برهان - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 القطع الخاصة في المثلثات المتشابهة (نظرية 6.8)

المفاهيم الأساسية

القطع المستقيمة الخاصة: مثل الارتفاعات ومنصفات الزوايا في المثلثات المتشابهة. النسبة بين أطوال أي قطع متناظرة منها تساوي النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة.

خريطة المفاهيم

```markmap

عناصر المثلثات المتشابهة

المفهوم الأساسي

أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة

القطع المستقيمة الخاصة

الارتفاعات المتناظرة (نظرية 6.8)

#### النسبة بينهما = النسبة بين الأضلاع المتناظرة

منصفات الزوايا المتناظرة (نظرية 6.9)

#### النسبة بينهما = النسبة بين الأضلاع المتناظرة

القطع المتوسطة المتناظرة (نظرية 6.10)

#### النسبة بينهما = النسبة بين الأضلاع المتناظرة

تطبيق واقعي

استعمال المثلثات المتشابهة في التصوير

#### إيجاد أطوال حقيقية من خلال الصور

برهان نظرية 6.8 (ارتفاعات مثلثين متشابهين)

المعطيات: ΔFGH ~ ΔKLM ، FJ ، KP ارتفاعان

المطلوب إثبات: FJ/KP = HF/MK

خطوات البرهان

#### 1. ∠H ≅ ∠M (لأن المثلثين متشابهان)

#### 2. ∠FJH ≅ ∠KPM (زاويتان قائمتان)

#### 3. ΔHFJ ~ ΔMKP (مسلمة التشابه AA)

#### 4. إذن: FJ/KP = HF/MK (تعريف المضلعين المتشابهين)

```

نقاط مهمة

• إذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين أي قطع مستقيمة خاصة متناظرة (كالارتفاعات) تساوي النسبة بين الأضلاع المتناظرة.
• يمكن استخدام هذه الخاصية لإيجاد أطوال مجهولة في المثلثات المتشابهة.
• البرهان يعتمد على إثبات تشابه مثلثين صغيرين داخل المثلثين الأصليين باستخدام مسلمة التشابه AA.

---

حل مثال

مثال 1: إذا كان ΔABC ~ ΔFDG، وAP، FQ منصفا زاويتين متناظرتين، وAB = 15، FD = 12، FQ = 8، أوجد قيمة x حيث AP = x.

الحل:

النسبة بين طولي القطعتين المنصفتين لزاويتين متناظرتين في مثلثين متشابهين تساوي النسبة بين طولي ضلعين متناظرين.

\frac{AP}{FQ} = \frac{AB}{FD}

بالتعويض:

\frac{x}{8} = \frac{15}{12}

خاصية الضرب التبادلي:

8 \times 15 = x \times 12

120 = 12x

بقسمة الطرفين على 12:

x = 10

(طريقة بديلة - إرشادات الدراسة): أوجد معامل التشابه أولاً من النسبة بين ضلعين متناظرين (مثل AB/FD = 15/12 = 5/4). ثم يكون طول القطعة المنصفة AP = معامل التشابه × طول القطعة المنصفة المناظرة FQ.

x = \frac{5}{4} \times 8 = 10

---

تحقق من فهمك

السؤال: أوجد قيمة x في المثلثين المتشابهين في كل من السؤالين الآتيين:

1A: (شكل مثلثين متشابهين، ΔYQX و ΔKML، مع ارتفاعات متناظرة)

* المعطيات: ارتفاع في المثلث الأول = x، الضلع المتناظر YX = 15، الارتفاع المتناظر في المثلث الثاني = 16، الضلع المتناظر KM = 20.

* المبدأ: نسبة الارتفاعات = نسبة الأضلاع المتناظرة.

* الحل:

\frac{x}{16} = \frac{15}{20}

20x = 16 \times 15

20x = 240

x = 12

1B: (شكل مثلثين متشابهين، ΔRST و ΔUVW، مع منصفات زوايا متناظرة)

* المعطيات: منصف الزاوية في المثلث الأول RP = x، الضلع المتناظر RS = 13.5، منصف الزاوية المتناظر في المثلث الثاني UQ = 3، الضلع المتناظر UV = 9.

* المبدأ: نسبة منصفات الزوايا = نسبة الأضلاع المتناظرة.

* الحل:

\frac{x}{3} = \frac{13.5}{9}

9x = 3 \times 13.5

9x = 40.5

x = 4.5

برهان

النظرية 6.8

المعطيات: ΔFGH ~ ΔKLM ، و FJ ، KP ارتفاعان. المطلوب: FJ/KP = HF/MK

برهان حر:

بما أن: ΔFGH ~ ΔKLM ، إذن ∠H ≅ ∠M ، كما أن ∠FJH ≅ ∠KPM ؛ لأنهما زاويتان قائمتان ناتجان عن ارتفاعين، وجميع الزوايا القوائم متطابقة؛ لذلك فإن ΔHFJ ~ ΔMKP بحسب مسلمة التشابه AA ؛ إذن FJ/KP = HF/MK وفق تعريف المضلعين المتشابهين.

ويمكنك استعمال القطع المستقيمة الخاصة في المثلثات المتشابهة لإيجاد الأطوال المجهولة.

مثال 1

استعمال القطع الخاصة في المثلثات المتشابهة

إذا كان ΔABC ~ ΔFDG في الشكل أدناه، فأوجد قيمة x.

AP ، FQ منصفا زاويتين متناظرتين و AB ، FD ضلعان متناظران للمثلثين المتشابهين FDG ، ABC. النسبة بين طولي القطعتين المنصفتين لزاويتين متناظرتين في مثلثين متشابهين، تساوي النسبة بين طولي ضلعين متناظرين. AP/FQ = AB/FD بالتعويض x/8 = 15/12 خاصية الضرب التبادلي 8 • 15 = x • 12 بالتبسيط. 120 = 12x بقسمة كلا الطرفين على 12 10 = x

استعمال معامل التشابه: يمكن حل المثال 1 أيضًا بإيجاد معامل التشابه بين ΔFDG ، ΔABC . أولا، وتكون النسبة بين طول القطعة المستقيمة المنصفة للزاوية في ΔABC إلى طول القطعة المستقيمة المنصفة للزاوية المناظرة لها في ΔFDG تساوي معامل التشابه هذا.

تحقق من فهمك

أوجد قيمة x في المثلثين المتشابهين، في كل من السؤالين الآتيين:

أوجد قيمة x في المثلثين المتشابهين في الشكل (1A).

أوجد قيمة x في المثلثين المتشابهين في الشكل (1B).

100 الفصل 6 التشابه

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- SECTION: برهان --- برهان --- SECTION: النظرية 6.8 --- النظرية 6.8 المعطيات: ΔFGH ~ ΔKLM ، و FJ ، KP ارتفاعان. المطلوب: FJ/KP = HF/MK --- SECTION: برهان حر --- برهان حر: بما أن: ΔFGH ~ ΔKLM ، إذن ∠H ≅ ∠M ، كما أن ∠FJH ≅ ∠KPM ؛ لأنهما زاويتان قائمتان ناتجان عن ارتفاعين، وجميع الزوايا القوائم متطابقة؛ لذلك فإن ΔHFJ ~ ΔMKP بحسب مسلمة التشابه AA ؛ إذن FJ/KP = HF/MK وفق تعريف المضلعين المتشابهين. ويمكنك استعمال القطع المستقيمة الخاصة في المثلثات المتشابهة لإيجاد الأطوال المجهولة. --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 --- SECTION: استعمال القطع الخاصة في المثلثات المتشابهة --- استعمال القطع الخاصة في المثلثات المتشابهة إذا كان ΔABC ~ ΔFDG في الشكل أدناه، فأوجد قيمة x. AP ، FQ منصفا زاويتين متناظرتين و AB ، FD ضلعان متناظران للمثلثين المتشابهين FDG ، ABC. النسبة بين طولي القطعتين المنصفتين لزاويتين متناظرتين في مثلثين متشابهين، تساوي النسبة بين طولي ضلعين متناظرين. AP/FQ = AB/FD بالتعويض x/8 = 15/12 خاصية الضرب التبادلي 8 • 15 = x • 12 بالتبسيط. 120 = 12x بقسمة كلا الطرفين على 12 10 = x --- SECTION: إرشادات للدراسة --- استعمال معامل التشابه: يمكن حل المثال 1 أيضًا بإيجاد معامل التشابه بين ΔFDG ، ΔABC . أولا، وتكون النسبة بين طول القطعة المستقيمة المنصفة للزاوية في ΔABC إلى طول القطعة المستقيمة المنصفة للزاوية المناظرة لها في ΔFDG تساوي معامل التشابه هذا. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك أوجد قيمة x في المثلثين المتشابهين، في كل من السؤالين الآتيين: --- SECTION: 1A --- أوجد قيمة x في المثلثين المتشابهين في الشكل (1A). --- SECTION: 1B --- أوجد قيمة x في المثلثين المتشابهين في الشكل (1B). 100 الفصل 6 التشابه وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: Two triangles, ΔFGH and ΔKLM, are shown. ΔFGH has vertices F, G, H. An altitude FJ is drawn from F to the base GH, forming a right angle at J. ΔKLM has vertices K, L, M. An altitude KP is drawn from K to the base LM, forming a right angle at P. The right angles are indicated by square symbols at J and P. The proof states that FJ and KP are altitudes and that ΔFGH is similar to ΔKLM. The goal is to prove FJ/KP = HF/MK. Context: Illustrates a theorem about the ratio of altitudes in similar triangles. **DIAGRAM**: Untitled Description: Two similar triangles, ΔABC and ΔFDG, are shown. In ΔABC, an angle bisector AP is drawn from vertex A to side BC. The segment AP has length x. Side AB has length 15. In ΔFDG, an angle bisector FQ is drawn from vertex F to side DG. The segment FQ has length 8. Side FD has length 12. The angles bisected are indicated by single arc marks. The problem asks to find the value of x. Key Values: AP = x, AB = 15, FQ = 8, FD = 12 Context: Demonstrates how to use the property of angle bisectors in similar triangles to find unknown lengths. **DIAGRAM**: Untitled Description: Two similar triangles are shown. The first triangle is ΔYQX. An altitude is drawn from Y to QX, intersecting at a point. The altitude has length x. Side YX has length 15. The second triangle is ΔKML. An altitude is drawn from K to ML, intersecting at P. The altitude KP has length 16. Side KM has length 20. Both triangles have right angles indicated by square symbols at the base of the altitudes. The problem asks to find the value of x. Key Values: Altitude from Y = x, YX = 15, Altitude from K = 16, KM = 20 Context: Practice problem applying the theorem about the ratio of altitudes in similar triangles. **DIAGRAM**: Untitled Description: Two similar triangles are shown. The first triangle is ΔRST. An angle bisector is drawn from R to ST, intersecting at P. The segment RP has length x. Side RS has length 13.5. The second triangle is ΔUVW. An angle bisector is drawn from U to VW, intersecting at Q. The segment UQ has length 3. Side UV has length 9. The angles bisected are indicated by single arc marks. The problem asks to find the value of x. Key Values: RP = x, RS = 13.5, UQ = 3, UV = 9 Context: Practice problem applying the property of angle bisectors in similar triangles.