = 1.0889 × 10⁷ m/s. ٢. قانون تمدد الزمن: t_s / t_0 = 1 / √(1 - (v/c)²) حيث c = 3 × 10⁸ m/s. ٣. حساب (v/c): (1.0889 × 10⁷) / (3 × 10⁸) ≈ 0.0363. ٤. حساب (v/c)²: (0.0363)² ≈ 0.001317. ٥. حساب √(1 - 0.001317) = √(0.998683) ≈ 0.999341. ٦. النتيجة: 1 / 0.999341 ≈ 1.00066.

تلميح: استخدم قانون تمدد الزمن النسبي، وتأكد من تحويل الوحدات إلى متر/ثانية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما معادلة تمدد الزمن (t_s) المستنتجة من تجربة الساعة الضوئية؟

• أ) t_s = t_0 × √(1 - (v/c)²)
• ب) t_s = t_0 / √(1 - (v/c)²)
• ج) t_s = t_0 × (1 - (v/c)²)
• د) t_s = t_0 / (1 - (v/c)²)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: t_s = t_0 / √(1 - (v/c)²)

الشرح: ١. في إطار الساعة الساكن: المسافة العمودية d = (c t_0)/2. ٢. في إطار المراقب المتحرك: يرى الضوء يقطع مساراً مائلاً (وتر مثلث). ٣. بتطبيق نظرية فيثاغورس: (c t_s/2)² = d² + (v t_s/2)². ٤. بالتعويض عن d وإعادة الترتيب: c² t_s² = c² t_0² + v² t_s². ٥. حل المعادلة لـ t_s يعطي: t_s = t_0 / √(1 - (v/c)²).

تلميح: تذكر أن المسار الضوئي يصبح مائلاً بالنسبة لمراقب خارجي، مما يزيد المسافة المقطوعة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب

ما الفرق الأساسي بين تمدد الزمن وزمن الحركة؟

• أ) تمدد الزمن يعتمد على الكتلة، وزمن الحركة يعتمد على السرعة فقط.
• ب) تمدد الزمن هو ظاهرة نسبية حيث يمر الزمن بشكل أبطأ في إطار متحرك بسرعة عالية، بينما زمن الحركة هو الزمن المقاس لحدث ما في إطار ساكن.
• ج) تمدد الزمن يحدث فقط في الفضاء، وزمن الحركة يحدث على الأرض.
• د) لا يوجد فرق، كلاهما يعبر عن نفس المفهوم.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تمدد الزمن هو ظاهرة نسبية حيث يمر الزمن بشكل أبطأ في إطار متحرك بسرعة عالية، بينما زمن الحركة هو الزمن المقاس لحدث ما في إطار ساكن.

الشرح: ١. تمدد الزمن: مفهوم من النسبية الخاصة. يصف كيف أن الزمن المقاس في إطار متحرك بسرعة قريبة من سرعة الضوء (v ≈ c) يمر بشكل أبطأ مقارنة بإطار ساكن. ٢. زمن الحركة: مفهوم كلاسيكي. هو المدة الزمنية التي يستغرقها جسم للانتقال من نقطة إلى أخرى، ويقاس في إطار مرجعي واحد. ٣. الفرق: تمدد الزمن يعتمد على السرعة النسبية بين الأطر المرجعية ويظهر عند السرعات العالية جداً، بينما زمن الحركة لا يتأثر بهذا التأثير النسبي في السرعات اليومية.

تلميح: فكر في أصل كل مفهوم: أحدهما ناتج عن النظرية النسبية، والآخر هو مفهوم زمني كلاسيكي.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: متوسط