📚 الصيغ (حساب المثلثات والدوال)
المفاهيم الأساسية
قانون الجيوب: النسبة بين جيب الزاوية والضلع المقابل لها في المثلث ثابتة.
قانون جيب التمام: يربط طول ضلع في المثلث بطولي الضلعين الآخرين وجيب تمام الزاوية المحصورة بينهما.
الدوال المثلثية: نسب بين أضلاع المثلث القائم (المقابل، المجاور، الوتر).
متطابقات مثلثية: علاقات أساسية تربط بين مربعات الدوال المثلثية.
الدوال الرئيسية (الأم): أبسط صورة للدوال (الخطية، القيمة المطلقة، التربيعية، الجذر التربيعي، المقلوب).
خريطة المفاهيم
```markmap
الصيغ والرموز (مرجع)
الهندسة الإحداثية في المستوى
نقطة المنتصف
M = (\frac{x₁ + x₂}{2} , \frac{y₁ + y₂}{2})
المسافة بين نقطتين
d = \sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}
الميل
m = \frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}, x₂ ≠ x₁
المصفوفات
الجمع
[a\ b] + [e\ f] = [a+e\ b+f]
[c\ d]\ \ \ [g\ h]\ \ \ [c+g\ d+h]
الطرح
[a\ b] - [e\ f] = [a-e\ b-f]
[c\ d]\ \ \ [g\ h]\ \ \ [c-g\ d-h]
الضرب
[a\ b] . [e\ f] = [ae + bg\ af + bh]
[c\ d]\ \ \ [g\ h]\ \ \ [ce + dg\ cf + dh]
محدد الرتبة الثانية
|a\ b| = ad - bc
|c\ d|
الضرب بثابت
k [a\ b] = [ka\ kb]
[c\ d]\ \ \ [kc\ kd]
مساحة مثلث رؤوسه
1/2 |a\ b\ 1|
(a,b),(c,d),(e,f) |c\ d\ 1|
|e\ f\ 1|
محدد الرتبة الثالثة (قاعدة الأقطار)
|a\ b\ c| = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
|d\ e\ f|
|g\ h\ i|
كثيرات الحدود
القانون العام
x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}, a ≠ 0
مربع المجموع
(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²
مربع الفرق
(a - b)² = (a - b)(a - b) = a² - 2ab + b²
حاصل ضرب مجموع حدين بالفرق بينهما
(a + b)(a - b) = (a - b)(a + b) = a² - b²
مجموع مكعبين
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
الفرق بين مكعبين
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
مكعب المجموع
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
مكعب الفرق
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
الإحصاء والاحتمال
n!
n! = n (n - 1) . (n - 2) ... 2 . 1
0! = 1
nPr
nPr = \frac{n!}{(n-r)!}
P(B/A)
P(B/A) = \frac{P(A ∩ B)}{P(A)}, P(A) ≠ 0
P(A')
P(A') = 1 - P(A)
المتتابعات والمتسلسلات
الحد النوني في المتتابعة الحسابية
aₙ = a₁ + (n - 1)d
مجموع حدود المتتابعة الحسابية
Sₙ = \frac{n (a₁ + aₙ)}{2}
Sₙ = \frac{n}{2} [2a₁ + (n - 1)d]
الحد النوني في المتتابعة الهندسية
aₙ = a₁rⁿ⁻¹
مجموع حدود المتتابعة الهندسية
Sₙ = \frac{a₁ (1 - rⁿ)}{1 - r}
Sₙ = \frac{a₁ (rⁿ - 1)}{r - 1}, r ≠ 1
حساب المثلثات
قانون الجيوب
\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}, a, b, c ≠ 0
قانون جيب التمام
a² = b² + c² - 2bc \cos A
b² = a² + c² - 2ac \cos B
c² = a² + b² - 2ab \cos C
الدوال المثلثية
\sin θ = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}}
\csc θ = \frac{\text{الوتر}}{\text{المقابل}} = \frac{1}{\sin θ}
\cos θ = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}
\sec θ = \frac{\text{الوتر}}{\text{المجاور}} = \frac{1}{\cos θ}
\tan θ = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{\sin θ}{\cos θ}
\cot θ = \frac{\text{المجاور}}{\text{المقابل}} = \frac{\cos θ}{\sin θ}
متطابقات مثلثية
\cos² θ + \sin² θ = 1
\tan² θ + 1 = \sec² θ
\cot² θ + 1 = \csc² θ
الدوال الرئيسية (الأم)
الدوال الخطية
y = x
دوال القيمة المطلقة
y = |x|
الدوال التربيعية
y = x²
دوال الجذر التربيعي
y = \sqrt{x}, x ≥ 0
دوال المقلوب
y = \frac{1}{x}, x ≠ 0
```
نقاط مهمة
- قانون الجيوب يستخدم عندما تعرف زاويتين وضلعاً، أو ضلعين وزاوية غير محصورة.
- قانون جيب التمام يستخدم عندما تعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، أو ثلاثة أضلاع.
- المتطابقات المثلثية الأساسية مشتقة من نظرية فيثاغورس في المثلث القائم.
- كل دالة رئيسية (أم) لها شكل بياني مميز: خط مستقيم، شكل V، قطع مكافئ، منحنى الجذر التربيعي، قطع زائد.