تحقق من فهمك 1 وخصائص المتوسط الحسابي - كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 - المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الإحصاء - الصف 12 - الفصل 1 | المادة: الإحصاء | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 1

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

مستوى الصعوبة: متوسط

📝 ملخص الصفحة

تتضمن هذه الصفحة تمرينًا تعليميًا يركز على حساب المتوسط الحسابي وتحليل خصائصه. يبدأ التمرين بمسألة عملية تتطلب إيجاد المتوسط الحسابي لأطوال 10 لاعبين من المنتخب السعودي لكرة القدم المشاركين في كأس العالم 2022، باستخدام البيانات: 160، 166، 171، 158، 175، 162، 173، 169، 182، 165. يهدف هذا الجزء إلى تطبيق مفهوم المتوسط الحسابي في سياق رياضي واقعي.

يلي ذلك قسم يشرح خصائص المتوسط الحسابي، حيث يتم عرض ثلاث خصائص رئيسية: تأثير إضافة أو طرح قيمة ثابتة على المتوسط، وكيفية تأثير القيم المتطرفة على حساب المتوسط، مما يوضح محدوديات استخدامه في حالات وجود مثل هذه القيم. هذا الجزء يعزز الفهم النظري للمفهوم.

يختتم الصفحة بمثال تطبيقي (مثال 2) يعود إلى سياق سابق (مثال 1 غير مذكور في النص) لحساب المتوسط الحسابي الجديد بعد إضافة 15 دقيقة للمذاكرة، مما يدعم تطبيق الخصائص في مواقف عملية. الصفحة مصممة لتعزيز مهارات التحليل الرياضي والتفكير النقدي لدى الطلاب.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

تحقق من فهمك 1

نوع: QUESTION

تحقق من فهمك 1

1

نوع: QUESTION

تمثل البيانات الآتية أطوال عينة مكونة من 10 لاعبين (من المنتخب السعودي لكرة القدم) مشاركين في كأس العالم 2022م. أوجد المتوسط الحسابي لأطوال اللاعبين.
160, 166, 171, 158, 175, 162, 173, 169, 182, 165

خصائص المتوسط الحسابي:

نوع: محتوى تعليمي

خصائص المتوسط الحسابي:

نوع: محتوى تعليمي

إذا كان المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم X1, ..., Xn يساوي X̄ وتم إضافة قيمة مقدارها (C) لكل قيمة من هذه القيم فإن المتوسط الحسابي لها بعد الإضافة يصبح (X̄ + C).
إذا كان المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم X1, ..., Xn يساوي X̄ وتم طرح قيمة مقدارها (C) من كل قيمة من هذه القيم فإن المتوسط الحسابي لها بعد الطرح يصبح (X̄ - C).
تؤثر القيم المتطرفة على حساب المتوسط الحسابي؛ ولذلك لا يفضل استخدام المتوسط الحسابي عند وجود قيم متطرفة في البيانات.

مثال 2

نوع: محتوى تعليمي

مثال 2

نوع: محتوى تعليمي

بالعودة إلى مثال (1)، إذا قرر كل طالب إضافة 15 دقيقة يوميا للمذاكرة، فكم يصبح المتوسط الحسابي الجديد؟
الحل:
94.5 + 15 = 109.5
إذن المتوسط الحسابي يساوي 109.5

نوع: METADATA

وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447
67

🔍 عناصر مرئية

An image showing a group of ten football players in green jerseys, standing in a line on a green field, likely representing the Saudi national football team. They are facing the viewer. The image is associated with the question about their heights.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: تحقق من فهمك 1 ---
تحقق من فهمك 1

--- SECTION: 1 ---
تمثل البيانات الآتية أطوال عينة مكونة من 10 لاعبين (من المنتخب السعودي لكرة القدم) مشاركين في كأس العالم 2022م. أوجد المتوسط الحسابي لأطوال اللاعبين.
160, 166, 171, 158, 175, 162, 173, 169, 182, 165

--- SECTION: خصائص المتوسط الحسابي: ---
خصائص المتوسط الحسابي:

1. إذا كان المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم X1, ..., Xn يساوي X̄ وتم إضافة قيمة مقدارها (C) لكل قيمة من هذه القيم فإن المتوسط الحسابي لها بعد الإضافة يصبح (X̄ + C).
2. إذا كان المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم X1, ..., Xn يساوي X̄ وتم طرح قيمة مقدارها (C) من كل قيمة من هذه القيم فإن المتوسط الحسابي لها بعد الطرح يصبح (X̄ - C).
3. تؤثر القيم المتطرفة على حساب المتوسط الحسابي؛ ولذلك لا يفضل استخدام المتوسط الحسابي عند وجود قيم متطرفة في البيانات.

--- SECTION: مثال 2 ---
مثال 2

بالعودة إلى مثال (1)، إذا قرر كل طالب إضافة 15 دقيقة يوميا للمذاكرة، فكم يصبح المتوسط الحسابي الجديد؟
الحل:
94.5 + 15 = 109.5
إذن المتوسط الحسابي يساوي 109.5

وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447
67

--- VISUAL CONTEXT ---
**FIGURE**: Untitled
Description: An image showing a group of ten football players in green jerseys, standing in a line on a green field, likely representing the Saudi national football team. They are facing the viewer. The image is associated with the question about their heights.
Context: Illustrates the context of the data provided for calculating the arithmetic mean of football players' heights.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال س:1: تمثل البيانات الآتية أطوال عينة مكونة من 10 لاعبين (من المنتخب السعودي لكرة القدم) مشاركين في كأس العالم 2022م. أوجد المتوسط الحسابي لأطوال اللاعبين. 160, 166, 171, 158, 175, 162, 173, 169, 182, 165

الإجابة: س:1 160 + 166 + 171 + 158 + 175 + 162 + 173 + 169 + 182 + 165 = 1681 --------------------------- 10 = 168.1 سم

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - لدينا عينة مكونة من 10 لاعبين. - أطوال اللاعبين بالترتيب هي: 160، 166، 171، 158، 175، 162، 173، 169، 182، 165 (جميعها بوحدة السنتيمتر).
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون المتوسط الحسابي: $$\text{المتوسط الحسابي} = \frac{\text{مجموع القيم}}{\text{عدد القيم}}$$
**الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نجمع أطوال اللاعبين العشرة: $$160 + 166 + 171 + 158 + 175 + 162 + 173 + 169 + 182 + 165 = 1681$$ ثانياً، نقسم هذا المجموع على عدد اللاعبين (10): $$\frac{1681}{10} = 168.1$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المتوسط الحسابي لأطوال اللاعبين = **168.1 سم**

سؤال س:2: بالعودة إلى مثال (1)، إذا قرر كل طالب إضافة 15 دقيقة يومياً للمذاكرة، فكم يصبح المتوسط الحسابي الجديد؟

الإجابة: س:2 94.5 + 15 = 109.5 دقيقة

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - هذا السؤال مرتبط بمثال آخر (مثال 1) غير موجود في بياناتنا الحالية. لكنه يذكر أن المتوسط الحسابي الأصلي لوقت المذاكرة كان 94.5 دقيقة. - القرار الجديد: كل طالب يزيد 15 دقيقة يومياً على وقت مذاكرته.
**الخطوة 2 (المفهوم):** نتذكر خاصية مهمة للمتوسط الحسابي: إذا أضفنا نفس القيمة (مثل 15 دقيقة) إلى كل عنصر في مجموعة البيانات، فإن المتوسط الحسابي الجديد سيزيد بنفس هذه القيمة. بمعنى آخر: $$\text{المتوسط الجديد} = \text{المتوسط القديم} + \text{القيمة المضافة}$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: المتوسط القديم = 94.5 دقيقة. القيمة المضافة لكل طالب = 15 دقيقة. إذن: $$\text{المتوسط الجديد} = 94.5 + 15 = 109.5$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المتوسط الحسابي الجديد لوقت المذاكرة = **109.5 دقيقة**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما هي الخاصية الأولى من خصائص المتوسط الحسابي؟

الإجابة: إذا كان المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم X1, ..., Xn يساوي X̄ وتم إضافة قيمة مقدارها (C) لكل قيمة من هذه القيم فإن المتوسط الحسابي لها بعد الإضافة يصبح (X̄ + C).

الشرح: هذه الخاصية تبين أن إضافة قيمة ثابتة إلى كل عنصر في مجموعة البيانات يؤدي إلى إضافة نفس القيمة إلى المتوسط الحسابي، مما يحافظ على شكل التوزيع مع إزاحته.

تلميح: فكر في ما يحدث للمتوسط عند إجراء عملية جمع ثابتة على جميع القيم.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما هي الخاصية الثانية من خصائص المتوسط الحسابي؟

الإجابة: إذا كان المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم X1, ..., Xn يساوي X̄ وتم طرح قيمة مقدارها (C) من كل قيمة من هذه القيم فإن المتوسط الحسابي لها بعد الطرح يصبح (X̄ - C).

الشرح: مثل الخاصية الأولى، لكن للطرح. طرح قيمة ثابتة من كل عنصر يؤدي إلى طرح نفس القيمة من المتوسط الحسابي.

تلميح: تذكر أن الطرح هو عملية معاكسة للجمع. فكر في تأثير عملية الطرح الثابتة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما هي الخاصية الثالثة (المهمة) من خصائص المتوسط الحسابي؟ ولماذا تعتبر مهمة؟

الإجابة: تؤثر القيم المتطرفة على حساب المتوسط الحسابي؛ ولذلك لا يفضل استخدام المتوسط الحسابي عند وجود قيم متطرفة في البيانات.

الشرح: المتوسط الحسابي حساس للقيم القصوى (المتطرفة) لأنه يأخذ في الاعتبار جميع القيم. وجود قيمة واحدة متطرفة يمكن أن يجذب المتوسط نحوها، مما يعطي صورة غير دقيقة عن مركز البيانات. في هذه الحالة، الوسيط أو المنوال قد يكونان مقياسين أكثر ملاءمة.

تلميح: فكر في ما يحدث لمتوسط مجموعة أرقام عند وجود رقم واحد كبير جداً أو صغير جداً مقارنة بالباقي.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كان المتوسط الحسابي لوقت مذاكرة مجموعة طلاب هو 94.5 دقيقة، وقرر كل طالب إضافة 15 دقيقة يومياً، فما هو المتوسط الحسابي الجديد؟ وما الخاصية المستخدمة؟

الإجابة: المتوسط الحسابي الجديد هو 109.5 دقيقة. الخاصية المستخدمة هي: إضافة قيمة ثابتة (C=15) إلى كل قيمة في المجموعة يؤدي إلى إضافة نفس القيمة إلى المتوسط (X̄ + C).

الشرح: بما أن التغيير (15 دقيقة) تم تطبيقه على كل فرد في المجموعة، فإن المتوسط يتغير بنفس المقدار: 94.5 + 15 = 109.5. هذا تطبيق مباشر للخاصية الأولى للمتوسط الحسابي.

تلميح: لا تحتاج إلى إعادة حساب المتوسط من البداية. استخدم العلاقة المباشرة بين المتوسط القديم والجديد عند إجراء تغيير ثابت على جميع البيانات.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل