مثال - كتاب الفيزياء - الصف 11 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

📚 النسب المثلثية وقوانين الجيب وجيب التمام

المفاهيم الأساسية

النسب المثلثية: نسب أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية.

قانون جيب التمام: يمكن حساب أطوال الأضلاع والزوايا في أي مثلث.

قانون الجيب: يمكن حساب أطوال الأضلاع والزوايا في أي مثلث.

خريطة المفاهيم

```markmap

دليل الرياضيات

VIII. علم الهندسة والمثلثات

المفاهيم الأساسية

#### المحيط

• وحدات خطية

#### المساحة

• وحدات مربعة

#### مساحة السطح

• وحدات مربعة

#### الحجم

• وحدات مكعبة

الأشكال ثنائية الأبعاد

#### المربع

• الضلع: a
• المساحة: A = a²
• المحيط: P = 4a

#### المستطيل

• الطول: l
• العرض: w
• المساحة: A = lw
• المحيط: P = 2l + 2w

#### المثلث

• القاعدة: b
• الارتفاع: h
• المساحة: A = \frac{1}{2}bh

#### المثلث القائم الزاوية

##### نظرية فيثاغورس

• c² = a² + b²
• لحساب الوتر: c = \sqrt{a² + b²}

##### النسب المثلثية

• SOH-CAH-TOA: اختصار للتذكر
• جيب الزاوية (sin θ): sin θ = \frac{المقابل}{الوتر}
• جيب تمام الزاوية (cos θ): cos θ = \frac{المجاور}{الوتر}
• ظل الزاوية (tan θ): tan θ = \frac{المقابل}{المجاور}

##### مثلث 45° - 45° - 90°

• طول الوتر = \sqrt{2} \times طول الضلع

##### مثلث 30° - 60° - 90°

• طول الوتر = 2 × طول الضلع الأقصر
• طول الضلع الأطول = \sqrt{3} \times طول الضلع الأقصر

#### الدائرة

• نصف القطر: r
• المساحة: A = πr²
• المحيط (المحيط): C = 2πr

قوانين المثلثات العامة

#### قانون جيب التمام

• يشبه نظرية فيثاغورس مع حد إضافي

#### قانون الجيب

• يمكن حساب أطوال الأضلاع والزوايا

الأشكال ثلاثية الأبعاد

#### المكعب

• الضلع: a
• الحجم: V = a³
• مساحة السطح: SA = 6a²

#### الأسطوانة

• نصف القطر: r
• الارتفاع: h
• الحجم: V = πr²h
• مساحة السطح: SA = 2πrh + 2πr²

#### الكرة

• نصف القطر: r
• الحجم: V = \frac{4}{3}πr³
• مساحة السطح: SA = 4πr²

```

نقاط مهمة

• النسب المثلثية الأساسية هي الجيب (sin)، وجيب التمام (cos)، والظل (tan).
• اختصار SOH-CAH-TOA يساعد على تذكر تعريفات النسب المثلثية.
• قانون جيب التمام يشبه نظرية فيثاغورس، وعندما تكون الزاوية 90°، يصبح مطابقًا لها.
• يمكن استخدام قانوني الجيب وجيب التمام لحساب أطوال الأضلاع والزوايا في أي مثلث، وليس فقط القائم الزاوية.

دليل الرياضيات

Trigonometric Ratios

النسب المثلثية عبارة عن نسب أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية. والنسب المثلثية الأكثر شيوعًا هي الجيب θ sin ، وجيب التمام θ cos والظل θ tan. ولاختصار هذه النسب تعلم الاختصارات الآتية SOH-CAH-TOA. حيث ترمز CAH إلى جيب تمام، مقلوب، الوتر. أما TOA فترمز إلى ظل، مقابل، المجاور.

في المثلث القائم الزاوية ABC، إذا كانت c = 5 cm ، b = 4 cm ، a =3 cm ، فأوجد كلاً من sin θ و cos θ.

في المثلث القائم الزاوية ABC، إذا كانت c = 20.0 cm ، θ = 30.0° ، فأوجد a و b.

Law of Cosines and Law of Sines

قانون جيب التمام وقانون الجيب

يمكنك قانونا جيب التمام والجيب القدرة على حساب أطوال الأضلاع والزوايا في أي مثلث.

قانون جيب التمام يشبه قانون جيب التمام نظرية فيثاغورس باستثناء الحد الأخير. ويمثل قياس الزاوية 90° = θ فإن جتا 0 = θ والحد الأخير يساوي صفرًا.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

228

دليل الرياضيات Trigonometric Ratios النسب المثلثية عبارة عن نسب أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية. والنسب المثلثية الأكثر شيوعًا هي الجيب θ sin ، وجيب التمام θ cos والظل θ tan. ولاختصار هذه النسب تعلم الاختصارات الآتية SOH-CAH-TOA. حيث ترمز CAH إلى جيب تمام، مقلوب، الوتر. أما TOA فترمز إلى ظل، مقابل، المجاور. --- SECTION: مثال --- في المثلث القائم الزاوية ABC، إذا كانت c = 5 cm ، b = 4 cm ، a =3 cm ، فأوجد كلاً من sin θ و cos θ. sin θ = 3 cm / 5 cm = 0.6 cos θ = 4 cm / 5 cm = 0.8 --- SECTION: مثال --- في المثلث القائم الزاوية ABC، إذا كانت c = 20.0 cm ، θ = 30.0° ، فأوجد a و b. sin 30.0° = a / 20.0 cm cos 30.0° = b / 20.0 cm a = (20.0 cm)(sin 30.0°) = 10.0 cm b = (20.0 cm)(cos 30.0°) = 17.3 cm Law of Cosines and Law of Sines قانون جيب التمام وقانون الجيب يمكنك قانونا جيب التمام والجيب القدرة على حساب أطوال الأضلاع والزوايا في أي مثلث. قانون جيب التمام يشبه قانون جيب التمام نظرية فيثاغورس باستثناء الحد الأخير. ويمثل قياس الزاوية 90° = θ فإن جتا 0 = θ والحد الأخير يساوي صفرًا. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 228 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: النسب المثلثية Description: No description Table Structure: Headers: الرموز | مساعدة الذاكرة | التعابير Rows: Row 1: sin θ = a/c | sin θ = المقابل / الوتر | يشير الـ sin إلى نسبة المقابل للزاوية إلى طول الوتر. Row 2: cos θ = b/c | cos θ = المجاور / الوتر | يشير الـ cos إلى نسبة طول الضلع المجاور للزاوية إلى طول الوتر. Row 3: tan θ = a/b | tan θ = المقابل / المجاور | يشير الـ tan إلى نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الضلع المجاور للزاوية. Calculation needed: Defines basic trigonometric ratios. Data: Table defining sine, cosine, and tangent in terms of opposite, adjacent, and hypotenuse, with Arabic and English expressions. Key Values: sin θ = opposite/hypotenuse, cos θ = adjacent/hypotenuse, tan θ = opposite/adjacent Context: Introduces and defines the fundamental trigonometric ratios (sine, cosine, tangent) for right-angled triangles. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram of a right-angled triangle labeled ABC. Angle A is labeled θ. Side opposite angle A is labeled 'a' (ضلع مقابل). Side adjacent to angle A is labeled 'b' (ضلع مجاور). The hypotenuse is labeled 'c' (وتر). The right angle is at vertex C. Context: Illustrates the sides of a right-angled triangle relative to an angle θ, used in trigonometric definitions and examples.