4. ضمن دراسة للمحطة الرسمية حول تفضيلات المشاهدين للبرامج التلفازية، أظهرت النتائج الآتية:
جدول تفضيلات المشاهدين:
| البرامج | العلمية | الرياضية | الإخبارية | الثقافية |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| النسبة | 24% | 15% | 12% | 49% |
أ) أنشئ تمثيلاً مناسباً، وبرر سبب اختيارك لهذا التمثيل.
التمثيل المناسب هو التمثيل بالقطاعات الدائرية. السبب: البيانات المعطاة هي نسب مئوية (24%، 15%، 12%، 49%) تمثل أجزاء من كل (100%)، والقطاعات الدائرية هي الأنسب لمقارنة أجزاء الكل وتوضيح حجم كل فئة بالنسبة للآخر.
ب) ما سبب انخفاض نسبة مشاهدة الأخبار مقارنة بالبرامج العلمية، من وجهة نظرك؟
من وجهة نظري، قد يكون سبب انخفاض نسبة مشاهدة البرامج الإخبارية مقارنة بالعلمية هو أن البرامج العلمية تقدم محتوى تعليمياً وتثقيفياً بطريقة جذابة ومشوقة (كاكتشافات جديدة، ظواهر طبيعية)، بينما قد يرى بعض المشاهدين أن الأخبار تتسم بالرتابة أو تسبب القلق.
ج) هل يمكنك تخمين أعمار المشاهدين المستهدفين بالدراسة؟ فسر إجابتك.
نعم، يمكن التخمين أن المشاهدين المستهدفين هم من فئة الشباب والكبار (من المراهقة إلى منتصف العمر). السبب: ارتفاع نسبة مشاهدة البرامج الثقافية (49%) والعلمية (24%) يشير إلى اهتمام المشاهدين بالمعرفة والتطوير الذاتي، وهو ما يميل إليه هذه الفئة العمرية أكثر من الأطفال.
5. أوجد المتوسط الحسابي لأول 10 أعداد أولية (تلميح: العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1، لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى واحد فقط).
أول 10 أعداد أولية هي: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29.
مجموعها = 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29 = 129.
المتوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عددها = 129 ÷ 10 = 12.9.
6. إذا كان المتوسط الحسابي لرواتب الموظفين في شركة عقارية 5500 ريالاً. وتم إضافة علاوة 500 ريالاً لكل موظف، احسب المتوسط الحسابي لرواتب الموظفين بعد الزيادة. ماذا تلاحظ؟ وضح إجابتك.
المتوسط الحسابي الجديد = المتوسط الحسابي القديم + قيمة الزيادة الثابتة.
إذن، المتوسط الجديد = 5500 + 500 = 6000 ريال.
الملاحظة: عند إضافة قيمة ثابتة (500 ريال) إلى كل عنصر في مجموعة البيانات، فإن المتوسط الحسابي الجديد يزيد بنفس تلك القيمة الثابتة.
7. أجرى المعلم لفصل من فصول الثالث الثانوي اختبارًا في اللغة الإنجليزية، ويريد المعلم معرفة ما إذا كان مستوى أداء الطلاب متقارباً أم لا. إذا كانت درجات الطلاب على الاختبار 85, 86, 100, 76, 81, 93, 84, 99, 71, 96, 93, 85, 81, 98, 87. فاحسب الانحراف المعياري لهذه الدرجات، ثم فسر قيمته.
أولاً: إيجاد المتوسط الحسابي (x̄):
مجموع الدرجات = 85+86+100+76+81+93+84+99+71+96+93+85+81+98+87 = 1315.
عدد الطلاب (n) = 15.
x̄ = 1315 ÷ 15 ≈ 87.67.
ثانياً: حساب التباين (s²):
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n - 1)
نحسب مربعات الانحرافات عن المتوسط:
(85-87.67)²≈7.13, (86-87.67)²≈2.79, (100-87.67)²=151.29, (76-87.67)²≈136.19, (81-87.67)²≈44.49, (93-87.67)²≈28.41, (84-87.67)²≈13.47, (99-87.67)²≈128.37, (71-87.67)²≈278.89, (96-87.67)²≈69.39, (93-87.67)²≈28.41, (85-87.67)²≈7.13, (81-87.67)²≈44.49, (98-87.67)²≈106.71, (87-87.67)²≈0.45.
مجموع مربعات الانحرافات ≈ 1047.61.
التباين s² = 1047.61 / (15-1) = 1047.61 / 14 ≈ 74.83.
ثالثاً: حساب الانحراف المعياري (s):
s = √(التباين) = √74.83 ≈ 8.65.
التفسير: قيمة الانحراف المعياري (8.65) تعتبر متوسطة إلى مرتفعة نسبياً مقارنة بمتوسط الدرجات (87.67). هذا يشير إلى أن درجات الطلاب ليست متقاربة جداً، بل هناك تباين واضح في مستويات أدائهم في الاختبار.
8. إذا علمت أن المتوسط الحسابي لدرجات الطلاب في اختبار مادة الهندسة هو 90، وأن عدد الطلاب الذين يدرسون المادة هو 20. فما مجموع جميع درجات الطلاب في الاختبار؟
المتوسط الحسابي = مجموع الدرجات ÷ عدد الطلاب.
إذن، مجموع الدرجات = المتوسط الحسابي × عدد الطلاب = 90 × 20 = 1800.
9. أعط ثلاثة أمثلة من واقع الحياة على تأثير القيمة المتطرفة عند حساب المتوسط الحسابي.
دخل الأفراد في حي سكني: إذا كان دخل معظم العائلات يتراوح بين 10,000 و15,000 ريال شهرياً، وانتقلت عائلة واحدة دخلها 200,000 ريال للحي، فإن المتوسط الحسابي للدخل سيرتفع بشكل كبير لا يعكس الواقع الحقيقي لأغلب السكان.
درجات الحرارة اليومية: إذا كانت درجات الحرارة في أسبوع معتدلة (مثلاً 25°م)، وفي يوم واحد حدثت موجة حر وصلت فيها الحرارة إلى 45°م، فإن متوسط الحرارة للأسبوع سيكون أعلى من المعتاد بسبب هذه القيمة المتطرفة.
وقت انتظار العملاء في بنك: إذا انتظر معظم العملاء من 5 إلى 10 دقائق، ولكن أحد العملاء واجه مشكلة فنية استغرقت ساعة كاملة (60 دقيقة)، فإن متوسط وقت الانتظار سيزداد بشكل ملحوظ ولا يمثل تجربة الغالبية العظمى من العملاء.10. بين مع ذكر السبب ما إذا كان يمكنك إعطاء أمثلة على بيانات تحقق الآتي:
* مقاييس النزعة المركزية متساوية: نعم، يمكن. مثال: البيانات {3, 3, 3, 3}. المتوسط = 3، الوسيط = 3، المنوال = 3. السبب: عندما تكون جميع قيم البيانات متساوية، فإن مقاييس النزعة المركزية الثلاثة تتطابق.
* الانحراف المعياري أكبر من المتوسط الحسابي: نعم، يمكن. مثال: البيانات {1, 1, 1, 100}. المتوسط ≈ 25.75، الانحراف المعياري ≈ 42.9. السبب: وجود قيم متطرفة صغيرة أو كبيرة جداً (مثل 100) يمكن أن يجعل مدى التشتت (الانحراف المعياري) أكبر من قيمة المركز (المتوسط).
* التباين = الانحراف المعياري: نعم، يمكن. هذا يتحقق عندما يكون التباين يساوي 0 أو 1. لأن الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين. إذا كان التباين = 1، فإن الانحراف المعياري = √1 = 1. مثال: البيانات {0, 2}. المتوسط = 1، التباين = [(0-1)²+(2-1)²]/(2-1) = (1+1)/1 = 2. هذا لا يحقق الشرط. مثال يحققه: البيانات {1, 1}، التباين = 0 والانحراف المعياري = 0.
* المتوسط الحسابي = 0، والانحراف المعياري = 2: نعم، يمكن. مثال: البيانات {-2, 0, 2}. المتوسط = (-2+0+2)/3 = 0. التباين = [(-2-0)²+(0-0)²+(2-0)²]/(3-1) = (4+0+4)/2 = 8/2 = 4. الانحراف المعياري = √4 = 2.
* ثنائية المنوال، ولا يمكن إيجاد المدى: لا، لا يمكن. السبب: شرط "ثنائية المنوال" يعني وجود قيمتين تكررتا بنفس العدد (الأعلى) في البيانات، وهذا يتطلب وجود بيانات رقمية. بينما شرط "لا يمكن إيجاد المدى" يعني أن البيانات ليست رقمية (بل نوعية أو وصفية)، لأن المدى يُحسب فقط للبيانات الكمية. لا يمكن الجمع بين الشرطين في مجموعة بيانات واحدة.
11. أوجد قيماً ممكنة للانحراف المعياري لمجموعة من البيانات، بحيث تكون قيمتها أكبر من تباينها.
الانحراف المعياري (s) هو الجذر التربيعي للتباين (s²). أي أن s = √(s²).
حتى يكون الانحراف المعياري أكبر من التباين، يجب أن يتحقق: s > s².
بقسمة الطرفين على s (علماً أن s عدد موجب): 1 > s.
إذن، الشرط هو أن يكون الانحراف المعياري أقل من 1.
مثال: إذا كان s = 0.5، فإن s² = (0.5)² = 0.25، وبالفعل 0.5 > 0.25.
قيم ممكنة للانحراف المعياري: أي عدد حقيقي موجب أقل من 1، مثل 0.2، 0.7، 0.99.