الوسيط (Median) وخصائصه - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 | المادة: الإحصاء | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 1

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

مستوى الصعوبة: متوسط

📝 ملخص الصفحة

تقدم هذه الصفحة تمرينًا تعليميًا حول مقاييس النزعة المركزية، مع التركيز على الوسيط. يبدأ النص بتمرين "تحقق من فهمك 2" الذي يطلب حساب المتوسط الحسابي لعدد الموظفين في فروع شركة عقارية بناءً على جدول بيانات يضم 20 قيمة تتراوح بين 30 و300 موظف، بما في ذلك قيمة متطرفة (300).

يتم تعريف الوسيط كمقياس للنزعة المركزية، وهو العدد الذي يتوسط البيانات بعد ترتيبها تصاعديًا أو تنازليًا. يتم شرح كيفية حسابه بناءً على حجم العينة (n)، حيث إذا كان n فرديًا، فالوسيط هو الرقم الموجود في منتصف البيانات، وإذا كان n زوجيًا، فالوسيط هو المتوسط الحسابي للعددين الأوسطين.

تذكر الصفحة خصائص الوسيط، بما في ذلك سهولة الحساب والفهم، وعدم تأثره بالقيم المتطرفة، وكونه محدد القيمة حيث يسبقه 50% من القيم ويليه 50% منها. يوصى باستخدام الوسيط عندما تحتوي البيانات على قيم متطرفة، حيث يعطي فكرة أدق عن قيم المجموعة مقارنة بالمتوسط الحسابي.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

تحقق من فهمك 2

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك 2

2

نوع: QUESTION

تمثل البيانات الآتية أعداد الموظفين في فروع الشركة العقارية في عدد من مناطق المملكة. احسب المتوسط الحسابي لعدد الموظفين.

الوسيط (Median)

نوع: محتوى تعليمي

الوسيط (Median):

نوع: محتوى تعليمي

أحد مقاييس النزعة المركزية المستخدمة لدراسة البيانات، وهو العدد الذي يتوسط البيانات بعد ترتيبها تصاعديًا أو تنازليًا. يسمى مكان الوسيط في البيانات رتبة الوسيط.
إذا كان حجم العينة n فرديًا، فالوسيط هو الرقم الموجود في منتصف البيانات (ويمكن حساب رتبة الوسيط بالعلاقة (n+1)/2). أما إذا كان حجم العينة n زوجيًا، فالوسيط هو المتوسط الحسابي للعددين الأوسطين (ويمكن حساب رتبة الوسيط بحساب المتوسط الحسابي للقِيمتين n/2 و (n/2 + 1)).

خصائص الوسيط

نوع: محتوى تعليمي

خصائص الوسيط:

نوع: محتوى تعليمي

سهل الحساب والفهم.
لا يتأثر بالقيم المتطرفة.
محدد القيمة حيث يسبقه 50% من القيم، ويليه 50% منها؛ ولذا فهو متوسط مكانيًا وليس متوسطًا حسابيًا.
ويفضل استخدامه عندما تحتوي مجموعة البيانات على بعض القيم المتطرفة. حيث يعطي الوسيط فكرة أدق عن قيم المجموعة مقارنة بالمتوسط الحسابي في هذه الحالة.

نوع: NON_EDUCATIONAL

وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447

نوع: METADATA

68

🔍 عناصر مرئية

بيانات أعداد الموظفين

A 4x5 table displaying numerical data representing the number of employees in various branches of a real estate company.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: تحقق من فهمك 2 ---
تحقق من فهمك 2

--- SECTION: 2 ---
تمثل البيانات الآتية أعداد الموظفين في فروع الشركة العقارية في عدد من مناطق المملكة. احسب المتوسط الحسابي لعدد الموظفين.

--- SECTION: الوسيط (Median) ---
الوسيط (Median):

أحد مقاييس النزعة المركزية المستخدمة لدراسة البيانات، وهو العدد الذي يتوسط البيانات بعد ترتيبها تصاعديًا أو تنازليًا. يسمى مكان الوسيط في البيانات رتبة الوسيط.
إذا كان حجم العينة n فرديًا، فالوسيط هو الرقم الموجود في منتصف البيانات (ويمكن حساب رتبة الوسيط بالعلاقة (n+1)/2). أما إذا كان حجم العينة n زوجيًا، فالوسيط هو المتوسط الحسابي للعددين الأوسطين (ويمكن حساب رتبة الوسيط بحساب المتوسط الحسابي للقِيمتين n/2 و (n/2 + 1)).

--- SECTION: خصائص الوسيط ---
خصائص الوسيط:

1. سهل الحساب والفهم.
2. لا يتأثر بالقيم المتطرفة.
3. محدد القيمة حيث يسبقه 50% من القيم، ويليه 50% منها؛ ولذا فهو متوسط مكانيًا وليس متوسطًا حسابيًا.
ويفضل استخدامه عندما تحتوي مجموعة البيانات على بعض القيم المتطرفة. حيث يعطي الوسيط فكرة أدق عن قيم المجموعة مقارنة بالمتوسط الحسابي في هذه الحالة.

وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447

68

--- VISUAL CONTEXT ---
**TABLE**: بيانات أعداد الموظفين
Description: A 4x5 table displaying numerical data representing the number of employees in various branches of a real estate company.
Table Structure:
Headers: N/A
Rows:
Row 1: 60 | 110 | 40 | 80 | 30
Row 2: 70 | 30 | 90 | 60 | 30
Row 3: 65 | 45 | 80 | 300 | 45
Row 4: 65 | 60 | 100 | 40 | 45
Calculation needed: The data is used to calculate the arithmetic mean and analyze the effect of removing an outlier (300) on the mean.
X-axis: N/A
Y-axis: N/A
Data: The table contains 20 integer values representing employee counts. The values range from 30 to 300.
Key Values: 30, 40, 45, 60, 65, 70, 80, 90, 100, 110, 300
Context: This table provides raw data for an exercise on calculating the arithmetic mean and understanding the impact of outliers on measures of central tendency, specifically contrasting with the median's robustness to outliers.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال س:2: تمثل البيانات الآتية أعداد الموظفين في فروع الشركة العقارية في عدد من مناطق المملكة. احسب المتوسط الحسابي لعدد الموظفين. ماذا يحدث إذا حذفنا القيمة 300 من البيانات؟ ناقش ذلك.

الإجابة: س:2 x̄ = مجموع القيم عددها = 1445 20 = 72.25 موظفًا.

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - لدينا مجموعة بيانات تمثل أعداد الموظفين في فروع شركة. - عدد القيم في المجموعة الأصلية هو 20 قيمة. - مجموع هذه القيم هو 1445 موظفًا. - هناك قيمة واحدة مرتفعة جدًا وهي 300 موظف.
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون المتوسط الحسابي: $$\bar{x} = \frac{\text{مجموع القيم}}{\text{عدد القيم}}$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض في القانون: $$\bar{x} = \frac{1445}{20} = 72.25$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المتوسط الحسابي لعدد الموظفين = **72.25 موظفًا**

سؤال 2:: تمثل البيانات الآتية أعداد الموظفين في فروع الشركة العقارية في عدد من مناطق المملكة. احسب المتوسط الحسابي لعدد الموظفين. ماذا يحدث إذا حذفنا القيمة 300 من البيانات؟ ناقش ذلك.

الإجابة: 2: عند حذف 300 (قيمة متطرفة جداً) يقل المتوسط الحسابي بشكل واضح. 1145 ÷ 19 ≈ 60.26 إذا حذفنا القيمة 300 ينخفض المتوسط من 72.25 إلى 60.26 لأن القيمة 300 مرتفعة جداً، وحذفها يجعل المتوسط أقرب لمعظم القيم.

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات الجديدة):** لنفترض أننا حذفنا القيمة 300 من البيانات: - يصبح عدد القيم = 19 بدلاً من 20. - مجموع القيم الجديد = 1445 - 300 = 1145.
**الخطوة 2 (حساب المتوسط الجديد):** نطبق نفس القانون: $$\bar{x}_{\text{جديد}} = \frac{1145}{19} \approx 60.26$$
**الخطوة 3 (المناقشة):** لاحظ أن: 1. المتوسط انخفض من 72.25 إلى 60.26. 2. السبب: القيمة 300 هي **قيمة متطرفة** (شاذة) لأنها أعلى بكثير من باقي القيم. 3. عندما نحذف قيمة متطرفة مرتفعة، ينخفض المتوسط ليصبح أكثر تمثيلاً لمعظم البيانات. 4. هذا يوضح كيف أن **القيم المتطرفة تؤثر بشدة على المتوسط الحسابي**. إذن: **حذف القيمة 300 يجعل المتوسط ينخفض بشكل واضح ويصبح أقرب إلى القيم الأخرى في المجموعة**.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما هو تعريف الوسيط (Median) في الإحصاء؟

الإجابة: الوسيط هو أحد مقاييس النزعة المركزية المستخدمة لدراسة البيانات، وهو العدد الذي يتوسط البيانات بعد ترتيبها تصاعديًا أو تنازليًا.

الشرح: الوسيط يعطي القيمة التي تقسم البيانات إلى نصفين متساويين بعد ترتيبها، مما يجعله مقياساً قوياً للنزعة المركزية.

تلميح: فكر في المقياس الذي يبحث عن القيمة الوسطى في مجموعة مرتبة من البيانات.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

كيف نحسب الوسيط عندما يكون حجم العينة (n) فرديًا؟

الإجابة: إذا كان حجم العينة n فرديًا، فالوسيط هو الرقم الموجود في منتصف البيانات، ويمكن حساب رتبة الوسيط بالعلاقة (n+1)/2.

الشرح: في العينات ذات الحجم الفردي، هناك قيمة واحدة فقط تقع في المنتصف تماماً بعد الترتيب، وهي الوسيط.

تلميح: تذكر أن الوسيط هو القيمة التي تقع في المركز عند ترتيب البيانات. فكر في كيفية إيجاد المركز في مجموعة فردية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

كيف نحسب الوسيط عندما يكون حجم العينة (n) زوجيًا؟

الإجابة: إذا كان حجم العينة n زوجيًا، فالوسيط هو المتوسط الحسابي للعددين الأوسطين، ويمكن حساب رتبة الوسيط بحساب المتوسط الحسابي للقيمتين n/2 و (n/2 + 1).

الشرح: في العينات ذات الحجم الزوجي، نأخذ القيمتين اللتين تقعان في المركز بعد الترتيب، ثم نحسب متوسطهما الحسابي للحصول على الوسيط.

تلميح: فكر في أنه لا يوجد قيمة واحدة في المنتصف في مجموعة زوجية. كيف يمكننا إيجاد قيمة تمثل المركز؟

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي إحدى الخصائص الرئيسية للوسيط التي تجعله مفضلاً في وجود قيم متطرفة؟

الإجابة: الوسيط لا يتأثر بالقيم المتطرفة، ويفضل استخدامه عندما تحتوي مجموعة البيانات على بعض القيم المتطرفة لأنه يعطي فكرة أدق عن قيم المجموعة مقارنة بالمتوسط الحسابي في هذه الحالة.

الشرح: بما أن الوسيط يعتمد فقط على ترتيب القيم وموقعها المركزي، وليس على قيمتها العددية المطلقة، فإن القيم المتطرفة لا تغير من قيمته.

تلميح: تذكر أن القيم المتطرفة (القيم الكبيرة جداً أو الصغيرة جداً) تؤثر بشدة على المتوسط الحسابي. هل هناك مقياس مقاوم لهذا التأثير؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

لماذا يسمى الوسيط 'متوسطًا مكانيًا' وليس 'متوسطًا حسابيًا'؟

الإجابة: لأن الوسيط محدد القيمة حيث يسبقه 50% من القيم، ويليه 50% منها؛ فهو يقسم البيانات إلى نصفين متساويين من حيث العدد، وليس من حيث المجموع الحسابي.

الشرح: المتوسط الحسابي يعتمد على جمع جميع القيم وتقسيمها على عددها، بينما الوسيط يعتمد فقط على ترتيب القيم وموقع القيمة الوسطى، مما يجعله مقياساً مكانياً.

تلميح: فكر في معنى 'مكاني' مقابل 'حسابي'. أي منهما يرتبط بالموقع والترتيب؟

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب