صفحة 68 - كتاب الهندسة - الصف 11 - الفصل 1 - المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الهندسة - الصف 11 - الفصل 1 | المادة: الهندسة | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 1

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 الجبر البوليني ونظرية دي مورجان

المفاهيم الأساسية

الجبر البوليني: نظام رياضي يتكون من عنصرين فقط: {0، 1}، ويستخدم العمليات المنطقية AND و OR.

عملية AND: تُمثل بالرمز (.) أو الضرب.

عملية OR: تُمثل بالرمز (+).

نظرية دي مورجان: تُستخدم لتبسيط العمليات المعقدة عن طريق استبدال كل عنصر بمتممه وتغيير كل عملية AND إلى OR أو العكس.

خريطة المفاهيم

```markmap

الجبر البوليني ونظرية دي مورجان (صفحة 68)

1. أساسيات الجبر البوليني

المجموعة

{0، 1}

العمليات الأساسية

AND (.)
OR (+)

قاعدة المخرج

ناتج العمليات (AND و OR) ينتمي إلى المجموعة {0، 1}

2. خصائص العمليات

خصائص AND

A . 1 = A
A . 0 = 0
A . A = A
A . A̅ = 0

خصائص OR

A + 1 = 1
A + 0 = A
A + A = A
A + A̅ = 1

3. القوانين الأساسية

قانون التوزيع

A . (B + C) = A.B + A.C
A + (B . C) = (A + B) . (A + C)

قانون النفي المزدوج

A̿ = A

4. نظرية دي مورجان

الصيغ

(A . B . C)̅ = A̅ + B̅ + C̅
(A + B + C)̅ = A̅ . B̅ . C̅

طريقة التطبيق

استبدال كل عنصر بمتممه
تغيير AND إلى OR (والعكس)

5. معلومات عامة

البوابات المنطقية

قد تحتوي على أكثر من مدخلين
لها مخرج واحد فقط

تطبيق القواعد

تنطبق نفس القواعد على منطق العمليات

```

نقاط مهمة

العناصر في الجبر البوليني هي 0 و 1 فقط.
خصائص العمليات (AND و OR) تُبسط التعامل مع التعبيرات المنطقية.
قانون النفي المزدوج يعني أن نفي النفي يعيد العنصر إلى قيمته الأصلية.
نظرية دي مورجان أداة قوية لتبسيط الدوائر المنطقية المعقدة.

📄 النص الكامل للصفحة

يُعرف الجبر البوليني بتكونه من مجموعة تتألف من عنصرين : {0 ، 1 ، وبه تُستخدم العمليات المنطقية: عملية AND ويتم
تمثيلها بالرمز (1) ، وعملية OR ويتم تمثيلها بالرمز (+) ، وتتحقق هاتان العمليتان من القواعد الآتية:

إذا كان العنصران A و B ينتميان إلى مجموعة {0 (1) فإن:
A+B=B+A= Y
ABBA = Y

ينتمي المخرج ( الخاص بعمليات
)10( و (٠) إلى المجموعة )+(

--- SECTION: خصائص عملية AND في الجبر
البوليني: ---
A.1=A
A.0=0
A.A=A
A.A=0

--- SECTION: خصائص عملية OR في الجبر
البوليني: ---
A+1=1
A+0=A
A+ A = A
A+ A = 1

--- SECTION: قانون التوزيع في الجبر البوليني ---
A (B+C) = AB+A.C
A+ (BC) = (A + B) (A + C)

--- SECTION: قانون النفي المزدوج ---
A=A

--- SECTION: مثال: ---
إذا كانت 0 = A فإن 1 = A ، بينما إذا كانت 1 = A فإن 0 = A

تنطبق القواعد المذكورة بنفس
الشكل على منطق العمليات.

قد تحتوي البوابات المنطقية على
أكثر من مدخلين، ولكن لها مخرج
واحد فقط.

لتتمكن من حل بعض العمليات المعقدة، يمكنك استبدال كل عنصر
بمتممه وتغيير كل عملية AND إلى OR أو العكس.

--- SECTION: النظرية ---
(ABC) = A + B + C
(A + B + C) = AB.C

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

أي من القوانين التالية يمثل قانون التوزيع في الجبر البوليني؟

أ) A + (B.C) = (A+B) . (A+C)
ب) A (B+C) = AB + A.C
ج) A + A̅ = 1
د) A . A = A

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: A (B+C) = AB + A.C

الشرح: قانون التوزيع في الجبر البوليني مشابه لقانون التوزيع في الجبر العادي. أحد صوره هي: A . (B + C) = (A . B) + (A . C).

تلميح: القانون الذي يوزع عملية AND على عملية OR داخل الأقواس.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

بناءً على قوانين التوزيع في الجبر البوليني، ما هي الصيغة المكافئة للتعبير المنطقي A + (B . C)؟

أ) (A . B) + (A . C)
ب) (A + B) . (A + C)
ج) A + B + C
د) (A + B) . C

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (A + B) . (A + C)

الشرح: ينص قانون التوزيع في الجبر البوليني على قاعدتين أساسيتين: 1. توزيع الضرب على الجمع: A . (B + C) = (A . B) + (A . C). 2. توزيع الجمع على الضرب: A + (B . C) = (A + B) . (A + C). وبالتالي، فإن الخيار الصحيح هو تطبيق القاعدة الثانية التي توزع العنصر A مع كل من B و C في قوسين منفصلين بينهما عملية ضرب.

تلميح: تذكر أن الجبر البوليني يسمح بتوزيع عملية الجمع على الضرب، وهو ما يختلف عن قواعد الجبر التقليدي.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

أي من الصيغ التالية تمثل قانون التوزيع الصحيح لعملية الجمع على الضرب في الجبر البوليني؟

أ) (A + B) . (A + C)
ب) (A . B) + (A . C)
ج) A + B + C
د) (A + B) + (A + C)

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: (A + B) . (A + C)

الشرح: بناءً على قوانين التوزيع في الجبر البوليني الواردة في الصفحة: 1. القانون الأول: A (B + C) = AB + AC (توزيع الضرب على الجمع). 2. القانون الثاني: A + (BC) = (A + B) (A + C) (توزيع الجمع على الضرب). هذا القانون الأخير هو خاصية مميزة للجبر البوليني حيث يتم توزيع المتغير (A) المضاف على كل من المتغيرين المضروبين (B) و (C) بشكل مستقل ثم ضرب الناتجين.

تلميح: في الجبر البوليني، يمكن توزيع الجمع على الضرب بطريقة تختلف عن الجبر التقليدي الذي ندرسه في الرياضيات العادية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هو التعبير المنطقي المكافئ للعبارة $\overline{A + B + C}$ وفقاً لقوانين نظرية دي مورغان (De Morgan's Theorem) في الجبر البوليني؟

أ) $\overline{A} + \overline{B} + \overline{C}$
ب) $A \cdot B \cdot C$
ج) $\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C}$
د) $\overline{A \cdot B \cdot C}$

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: $\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C}$

الشرح: 1. تنص نظرية دي مورغان على أن نفي ناتج عملية الجمع المنطقي (OR) لمجموعة من المتغيرات يساوي ناتج عملية الضرب المنطقي (AND) لمتممات تلك المتغيرات. 2. بتطبيق ذلك على العبارة $\overline{A + B + C}$، نقوم بنفي كل متغير على حدة ليصبح لدينا $\overline{A}$ و $\overline{B}$ و $\overline{C}$. 3. نقوم بتغيير العملية من الجمع المنطقي (+) إلى الضرب المنطقي (.). 4. النتيجة النهائية والمكافئة هي $\overline{A} \cdot \overline{B} \cdot \overline{C}$.

تلميح: تذكر أن نظرية دي مورغان تتطلب توزيع النفي على كل عنصر بشكل مستقل مع عكس العملية المنطقية من الجمع إلى الضرب.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

بناءً على قواعد الجبر البوليني وقانون التوزيع، ما الصيغة المكافئة للتعبير المنطقي A + (B . C)؟

أ) (A . B) + (A . C)
ب) (A + B) (A + C)
ج) A + B + C
د) (A + B) + (A + C)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (A + B) (A + C)

الشرح: 1. ينص قانون التوزيع الثاني في الجبر البوليني على إمكانية توزيع المتغير المضاف على حدود عملية الضرب. 2. الصيغة الرياضية الصحيحة هي: A + (BC) = (A + B) (A + C). 3. يساهم هذا القانون في تبسيط التعبيرات المنطقية المعقدة وتقليل عدد البوابات المنطقية في التصميم الهندسي.

تلميح: تذكر أن الجبر البوليني يسمح بتوزيع عملية الجمع على عملية الضرب، وهو ما يختلف عن قواعد الجبر التقليدي.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط