الفصل 6 اختبار تراكمي - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: 1) يريد عادل أن يقيس عرض نهر صغير. فعيّن الأطوال المبينة في الشكل أدناه. العرض التقريبي للنهر هو: 40.5 ft A 6 ft B 7 ft C 8 ft D

الإجابة: س1: الإجابة 8 ft (D)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنفهم الشكل (المفترض) الذي يصف طريقة عادل لقياس عرض النهر. عادةً ما يتم ذلك باستخدام مثلثين متشابهين. لنفترض أن الأطوال المعطاة (3 ft و 6 ft و 24 ft) تشكل مثلثين متشابهين كالتالي: - المثلث الصغير: أحد أضلاعه 3 ft، والضلع الآخر هو عرض النهر (لنسميه w). - المثلث الكبير: الضلع المناظر للضلع 3 ft في المثلث الصغير هو مجموع الضلعين 3 ft و 6 ft، أي 9 ft. والضلع المناظر لعرض النهر (w) هو 24 ft.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم خاصية المثلثات المتشابهة، حيث تكون نسب الأضلاع المتناظرة متساوية. $$ \frac{\text{الضلع في المثلث الصغير}}{\text{الضلع المناظر في المثلث الكبير}} = \frac{\text{ضلع آخر في المثلث الصغير}}{\text{الضلع المناظر الآخر في المثلث الكبير}} $$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم من المعطيات: $$ \frac{3}{9} = \frac{w}{24} $$ نُبسّط الكسر الأول: $$ \frac{1}{3} = \frac{w}{24} $$ الآن، نضرب الطرفين في الوسطين: $$ 3 \times w = 1 \times 24 $$ $$ 3w = 24 $$ نقسم الطرفين على 3 لإيجاد قيمة w: $$ w = \frac{24}{3} $$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن العرض التقريبي للنهر = **8 ft**

سؤال 2: 2) أوجد قيمة x في الشكل أدناه؟ 5 A 7 B 8 C 10 D

الإجابة: س2: الإجابة x = 7 (B)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** من الشكل (المفترض)، لدينا مثلثان متشابهان أو خطوط متوازية مقطوعة بقاطعين، مما ينتج عنه أضلاع متناسبة. - الأضلاع المتناظرة هي: x و 14، و 10 و 20.
2. **الخطوة 2 (القانون):** في المثلثات المتشابهة (أو عند وجود خطوط متوازية مقطوعة بقاطعين)، تكون نسب الأضلاع المتناظرة متساوية. $$ \frac{\text{الضلع الأول في الشكل الأول}}{\text{الضلع المناظر له في الشكل الثاني}} = \frac{\text{الضلع الثاني في الشكل الأول}}{\text{الضلع المناظر له في الشكل الثاني}} $$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم من المعطيات: $$ \frac{x}{14} = \frac{10}{20} $$ نُبسّط الكسر الثاني: $$ \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $$ إذن تصبح المعادلة: $$ \frac{x}{14} = \frac{1}{2} $$ الآن، نضرب الطرفين في الوسطين: $$ 2 \times x = 1 \times 14 $$ $$ 2x = 14 $$ نقسم الطرفين على 2 لإيجاد قيمة x: $$ x = \frac{14}{2} $$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x = **7**

سؤال 3: 3) إذا كان EG = 15m ، فما طول EF؟ 6m A 9m B 10m C 12m D

الإجابة: س3: الإجابة (B) EF = 9m

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا قطعة مستقيمة EG بطول 15m. من الشكل (المفترض)، النقطة F تقع بين E و G وتقسم القطعة EG بنسبة معينة. لنفترض أن هذه النسبة هي 3:2 (أي أن نسبة EF إلى FG هي 3 إلى 2).
2. **الخطوة 2 (القانون):** إذا قُسّمت قطعة مستقيمة بنسبة معينة، فإن طول كل جزء يمكن إيجاده باستخدام هذه النسبة والطول الكلي للقطعة. - مجموع أجزاء النسبة = نسبة الجزء الأول + نسبة الجزء الثاني. - طول الجزء = (نسبة الجزء / مجموع النسب) × الطول الكلي.
3. **الخطوة 3 (الحل):** نسبة EF هي 3، ونسبة FG هي 2. مجموع النسب = $3 + 2 = 5$. لإيجاد طول EF، نستخدم القانون: $$ EF = \frac{\text{نسبة EF}}{\text{مجموع النسب}} \times EG $$ بالتعويض بالقيم: $$ EF = \frac{3}{5} \times 15 $$ $$ EF = 3 \times \frac{15}{5} $$ $$ EF = 3 \times 3 $$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن طول EF = **9m**

سؤال 4: 4) أوجد m∠RST في المعين QRST أدناه. 60° A 90° B 120° C 150° D

الإجابة: س4: الإجابة 120^\circ (C)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** الشكل QRST هو معين. من خصائص المعين، الزوايا المتتالية متكاملة (مجموعها 180°). لنفترض أن الشكل يوضح أن قياس الزاوية المجاورة لـ ∠RST، وهي ∠QRS، يساوي 60°.
2. **الخطوة 2 (القانون):** في المعين، كل زاويتين متتاليتين (متجاورتين) متكاملتان، أي أن مجموع قياسهما يساوي 180°. $$ m\angle{RST} + m\angle{QRS} = 180^\circ $$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة الزاوية المجاورة (المفترضة من الشكل) في القانون: $$ m\angle{RST} + 60^\circ = 180^\circ $$ لنطرح 60° من الطرفين لإيجاد قياس ∠RST: $$ m\angle{RST} = 180^\circ - 60^\circ $$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس m∠RST = **120°**

سؤال 5: 5) ما مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع أدناه؟ 450° A 540° B 630° C 720° D

الإجابة: س5: الإجابة 540^\circ (B)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** من الشكل (المفترض)، المضلع المعطى هو مضلع خماسي، أي أن عدد أضلاعه (n) يساوي 5.
2. **الخطوة 2 (القانون):** مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي مضلع له n من الأضلاع يُعطى بالصيغة التالية: $$ S = (n-2) \times 180^\circ $$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة n = 5 (عدد أضلاع المضلع الخماسي) في القانون: $$ S = (5-2) \times 180^\circ $$ $$ S = 3 \times 180^\circ $$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع = **540°**

سؤال 6: 6) أوجد قيمة x. 3 A 4 B 5 C 6 D

الإجابة: س6: الإجابة x = 5 (C)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** من الشكل (المفترض)، لدينا مثلث قائم الزاوية. - طول أحد ضلعي القائمة = 3. - طول الضلع الآخر للقائمة = 4. - طول الوتر = x.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن مربع طول الوتر في المثلث القائم الزاوية يساوي مجموع مربعي طولي ضلعي القائمة. $$ (\text{الوتر})^2 = (\text{الضلع الأول})^2 + (\text{الضلع الثاني})^2 $$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم المعطاة في نظرية فيثاغورس: $$ x^2 = 3^2 + 4^2 $$ نحسب مربعات الأضلاع: $$ x^2 = 9 + 16 $$ نجمع القيم: $$ x^2 = 25 $$ لإيجاد قيمة x، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $$ x = \sqrt{25} $$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x = **5**

سؤال 7: 7) شكلان رباعيان متشابهان بمعامل تشابه 3:2 ، إذا كان محيط الشكل الرباعي الأكبر 21m ، فما محيط الشكل الرباعي الأصغر؟ 14m A 17.5m B 28m C 31.5m D

الإجابة: س7: الإجابة 14 m (A)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا شكلان رباعيان متشابهان. - معامل التشابه بينهما هو 3:2. (هذا يعني أن نسبة طول أي ضلع في الشكل الأكبر إلى طول الضلع المناظر له في الشكل الأصغر هي 3/2). - محيط الشكل الرباعي الأكبر = 21m. - المطلوب هو إيجاد محيط الشكل الرباعي الأصغر.
2. **الخطوة 2 (القانون):** إذا كان شكلان متشابهين، فإن نسبة محيطيهما تساوي نسبة التشابه بين أضلاعهما المتناظرة. $$ \frac{\text{محيط الشكل الأكبر}}{\text{محيط الشكل الأصغر}} = \text{معامل التشابه} $$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم المعطاة في القانون: $$ \frac{21}{\text{محيط الشكل الأصغر}} = \frac{3}{2} $$ الآن، نضرب الطرفين في الوسطين: $$ 3 \times \text{محيط الشكل الأصغر} = 21 \times 2 $$ $$ 3 \times \text{محيط الشكل الأصغر} = 42 $$ نقسم الطرفين على 3 لإيجاد محيط الشكل الأصغر: $$ \text{محيط الشكل الأصغر} = \frac{42}{3} $$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن محيط الشكل الرباعي الأصغر = **14m**

إذا كان EG = 15m، وكانت النقطة F تقع بين E و G بحيث EF = x + 3 و FG = x، فما طول EF؟

• أ) 6m
• ب) 9m
• ج) 10m
• د) 12m

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 9m

الشرح: ١. المعطيات: EG = 15m، EF = x + 3، FG = x. ٢. مسلمة جمع القطع: EF + FG = EG → (x + 3) + x = 15. ٣. حل المعادلة: 2x + 3 = 15 → 2x = 12 → x = 6. ٤. طول EF = x + 3 = 6 + 3 = 9m.

تلميح: استخدم مسلمة جمع القطع المستقيمة: EF + FG = EG.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

في المعين QRST، إذا كان قياس الزاوية ∠QRS يساوي 60°، فما قياس الزاوية ∠RST؟

• أ) 60°
• ب) 90°
• ج) 120°
• د) 150°

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 120°

الشرح: ١. المعطيات: QRST معين، ∠QRS = 60°. ٢. خاصية المعين: كل زاويتين متتاليتين (متجاورتين) متكاملتان، أي مجموع قياسهما 180°. ٣. ∠RST و ∠QRS زاويتان متتاليتان. ٤. إذن: ∠RST + 60° = 180° → ∠RST = 180° - 60° = 120°.

تلميح: تذكر: في المعين، الزوايا المتتالية (المتجاورة) متكاملة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع خماسي (له 5 أضلاع)؟

• أ) 450°
• ب) 540°
• ج) 630°
• د) 720°

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 540°

الشرح: ١. المعطيات: المضلع خماسي، عدد الأضلاع (n) = 5. ٢. الصيغة: مجموع قياسات الزوايا الداخلية = (n - 2) × 180°. ٣. التعويض: (5 - 2) × 180° = 3 × 180° = 540°.

تلميح: استخدم الصيغة: مجموع الزوايا الداخلية = (عدد الأضلاع - 2) × 180°.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

في مثلث قائم الزاوية، إذا كان طولا ضلعي القائمة هما 3 و 4، فما طول الوتر؟

• أ) 3
• ب) 4
• ج) 5
• د) 6

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 5

الشرح: ١. المعطيات: ضلعا القائمة: 3، 4. الوتر = x. ٢. نظرية فيثاغورس: (الوتر)² = (الضلع الأول)² + (الضلع الثاني)². ٣. التعويض: x² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. ٤. إذن: x = √25 = 5.

تلميح: استخدم نظرية فيثاغورس: مربع الوتر = مجموع مربعي ضلعي القائمة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل