عناصر المثلثات المتشابهة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 عناصر المثلثات المتشابهة

المفاهيم الأساسية

المثلثات المتشابهة: مثلثان تكون أطوال أضلاعهما المتناظرة متناسبة.

نظرية 6.8: إذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين طولي كل ارتفاعين متناظرين تساوي النسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين.

نظرية 6.9: إذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين طولي القطعتين المنصفتين لكل زاويتين متناظرتين تساوي النسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين.

نظرية 6.10: إذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين طولي كل قطعتين متوسطتين متناظرتين تساوي النسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين.

خريطة المفاهيم

```markmap

عناصر المثلثات المتشابهة

المفهوم الأساسي

أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة

القطع المستقيمة الخاصة

الارتفاعات المتناظرة (نظرية 6.8)

#### النسبة بينهما = النسبة بين الأضلاع المتناظرة

منصفات الزوايا المتناظرة (نظرية 6.9)

#### النسبة بينهما = النسبة بين الأضلاع المتناظرة

القطع المتوسطة المتناظرة (نظرية 6.10)

#### النسبة بينهما = النسبة بين الأضلاع المتناظرة

تطبيق واقعي

استعمال المثلثات المتشابهة في التصوير

#### إيجاد أطوال حقيقية من خلال الصور

```

نقاط مهمة

• الهدف من الدرس: التعرف على علاقات التناسب الخاصة بالارتفاعات والمنصفات والقطع المتوسطة في المثلثات المتشابهة، واستعمال نظرية منصف زاوية في مثلث.
• تمت دراسة أن أطوال الأضلاع المتناظرة لمضلعين متشابهين تكون متناسبة (مهارة سابقة).
• يمكن توسيع فكرة تناسب الأضلاع إلى قطع مستقيمة أخرى في المثلثات المتشابهة (الارتفاعات، المنصفات، المتوسطات).
• ستتم برهنة النظريتين 6.9 و 6.10 في السؤالين 15 و 14 على الترتيب (حسب الصفحة).
• تطبيق واقعي: يمكن استعمال المثلثات المتشابهة في التصوير لإيجاد طول جسم حقيقي (مثل النخلة) بناءً على طوله في الصورة والمسافة.

حل مثال

تحتوي الصفحة على ثلاثة أمثلة توضيحية مصاحبة للنظريات:

المثال المصاحب لنظرية 6.8:

إذا كان ΔABC ~ ΔFGH، و AD ارتفاع في ΔABC، و FJ ارتفاع في ΔFGH، فإن النسبة تكون:

\frac{AD}{FJ} = \frac{AB}{FG}

المثال المصاحب لنظرية 6.9:

إذا كان ΔKLM ~ ΔQRS، و LP منصف للزاوية L في ΔKLM، و RT منصف للزاوية R في ΔQRS، فإن النسبة تكون:

\frac{LP}{RT} = \frac{LM}{RS}

المثال المصاحب لنظرية 6.10:

إذا كان ΔABC ~ ΔWXY، و CD قطعة متوسطة في ΔABC، و YZ قطعة متوسطة في ΔWXY، فإن النسبة تكون:

\frac{CD}{YZ} = \frac{AB}{WX}

(حيث D منتصف AB، و Z منتصف WX).

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

6-4 عناصر المثلثات المتشابهة Parts of Similar Triangles

فيما سبق: درست أن أطوال الأضلاع المتناظرة لمضلعين متشابهين تكون متناسبة. (مهارة سابقة)

والآن: أتعرف علاقات التناسب الخاصة بكل من منصفات الزوايا والارتفاعات والقطع المتوسطة المتناظرة في المثلثات المتشابهة. أستعمل نظرية منصف زاوية في مثلث.

لماذا؟ في كاميرات التصوير الاحترافي تُستعمل أفلام بمعايير خاصة؛ للحصول على صور واضحة، وعند التقاط الصورة المجاورة، كانت المسافة بين النخلة وعدسة الكاميرا 6.16m، وكان طول النخلة على الفيلم 35mm، يمكن استعمال المثلثات المتشابهة لإيجاد طول النخلة الحقيقي.

قطع مستقيمة خاصة في المثلثين المتشابهين: تعلمت في الدرس 1-6، أن أطوال الأضلاع المتناظرة في المضلعات المتشابهة، ومنها المثلثات، تكون متناسبة. ويمكن توسيع الفكرة إلى قطع مستقيمة أخرى في المثلثات.

نظريات

أضف إلى مطويتك

6.8 إذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين طولي كل ارتفاعين متناظرين تساوي النسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين. مثال: إذا كان ΔABC ~ ΔFGH، و AD, FJ ارتفاعين، فإن AD/FJ = AB/FG.

6.9 إذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين طولي القطعتين المنصفتين لكل زاويتين متناظرتين تساوي النسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين. مثال: إذا كان ΔKLM ~ ΔQRS، و LP, RT قطعتين منصفين، فإن LP/RT = LM/RS.

6.10 إذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين طولي كل قطعتين متوسطتين متناظرتين تساوي النسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين. مثال: إذا كان ΔABC ~ ΔWXY، و CD, YZ قطعتين متوسطتين، فإن CD/YZ = AB/WX.

ستبرهن النظريتين 6.9, 6.10 في السؤالين 15, 14 على الترتيب

وزارة التعليم 99 الدرس 4-6 عناصر المثلثات المتشابهة

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 6-4 عناصر المثلثات المتشابهة Parts of Similar Triangles --- SECTION: فيما سبق --- فيما سبق: درست أن أطوال الأضلاع المتناظرة لمضلعين متشابهين تكون متناسبة. (مهارة سابقة) --- SECTION: والآن --- والآن: أتعرف علاقات التناسب الخاصة بكل من منصفات الزوايا والارتفاعات والقطع المتوسطة المتناظرة في المثلثات المتشابهة. أستعمل نظرية منصف زاوية في مثلث. --- SECTION: لماذا؟ --- لماذا؟ في كاميرات التصوير الاحترافي تُستعمل أفلام بمعايير خاصة؛ للحصول على صور واضحة، وعند التقاط الصورة المجاورة، كانت المسافة بين النخلة وعدسة الكاميرا 6.16m، وكان طول النخلة على الفيلم 35mm، يمكن استعمال المثلثات المتشابهة لإيجاد طول النخلة الحقيقي. --- SECTION: قطع مستقيمة خاصة في المثلثين المتشابهين --- قطع مستقيمة خاصة في المثلثين المتشابهين: تعلمت في الدرس 1-6، أن أطوال الأضلاع المتناظرة في المضلعات المتشابهة، ومنها المثلثات، تكون متناسبة. ويمكن توسيع الفكرة إلى قطع مستقيمة أخرى في المثلثات. --- SECTION: نظريات --- نظريات --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك --- SECTION: 6.8 --- 6.8 إذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين طولي كل ارتفاعين متناظرين تساوي النسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين. مثال: إذا كان ΔABC ~ ΔFGH، و AD, FJ ارتفاعين، فإن AD/FJ = AB/FG. --- SECTION: 6.9 --- 6.9 إذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين طولي القطعتين المنصفتين لكل زاويتين متناظرتين تساوي النسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين. مثال: إذا كان ΔKLM ~ ΔQRS، و LP, RT قطعتين منصفين، فإن LP/RT = LM/RS. --- SECTION: 6.10 --- 6.10 إذا تشابه مثلثان، فإن النسبة بين طولي كل قطعتين متوسطتين متناظرتين تساوي النسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين. مثال: إذا كان ΔABC ~ ΔWXY، و CD, YZ قطعتين متوسطتين، فإن CD/YZ = AB/WX. ستبرهن النظريتين 6.9, 6.10 في السؤالين 15, 14 على الترتيب وزارة التعليم 99 الدرس 4-6 عناصر المثلثات المتشابهة --- VISUAL CONTEXT --- **QR_CODE**: رابط الدرس الرقمي Description: A black and white QR code with the text 'رابط الدرس الرقمي' (Digital Lesson Link) above it and 'www.ien.edu.sa' below it. It provides a digital link to the lesson content. Context: Provides a digital resource for the lesson. **IMAGE**: Untitled Description: A vertical photograph of a tall palm tree with green fronds at the top, standing in a sandy, arid landscape. Other palm trees are visible in the background, suggesting a palm grove. The image is framed with a white border. Context: Illustrates a real-world application of similar triangles in photography and measurement, as described in the 'لماذا؟' (Why?) section, where the height of a palm tree is measured using similar triangles. **DIAGRAM**: Untitled Description: This diagram illustrates Theorem 6.8, showing two similar triangles, ΔABC and ΔFGH. ΔABC has vertices A, B, C. An altitude AD is drawn from vertex A to side BC, with D on BC, forming a right angle at D. ΔFGH has vertices F, G, H. An altitude FJ is drawn from vertex F to side GH, with J on GH, forming a right angle at J. The corresponding vertices are A↔F, B↔G, C↔H. The diagram visually represents the concept that the ratio of corresponding altitudes (AD/FJ) is equal to the ratio of corresponding sides (AB/FG) in similar triangles. Data: Two triangles, ΔABC and ΔFGH, are shown to be similar. AD is an altitude in ΔABC, and FJ is an altitude in ΔFGH. Right angle symbols are shown at D and J. Context: Illustrates Theorem 6.8 regarding the proportionality of altitudes in similar triangles. **DIAGRAM**: Untitled Description: This diagram illustrates Theorem 6.9, showing two similar triangles, ΔKLM and ΔQRS. ΔKLM has vertices K, L, M. An angle bisector LP is drawn from vertex L to side KM, with P on KM. Angle L is marked with a single arc on both sides of LP, indicating that LP bisects angle L. ΔQRS has vertices Q, R, S. An angle bisector RT is drawn from vertex R to side QS, with T on QS. Angle R is marked with a single arc on both sides of RT, indicating that RT bisects angle R. The corresponding vertices are K↔Q, L↔R, M↔S. The diagram visually represents the concept that the ratio of corresponding angle bisectors (LP/RT) is equal to the ratio of corresponding sides (LM/RS) in similar triangles. Data: Two triangles, ΔKLM and ΔQRS, are shown to be similar. LP is an angle bisector of angle L in ΔKLM, and RT is an an angle bisector of angle R in ΔQRS. Angles L and R are marked with single arcs to indicate bisection. Context: Illustrates Theorem 6.9 regarding the proportionality of angle bisectors in similar triangles. **DIAGRAM**: Untitled Description: This diagram illustrates Theorem 6.10, showing two similar triangles, ΔABC and ΔWXY. ΔABC has vertices A, B, C. A median CD is drawn from vertex C to the midpoint D of side AB. Side AB is marked with two tick marks, one on AD and one on DB, indicating D is the midpoint. ΔWXY has vertices W, X, Y. A median YZ is drawn from vertex Y to the midpoint Z of side WX. Side WX is marked with two tick marks, one on WZ and one on ZX, indicating Z is the midpoint. The corresponding vertices are A↔W, B↔X, C↔Y. The diagram visually represents the concept that the ratio of corresponding medians (CD/YZ) is equal to the ratio of corresponding sides (AB/WX) in similar triangles. Data: Two triangles, ΔABC and ΔWXY, are shown to be similar. CD is a median in ΔABC, and YZ is a median in ΔWXY. Sides AB and WX are marked with tick marks to indicate midpoints D and Z respectively. Context: Illustrates Theorem 6.10 regarding the proportionality of medians in similar triangles.