تحليل الدوال - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

كما يمكن تعريف الدالة على أنها مجموعة من الأزواج المرتبة التي لا تتساوى فيها الإحداثي x لزوجين مختلفين، وهندسياً لا يمكن لنقطتين من نقاط الدالة أن تقعا على مستقيم رأسي واحد في المستوى الإحداثي. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- جدولياً: إذا قطع الخط الرأسي التمثيل البياني في أكثر من نقطة، فإن إحدى قيم x ترتبط بأكثر من قيمة لـ y. كما يوضح الجدول أدناه: --- SECTION: مفهوم أساسي --- اختبار الخط الرأسي التعابير اللفظي: تُمثل مجموعة من النقاط في المستوى الإحداثي دالة إذا لم يقطع أي خط رأسي تمثيلها البياني في أكثر من نقطة. --- SECTION: مثال 3 --- تحديد العلاقات التي تمثل دوال في كل علاقة مما يأتي، حدد ما إذا كانت y تمثل دالة في x أم لا: --- SECTION: a) --- تمثل قيم x رقم الطالب، وقيم y درجته في اختبار الفيزياء. ترتبط كل قيمة لـ x بقيمة واحدة لـ y؛ إذ لا يمكن للطالب الحصول على درجتين مختلفتين في اختبار واحد؛ لذا فإن y تمثل دالة في x. --- SECTION: b) --- ترتبط كل قيمة لـ x بقيمة واحدة لـ y، وعليه فإن y تمثل دالة في x. --- SECTION: c) --- بما أنه يوجد خط رأسي مثل: 4 = x يقطع التمثيل البياني في أكثر من نقطة، فإن y لا تمثل دالة في x. --- SECTION: d) --- y² - 2x = 5 كي تحدد ما إذا كانت y تمثل دالة في x ، حل المعادلة بالنسبة لـ y. المعادلة الأصلية y² - 2x = 5 أضف 2x لكلا الطرفين y² = 5 + 2x خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين y = ±√5 + 2x لا تمثل دالة في x ؛ لأن كل قيمة من قيم x الأكبر من 2.5- ترتبط بقيمتين لـ y، إحداهما موجبة، والأخرى سالبة. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- دوال تتكرر فيها قيم y: لا يمكن أن ترتبط أكثر من قيمة لـ y بقيمة واحدة لـ x في الدالة، بينما يمكن أن ترتبط قيمة واحدة لـ x بأكثر من قيمة لـ y كما في المثال 3b. --- SECTION: 3A --- تمثل قيم x كمية الاستهلاك الشهري لأسرة من الكهرباء، أما قيم y فتمثل المبلغ المستحق مقابل الاستهلاك. --- SECTION: 3D --- 3y + 6x = 18 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 الفصل 1 تحليل الدوال 12 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: جدولياً Description: A table showing x and y values, illustrating a relationship where one x value corresponds to multiple y values. Table Structure: Headers: x | y Rows: Row 1: -2 | -4 Row 2: 3 | -1 Row 3: 3 | 4 Row 4: 5 | 6 Row 5: 7 | 9 Data: The table shows pairs of (x, y) values. For x=3, there are two corresponding y values: -1 and 4. This indicates the relation is not a function. Context: This table demonstrates a relation that is not a function because a single input (x=3) yields multiple outputs (y=-1 and y=4). **DIAGRAM**: النموذج: Description: A scatter plot of points on a Cartesian coordinate system with a vertical line drawn through two of the points. X-axis: x Y-axis: y Data: The diagram shows several discrete points. A vertical line is drawn at x=2, intersecting two points: (2, 3) and (2, -3). Other points are approximately (-3, 2), (-1, -1), (0, 0), (4, 1). Key Values: vertical line at x=2, points (2, 3) and (2, -3) Context: This diagram visually illustrates the Vertical Line Test. Since the vertical line intersects the graph at more than one point, the relation represented by these points is not a function. **TABLE**: b) Description: A table showing x and y values for a relation. Table Structure: Headers: x | y Rows: Row 1: -8 | -5 Row 2: -5 | -4 Row 3: 0 | -3 Row 4: 3 | -2 Row 5: 6 | -3 Data: The table shows pairs of (x, y) values. Each x value corresponds to a unique y value, even though some y values (like -3) are repeated for different x values (0 and 6). Context: This table demonstrates a relation that is a function because each input (x) has exactly one output (y), even if different inputs lead to the same output. **GRAPH**: c) Description: A graph of a sideways parabola-like curve on a Cartesian coordinate system. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a curve opening to the right, symmetric about the x-axis. A vertical line is drawn at x=4, intersecting the curve at two distinct points (approximately (4, 2) and (4, -2)). The x and y axes are labeled with major grid lines at intervals of 4 units, extending from -8 to 8. Key Values: vertical line at x=4, intersects curve at two points Context: This graph represents a relation that is not a function because a vertical line (x=4) intersects the graph at more than one point, failing the Vertical Line Test. **TABLE**: 3B Description: A table showing x and y values for a relation. Table Structure: Headers: x | y Rows: Row 1: -6 | -7 Row 2: 2 | 3 Row 3: 5 | 8 Row 4: 5 | 9 Row 5: 9 | 22 Data: The table shows pairs of (x, y) values. For x=5, there are two corresponding y values: 8 and 9. This indicates the relation is not a function. Context: This table is part of a 'Check Your Understanding' exercise, asking the student to determine if the relation is a function. It is not a function because x=5 maps to two different y values (8 and 9). **GRAPH**: 3C Description: A graph of a smooth curve on a Cartesian coordinate system. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a smooth, continuous curve that passes through the origin (0,0). It appears to be a cubic function or similar, with local extrema. Any vertical line drawn across this graph would intersect it at most once. The x and y axes are labeled with major grid lines at intervals of 4 units, extending from -8 to 8. Key Values: passes through (0,0), passes vertical line test Context: This graph is part of a 'Check Your Understanding' exercise, asking the student to determine if the relation is a function. It represents a function because it passes the Vertical Line Test.