صفحة 78 - كتاب الهندسة - الصف 11 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

سؤال 5: بسّط الدالة $Y = \bar{A} \cdot (B + \bar{C})$ ، ثم ارسم جدول الحقيقة.

الإجابة: س 5: $Y = \bar{A}(B + \bar{C}) = \bar{A}B + \bar{A}\bar{C}$ جدول الحقيقة: | A | B | C | Y | | 1 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 0 | | 0 | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 1 |

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا الدالة البولينية: $Y = \bar{A} \cdot (B + \bar{C})$. المطلوب هو تبسيط هذه الدالة ثم رسم جدول الحقيقة لها.
2. **الخطوة 2 (التبسيط باستخدام الجبر البوليني):** نستخدم قانون التوزيع (Distributive Law): $X \cdot (Y + Z) = X \cdot Y + X \cdot Z$. بتطبيق القانون على الدالة: $$Y = \bar{A} \cdot (B + \bar{C}) = \bar{A} \cdot B + \bar{A} \cdot \bar{C}$$ إذن الدالة المبسطة هي: $Y = \bar{A}B + \bar{A}\bar{C}$.
3. **الخطوة 3 (إنشاء جدول الحقيقة):** لدينا ثلاثة متغيرات (A, B, C)، لذا سيكون عدد الصفوف في الجدول $2^3 = 8$ صفوف. نكتب جميع التركيبات الممكنة لـ A و B و C (من 000 إلى 111). نحسب قيمة Y للدالة المبسطة $Y = \bar{A}B + \bar{A}\bar{C}$ لكل تركيبة: - عندما يكون $\bar{A} = 1$ (أي A=0) ويكون B=1، فإن الحد $\bar{A}B = 1$. - عندما يكون $\bar{A} = 1$ (أي A=0) ويكون $\bar{C} = 1$ (أي C=0)، فإن الحد $\bar{A}\bar{C} = 1$. - قيمة Y تكون 1 إذا كان أحد هذين الحدين على الأقل يساوي 1، وإلا تكون 0. بعد حساب جميع القيم، نحصل على جدول الحقيقة التالي: | A | B | C | Y | | 0 | 0 | 0 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 0 |
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الدالة المبسطة هي: $Y = \bar{A}B + \bar{A}\bar{C}$. وجدول الحقيقة يوضح أن قيمة Y تكون 1 فقط عندما تكون A=0، وتكون 0 عندما تكون A=1، بغض النظر عن قيم B و C.

سؤال 6: استخدم الجبر البوليني لتبسيط الدالة $Y = A \cdot [\bar{B} + C \cdot (D + E)]$ إلى أبسط دائرة ممكنة.

الإجابة: س 6: $Y = A(\bar{B} + C(D + E))$ (مكافئة): $(Y = A\bar{B} + AC(D + E))$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا الدالة البولينية: $Y = A \cdot [\bar{B} + C \cdot (D + E)]$. المطلوب هو استخدام الجبر البوليني لتبسيطها إلى أبسط دائرة ممكنة.
2. **الخطوة 2 (التبسيط باستخدام قوانين الجبر البوليني):** أولاً، نطبق قانون التوزيع داخل القوس: $$Y = A \cdot [\bar{B} + (C \cdot D + C \cdot E)]$$ ثم نطبق قانون التوزيع مرة أخرى لضرب A في كل حد داخل القوس: $$Y = A \cdot \bar{B} + A \cdot (C \cdot D + C \cdot E)$$ $$Y = A\bar{B} + (A \cdot C \cdot D + A \cdot C \cdot E)$$ يمكن كتابتها بشكل أوضح: $$Y = A\bar{B} + ACD + ACE$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة والدائرة المبسطة):** إذن الدالة المبسطة هي: $Y = A\bar{B} + ACD + ACE$. لرسم أبسط دائرة ممكنة: - نحتاج بوابة NOT واحدة لإنتاج $\bar{B}$. - ثم ثلاث بوابات AND: - بوابة AND لـ A و $\bar{B}$ لإنتاج $A\bar{B}$. - بوابة AND لـ A و C و D لإنتاج $ACD$. - بوابة AND لـ A و C و E لإنتاج $ACE$. - أخيراً، بوابة OR بثلاث مدخلات لجمع المخرجات الثلاثة $A\bar{B}$ و $ACD$ و $ACE$ لإنتاج Y. هذه هي أبسط دائرة بناءً على التبسيط الجبري.

سؤال 7: استخدم الدالة $Y = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$ لرسم الدائرة من مُخرجاتها إلى مُدخلاتها.

الإجابة: س 7: $Y = \bar{A}B + A\bar{B} = A \oplus B$ الدائرة: عاكس لـ A وعاكس لـ B، ثم بوابتان AND لإنتاج $\bar{A}B$ و $A\bar{B}$، ثم بوابة OR لجمعهما.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا الدالة البولينية: $Y = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$. المطلوب هو استخدام هذه الدالة لرسم الدائرة المنطقية من مخرجاتها إلى مدخلاتها.
2. **الخطوة 2 (تحليل الدالة وتبسيطها):** نلاحظ أن هذه الدالة تمثل عملية XOR (الاختلاف الحصري) بين A و B. في الجبر البوليني، عملية XOR تُعرف بالعلاقة: $A \oplus B = \bar{A}B + A\bar{B}$. إذن، $Y = A \oplus B$.
3. **الخطوة 3 (رسم الدائرة المنطقية):** لرسم الدائرة بناءً على التعبير $Y = \bar{A}B + A\bar{B}$: 1. **المدخلات:** A و B. 2. **العاكسات (NOT Gates):** - عاكس للمدخل A لإنتاج $\bar{A}$. - عاكس للمدخل B لإنتاج $\bar{B}$. 3. **بوابات AND:** - بوابة AND تأخذ المدخلين $\bar{A}$ و B لإنتاج $\bar{A}B$. - بوابة AND تأخذ المدخلين A و $\bar{B}$ لإنتاج $A\bar{B}$. 4. **بوابة OR:** - بوابة OR تأخذ مخرجي البوابتين AND ($\bar{A}B$ و $A\bar{B}$) وتجمعهم لإنتاج المخرج النهائي Y. **الترتيب من المخرجات إلى المدخلات:** - المخرج النهائي هو Y. - Y ينتج من بوابة OR. - بوابة OR تأخذ مدخلين من بوابتي AND. - كل بوابة AND تأخذ مدخلين: واحد من المدخلات الأصلية (A أو B) والآخر من عاكس للمدخل الآخر. - العاكسات تأخذ المدخلات الأصلية A و B. هذه الدائرة تُنفذ عملية XOR باستخدام العاكسات وبوابتي AND وبوابة OR.

باستخدام قانون التوزيع في الجبر البوليني، ما هو الشكل المبسط للدالة Y = Ā · (B + C̄)؟

• أ) Y = Ā + B + C̄
• ب) Y = ĀB + ĀC̄
• ج) Y = Ā + BC̄
• د) Y = B + ĀC̄

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: Y = ĀB + ĀC̄

الشرح: 1. الدالة الأصلية: Y = Ā · (B + C̄). 2. بتطبيق قانون التوزيع: X · (Y + Z) = X·Y + X·Z. 3. هنا X = Ā، Y = B، Z = C̄. 4. النتيجة: Y = Ā·B + Ā·C̄.

تلميح: تذكر أن قانون التوزيع يسمح لك بتوزيع الضرب على الجمع داخل القوس.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

بعد تطبيق قوانين الجبر البوليني، ما هو الشكل المبسط للدالة Y = A · [B̄ + C · (D + E)]؟

• أ) Y = A + B̄ + CD + CE
• ب) Y = AB̄ + C(D+E)
• ج) Y = AB̄ + ACD + ACE
• د) Y = A(B̄ + CD + CE)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: Y = AB̄ + ACD + ACE

الشرح: 1. الدالة الأصلية: Y = A · [B̄ + C·(D+E)]. 2. توزيع C: Y = A · [B̄ + (C·D + C·E)]. 3. توزيع A على المجموع: Y = A·B̄ + A·C·D + A·C·E. 4. النتيجة: Y = AB̄ + ACD + ACE.

تلميح: ابدأ بتوزيع الضرب داخل القوس الأصغر (D+E)، ثم وزع A على المجموع الناتج.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما هي العملية المنطقية التي تمثلها الدالة Y = Ā · B + A · B̄؟

• أ) عملية AND
• ب) عملية OR
• ج) عملية XOR (الاختلاف الحصري)
• د) عملية NAND

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: عملية XOR (الاختلاف الحصري)

الشرح: 1. تعريف عملية XOR (الاختلاف الحصري): يكون المخرج 1 فقط عندما يكون المدخلان مختلفين. 2. التعبير الجبري لـ XOR هو: A ⊕ B = Ā·B + A·B̄. 3. الدالة المعطاة Y = Ā·B + A·B̄ تطابق هذا التعريف تماماً. 4. لذلك، تمثل الدالة عملية XOR.

تلميح: تذكر تعريف عملية XOR بين متغيرين A و B.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما العملية المنطقية الأساسية التي يعبّر عنها التعبير البوليني $Y = \bar{A}B + A\bar{B}$؟

• أ) عملية النفي الشامل (NOR)
• ب) عملية التكافؤ المنطقي (XNOR)
• ج) عملية الاختلاف الحصري (XOR)
• د) عملية نفي الضرب المنطقي (NAND)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: عملية الاختلاف الحصري (XOR)

الشرح: 1. التعبير $Y = \bar{A}B + A\bar{B}$ يعني أن المخرج يكون 1 في حالتين: (A=0 و B=1) أو (A=1 و B=0). 2. هذا السلوك يطابق تماماً تعريف بوابة الاختلاف الحصري (XOR) التي تعطي مخرجاً مرتفعاً عند اختلاف المداخل فقط. 3. يُرمز لهذه العملية رياضياً بالرمز $\oplus$ وتكتب الصيغة كـ $Y = A \oplus B$. 4. تُبنى هذه الدائرة عادةً باستخدام بوابتي AND وبوابتي NOT وبوابة OR واحدة.

تلميح: فكر في العملية التي تعطي مخرجاً قيمته (1) فقط عندما تختلف قيم المدخلات عن بعضها البعض.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

أي من التعبيرات البوليانية التالية يمثل عملية "الاختلاف الحصري" (XOR) للمتغيرين A و B، والتي تُستخدم لتمثيل الدوائر المنطقية التي تعتمد على اختلاف المدخلات؟

• أ) Y = AB + ĀḂ
• ب) Y = ĀB + AḂ
• ج) Y = Ā + B
• د) Y = Ā · Ḃ

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: Y = ĀB + AḂ

الشرح: 1. عملية XOR (الاختلاف الحصري) تُعنى بالحالات التي تختلف فيها قيم المدخلات. 2. منطقياً، تعني أن المخرج يكون (1) إذا كان (A صحيحاً و B خاطئاً) أَوْ (A خاطئاً و B صحيحاً). 3. يتم تمثيل "النفي" بالشرطة فوق المتغير (Ā) و"الربط" بالضرب و"الفصل" بالجمع. 4. بالترجمة الرياضية: الحد الأول (AḂ) والحد الثاني (ĀB)، وبالجمع بينهما نحصل على الصيغة النهائية: Y = ĀB + AḂ.

تلميح: تذكر أن هذه البوابة تعطي مخرجاً (1) فقط عندما يكون أحد المدخلين في حالة نفي والآخر في حالة إثبات.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط