تمارين تطبيقية في الإحصاء والانحدار الخطي - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 | المادة: الإحصاء | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 1

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

مستوى الصعوبة: متوسط

📝 ملخص الصفحة

5. صل العبارات في (A) بما يناسبها من الرموز في (B).

يجب مطابقة كل عبارة في المجموعة (أ) مع الرمز المناسب لها من المجموعة (ب) كما يلي:

* قيمة Y المتوقعة عند قيمة X المقابلة لها: الرمز هو ŷ. لأن ŷ يمثل القيمة المتوقعة للمتغير التابع (Y) بناءً على معادلة الانحدار.

* ميل معادلة خط الانحدار البسيط: الرمز هو M. لأن الميل في معادلة الانحدار الخطي البسيط يُرمز له عادةً بالحرف m.

* مقطع المحور Y: الرمز هو b. لأن الثابت b في معادلة الانحدار ŷ = mx + b يمثل نقطة تقاطع الخط مع محور Y.

* النقطة التي يمر بها خط الانحدار دائماً: الرمز هو (x̄, ȳ). لأن خط الانحدار الخطي البسيط يمر دائمًا عبر نقطة متوسطات المتغيرين (متوسط X، متوسط Y).

* المتوسط الحسابي للمتغير Y: الرمز هو ȳ. لأن ȳ هو الترميز الإحصائي لمتوسط قيم المتغير Y.

6. أعط أمثلة من مسارك التخصصي على علاقات ارتباطية بين متغيرات.

(يجب على الطالب تقديم أمثلة من مجال تخصصه الدراسي. أمثلة محتملة تشمل: العلاقة بين عدد ساعات الدراسة ودرجة الاختبار (ارتباط طردي)، أو العلاقة بين سعر سلعة ما والكمية المطلوبة منها (ارتباط عكسي)، أو العلاقة بين سرعة السيارة ووقت قطع مسافة ثابتة (ارتباط عكسي)).

7. العبارة "يكشف معامل ارتباط بيرسون عن قوة واتجاه العلاقة بين رتب متغيرين" هل هي صحيحة دائماً، أم صحيحة أحياناً، أم غير صحيحة أبداً؟ برر إجابتك.

العبارة غير صحيحة أبداً. السبب: معامل ارتباط بيرسون (r) يقيس قوة واتجاه العلاقة الخطية بين قيم متغيرين كميين (وليس بين رتبهما). أما المعامل الذي يكشف عن قوة واتجاه العلاقة بين رتب متغيرين فهو معامل ارتباط سبيرمان.

8. اكتب معادلة الانحدار الخطي البسيط من المجموعة (A) تحت الرسم البياني المناسب لها من المجموعة (B):

من خلال النظر إلى الرسوم البيانية المعطاة:

* الرسم البياني الأول (الذي على اليسار): يُظهر خط انحدار ذو ميل موجب (يتجه للأعلى من اليسار إلى اليمين). المعادلة المناسبة له من المجموعة (أ) هي: ŷ = 1.6x + 83.

* الرسم البياني الثاني (الذي على اليمين): يُظهر خط انحدار ذو ميل سالب (يتجه للأسفل من اليسار إلى اليمين). المعادلة المناسبة له من المجموعة (أ) هي: ŷ = -x + 50.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

5

نوع: QUESTION

5: صل العبارات في (A) بما يناسبها من الرموز في (B).

6

نوع: QUESTION

6: أعط أمثلة من مسارك التخصصي على علاقات ارتباطية بين متغيرات.

7

نوع: QUESTION

7: العبارة "يكشف معامل ارتباط بيرسون عن قوة واتجاه العلاقة بين رتب متغيرين" هل هي صحيحة دائماً، أم صحيحة أحياناً، أم غير صحيحة أبداً؟ برر إجابتك.

8

نوع: QUESTION

8: اكتب معادلة الانحدار الخطي البسيط من المجموعة (A) تحت الرسم البياني المناسب لها من المجموعة (B):

نوع: METADATA

133
وزارة التعليم
Ministry of Education
2023 - 1447

🔍 عناصر مرئية

A two-column table for matching phrases in column (A) with symbols in column (B).

المجموعة (B)

A scatter plot showing data points with a clear positive linear trend. A regression line, corresponding to the equation ŷ = 1.6x + 83, is drawn through the points, indicating a positive slope and a positive y-intercept.

المجموعة (B)

A scatter plot showing data points with a clear negative linear trend. A regression line, corresponding to the equation ŷ = -x + 50, is drawn through the points, indicating a negative slope. While the visual line's y-intercept appears closer to 68, the provided equation specifies an intercept of 50.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: 5 ---
5: صل العبارات في (A) بما يناسبها من الرموز في (B).

--- SECTION: 6 ---
6: أعط أمثلة من مسارك التخصصي على علاقات ارتباطية بين متغيرات.

--- SECTION: 7 ---
7: العبارة "يكشف معامل ارتباط بيرسون عن قوة واتجاه العلاقة بين رتب متغيرين" هل هي صحيحة دائماً، أم صحيحة أحياناً، أم غير صحيحة أبداً؟ برر إجابتك.

--- SECTION: 8 ---
8: اكتب معادلة الانحدار الخطي البسيط من المجموعة (A) تحت الرسم البياني المناسب لها من المجموعة (B):

133
وزارة التعليم
Ministry of Education
2023 - 1447

--- VISUAL CONTEXT ---
**TABLE**: Untitled
Description: A two-column table for matching phrases in column (A) with symbols in column (B).
Table Structure:
Headers: (A) | (B)
Rows:
Row 1: قيمة Y المتوقعة عند قيمة X المقابلة لها | b
Row 2: ميل معادلة خط الانحدار البسيط | ŷ
Row 3: مقطع المحور Y | M
Row 4: النقطة التي يمر بها خط الانحدار دائماً | ȳ
Row 5: المتوسط الحسابي للمتغير Y | (x̄, ȳ)
Calculation needed: Matching definitions to symbols in statistics.
Context: This table tests knowledge of statistical symbols and their definitions in the context of linear regression.

**GRAPH**: المجموعة (B)
Description: A scatter plot showing data points with a clear positive linear trend. A regression line, corresponding to the equation ŷ = 1.6x + 83, is drawn through the points, indicating a positive slope and a positive y-intercept.
X-axis: x
Y-axis: y
Data: The scatter points show a general upward trend, indicating a positive correlation.
Context: Illustrates a positive linear correlation between two variables and the corresponding linear regression line, used to predict y values from x values.

**GRAPH**: المجموعة (B)
Description: A scatter plot showing data points with a clear negative linear trend. A regression line, corresponding to the equation ŷ = -x + 50, is drawn through the points, indicating a negative slope. While the visual line's y-intercept appears closer to 68, the provided equation specifies an intercept of 50.
X-axis: x
Y-axis: y
Data: The scatter points show a general downward trend, indicating a negative correlation.
Context: Illustrates a negative linear correlation between two variables and the corresponding linear regression line, used to predict y values from x values.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 4

سؤال 5: 5: صل العبارات في (A) بما يناسبها من الرموز في (B). (A): - قيمة Y المتوقعة عند قيمة X المقابلة لها - ميل معادلة خط الانحدار البسيط - مقطع المحور y - النقطة التي يمر بها خط الانحدار دائماً - المتوسط الحسابي للمتغير y

الإجابة: س.5: القيمة المتوقعة ← ŷ الميل ← b المقطع ← M النقطة ← (x̄, ȳ) المتوسط ← ȳ

خطوات الحل:

**الشرح:** هذا السؤال يتطلب مطابقة مصطلحات الإحصاء المتعلقة بتحليل الانحدار الخطي البسيط مع رموزها. لنفهم كل مصطلح: - **قيمة Y المتوقعة عند قيمة X المقابلة لها**: هذه هي القيمة التي نحسبها من معادلة خط الانحدار عندما نعوض بقيمة معينة لـ X، ويرمز لها عادة بـ ŷ (يقرأ "y hat"). - **ميل معادلة خط الانحدار البسيط**: الميل يوضح مقدار التغير في Y عندما تتغير X بمقدار وحدة واحدة، ويرمز له بـ b. - **مقطع المحور y**: هو قيمة Y عندما تكون X تساوي صفراً، ويرمز له بـ M أو a. - **النقطة التي يمر بها خط الانحدار دائماً**: خط الانحدار يمر دائماً بنقطة متوسطات X و Y، أي النقطة (x̄, ȳ). - **المتوسط الحسابي للمتغير y**: هذا هو الوسط الحسابي لقيم Y، ويرمز له بـ ȳ (يقرأ "y bar"). إذن الإجابة هي: **القيمة المتوقعة ← ŷ، الميل ← b، المقطع ← M، النقطة ← (x̄, ȳ)، المتوسط ← ȳ**

سؤال 6: 6: أعط أمثلة من مسارك التخصصي على علاقات ارتباطية بين متغيرات.

الإجابة: 6: المذاكرة والاختبار (طردي)، الحرارة والملابس (طردي)، الهاتف والنوم (عكسي)

خطوات الحل:

**الشرح:** العلاقة الارتباطية هي علاقة بين متغيرين، حيث يتغير أحدهما بتغير الآخر. هناك نوعان رئيسيان: 1. **العلاقة الطردية (الموجبة)**: عندما يزيد أحد المتغيرين يزيد الآخر، أو عندما ينقص أحدهما ينقص الآخر. 2. **العلاقة العكسية (السالبة)**: عندما يزيد أحد المتغيرين ينقص الآخر، أو العكس. من مساري التخصصي (الإحصاء أو البحث العلمي)، يمكن إعطاء أمثلة مثل: - **المذاكرة والاختبار (طردي)**: كلما زادت ساعات المذاكرة، زادت درجة الاختبار (عادة). - **الحرارة والملابس (طردي)**: كلما زادت درجة الحرارة، قل عدد قطع الملابس التي نرتديها (هذا مثال على علاقة طردية عكسية في السلوك، لكن الارتباط بين الحرارة وكمية الملابس طردي). - **الهاتف والنوم (عكسي)**: كلما زاد وقت استخدام الهاتف، قل عدد ساعات النوم (عادة). إذن الإجابة هي: **المذاكرة والاختبار (طردي)، الحرارة والملابس (طردي)، الهاتف والنوم (عكسي)**

سؤال 7: 7: العبارة "يكشف معامل ارتباط بيرسون عن قوة واتجاه العلاقة بين رتب متغيرين" هل هي صحيحة دائماً، أم صحيحة أحياناً، أم غير صحيحة أبداً؟ برر إجابتك.

الإجابة: س7: غير صحيحة؛ بيرسون للقيم الكمية، وسبيرمان للرتب.

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** معامل ارتباط بيرسون (Pearson) هو مقياس إحصائي يستخدم لقياس قوة واتجاه العلاقة الخطية بين متغيرين كميين (مثل الطول والوزن، العلامة والوقت). **الخطوة 2 (التحليل):** العبارة تقول: "يكشف معامل ارتباط بيرسون عن قوة واتجاه العلاقة بين رتب متغيرين". الكلمة المهمة هنا هي "رتب". الرتب تعني أن البيانات مرتبة (مثل المركز الأول، الثاني، الثالث) وليست قيماً كمية مباشرة. **الخطوة 3 (النتيجة):** لقياس العلاقة بين رتب متغيرين، نستخدم معامل ارتباط سبيرمان (Spearman)، وليس بيرسون. بيرسون مخصص للبيانات الكمية الأصلية، بينما سبيرمان مخصص للرتب أو البيانات التي يمكن تحويلها إلى رتب. لذلك العبارة غير صحيحة؛ لأن بيرسون للقيم الكمية، وسبيرمان للرتب. إذن الإجابة هي: **غير صحيحة؛ بيرسون للقيم الكمية، وسبيرمان للرتب.**

سؤال 8: 8: اكتب معادلة الانحدار الخطي البسيط من المجموعة (A) تحت الرسم البياني المناسب لها من المجموعة (B): (A): a. ŷ = -x + 50 b. ŷ = 1.6x + 83

الإجابة: 8 (اليمين): ŷ = -x + 50 (a) 8 (اليسار): ŷ = 1.6x + 83 (b)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا معادلتان للانحدار الخطي البسيط: - a. ŷ = -x + 50 - b. ŷ = 1.6x + 83 ونحتاج إلى مطابقة كل معادلة مع الرسم البياني المناسب لها (اليمين واليسار). **الخطوة 2 (تحليل المعادلات):** - **المعادلة a: ŷ = -x + 50** - الميل (معامل x) = -1 (سالب). - هذا يعني أن العلاقة بين x و y عكسية: عندما تزيد x، تنقص y. - المقطع (الثابت) = 50، أي عندما x=0، فإن ŷ=50. - الرسم البياني لهذا الخط سيكون خطاً ينحدر للأسفل (من اليسار إلى اليمين). - **المعادلة b: ŷ = 1.6x + 83** - الميل = 1.6 (موجب). - هذا يعني أن العلاقة بين x و y طردية: عندما تزيد x، تزيد y. - المقطع = 83، أي عندما x=0، فإن ŷ=83. - الرسم البياني لهذا الخط سيكون خطاً ينحدر للأعلى (من اليسار إلى اليمين). **الخطوة 3 (المطابقة مع الرسوم البيانية):** بناءً على الوصف، المعادلة ذات الميل الموجب (b) تنتمي للرسم البياني الذي يرتفع من اليسار إلى اليمين (اليسار في السؤال)، والمعادلة ذات الميل السالب (a) تنتمي للرسم البياني الذي ينخفض من اليسار إلى اليمين (اليمين في السؤال). إذن الإجابة هي: **8 (اليمين): ŷ = -x + 50 (a)، 8 (اليسار): ŷ = 1.6x + 83 (b)**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما الرمز الذي يمثل ميل معادلة خط الانحدار البسيط؟

الإجابة: الرمز b

الشرح: في سياق الانحدار الخطي البسيط، يُستخدم الرمز b عادةً لتمثيل ميل خط الانحدار، وهو مقدار التغير في المتغير التابع (Y) لكل وحدة تغير في المتغير المستقل (X).

تلميح: انظر إلى الجدول الذي يربط الرموز بالتعريفات، وابحث عن تعريف الميل.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما الرمز الذي يمثل مقطع المحور Y (قيمة Y عندما X=0) في معادلة الانحدار؟

الإجابة: الرمز M

الشرح: في معادلة الانحدار الخطي البسيط على الصورة ŷ = bX + M، يمثل M قيمة ŷ عندما تكون X تساوي صفراً، أي نقطة تقاطع خط الانحدار مع المحور الرأسي (Y).

تلميح: فكر في الجزء الثابت من معادلة الخط المستقيم الذي لا يعتمد على X.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما النقطة التي يمر بها خط الانحدار دائماً؟

الإجابة: النقطة (x̄, ȳ)، أي نقطة متوسطي المتغيرين X و Y.

الشرح: خط الانحدار الخطي البسيط يمر دائماً عبر نقطة متوسطات العينة (x̄, ȳ). هذه خاصية رياضية ثابتة تنطبق على أي مجموعة بيانات عند حساب خط الانحدار الأمثل بطريقة المربعات الصغرى.

تلميح: تذكر خاصية أساسية لخط الانحدار الخطي البسيط تتعلق بمركز توزيع البيانات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

هل يكشف معامل ارتباط بيرسون عن قوة واتجاه العلاقة بين رتب متغيرين؟ برر إجابتك.

الإجابة: غير صحيحة أبداً. معامل ارتباط بيرسون يقيس قوة واتجاه العلاقة الخطية بين قيم المتغيرين الأصلية، وليس بين رتبهما.

الشرح: المعامل الذي يقيس قوة واتجاه العلاقة بين رتب متغيرين هو معامل ارتباط سبيرمان، وليس معامل ارتباط بيرسون. بيرسون يعتمد على القيم الفعلية ويفترض علاقة خطية وتبعية توزيع طبيعي، بينما سبيرمان يعمل على الرتب وهو معامل لا معلمي.

تلميح: راجع الفرق بين معامل ارتباط بيرسون ومعامل ارتباط آخر مصمم خصيصاً للرتب.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: صعب

ما هي الصيغة العامة لمعادلة الانحدار الخطي البسيط؟

الإجابة: ŷ = bX + M، حيث ŷ هي القيمة المتوقعة لـ Y، و b هو الميل، و X هي القيمة المعطاة للمتغير المستقل، و M هو مقطع المحور Y.

الشرح: تمثل هذه المعادلة النموذج الرياضي للعلاقة الخطية بين متغير مستقل (X) ومتغير تابع (Y). تُستخدم للتنبؤ بقيم Y بناءً على قيم X. الميل (b) يحدد اتجاه وقوة العلاقة، والثابت (M) يعطي القيمة الأساسية عندما تكون X صفراً.

تلميح: تذكر أن المعادلة تصف خطاً مستقيماً، ولها جزئان: جزء يعتمد على X وجزء ثابت.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط