صفحة 113 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 صفحة تمارين وأسئلة

هذه الصفحة تحتوي على أسئلة مرقمة للواجبات والتقييم.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة على أسئلة الصفحة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

الحرف "L" المكتوب بالخط الغامق، يُشير إلى أنه يتعين عليك أن تجد لأمثالاً، اختبر كلاً من بدائل الإجابة باستعمال مبادئ تشابه المثلثات؛ لترى ما إذا كان أي منها لا يثبت أن QMN ~ QRS∆.
البديل A: QMN ≅ QRS∠
إذا كانت QMN ≅ QRS∠، فإن QMN ~ QRS∆ وفق مسلمة التشابه AA.
البديل B: MN || RS
إذا كان MN || RS، فإن QMN ≅ QRS∠؛ لأنهما زاويتان متناظرتان بالنسبة لمستقيمين متوازيين قطعهما القاطع QR، لذلك QRS ~ QMN∆ وفق مسلمة التشابه AA.
البديل C: QN ≅ NS
إذا كانت QN ≅ NS، فإننا لا نستطيع أن نستنتج أن QMN ~ QRS∆ ؛ لأننا لا نعرف أي شيء عن QM, MR، لذلك فالبديل C يُعد لأمثالاً، والإجابة الصحيحة هي C. وإذا كان لديك وقت فاختبر البديل D للتأكد من أنه مثال صحيح.

نوع: محتوى تعليمي

تمارين ومسائل

نوع: محتوى تعليمي

اقرأ كل سؤال مما يأتي، ثم اكتب رمز الإجابة الصحيحة:

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أي التناسبات التالية غير صحيحة في الشكل أدناه؟

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أي شكل يمكن أن يكون مثالاً مضادًا للتخمين أدناه؟ "إذا كانت جميع زوايا شكل رباعي قوائم فإنه مربع"

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أي مما يأتي لا يكفي لإثبات أن GIK ~ HIG∆؟

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أي مثلثين مما يأتي ليسا بالضرورة متشابهين؟

نوع: METADATA

وزارة التعليم
الفصل 6 الإعداد للاختبارات 113 of M
2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

A large right-angled triangle labeled ABC. The right angle is at vertex C. An altitude is drawn from vertex C to the hypotenuse AB, intersecting AB at point D. This forms two smaller right-angled triangles, ADC and BDC, within the larger triangle. The angle at D in both smaller triangles is a right angle, indicated by a square symbol. The vertices are labeled A, B, C, and D.

A triangle labeled GHK. An altitude is drawn from vertex G to the base HK, intersecting HK at point I. This forms two right-angled triangles, GHI and GIK, within the larger triangle. The angle at I in both smaller triangles is a right angle, indicated by a square symbol. The vertices are labeled G, H, K, and I.

📄 النص الكامل للصفحة

الحرف "L" المكتوب بالخط الغامق، يُشير إلى أنه يتعين عليك أن تجد لأمثالاً، اختبر كلاً من بدائل الإجابة باستعمال مبادئ تشابه المثلثات؛ لترى ما إذا كان أي منها لا يثبت أن QMN ~ QRS∆.
البديل A: QMN ≅ QRS∠
إذا كانت QMN ≅ QRS∠، فإن QMN ~ QRS∆ وفق مسلمة التشابه AA.
البديل B: MN || RS
إذا كان MN || RS، فإن QMN ≅ QRS∠؛ لأنهما زاويتان متناظرتان بالنسبة لمستقيمين متوازيين قطعهما القاطع QR، لذلك QRS ~ QMN∆ وفق مسلمة التشابه AA.
البديل C: QN ≅ NS
إذا كانت QN ≅ NS، فإننا لا نستطيع أن نستنتج أن QMN ~ QRS∆ ؛ لأننا لا نعرف أي شيء عن QM, MR، لذلك فالبديل C يُعد لأمثالاً، والإجابة الصحيحة هي C. وإذا كان لديك وقت فاختبر البديل D للتأكد من أنه مثال صحيح.

تمارين ومسائل

اقرأ كل سؤال مما يأتي، ثم اكتب رمز الإجابة الصحيحة:

--- SECTION: 1 ---
أي التناسبات التالية غير صحيحة في الشكل أدناه؟
  A AD/CD = CD/DB
  B AB/AC = AC/AD
  C AB/CB = CB/DB
  D AC/AB = CD/AC

--- SECTION: 2 ---
أي شكل يمكن أن يكون مثالاً مضادًا للتخمين أدناه؟ "إذا كانت جميع زوايا شكل رباعي قوائم فإنه مربع"
  A متوازي الأضلاع
  B المستطيل
  C المعين
  D شبه المنحرف

--- SECTION: 3 ---
أي مما يأتي لا يكفي لإثبات أن GIK ~ HIG∆؟
  A ∠GKI ≅ ∠HGI
  B HI/GI = GI/IK
  C GH/GI = GK/IK
  D ∠IGK ≅ ∠IHG

--- SECTION: 4 ---
أي مثلثين مما يأتي ليسا بالضرورة متشابهين؟
  A مثلثان قائما الزاوية في كل منهما زاوية قياسها 30°
  B مثلثان قائما الزاوية في كل منهما زاوية قياسها 45°
  C مثلثان متطابقا الساقين
  D مثلثان متطابقا الأضلاع

وزارة التعليم
الفصل 6 الإعداد للاختبارات 113 of M
2025 - 1447

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A large right-angled triangle labeled ABC. The right angle is at vertex C. An altitude is drawn from vertex C to the hypotenuse AB, intersecting AB at point D. This forms two smaller right-angled triangles, ADC and BDC, within the larger triangle. The angle at D in both smaller triangles is a right angle, indicated by a square symbol. The vertices are labeled A, B, C, and D.
Context: Illustrates geometric relationships and proportions in similar right triangles.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A triangle labeled GHK. An altitude is drawn from vertex G to the base HK, intersecting HK at point I. This forms two right-angled triangles, GHI and GIK, within the larger triangle. The angle at I in both smaller triangles is a right angle, indicated by a square symbol. The vertices are labeled G, H, K, and I.
Context: Illustrates geometric relationships and conditions for triangle similarity.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 4

سؤال 1: أي التناسبات التالية غير صحيحة في الشكل أدناه؟ A $\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB}$ B $\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD}$ C $\frac{AB}{CB} = \frac{CB}{DB}$ D $\frac{AC}{AB} = \frac{CD}{AC}$

الإجابة: س1: (د)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** عندما يُرسم ارتفاع من الرأس القائمة في مثلث قائم الزاوية إلى الوتر، فإنه يقسم المثلث الأصلي إلى مثلثين صغيرين متشابهين، وكلاهما متشابه للمثلث الأصلي. هذا يؤدي إلى نظريات التناسب الهندسي.
**الخطوة 2 (نظريات التناسب الهندسي):** لنفترض أن لدينا مثلثاً قائماً ABC، والزاوية القائمة عند C، والارتفاع CD على الوتر AB. - **نظرية الارتفاع:** مربع طول الارتفاع (CD) يساوي حاصل ضرب طولي جزئي الوتر (AD و DB). أي: $$CD^2 = AD \cdot DB$$ أو بصيغة تناسب: $$\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB}$$ - **نظرية الساق:** مربع طول كل ساق (AC أو BC) يساوي حاصل ضرب طول الوتر كاملاً (AB) في طول الجزء المجاور له من الوتر (AD للساق AC، و DB للساق BC). أي: - $$AC^2 = AD \cdot AB$$ أو بصيغة تناسب: $$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD}$$ - $$BC^2 = DB \cdot AB$$ أو بصيغة تناسب: $$\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{DB}$$
**الخطوة 3 (تطبيق النظريات على الخيارات):** - **الخيار A:** $$\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB}$$ هذا التناسب يمثل $$CD^2 = AD \cdot DB$$، وهي نظرية الارتفاع، إذن هذا التناسب صحيح. - **الخيار B:** $$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD}$$ هذا التناسب يمثل $$AC^2 = AB \cdot AD$$، وهي نظرية الساق، إذن هذا التناسب صحيح. - **الخيار C:** $$\frac{AB}{CB} = \frac{CB}{DB}$$ هذا التناسب يمثل $$CB^2 = AB \cdot DB$$، وهي نظرية الساق، إذن هذا التناسب صحيح. - **الخيار D:** $$\frac{AC}{AB} = \frac{CD}{AC}$$ هذا التناسب يمثل $$AC^2 = AB \cdot CD$$، وهذا لا يتوافق مع أي من نظريات التناسب الهندسي المعروفة للمثلث القائم والارتفاع على الوتر. نحن نعلم أن $$AC^2 = AB \cdot AD$$، وليس $$AB \cdot CD$$.
**الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن الخيار (د) لا يمثل تناسباً صحيحاً وفقاً لنظريات التناسب الهندسي للمثلث القائم، فإنه التناسب غير الصحيح المطلوب. إذن الإجابة هي: **(د)**

سؤال 2: أي شكل يمكن أن يكون مثالاً مضادًا للتخمين أدناه؟ "إذا كانت جميع زوايا شكل رباعي قوائم فإنه مربع" A متوازي الأضلاع B المستطيل C المعين D شبه المنحرف

الإجابة: س2: (ب) المستطيل

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (فهم التخمين والمثال المضاد):** التخمين المعطى هو "إذا كانت جميع زوايا شكل رباعي قوائم فإنه مربع". هذا يعني أننا نفترض أن لدينا شكلاً رباعياً جميع زواياه 90 درجة، والتخمين يقول إن هذا الشكل يجب أن يكون مربعاً. المثال المضاد هو شكل يحقق الشرط الأول (جميع زواياه قوائم) ولكنه لا يحقق النتيجة (ليس مربعاً).
**الخطوة 2 (تحليل الخيارات):** - **متوازي الأضلاع:** ليس بالضرورة أن تكون جميع زواياه قوائم. لذا لا يحقق الشرط الأول. - **المستطيل:** تعريف المستطيل هو شكل رباعي جميع زواياه قوائم. هذا يحقق الشرط الأول من التخمين. ولكن هل المستطيل بالضرورة مربع؟ لا، المستطيل يمكن أن تكون أضلاعه غير متساوية الطول (الطول يختلف عن العرض)، وفي هذه الحالة لا يكون مربعاً. إذن، المستطيل الذي ليست جميع أضلاعه متساوية هو مثال مضاد للتخمين. - **المعين:** ليس بالضرورة أن تكون جميع زواياه قوائم (فقط أضلاعه متساوية). لذا لا يحقق الشرط الأول. - **شبه المنحرف:** ليس بالضرورة أن تكون جميع زواياه قوائم. لذا لا يحقق الشرط الأول.
**الخطوة 3 (النتيجة):** الشكل الوحيد الذي يحقق شرط أن تكون جميع زواياه قوائم ولكنه ليس بالضرورة مربعاً هو المستطيل. إذن الإجابة هي: **(ب) المستطيل**

سؤال 3: أي مما يأتي لا يكفي لإثبات أن $\Delta GIK \sim \Delta HIG$؟ A $\angle GKI \cong \angle HGI$ B $\frac{HI}{GI} = \frac{GI}{IK}$ C $\frac{GH}{GI} = \frac{GK}{IK}$ D $\angle IGK \cong \angle IHG$

الإجابة: س3: (ج)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (معايير تشابه المثلثات):** لكي يتشابه مثلثان، يجب أن يتحقق أحد الشروط التالية: - **تشابه الزاوية-الزاوية (AA):** إذا طابقت زاويتان في مثلث زاويتين في مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان. - **تشابه الضلع-الزاوية-الضلع (SAS):** إذا كان طولا ضلعين في مثلث متناسبين مع طولي ضلعين مناظرين في مثلث آخر، وكانت الزاويتان المحصورتان بين هذين الضلعين متطابقتين، فإن المثلثين متشابهان. - **تشابه الضلع-الضلع-الضلع (SSS):** إذا كانت أطوال الأضلاع المتناظرة في مثلثين متناسبة، فإن المثلثين متشابهان.
**الخطوة 2 (تحليل التشابه المطلوب $\Delta GIK \sim \Delta HIG$):** إذا كان $\Delta GIK \sim \Delta HIG$، فهذا يعني أن الزوايا المتناظرة متطابقة والأضلاع المتناظرة متناسبة: - الزوايا: $\angle G \cong \angle H$، $\angle I \cong \angle I$ (زاوية مشتركة)، $\angle K \cong \angle G$. - الأضلاع: $$\frac{GI}{HI} = \frac{IK}{IG} = \frac{GK}{HG}$$
**الخطوة 3 (تقييم الخيارات):** - **الخيار A: $\angle GKI \cong \angle HGI$** هذا يعني أن $\angle K$ في $\Delta GIK$ تطابق $\angle G$ في $\Delta HIG$. وبما أن $\angle I$ زاوية مشتركة في كلا المثلثين ($\angle GIK \cong \angle HIG$)، فإن لدينا زاويتين متطابقتين. إذن، هذا الشرط يكفي لإثبات التشابه بمعيار AA. - **الخيار B: $\frac{HI}{GI} = \frac{GI}{IK}$** يمكن إعادة كتابة هذا التناسب كـ $$\frac{GI}{HI} = \frac{IK}{GI}$$. هذه هي نسبة الأضلاع التي تحصر الزاوية المشتركة $\angle I$. بما أن $\angle I$ زاوية مشتركة (متطابقة)، ولدينا تناسب الضلعين المحصورين، فإن هذا الشرط يكفي لإثبات التشابه بمعيار SAS. - **الخيار C: $\frac{GH}{GI} = \frac{GK}{IK}$** لنقارن هذا التناسب مع نسب الأضلاع المتناظرة المطلوبة للتشابه: $$\frac{GI}{HI} = \frac{IK}{IG} = \frac{GK}{HG}$$. التناسب المعطى هو $\frac{GH}{GI} = \frac{GK}{IK}$. هذا التناسب لا يتوافق مع أي من نسب الأضلاع المتناظرة المطلوبة للتشابه $\Delta GIK \sim \Delta HIG$، ولا يمثل تناسباً صحيحاً للأضلاع المتناظرة في هذه الحالة. - **الخيار D: $\angle IGK \cong \angle IHG$** هذا يعني أن $\angle G$ في $\Delta GIK$ تطابق $\angle H$ في $\Delta HIG$. وبما أن $\angle I$ زاوية مشتركة في كلا المثلثين، فإن لدينا زاويتين متطابقتين. إذن، هذا الشرط يكفي لإثبات التشابه بمعيار AA.
**الخطوة 4 (النتيجة):** الخيار الوحيد الذي لا يكفي لإثبات التشابه هو الخيار (ج)، لأنه لا يمثل تناسباً صحيحاً للأضلاع المتناظرة وفقاً لمعايير التشابه. إذن الإجابة هي: **(ج)**

سؤال 4: أي مثلثين مما يأتي ليسا بالضرورة متشابهين؟ A مثلثان قائما الزاوية في كل منهما زاوية قياسها 30° B مثلثان قائما الزاوية في كل منهما زاوية قياسها 45° C مثلثان متطابقا الساقين D مثلثان متطابقا الأضلاع

الإجابة: س4: (ج) مثلثان متطابقا الساقين

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (مفهوم التشابه):** يتشابه مثلثان إذا كانت زواياهما المتناظرة متطابقة وأضلاعهما المتناظرة متناسبة. أبسط طريقة لإثبات التشابه هي معيار الزاوية-الزاوية (AA)، والذي ينص على أنه إذا طابقت زاويتان في مثلث زاويتين في مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان.
**الخطوة 2 (تحليل الخيارات بناءً على معيار AA):** - **الخيار A: مثلثان قائما الزاوية في كل منهما زاوية قياسها 30°** كل مثلث يحتوي على زاوية 90° وزاوية 30°. مجموع زوايا المثلث 180°، لذا الزاوية الثالثة في كل منهما ستكون $180° - 90° - 30° = 60°$. بما أن كلا المثلثين لهما نفس قياسات الزوايا (90°، 30°، 60°)، فإنهما متشابهان بالضرورة (حسب AA). - **الخيار B: مثلثان قائما الزاوية في كل منهما زاوية قياسها 45°** كل مثلث يحتوي على زاوية 90° وزاوية 45°. الزاوية الثالثة في كل منهما ستكون $180° - 90° - 45° = 45°$. بما أن كلا المثلثين لهما نفس قياسات الزوايا (90°، 45°، 45°)، فإنهما متشابهان بالضرورة (حسب AA). - **الخيار C: مثلثان متطابقا الساقين** المثلث متطابق الساقين لديه ضلعان متساويان وزاويتان متساويتان (زاويتا القاعدة). ومع ذلك، يمكن أن تختلف قياسات هذه الزوايا بشكل كبير. على سبيل المثال، يمكن أن يكون لدينا مثلث متطابق الساقين بزوايا (80°، 50°، 50°) ومثلث آخر متطابق الساقين بزوايا (40°، 70°، 70°). هذان المثلثان ليسا متشابهين لأن زواياهما ليست متطابقة. لذا، مثلثان متطابقا الساقين ليسا بالضرورة متشابهين. - **الخيار D: مثلثان متطابقا الأضلاع** المثلث متطابق الأضلاع لديه جميع أضلاعه متساوية، وجميع زواياه متساوية وكل منها 60°. بما أن أي مثلثين متطابقي الأضلاع سيكون لهما نفس قياسات الزوايا (60°، 60°، 60°)، فإنهما متشابهان بالضرورة (حسب AA).
**الخطوة 3 (النتيجة):** الخيار الوحيد الذي لا يضمن تشابه المثلثين هو "مثلثان متطابقا الساقين"، لأنه لا توجد علاقة ضرورية بين قياسات زواياهما تجعلهما متشابهين. إذن الإجابة هي: **(ج) مثلثان متطابقا الساقين**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 3 بطاقة لهذه الصفحة

أي شكل يمكن أن يكون مثالاً مضادًا للتخمين أدناه؟ "إذا كانت جميع زوايا شكل رباعي قوائم فإنه مربع"

أ) A: متوازي الأضلاع
ب) B: المستطيل
ج) C: المعين
د) D: شبه المنحرف

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: B: المستطيل

الشرح: ١. التخمين: إذا كان شكل رباعي جميع زواياه قوائم (90°) فهو مربع. ٢. المثال المضاد: شكل يحقق الشرط (جميع زواياه قوائم) لكنه ليس مربعاً. ٣. المستطيل: جميع زواياه قوائم، لكن أضلاعه ليست بالضرورة متساوية، لذا قد لا يكون مربعاً. ٤. الخيارات الأخرى: متوازي الأضلاع، المعين، شبه المنحرف - ليس بالضرورة أن تكون جميع زواياهم قوائم.

تلميح: المثال المضاد يحقق الشرط (جميع الزوايا قائمة) لكنه لا يحقق النتيجة (ليس مربعاً).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أي مما يأتي لا يكفي لإثبات أن ΔGIK ~ ΔHIG؟ (الشكل: مثلث GHK، ارتفاع من G إلى القاعدة HK يقطعها عند I)

أ) A: ∠GKI ≅ ∠HGI
ب) B: HI/GI = GI/IK
ج) C: GH/GI = GK/IK
د) D: ∠IGK ≅ ∠IHG

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: C: GH/GI = GK/IK

الشرح: ١. للتشابه ΔGIK ~ ΔHIG، الزوايا المتناظرة: ∠G في ΔGIK مع ∠H في ΔHIG، ∠I مشتركة، ∠K في ΔGIK مع ∠G في ΔHIG. ٢. الخيار A (∠GKI ≅ ∠HGI) يعطي زاويتين متطابقتين (مع ∠I المشتركة) → يكفي (AA). ٣. الخيار B (HI/GI = GI/IK) يمثل تناسب ضلعين محصورين الزاوية المشتركة ∠I → يكفي (SAS). ٤. الخيار D (∠IGK ≅ ∠IHG) يعطي زاويتين متطابقتين (مع ∠I المشتركة) → يكفي (AA). ٥. الخيار C (GH/GI = GK/IK) لا يمثل تناسب أضلاع متناظرة صحيحة بين ΔGIK و ΔHIG، ولا يشكل معياراً معروفاً للتشابه في هذه الحالة.

تلميح: تذكر معايير تشابه المثلثات (AA, SAS, SSS). ابحث عن الخيار الذي لا يمثل معياراً صحيحاً للتشابه بين المثلثين المحددين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

أي مثلثين مما يأتي ليسا بالضرورة متشابهين؟

أ) A: مثلثان قائمان بزاوية 30°
ب) B: مثلثان قائمان بزاوية 45°
ج) C: مثلثان متطابقا الساقين
د) D: مثلثان متطابقا الأضلاع

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: C: مثلثان متطابقا الساقين

الشرح: ١. معيار التشابه الأساسي هو تطابق زاويتين على الأقل (AA). ٢. الخيار A: مثلثان قائمان بزاوية 30° → الزوايا: 90°, 30°, 60° → متشابهان. ٣. الخيار B: مثلثان قائمان بزاوية 45° → الزوايا: 90°, 45°, 45° → متشابهان. ٤. الخيار D: مثلثان متطابقا الأضلاع → جميع الزوايا 60° → متشابهان. ٥. الخيار C: مثلثان متطابقا الساقين → زوايا القاعدة متساوية، لكن قياسها يمكن أن يختلف بين مثلث وآخر (مثلاً: 50°,50°,80° مقابل 70°,70°,40°) → ليسا بالضرورة متشابهين.

تلميح: التشابه يتطلب تطابق قياسات الزوايا المتناظرة. أي نوع من المثلثات يمكن أن يكون له قياسات زوايا مختلفة؟

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط