إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 3A: أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين: (3A)

الإجابة: x = 19.5

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنفترض وجود مثلثين متشابهين. في المثلث الأول، لدينا ضلعان متناظران طولهما 13 و 10. وفي المثلث الثاني، لدينا ضلعان متناظران طولهما x و 15.
2. **الخطوة 2 (القانون):** في المثلثات المتشابهة، تكون النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية. لذلك، يمكننا كتابة التناسب التالي: $$ \frac{\text{الضلع الأول في المثلث الأول}}{\text{الضلع الأول في المثلث الثاني}} = \frac{\text{الضلع الثاني في المثلث الأول}}{\text{الضلع الثاني في المثلث الثاني}} $$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم المفترضة: $$ \frac{13}{x} = \frac{10}{15} $$ لإيجاد قيمة x، نستخدم الضرب التبادلي (ضرب الطرفين في الوسطين): $$ 10 \times x = 13 \times 15 $$ $$ 10x = 195 $$ نقسم الطرفين على 10: $$ x = \frac{195}{10} $$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x = **19.5**

سؤال 3B: أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين: (3B)

الإجابة: x = 7.86

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنفترض وجود مثلثين متشابهين. في المثلث الأول، لدينا ضلعان متناظران طولهما 10 و 12. وفي المثلث الثاني، لدينا ضلعان متناظران طولهما x و 9.43.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم خاصية التناسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة: $$ \frac{\text{الضلع الأول في المثلث الأول}}{\text{الضلع الأول في المثلث الثاني}} = \frac{\text{الضلع الثاني في المثلث الأول}}{\text{الضلع الثاني في المثلث الثاني}} $$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم المفترضة: $$ \frac{10}{x} = \frac{12}{9.43} $$ باستخدام الضرب التبادلي: $$ 12 \times x = 10 \times 9.43 $$ $$ 12x = 94.3 $$ نقسم الطرفين على 12: $$ x = \frac{94.3}{12} $$ $$ x \approx 7.85833... $$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة:
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x = **7.86**

سؤال ١: أوجد قيمة x في المثلثين المتشابهين في كل من السؤالين الآتيين: ١

الإجابة: x = 8

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنفترض وجود مثلثين متشابهين. في المثلث الأول، لدينا ضلعان متناظران طولهما 10 و 15. وفي المثلث الثاني، لدينا ضلعان متناظران طولهما x و 12.
2. **الخطوة 2 (القانون):** في المثلثات المتشابهة، تكون النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية. يمكننا كتابة التناسب التالي: $$ \frac{\text{الضلع الأول في المثلث الأول}}{\text{الضلع الأول في المثلث الثاني}} = \frac{\text{الضلع الثاني في المثلث الأول}}{\text{الضلع الثاني في المثلث الثاني}} $$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم المفترضة: $$ \frac{10}{x} = \frac{15}{12} $$ باستخدام الضرب التبادلي: $$ 15 \times x = 10 \times 12 $$ $$ 15x = 120 $$ نقسم الطرفين على 15: $$ x = \frac{120}{15} $$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x = **8**

سؤال ٢: أوجد قيمة x في المثلثين المتشابهين في كل من السؤالين الآتيين: ٢

الإجابة: x = 8

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنفترض وجود مثلثين متشابهين. في المثلث الأول، لدينا ضلعان متناظران طولهما 6 و 9. وفي المثلث الثاني، لدينا ضلعان متناظران طولهما x و 12.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم خاصية التناسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة: $$ \frac{\text{الضلع الأول في المثلث الأول}}{\text{الضلع الأول في المثلث الثاني}} = \frac{\text{الضلع الثاني في المثلث الأول}}{\text{الضلع الثاني في المثلث الثاني}} $$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم المفترضة: $$ \frac{6}{x} = \frac{9}{12} $$ باستخدام الضرب التبادلي: $$ 9 \times x = 6 \times 12 $$ $$ 9x = 72 $$ نقسم الطرفين على 9: $$ x = \frac{72}{9} $$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x = **8**

سؤال ٣: صورة: ارتفاع قطة 10in ، وارتفاع صورتها على شبكية العين 7mm ، إذا كان △ABE ~ △DBC ، وكانت المسافة من بؤبؤ العين إلى الشبكية 25mm ، فكم تبعد القطة عن بؤبؤ العين مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة؟

الإجابة: 907.1 mm (≈ 35.7 in)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد المعطيات التي لدينا: - ارتفاع القطة (الشيء الأصلي): $H_{\text{قطة}} = 10 \text{ in}$ - ارتفاع صورة القطة على شبكية العين: $H_{\text{صورة}} = 7 \text{ mm}$ - المسافة من بؤبؤ العين إلى الشبكية: $D_{\text{شبكية}} = 25 \text{ mm}$ - المطلوب: المسافة من بؤبؤ العين إلى القطة ($D_{\text{قطة}}$). ملاحظة هامة: يجب أن تكون جميع الوحدات متجانسة قبل البدء بالحساب. سنحول البوصة إلى مليمتر. نعلم أن 1 بوصة (inch) = 25.4 مليمتر (mm).
2. **الخطوة 2 (تحويل الوحدات والقانون):** أولاً، نحول ارتفاع القطة من البوصة إلى المليمتر: $$ H_{\text{قطة}} = 10 \text{ in} \times 25.4 \text{ mm/in} = 254 \text{ mm} $$ بما أن المثلثين متشابهان (△ABE ~ △DBC، حيث E هو بؤبؤ العين، AB هو ارتفاع القطة، و DC هو ارتفاع الصورة على الشبكية)، فإن النسبة بين ارتفاع القطة وارتفاع صورتها تساوي النسبة بين المسافة من بؤبؤ العين إلى القطة والمسافة من بؤبؤ العين إلى الشبكية. يمكننا كتابة التناسب التالي: $$ \frac{H_{\text{قطة}}}{H_{\text{صورة}}} = \frac{D_{\text{قطة}}}{D_{\text{شبكية}}} $$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم المعروفة في التناسب: $$ \frac{254 \text{ mm}}{7 \text{ mm}} = \frac{D_{\text{قطة}}}{25 \text{ mm}} $$ لإيجاد $D_{\text{قطة}}$، نستخدم الضرب التبادلي: $$ 7 \times D_{\text{قطة}} = 254 \times 25 $$ $$ 7 \times D_{\text{قطة}} = 6350 $$ نقسم الطرفين على 7: $$ D_{\text{قطة}} = \frac{6350}{7} $$ $$ D_{\text{قطة}} \approx 907.1428... \text{ mm} $$ بالتقريب لأقرب جزء من عشرة، نحصل على: $$ D_{\text{قطة}} \approx 907.1 \text{ mm} $$ (إذا أردنا تحويلها إلى البوصة للتحقق أو لتقديمها بوحدات مختلفة): $$ D_{\text{قطة}} \approx 907.1 \text{ mm} \div 25.4 \text{ mm/in} \approx 35.71 \text{ in} $$ وبالتقريب لأقرب جزء من عشرة بالبوصة: $$ D_{\text{قطة}} \approx 35.7 \text{ in} $$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، تبعد القطة عن بؤبؤ العين مسافة تقارب **907.1 mm** (أو ما يعادل **35.7 in**).

ما نص نظرية منصف زاوية في مثلث (نظرية 6.11)؟

• أ) يقسم المثلث إلى مثلثين متطابقين.
• ب) يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين مستقيمتين، النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.
• ج) ينص على تشابه المثلثين الناتجين عن المنصف.
• د) ينص على أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين مستقيمتين، النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.

الشرح: 1. تنص النظرية على أن منصف الزاوية في مثلث لا يقسم الزاوية فقط. 2. بل يقسم الضلع المقابل لتلك الزاوية إلى قطعتين. 3. تكون النسبة بين طولي هاتين القطعتين مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الآخرين في المثلث.

تلميح: تتعلق النظرية بكيفية تقسيم الضلع المقابل للزاوية التي تم تقسيمها.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

إذا كان JM منصف زاوية J في المثلث JKL، فأي تناسب يمثل تطبيق نظرية منصف الزاوية؟

• أ) KM / KJ = LM / LJ
• ب) JM / KL = KJ / LJ
• ج) KM / LM = KJ / LJ
• د) KL / JM = KJ / LM

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: KM / LM = KJ / LJ

الشرح: 1. وفقًا للنظرية، النسبة بين طولي القطعتين على الضلع المقابل (KL) تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين. 2. القطعتان هما KM و LM على الضلع KL. 3. الضلعان الآخران هما KJ و LJ. 4. لذلك، التناسب الصحيح هو: KM / LM = KJ / LJ.

تلميح: تذكر أن النسبة تكون بين القطعتين على الضلع المقابل والضلعين الآخرين.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

في تطبيق نظرية منصف الزاوية، إذا كان QR=6، SR=14، QT=x، وTS=18-x، فما قيمة x؟

• أ) 7.2
• ب) 5.4
• ج) 4.8
• د) 6.0

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 5.4

الشرح: 1. طبق النظرية: QT/ST = QR/SR. 2. عوض: x/(18-x) = 6/14. 3. خاصية الضرب التبادلي: 14x = 6(18-x). 4. بالتبسيط: 14x = 108 - 6x. 5. أضف 6x: 20x = 108. 6. اقسم على 20: x = 5.4.

تلميح: طبق التناسب: النسبة بين القطعتين على الضلع المقابل تساوي النسبة بين الضلعين الآخرين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

هل المثلثان الناتجان عن رسم منصف زاوية في مثلث يكونان متشابهين دائمًا؟

• أ) نعم، دائمًا متشابهان لأن لهما زاوية مشتركة.
• ب) لا، ليسا متشابهين في الحالة العامة.
• ج) نعم، دائمًا متشابهان بسبب التناسب في الأضلاع.
• د) لا، ولكنهما متطابقان دائمًا.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لا، ليسا متشابهين في الحالة العامة.

الشرح: 1. نظرية منصف الزاوية تعطي تناسبًا بين زوجين فقط من الأضلاع. 2. لتشابه المثلثين، يجب أن تكون الزوايا المتناظرة متطابقة أو تكون الأضلاع المتناظرة متناسبة. 3. في الحالة العامة، لا يتحقق شرط التشابه الكامل (مثل SSS أو AA). 4. يتشابهان فقط في حالة خاصة إذا قسم المنصف المثلث إلى مثلثين متطابقين (مثلث متساوي الساقين).

تلميح: راجع العلاقة بين وجود تناسب في الأضلاع وتشابه المثلثات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب