٣-٩ مساحة الدائرة - كتاب الرياضيات - الصف 7 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: نشاط: • اثن قرصًا دائريًا ورقيًا أربع مرات من المنتصف لتكوّن ١٦ قطاعًا متساويًا كما في الشكل المجاور. • استعمل الرمز «نق» للدلالة على نصف القطر، واستعمل الرمز «مح»؛ للدلالة على محيط الدائرة. • قص الأجزاء الستة عشر التي تكوّنت بعد ثني القرص الدائري الورقي، وصفّها كما في الشكل المجاور لتكون متوازي أضلاع. 1) ما قياس كلّ من القاعدة والارتفاع؟

الإجابة: س1: القاعدة مح 1/2 = ، والارتفاع نق =.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | الرمز / الوصف | |----------|----------------| | قرص دائري ورقي | - | | مُثني 4 مرات | يتكون 16 قطاعًا متساويًا | | نصف القطر | نق | | محيط الدائرة | مح | | الشكل الناتج بعد القص والترتيب | متوازي أضلاع | | **المطلوب** | قياس **القاعدة** وقياس **الارتفاع** لهذا متوازي الأضلاع |
2. **الخطوة 2: المبدأ المستخدم** > عند تقسيم الدائرة إلى عدد كبير من القطاعات المتساوية وترتيبها جنبًا إلى جنب، فإن الشكل الناتج يقترب من متوازي أضلاع.
3. **الخطوة 3: تحديد القاعدة** - تتكون قاعدة متوازي الأضلاع من حواف القطاعات الموضوعة بجانب بعضها. - مجموع أطوال هذه الحواف يساوي نصف محيط الدائرة الكلي. - **السبب**: القطاعات الـ 16 تكون مصفوفة في صفين متقابلين، لذا فإن القاعدة تساوي نصف إجمالي أطوال الأقواس. - ∴ **القاعدة** = نصف محيط الدائرة = $\frac{1}{2} \times \text{مح}$.
4. **الخطوة 4: تحديد الارتفاع** - يمثل الارتفاع في متوازي الأضلاع الناتج المسافة من مركز القرص إلى حافته. - هذه المسافة تساوي تمامًا طول نصف قطر الدائرة الأصلية ($\text{نق}$). - ∴ **الارتفاع** = نصف قطر الدائرة = $\text{نق}$.
5. **الإجابة النهائية:** قياس **قاعدة** متوازي الأضلاع هو **نصف محيط الدائرة** ($\frac{1}{2} \text{مح}$)، وقياس **ارتفاعه** هو **نصف قطر الدائرة** ($\text{نق}$).

سؤال 2: نشاط: 2) عوّض بهاتين القيمتين في صيغة مساحة متوازي الأضلاع.

الإجابة: س2: نق × مح 1/2 = الارتفاع × القاعدة = م.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | القيمة / التعبير | |----------|-------------------| | قاعدة متوازي الأضلاع (من السؤال 1) | $\frac{1}{2} \text{مح}$ | | ارتفاع متوازي الأضلاع (من السؤال 1) | $\text{نق}$ | | **المطلوب** | تعويض هاتين القيمتين في **صيغة مساحة متوازي الأضلاع** لإيجاد تعبير للمساحة (م) |
2. **الخطوة 2: القانون المستخدم** صيغة مساحة متوازي الأضلاع: $\text{م} = \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$
3. **الخطوة 3: التعويض في القانون** - القاعدة = $\frac{1}{2} \text{مح}$ - الارتفاع = $\text{نق}$ - بالتعويض: $\text{م} = \left( \frac{1}{2} \text{مح} \right) \times \left( \text{نق} \right)$
4. **الخطوة 4: إعادة ترتيب التعبير (اختياري)** يمكن كتابة حاصل الضرب بأي ترتيب: $\text{م} = \text{نق} \times \frac{1}{2} \text{مح}$
5. **الإجابة النهائية:** مساحة متوازي الأضلاع تساوي **نصف قطر الدائرة مضروبًا في نصف محيطها**، أي: $\text{م} = \text{نق} \times \frac{1}{2} \text{مح}$

سؤال 3: نشاط: 3) عوّض عن محيط الدائرة بـ ٢ ط نق، ثم بسّط المعادلة، وصف ما تمثله.

الإجابة: س3: نق × (ط نق 2) 1/2 = م ط نق^2 = م وتمثل صيغة مساحة الدائرة.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: جدول المعطيات والمطلوب** | المعطيات | التعبير | |----------|----------| | مساحة متوازي الأضلاع (م) من السؤال 2 | $\text{م} = \text{نق} \times \frac{1}{2} \text{مح}$ | | العلاقة بين المحيط ونصف القطر | $\text{مح} = 2 \pi \text{نق}$ | | **المطلوب** | 1. تعويض قيمة المحيط ($\text{مح}$) في تعبير المساحة. 2. تبسيط المعادلة الناتجة. 3. وصف ما تمثله هذه المعادلة المبسطة. |
2. **الخطوة 2: تعويض قيمة المحيط** - نعوض $\text{مح} = 2 \pi \text{نق}$ في معادلة المساحة: $\text{م} = \text{نق} \times \frac{1}{2} \times ( 2 \pi \text{نق} )$
3. **الخطوة 3: تبسيط المعادلة** 1. $\text{م} = \text{نق} \times \frac{1}{2} \times 2 \pi \text{نق}$ 2. $\text{م} = \text{نق} \times \frac{2}{2} \pi \text{نق}$ 3. $\text{م} = \text{نق} \times 1 \times \pi \text{نق}$ 4. $\text{م} = \pi \times \text{نق} \times \text{نق}$ 5. $\text{م} = \pi \text{نق}^2$
4. **الخطوة 4: وصف المعادلة الناتجة** > المعادلة $\text{م} = \pi \text{نق}^2$ هي **الصيغة الرياضية المعروفة لحساب مساحة الدائرة**. - يوضح هذا النشاط كيف أن تقريب الدائرة بمتوازي أضلاع (عن طريق تقسيمها إلى قطاعات كثيرة) يقودنا إلى استنتاج صيغة مساحتها.
5. **الإجابة النهائية:** بعد التعويض والتبسيط، يصبح تعبير المساحة هو $\pi \text{نق}^2$، والذي **يمثل صيغة مساحة الدائرة**.

سؤال أ: تحقق من فهمك: أ) احسب مساحة دائرة نصف قطرها ٣,٢ سم . قرّب الناتج إلى أقرب عُشر. ب) برك سباحة: طُليت أرضية بركة سباحة دائرية باللون الأزرق، إذا علمت أن قطر أرضية البركة ٩ أمتار، فما المساحة التي طُليت باللون الأزرق؟ ج) رسم سلمان دائرة نصف قطرها ٧ سم، ودائرة أخرى نصف قطرها ١٠ سم. ما الفرق التقريبي بين مساحتي الدائرتين؟

الإجابة: س: تحقق من فهمك - أ ج: 32,2 سم^2 ≈ 10,24 × ط = (3,2)^2 ط = م.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1: تفريغ أجزاء السؤال** هذا السؤال يحتوي على ثلاثة أجزاء: - **(أ)** حساب مساحة دائرة نصف قطرها 3.2 سم. - **(ب)** حساب المساحة المطلية لبركة سباحة دائرية قطرها 9 أمتار. - **(ج)** حساب الفرق التقريبي بين مساحتي دائرتين نصف قطريهما 7 سم و 10 سم.
2. **الخطوة 2: معالجة الجزء (أ)** 1. **المعطيات:** - نصف القطر ($\text{نق}$) = 3.2 سم. 2. **القانون المستخدم:** - مساحة الدائرة $\text{م} = \pi \text{نق}^2$. 3. **خطوات الحساب:** - $\text{م} = \pi \times (3.2)^2 = \pi \times 10.24$. - باستخدام $\pi \approx 3.14$: $\text{م} \approx 3.14 \times 10.24 = 32.1536 \text{ سم}^2$. 4. **التقريب:** - تقريب الناتج 32.1536 إلى أقرب عُشر: 32.2 سم². > **ملاحظة:** إذا استخدمت الآلة الحاسبة مع قيمة $\pi$ الدقيقة، فستحصل على $32.1699...$ سم²، والذي يقرب أيضًا إلى 32.2 سم².
3. **الخطوة 3: معالجة الجزء (ب)** 1. **المعطيات:** - قطر أرضية البركة = 9 م. - نصف القطر ($\text{نق}$) = القطر ÷ 2 = 9 ÷ 2 = 4.5 م. 2. **القانون المستخدم:** - مساحة الدائرة $\text{م} = \pi \text{نق}^2$. 3. **خطوات الحساب:** - $\text{م} = \pi \times (4.5)^2 = \pi \times 20.25$. - باستخدام $\pi \approx 3.14$: $\text{م} \approx 3.14 \times 20.25 = 63.585 \text{ م}^2$. 4. **التقريب:** - تقريب الناتج 63.585 إلى أقرب عُشر: 63.6 م².
4. **الخطوة 4: معالجة الجزء (ج)** 1. **المعطيات:** - نصف قطر الدائرة الأولى ($\text{نق}_1$) = 7 سم. - نصف قطر الدائرة الثانية ($\text{نق}_2$) = 10 سم. 2. **القانون المستخدم:** - مساحة الدائرة $\text{م} = \pi \text{نق}^2$. - الفرق بين المساحتين = $\pi \text{نق}_2^2 - \pi \text{نق}_1^2$. 3. **خطوات الحساب:** - $\text{م}_1 = \pi \times (7)^2 = 49\pi$. - $\text{م}_2 = \pi \times (10)^2 = 100\pi$. - الفرق = $100\pi - 49\pi = 51\pi$. - باستخدام $\pi \approx 3.14$: الفرق $\approx 51 \times 3.14 = 160.14 \text{ سم}^2$. 4. **التقريب:** - تقريب الناتج 160.14 إلى أقرب عُشر: 160.1 سم².
5. **الإجابة النهائية:** - **(أ)** مساحة الدائرة نصف قطرها 3.2 سم **تقريبًا 32.2 سم²**. - **(ب)** المساحة المطلية باللون الأزرق لأرضية البركة **تقريبًا 63.6 مترًا مربعًا**. - **(ج)** الفرق التقريبي بين مساحتي الدائرتين **يقارب 160.1 سم²**.

عند حساب مساحة الدائرة، ما هي القيمة التقريبية الشائعة للثابت الرياضي ط (π) عند التقريب إلى أقرب جزء من مئة؟

• أ) 3.14
• ب) 2.14
• ج) 3.41
• د) 31.4

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: 3.14

الشرح: القيمة التقريبية للثابت الرياضي ط (π) هي حوالي 3.14159...، ولكن غالبًا ما يتم تقريبها إلى 3.14 لسهولة الحسابات اليدوية وكما استخدم في الأمثلة.

تلميح: تذكر القيمة التقريبية الأكثر استخدامًا للثابت ط في مسائل الهندسة.

التصنيف: رقم/تاريخ | المستوى: سهل

احسب مساحة دائرة نصف قطرها ٢,٣ سم. قرّب الناتج إلى أقرب عُشر.

• أ) ٧,٢٩ سم²
• ب) ١٤,٤ سم²
• ج) ١٦,٦ سم²
• د) ٥,٣ سم²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ١٦,٦ سم²

الشرح: ١. صيغة مساحة الدائرة هي م = ط نق². ٢. عوض بقيمة نصف القطر (نق = ٢,٣ سم): م = ط × (٢,٣)². ٣. م = ط × ٥,٢٩. ٤. باستخدام ط ≈ ٣,١٤١٥٩، تكون م ≈ ٥,٢٩ × ٣,١٤١٥٩ = ١٦,٦١٩٠٢. ٥. بالتقريب لأقرب عُشر: ١٦,٦ سم².

تلميح: تذكر أن تربيع نصف القطر هو الخطوة الأولى بعد معرفة قيمة ط (باي).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما هي صيغة حساب مساحة الدائرة؟

• أ) م = ط نق²
• ب) م = ٢ ط نق
• ج) م = ط نق
• د) م = ٢ نق

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: م = ط نق²

الشرح: صيغة مساحة الدائرة هي ناتج ضرب ثابت ط (باي) في مربع نصف القطر (نق).

تلميح: تذكر العلاقة بين 'ط' (باي) و 'نق' (نصف القطر) والمساحة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

عند تعويض محيط الدائرة (مح) بـ ٢ ط نق في الصيغة الأولية لمساحة متوازي الأضلاع المشكّل من قطاعات الدائرة (م = ½ مح × نق)، ما هي صيغة مساحة الدائرة الناتجة؟

• أ) م = ٢ ط نق
• ب) م = ط نق
• ج) م = ط نق²
• د) م = ½ ط نق²

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: م = ط نق²

الشرح: ١. الصيغة الأولية: م = ½ مح × نق. ٢. بالتعويض عن مح = ٢ ط نق: م = ½ (٢ ط نق) × نق. ٣. بالتبسيط: م = ط نق × نق = ط نق².

تلميح: تذكر قانون محيط الدائرة وطبقه في صيغة مساحة متوازي الأضلاع ثم بسط.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

في التعبير اللفظي لمساحة الدائرة الذي ينص على أنها "ناتج ضرب ط في مربع نصف القطر"، ماذا يمثل الجزء "مربع نصف القطر" رمزياً؟

• أ) ٢ نق
• ب) نق
• ج) ط نق
• د) نق²

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: نق²

الشرح: التعبير "مربع نصف القطر" يعني أن نصف القطر (نق) مضروب في نفسه، وهو ما يرمز له رياضياً بـ نق².

تلميح: تذكر معنى كلمة "مربع" في الرياضيات وعلاقتها بالأسس.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

بالنظر إلى أن متوازي الأضلاع المشكّل من قطاعات الدائرة تكون قاعدته نصف محيط الدائرة (½ مح) وارتفاعه نصف قطر الدائرة (نق)، ما هي صيغة مساحته الأولية عند التعويض بهذه الأبعاد؟

• أ) مساحة متوازي الأضلاع = مح × نق
• ب) مساحة متوازي الأضلاع = (½ نق) × مح
• ج) مساحة متوازي الأضلاع = (½ مح) × نق
• د) مساحة متوازي الأضلاع = (مح + نق) ÷ 2

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: مساحة متوازي الأضلاع = (½ مح) × نق

الشرح: مساحة متوازي الأضلاع تساوي القاعدة ضرب الارتفاع. عند تعويض القاعدة بـ (½ مح) والارتفاع بـ (نق)، تصبح الصيغة: م = (½ مح) × نق.

تلميح: تذكر صيغة مساحة متوازي الأضلاع وكيف تم ربط أبعاده بأبعاد الدائرة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل