استعمال المثلثات المتشابهة لحل المسائل

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 استعمال المثلثات المتشابهة لحل المسائل

المفاهيم الأساسية

المثلثات المتشابهة: يمكن استعمالها لحل مسائل من واقع الحياة (مثل التصوير والمساحة).

خريطة المفاهيم

```markmap

عناصر المثلثات المتشابهة

المفهوم الأساسي

أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة

القطع المستقيمة الخاصة

الارتفاعات المتناظرة (نظرية 6.8)

#### النسبة بينهما = النسبة بين الأضلاع المتناظرة

منصفات الزوايا المتناظرة (نظرية 6.9)

#### النسبة بينهما = النسبة بين الأضلاع المتناظرة

القطع المتوسطة المتناظرة (نظرية 6.10)

#### النسبة بينهما = النسبة بين الأضلاع المتناظرة

تطبيق واقعي

استعمال المثلثات المتشابهة في التصوير

#### إيجاد أطوال حقيقية من خلال الصور

برهان نظرية 6.8 (ارتفاعات مثلثين متشابهين)

المعطيات: ΔFGH ~ ΔKLM ، FJ ، KP ارتفاعان

المطلوب إثبات: FJ/KP = HF/MK

خطوات البرهان

#### 1. ∠H ≅ ∠M (لأن المثلثين متشابهان)

#### 2. ∠FJH ≅ ∠KPM (زاويتان قائمتان)

#### 3. ΔHFJ ~ ΔMKP (مسلمة التشابه AA)

#### 4. إذن: FJ/KP = HF/MK (تعريف المضلعين المتشابهين)

مثال واقعي (التصوير)

#### الخطوات: افهم، خطط، حل، تحقق

#### تطبيق نظرية 6.8: AB/EF = GC/HC

تمرين تطبيقي (حدائق)

#### إيجاد مسافة باستخدام تشابه المثلثات

```

نقاط مهمة

يمكن استخدام تشابه المثلثات لحساب أطوال غير معروفة في مواقف واقعية (مثل ارتفاع نخلة من خلال صورة).
خطوات حل المسألة: افهم المعطيات والمطلوب، خطط بوضع التناسب المناسب، حل المعادلة، تحقق من صحة النسبة.
نظرية 6.8: في مثلثين متشابهين، نسبة الارتفاعات المتناظرة تساوي نسبة الأضلاع المتناظرة.
عند وجود خطين متوازيين (مثل الجسم وصورته على الفيلم)، يمكن استخدام زوايا التبادل الداخلي لإثبات التشابه بمسلمة AA.

---

حل مثال

مثال 2 (التصوير)

المعطيات: المسافة بين النخلة والعدسة = 6.16 م، طول صورة النخلة على الفيلم = 35 ملم، المسافة بين العدسة والفيلم = 42 ملم.

المطلوب: الارتفاع الحقيقي للنخلة (س).

الحل:

المثلثان الكبير (النخلة) والصغير (صورتها) متشابهان (ΔABC ~ ΔEFC) حسب مسلمة AA.

نسبة الارتفاعات المتناظرة = نسبة الأضلاع المتناظرة (نظرية 6.8):

\frac{AB}{EF} = \frac{GC}{HC}

بالتعويض:

\frac{x \text{ م}}{35 \text{ ملم}} = \frac{6.16 \text{ م}}{42 \text{ ملم}}

بالضرب التبادلي:

x \times 42 = 35 \times 6.16

42x = 215.6

بقسمة الطرفين على 42:

x \approx 5.13

النتيجة: ارتفاع النخلة الحقيقي ≈ 5.13 متر.

التحقق: نسبة طول الصورة إلى بعدها (35:42) تساوي تقريباً نسبة ارتفاع النخلة إلى بعدها (5.13:6.16)، وكلتاهما تساوي 5:6 تقريباً.

---

تحقق من فهمك

السؤال 2 (حدائق)

المعطيات: حديقتان على شكل مثلثين متشابهين. قاعدة المثلث العلوي (حديقة الياسمين) = 6 م، ارتفاعه = 2.7 م. قاعدة المثلث السفلي (حديقة الفل) = 7.8 م. النافورة عند الرأس المشترك.

المطلوب: المسافة من مركز النافورة إلى الضلع الأطول في حديقة الفل (أي ارتفاع المثلث السفلي، نسميه "ع").

الحل:

نسبة التشابه = نسبة القاعدتين المتناظرتين:

\frac{\text{قاعدة السفلي}}{\text{قاعدة العلوي}} = \frac{7.8}{6}

بما أن المثلثين متشابهان، فإن نسبة الارتفاعات المتناظرة تساوي نسبة الأضلاع المتناظرة (نظرية 6.8):

\frac{\text{ع (ارتفاع السفلي)}}{2.7} = \frac{7.8}{6}

بالضرب التبادلي:

ع \times 6 = 2.7 \times 7.8

6ع = 21.06

بقسمة الطرفين على 6:

ع = 3.51

النتيجة: المسافة من النافورة إلى الضلع الأطول في حديقة الفل = 3.51 متر.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

يمكنك استعمال القطع المستقيمة الخاصة في المثلثات المتشابهة لحل مسائل من واقع الحياة.

استعمال المثلثات المتشابهة لحل المسائل

نوع: محتوى تعليمي

استعمال المثلثات المتشابهة لحل المسائل

مثال 2

نوع: محتوى تعليمي

مثال 2 من واقع الحياة

تصوير

نوع: محتوى تعليمي

تصوير: بالرجوع إلى فقرة "ماذا؟" ببداية الدرس، يبين الرسم التوضيحي أدناه (الرسم ليس على القياس) موقع الكاميرا وطول الصورة والمسافة من عدسة الكاميرا إلى الفيلم. أوجد الارتفاع الحقيقي للنخلة.

افهم

نوع: محتوى تعليمي

افهم:
المعطيات: المسافة بين النخلة وعدسة الكاميرا 6.16m ، وطول النخلة على الفيلم 35mm ، والمسافة بين العدسة والفيلم 42mm .
المطلوب: الارتفاع الحقيقي للنخلة.

خطط

نوع: محتوى تعليمي

خطط:
تكون النخلة وصورتها على الفيلم متوازيين، ويكون CH و CG ارتفاعين في المثلثين ABC, EFC .
بما أن AB || EF ، فإن ∠CBA ≅ ∠CFE ، ∠BAC ≅ ∠CEF وفق نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليًّا؛ لذلك فإن ΔABC ~ ΔEFC وفق مسلمة التشابه AA . اكتب تناسبًا وحله لإيجاد قيمة x .

حل

نوع: محتوى تعليمي

حل:
النظرية 6.8
AB/EF = GC/HC
بالتعويض
x m / 35 mm = 6.16 m / 42 mm
خاصية الضرب التبادلي
x (42) = 35 (6.16)
بالتبسيط
42x = 215.6
بقسمة كلا الطرفين على 42
x ≈ 5.13
إذن ارتفاع النخلة 5.13m تقريبًا.

تحقق

نوع: محتوى تعليمي

تحقق: نسبة طول الصورة إلى المسافة بين العدسة والفيلم هي 35:42 أو 5:6 ، ونسبة ارتفاع النخلة إلى المسافة بينها وبين العدسة هي 5.13 : 6.16 أي 5:6 تقريبًا. ✓

الربط مع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

الربط مع الحياة
طرحت الكاميرات الرقمية في الأسواق لأول مرة عام 1994م، وكانت درجة وضوح الصورة 640 × 480 بكسل، وفي عام 2005م أمكن أخذ صورة بدرجة وضوح بلغت 4368 × 2912 مليون بكسل، وهي صورة أوضح كثيرًا مما تعرضه معظم الحواسيب، فظهرت شاشات حواسيب عالية الوضوح تسمى 4K.

تحقق من فهمك

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

2) حدائق: في الشكل المجاور حديقتان بجوارهما نافورة، إذا كانت الحديقتان تشكلان مثلثين متشابهين، فأوجد المسافة من مركز النافورة إلى الضلع الأطول في حديقة الفل.

نوع: METADATA

وزارة التعليم
الدرس 4-6 عناصر المثلثات المتشابهة
101

🔍 عناصر مرئية

الرسم التوضيحي للكاميرا والنخلة

A diagram illustrating a real-life problem involving similar triangles. It shows a camera with a lens and a film plane, and a palm tree. Light rays from the top and bottom of the palm tree pass through the lens to form an inverted image on the film. The diagram labels points A, B, C, E, F, G, H to define the triangles. The height of the palm tree is labeled 'X'. The distance from the lens (point C) to the palm tree (line AB) is 6.16 m. The height of the image on the film (line EF) is 35 mm. The distance from the lens (point C) to the film plane (line EF) is 42 mm. The lines AB and EF are parallel.

A high-resolution photograph of a black digital single-lens reflex (DSLR) camera with a large lens attached. The camera body is on the left, and the lens extends to the right. The image is used as an illustration for the 'Connecting with Life' sidebar.

حديقتان متشابهتان

A diagram showing two triangular gardens, 'Jasmine Garden' (حديقة الياسمين) and 'Jasmine Garden' (حديقة الفل), sharing a central fountain (النافورة) at their common vertex. The triangles are similar and inverted. The top triangle (Jasmine Garden) has a base of 6 m and a height of 2.7 m. The bottom triangle (Jasmine Garden) has a base of 7.8 m. The problem asks to find the distance from the fountain (shared vertex) to the longest side of the 'Jasmine Garden' (حديقة الفل), which implies finding the height of the bottom triangle.

📄 النص الكامل للصفحة

يمكنك استعمال القطع المستقيمة الخاصة في المثلثات المتشابهة لحل مسائل من واقع الحياة.

--- SECTION: استعمال المثلثات المتشابهة لحل المسائل ---
استعمال المثلثات المتشابهة لحل المسائل

--- SECTION: مثال 2 ---
مثال 2 من واقع الحياة

--- SECTION: تصوير ---
تصوير: بالرجوع إلى فقرة "ماذا؟" ببداية الدرس، يبين الرسم التوضيحي أدناه (الرسم ليس على القياس) موقع الكاميرا وطول الصورة والمسافة من عدسة الكاميرا إلى الفيلم. أوجد الارتفاع الحقيقي للنخلة.

--- SECTION: افهم ---
افهم:
المعطيات: المسافة بين النخلة وعدسة الكاميرا 6.16m ، وطول النخلة على الفيلم 35mm ، والمسافة بين العدسة والفيلم 42mm .
المطلوب: الارتفاع الحقيقي للنخلة.

--- SECTION: خطط ---
خطط:
تكون النخلة وصورتها على الفيلم متوازيين، ويكون CH و CG ارتفاعين في المثلثين ABC, EFC .
بما أن AB || EF ، فإن ∠CBA ≅ ∠CFE ، ∠BAC ≅ ∠CEF وفق نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليًّا؛ لذلك فإن ΔABC ~ ΔEFC وفق مسلمة التشابه AA . اكتب تناسبًا وحله لإيجاد قيمة x .

--- SECTION: حل ---
حل:
النظرية 6.8
AB/EF = GC/HC
بالتعويض
x m / 35 mm = 6.16 m / 42 mm
خاصية الضرب التبادلي
x (42) = 35 (6.16)
بالتبسيط
42x = 215.6
بقسمة كلا الطرفين على 42
x ≈ 5.13
إذن ارتفاع النخلة 5.13m تقريبًا.

--- SECTION: تحقق ---
تحقق: نسبة طول الصورة إلى المسافة بين العدسة والفيلم هي 35:42 أو 5:6 ، ونسبة ارتفاع النخلة إلى المسافة بينها وبين العدسة هي 5.13 : 6.16 أي 5:6 تقريبًا. ✓

--- SECTION: الربط مع الحياة ---
الربط مع الحياة
طرحت الكاميرات الرقمية في الأسواق لأول مرة عام 1994م، وكانت درجة وضوح الصورة 640 × 480 بكسل، وفي عام 2005م أمكن أخذ صورة بدرجة وضوح بلغت 4368 × 2912 مليون بكسل، وهي صورة أوضح كثيرًا مما تعرضه معظم الحواسيب، فظهرت شاشات حواسيب عالية الوضوح تسمى 4K.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك

--- SECTION: 2 ---
2) حدائق: في الشكل المجاور حديقتان بجوارهما نافورة، إذا كانت الحديقتان تشكلان مثلثين متشابهين، فأوجد المسافة من مركز النافورة إلى الضلع الأطول في حديقة الفل.

وزارة التعليم
الدرس 4-6 عناصر المثلثات المتشابهة
101

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: الرسم التوضيحي للكاميرا والنخلة
Description: A diagram illustrating a real-life problem involving similar triangles. It shows a camera with a lens and a film plane, and a palm tree. Light rays from the top and bottom of the palm tree pass through the lens to form an inverted image on the film. The diagram labels points A, B, C, E, F, G, H to define the triangles. The height of the palm tree is labeled 'X'. The distance from the lens (point C) to the palm tree (line AB) is 6.16 m. The height of the image on the film (line EF) is 35 mm. The distance from the lens (point C) to the film plane (line EF) is 42 mm. The lines AB and EF are parallel.
Data: Geometric measurements for similar triangles.
Key Values: 6.16 m, 35 mm, 42 mm, X
Context: Used to set up a proportion based on similar triangles (ΔABC ~ ΔEFC) to find the actual height of the palm tree.

**IMAGE**: Untitled
Description: A high-resolution photograph of a black digital single-lens reflex (DSLR) camera with a large lens attached. The camera body is on the left, and the lens extends to the right. The image is used as an illustration for the 'Connecting with Life' sidebar.
Context: Illustrates the concept of photography and digital cameras, relating to the example problem's context.

**DIAGRAM**: حديقتان متشابهتان
Description: A diagram showing two triangular gardens, 'Jasmine Garden' (حديقة الياسمين) and 'Jasmine Garden' (حديقة الفل), sharing a central fountain (النافورة) at their common vertex. The triangles are similar and inverted. The top triangle (Jasmine Garden) has a base of 6 m and a height of 2.7 m. The bottom triangle (Jasmine Garden) has a base of 7.8 m. The problem asks to find the distance from the fountain (shared vertex) to the longest side of the 'Jasmine Garden' (حديقة الفل), which implies finding the height of the bottom triangle.
Data: Geometric measurements for similar triangles in a garden context.
Key Values: 6 m, 2.7 m, 7.8 m
Context: Used for an exercise problem to apply similar triangle properties to find an unknown height (distance from fountain to the longest side of the bottom garden).

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 2: 2) حدائق: في الشكل المجاور حديقتان بجوارهما نافورة، إذا كانت الحديقتان تشكلان مثلثين متشابهين، فأوجد المسافة من مركز النافورة إلى الضلع الأطول في حديقة الفل.

الإجابة: س2: بما أن المثلثين متشابهان فإن النسب متساوية: $\frac{x}{2.7} = \frac{7.8}{6} \Rightarrow x = 2.7 \times \frac{7.8}{6}$ $= 3.51$ متر.

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنفهم ما لدينا من السؤال: - لدينا حديقتان على شكل مثلثين متشابهين. - من سياق السؤال والإجابة، نفترض أن لدينا أطوال أضلاع متناظرة ومسافات متناظرة (مثل ارتفاعات أو أبعاد داخلية). - لنفترض أن لدينا مثلثاً صغيراً بضلع طوله 6 وحدات ومسافة متناظرة له 2.7 وحدة. - ولدينا مثلثاً كبيراً (حديقة الفل) بضلع متناظر طوله 7.8 وحدات، والمطلوب إيجاد المسافة المتناظرة له، ولنسمها 'x'.
**الخطوة 2 (القانون):** عندما يكون لدينا مثلثان متشابهان، فإن النسبة بين أطوال أي ضلعين متناظرين تساوي النسبة بين أي مسافتين متناظرتين (مثل الارتفاعات أو المسافات من مركز معين إلى ضلع متناظر).
**الخطوة 3 (الحل):** بناءً على قانون التشابه، يمكننا كتابة التناسب التالي: $$\frac{\text{المسافة في حديقة الفل (x)}}{\text{المسافة المتناظرة في الحديقة الأخرى}} = \frac{\text{طول الضلع في حديقة الفل}}{\text{طول الضلع المتناظر في الحديقة الأخرى}}$$ بالتعويض بالقيم التي لدينا: $$\frac{x}{2.7} = \frac{7.8}{6}$$ لإيجاد قيمة 'x'، نضرب الطرفين في 2.7: $$x = 2.7 \times \frac{7.8}{6}$$ $$x = 2.7 \times 1.3$$ $$x = 3.51$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، المسافة من مركز النافورة إلى الضلع الأطول في حديقة الفل هي **3.51 متر**.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 3 بطاقة لهذه الصفحة

ما الخطوات الأساسية لحل مسألة واقعية باستخدام تشابه المثلثات، كما في مثال الكاميرا والنخلة؟

أ) 1. رسم الشكل. 2. قياس الأضلاع. 3. جمع الأطوال. 4. قسمة الناتج على 2.
ب) 1. تحديد المثلثين المتشابهين وإثبات تشابههما (مثلاً باستخدام مسلمة AA). 2. كتابة تناسب بين الأضلاع المتناظرة. 3. التعويض بالقيم المعطاة. 4. حل المعادلة لإيجاد المجهول.
ج) 1. إيجاد محيط المثلثين. 2. قسمة المحيط الأكبر على الأصغر. 3. ضرب الناتج في أحد الأضلاع المعطاة.
د) 1. استخدام نظرية فيثاغورس. 2. إيجاد الوتر. 3. طرح الأطوال المعطاة من الوتر.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1. تحديد المثلثين المتشابهين وإثبات تشابههما (مثلاً باستخدام مسلمة AA). 2. كتابة تناسب بين الأضلاع المتناظرة. 3. التعويض بالقيم المعطاة. 4. حل المعادلة لإيجاد المجهول.

الشرح: 1. إثبات التشابه: في المثال، AB || EF يؤدي إلى زاويتين متطابقتين (زاويتان متبادلتان داخلياً)، وبالتالي ΔABC ~ ΔEFC بمسلمة AA. 2. كتابة التناسب: AB/EF = GC/HC (ارتفاعان متناظران). 3. التعويض: x / 35 = 6.16 / 42. 4. الحل: باستخدام الضرب التبادلي والتبسيط، x ≈ 5.13 m.

تلميح: فكر في كيفية إثبات التشابه أولاً، ثم في كيفية كتابة التناسب الصحيح.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

في مثال الكاميرا، إذا كانت المسافة من العدسة إلى النخلة 6.16 m، وطول الصورة على الفيلم 35 mm، والمسافة من العدسة إلى الفيلم 42 mm، فما التناسب الصحيح لإيجاد الارتفاع الحقيقي للنخلة (x)؟

أ) x / 6.16 = 35 / 42
ب) 35 / x = 42 / 6.16
ج) x / 35 = 6.16 / 42
د) x / 42 = 35 / 6.16

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: x / 35 = 6.16 / 42

الشرح: المثلثان ΔABC (المثلث الكبير للنخلة) و ΔEFC (المثلث الصغير للصورة) متشابهان. الأضلاع المتناظرة هي: ارتفاع النخلة (AB = x) مع ارتفاع الصورة (EF = 35 mm)، والمسافة من العدسة إلى النخلة (GC = 6.16 m) مع المسافة من العدسة إلى الفيلم (HC = 42 mm). لذلك، التناسب هو: AB/EF = GC/HC، أي x / 35 = 6.16 / 42.

تلميح: تذكر أن التناسب يكون بين الأضلاع المتناظرة في المثلثين المتشابهين. ضع المجهول في بسط الكسر الأول.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

في سياق تشابه المثلثات، ما الدور الذي تلعبه نظرية الزاويتين المتبادلتين داخلياً عند وجود مستقيمين متوازيين؟

أ) تستخدم لحساب طول ضلع مجهول مباشرة.
ب) تستخدم لإثبات تطابق زاويتين، مما يساعد في إثبات تشابه مثلثين باستخدام مسلمة الزاويتين (AA).
ج) تستخدم لإيجاد محيط المثلث المتشابه.
د) تستخدم لتحويل الوحدات من الأمتار إلى المليمترات.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تستخدم لإثبات تطابق زاويتين، مما يساعد في إثبات تشابه مثلثين باستخدام مسلمة الزاويتين (AA).

الشرح: عندما يكون المستقيمان AB و EF متوازيين، والقاطع يقطعهما، فإن الزوايا المتبادلة داخلياً تكون متطابقة. في المثال، ∠CBA ≅ ∠CFE و ∠BAC ≅ ∠CEF. وجود زاويتين متطابقتين في مثلثين يكفي لإثبات تشابههما وفق مسلمة التشابه AA.

تلميح: فكر في العلاقة بين التوازي وتساوي قياس الزوايا.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط