📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
14
نوع: QUESTION_HOMEWORK
برهان: اكتب برهانًا حرًا للنظرية 6.9.
15
نوع: QUESTION_HOMEWORK
برهان: اكتب برهانًا ذا عمودين للنظرية 6.10.
جبر
نوع: محتوى تعليمي
جبر: أوجد قيمة x في كل من السؤالين الآتيين:
16
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أوجد قيمة x في الشكل المجاور.
17
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أوجد قيمة x في الشكل المجاور.
إرشادات للدراسة
نوع: محتوى تعليمي
إرشادات للدراسة
التناسب: في التناسب a/b = c/d ، إذا كان a > c ، فإن b > d . والعكس صحيح أيضاً، إذا كان a > c ، فإن b > d .
18
نوع: QUESTION_HOMEWORK
رياضة: تأمل المثلث المتشكل من المسارات بين أحمد وعبدالله وخالد في الشكل المجاور. إذا ركل أحمد الكرة بمسار ينصف ∠B في △CBR ، فأيهما أقرب إلى الكرة؛ عبد الله أم خالد؟ وضح إجابتك.
19
نوع: QUESTION_HOMEWORK
برهان: اكتب برهانًا ذا عمودين في كل من السؤالين الآتيين:
19) النظرية 6.11
المعطيات: CD تنصف ∠ACB وبالرسم AE || CD المطلوب: إثبات أن: AD/DB = AC/BC
20
نوع: QUESTION_HOMEWORK
المعطيات: AS تنصف ∠HAG ∠H ≅ ∠G المطلوب: إثبات أن: HS/GS = AH/AG
21
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أثاث: يمثل الشكل المجاور خزانة كتب مثلثة الشكل، المسافة بين كل رفّين فيها تساوي 13 in ، و AK قطعة متوسطة لـ △ABC . إذا كان EF = 3 ⅓ in فكم يكون BK؟
مسائل مهارات التفكير العليا
نوع: محتوى تعليمي
مسائل مهارات التفكير العليا
22
نوع: QUESTION_HOMEWORK
اكتشف الخطأ: يحاول كل من عبد الله وفيصل أن يجد قيمة x في الشكل المجاور. فيقول عبد الله: لإيجاد قيمة x أحل التناسب 5/x = 15/8 ، ويقول فيصل: لإيجاد قيمة x ، أحل التناسب 8/x = 5/15 . أي منهما على صواب؟ وضح إجابتك.
نوع: METADATA
الفصل 6 التشابه 104
🔍 عناصر مرئية
Figure for Question 16
A large triangle is divided into two smaller triangles by an interior segment. The top side of the large triangle is divided into two segments of lengths 6x+2 and 8. The right side of the large triangle has length 18. The bottom side of the large triangle is divided into two segments, one of length 3x-1 and the other of length 2x+1. The interior segment has length 24. There is an angle marked with an arc on the bottom-left vertex of the large triangle and another angle marked with an arc on the vertex where the interior segment meets the bottom side, indicating these two angles are congruent.
Figure for Question 17
A large triangle is divided into two smaller triangles by an interior segment. The top side of the large triangle is divided into two segments of lengths 6x+2 and 8. The right side of the large triangle has length 10. The bottom side of the large triangle has length 9x-2. The interior segment has length 8. There is an angle marked with an arc on the bottom-left vertex of the large triangle and another angle marked with an arc on the vertex where the interior segment meets the bottom side, indicating these two angles are congruent.
المثلث المتشكل من المسارات بين أحمد وعبدالله وخالد
A green-colored field with four points labeled: C (خالد), H, R (عبدالله), and B (أحمد). Point B is at the bottom, R is to the right, C is to the top-left, and H is between C and R. Dashed lines connect B to C, B to H, and B to R, forming a triangle CBR. The distance from B to C is 202 ft. The distance from B to R is 197 ft. Two arcs indicate that the path from B to H bisects the angle ∠CBR.
Figure for Question 19
A triangle ABC. A line segment CD is drawn from vertex C to side AB, bisecting angle ACB. An external line AE is drawn parallel to CD, where E is on the extension of BC and A is a vertex of the triangle. The segment AD is labeled '3', and DB is labeled '12'.
Figure for Question 20
A triangle AHG. A line segment AS is drawn from vertex A to side HG. Arcs indicate that AS bisects angle HAG. Other arcs indicate that angle H is congruent to angle G.
خزانة كتب مثلثة الشكل
A triangular bookshelf labeled ABC, with A at the top vertex, B at the bottom-left, and C at the bottom-right. There are horizontal shelves labeled DE, FG, HJ, and K. The distance between each shelf is 13 in. AK is a median to △ABC. The length of segment EF is 3 ⅓ in.
Figure for Question 22
A triangle with an interior line segment dividing one side. The segments of the divided side are labeled 5 and x. The other two sides of the triangle are labeled 15 and 8. An arc indicates that the interior segment bisects the angle from which it originates.
📄 النص الكامل للصفحة
--- SECTION: 14 ---
برهان: اكتب برهانًا حرًا للنظرية 6.9.
--- SECTION: 15 ---
برهان: اكتب برهانًا ذا عمودين للنظرية 6.10.
--- SECTION: جبر ---
جبر: أوجد قيمة x في كل من السؤالين الآتيين:
--- SECTION: 16 ---
أوجد قيمة x في الشكل المجاور.
--- SECTION: 17 ---
أوجد قيمة x في الشكل المجاور.
--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
إرشادات للدراسة
التناسب: في التناسب a/b = c/d ، إذا كان a > c ، فإن b > d . والعكس صحيح أيضاً، إذا كان a > c ، فإن b > d .
--- SECTION: 18 ---
رياضة: تأمل المثلث المتشكل من المسارات بين أحمد وعبدالله وخالد في الشكل المجاور. إذا ركل أحمد الكرة بمسار ينصف ∠B في △CBR ، فأيهما أقرب إلى الكرة؛ عبد الله أم خالد؟ وضح إجابتك.
--- SECTION: 19 ---
برهان: اكتب برهانًا ذا عمودين في كل من السؤالين الآتيين:
19) النظرية 6.11
المعطيات: CD تنصف ∠ACB وبالرسم AE || CD المطلوب: إثبات أن: AD/DB = AC/BC
--- SECTION: 20 ---
المعطيات: AS تنصف ∠HAG ∠H ≅ ∠G المطلوب: إثبات أن: HS/GS = AH/AG
--- SECTION: 21 ---
أثاث: يمثل الشكل المجاور خزانة كتب مثلثة الشكل، المسافة بين كل رفّين فيها تساوي 13 in ، و AK قطعة متوسطة لـ △ABC . إذا كان EF = 3 ⅓ in فكم يكون BK؟
--- SECTION: مسائل مهارات التفكير العليا ---
مسائل مهارات التفكير العليا
--- SECTION: 22 ---
اكتشف الخطأ: يحاول كل من عبد الله وفيصل أن يجد قيمة x في الشكل المجاور. فيقول عبد الله: لإيجاد قيمة x أحل التناسب 5/x = 15/8 ، ويقول فيصل: لإيجاد قيمة x ، أحل التناسب 8/x = 5/15 . أي منهما على صواب؟ وضح إجابتك.
الفصل 6 التشابه 104
--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Figure for Question 16
Description: A large triangle is divided into two smaller triangles by an interior segment. The top side of the large triangle is divided into two segments of lengths 6x+2 and 8. The right side of the large triangle has length 18. The bottom side of the large triangle is divided into two segments, one of length 3x-1 and the other of length 2x+1. The interior segment has length 24. There is an angle marked with an arc on the bottom-left vertex of the large triangle and another angle marked with an arc on the vertex where the interior segment meets the bottom side, indicating these two angles are congruent.
Data: Side lengths are given as algebraic expressions and constants. Two angles are marked as congruent.
Key Values: Segment 1: 6x+2, Segment 2: 8, Segment 3: 24, Segment 4: 18, Segment 5: 3x-1, Segment 6: 2x+1
Context: This diagram is used to solve for the variable x, likely applying the Angle Bisector Theorem or properties of similar triangles based on the congruent angles.
**DIAGRAM**: Figure for Question 17
Description: A large triangle is divided into two smaller triangles by an interior segment. The top side of the large triangle is divided into two segments of lengths 6x+2 and 8. The right side of the large triangle has length 10. The bottom side of the large triangle has length 9x-2. The interior segment has length 8. There is an angle marked with an arc on the bottom-left vertex of the large triangle and another angle marked with an arc on the vertex where the interior segment meets the bottom side, indicating these two angles are congruent.
Data: Side lengths are given as algebraic expressions and constants. Two angles are marked as congruent.
Key Values: Segment 1: 6x+2, Segment 2: 8, Segment 3: 8, Segment 4: 10, Segment 5: 9x-2
Context: This diagram is used to solve for the variable x, likely applying the Angle Bisector Theorem or properties of similar triangles based on the congruent angles.
**DIAGRAM**: المثلث المتشكل من المسارات بين أحمد وعبدالله وخالد
Description: A green-colored field with four points labeled: C (خالد), H, R (عبدالله), and B (أحمد). Point B is at the bottom, R is to the right, C is to the top-left, and H is between C and R. Dashed lines connect B to C, B to H, and B to R, forming a triangle CBR. The distance from B to C is 202 ft. The distance from B to R is 197 ft. Two arcs indicate that the path from B to H bisects the angle ∠CBR.
Data: Distances BC = 202 ft and BR = 197 ft are shown. Line segment BH is an angle bisector of ∠CBR.
Key Values: BC = 202 ft, BR = 197 ft, BH bisects ∠CBR
Context: This diagram illustrates a real-world application of the Angle Bisector Theorem to determine relative distances.
**DIAGRAM**: Figure for Question 19
Description: A triangle ABC. A line segment CD is drawn from vertex C to side AB, bisecting angle ACB. An external line AE is drawn parallel to CD, where E is on the extension of BC and A is a vertex of the triangle. The segment AD is labeled '3', and DB is labeled '12'.
Data: CD bisects ∠ACB. AE is parallel to CD. AD = 3, DB = 12.
Key Values: AD = 3, DB = 12, CD bisects ∠ACB, AE || CD
Context: This diagram is used for a two-column proof, likely involving the Angle Bisector Theorem and properties of parallel lines to prove a proportion.
**DIAGRAM**: Figure for Question 20
Description: A triangle AHG. A line segment AS is drawn from vertex A to side HG. Arcs indicate that AS bisects angle HAG. Other arcs indicate that angle H is congruent to angle G.
Data: AS bisects ∠HAG. ∠H is congruent to ∠G.
Key Values: AS bisects ∠HAG, ∠H ≅ ∠G
Context: This diagram is used for a two-column proof, likely involving the Angle Bisector Theorem and properties of congruent angles to prove a proportion.
**DIAGRAM**: خزانة كتب مثلثة الشكل
Description: A triangular bookshelf labeled ABC, with A at the top vertex, B at the bottom-left, and C at the bottom-right. There are horizontal shelves labeled DE, FG, HJ, and K. The distance between each shelf is 13 in. AK is a median to △ABC. The length of segment EF is 3 ⅓ in.
Data: Distance between shelves is 13 in. AK is a median of △ABC. EF = 3 ⅓ in.
Key Values: Distance between shelves = 13 in, AK is a median to △ABC, EF = 3 ⅓ in
Context: This diagram applies geometric properties of triangles, medians, and parallel lines (implied by shelves) to a real-world object to solve for a length.
**DIAGRAM**: Figure for Question 22
Description: A triangle with an interior line segment dividing one side. The segments of the divided side are labeled 5 and x. The other two sides of the triangle are labeled 15 and 8. An arc indicates that the interior segment bisects the angle from which it originates.
Data: Side lengths are 5, x, 15, and 8. The interior segment is an angle bisector.
Key Values: Segment 1: 5, Segment 2: x, Side 1: 15, Side 2: 8, Interior segment is an angle bisector
Context: This diagram is used for error analysis related to setting up proportions based on the Angle Bisector Theorem.
✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية
عدد الأسئلة: 9
سؤال 14: برهان: اكتب برهانًا حرًا للنظرية 6.9.
الإجابة: بما أن $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ فإن $DE || BC$ (عكس نظرية التناسب في المثلث).
بما أن $DE || BC$ فإن $\angle ADE \cong \angle ABC$ و $\angle AED \cong \angle ACB$ (بالتناظر).
إذن $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (حسب مسلمة التشابه AA).
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$ (من تعريف المضلعات المتشابهة).
$\frac{AD}{AD+DB} = \frac{AE}{AE+EC} = \frac{DE}{BC}$
سؤال 15: برهان: اكتب برهانًا ذا عمودين للنظرية 6.10.
الإجابة: س15: | العبارات | المبررات |
|---|---|
(1 في $\triangle ABC$، النقطتان D, E تقعان على AB و AC على التوالي، و $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ | معطيات |
(2 ارسم DF بحيث F تقع على AC و $DF || BC$ | إنشاء |
(3 $\frac{AD}{DB} = \frac{AF}{FC}$ (حسب النظرية 6.9 لأن $DF || BC$) |
(4 $\frac{AF}{FC} = \frac{AE}{EC}$ | بالتعويض من (1) و (3) |
(5 ينتج أن AF = AE و FC = EC | لأن النقطة التي تقسم القطعة AC بنسبة (A من) محددة وفريدة | (C إلى)
(6 إذن D, E هو نفس المستقيم DF | من (5) |
(7 إذن $DE || BC$ | لأن $DF || BC$ من (2) |
سؤال 16: جبر: أوجد قيمة x في كل من السؤالين الآتيين:
16)
الإجابة: س16: باستخدام نظرية منصف الزاوية:
$\frac{24}{18} = \frac{3x-1}{2x+1}$
$24(2x+1) = 18(3x-1)$
$48x + 24 = 54x - 18$
$6x = 42$
$x = 7$
سؤال 17: 17)
الإجابة: س17: باستخدام نظرية منصف الزاوية:
$\frac{6x+2}{9x-2} = \frac{8}{10}$
$10(6x+2) = 8(9x-2)$
$60x + 20 = 72x - 16$
$12x = 36$
$x = 3$
سؤال 18: رياضة: تأمل المثلث المتشكل من المسارات بين أحمد وعبدالله وخالد في الشكل المجاور. إذا ركل أحمد الكرة بمسار ينصف ∠B في △CBR ، فأيهما أقرب إلى الكرة؛ عبد الله أم خالد؟ وضح إجابتك.
الإجابة: س18: عبد الله أقرب، لأن مسار الكرة ينصف $\angle B$، إذن حسب نظرية منصف الزاوية:
$\frac{CH}{HR} = \frac{CB}{BR} = \frac{202}{197} > 1 \Rightarrow CH > HR$
أي أن H أقرب إلى R (عبد الله) من C (خالد).
سؤال 19: برهان: اكتب برهانًا ذا عمودين في كلّ من السؤالين الآتيين.
19) النظرية 6.11
المعطيات: CD تنصف ∠ACB . وبالرسم AE || CD .
المطلوب: إثبات أن: AD/DB = AC/BC
الإجابة: س19: | العبارات | المبررات |
|---|---|
(1 CD ينصف $\angle ACB$ | معطيات |
(2 $\angle ACD \cong \angle DCB$ | تعريف منصف الزاوية |
(3 $AE || CD$ | معطيات/بالرسم |
(4 النقاط B, C, E على استقامة واحدة | من الشكل (تمديد BC إلى E) |
(5 $\angle ACD \cong \angle EAC$ | زوايا متبادلة لأن $AE || CD$ |
(6 $\angle DCB \cong \angle AEC$ | زوايا متناظرة لأن $AE || CD$ وعلى امتداد CB |
(7 $\angle EAC \cong \angle AEC$ | من (2) و (5) و (6) |
(8 AC = CE | عكس نظرية المثلث متساوي الساقين (تساوي الزاويتين $\Leftarrow$ تساوي الضلعين المقابلين) |
(9 في $\triangle AEB$ ومع $AE || CD$:
$\frac{BD}{DA} = \frac{BC}{CE}$ | من النظرية 6.9 (التناسب في المثلث) |
(10 $\frac{BD}{DA} = \frac{BC}{AC}$ | بالتعويض من (8) في (9) |
(11 $\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}$ | بأخذ المقلوب للطرفين |
سؤال 20: 20) المعطيات: AS تنصف ∠HAG
∠H ≅ ∠G
المطلوب: إثبات أن: HS/GS = AH/AG
الإجابة: س20: | العبارات | المبررات |
|---|---|
(1 AS تنصف $\angle HAG$ | معطيات |
(2 $\angle HAS \cong \angle SAG$ | تعريف منصف الزاوية |
(3 $\angle H \cong \angle G$ | معطيات |
(4 $\triangle AHS \sim \triangle AGS$ | (AA) من (2) و (3) |
(5 $\frac{HS}{GS} = \frac{AH}{AG}$ | من خواص الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتشابهة |
سؤال 21: أثاث: يمثل الشكل المجاور خزانة كتب مثلثة الشكل، المسافة بين كل رفّين فيها تساوي 13 in ، و AK قطعة متوسطة لـ △ABC . إذا كان EF = 3 ⅓ in فكم يكون BK؟
الإجابة: س21: المسافات على AB ثلاث فترات متساوية كل منها 13 in لذا AB = 39 in و AD = 13 in. وبما أن الرف DE || BC فإن نسبة التشابه من A هي $\frac{AD}{AB} = \frac{13}{39} = \frac{1}{3}$
ولأن AK متوسط في $\triangle ABC$ فإن K منتصف BC وبالتالي BK = KC. وبالتشابه نحصل على:
$\frac{EF}{KC} = \frac{1}{3} \Rightarrow KC = 3EF \Rightarrow BK = 3(3 \frac{1}{3}) = 3(\frac{10}{3}) = 10 in$
إذن BK = 10 in
سؤال 22: اكتشف الخطأ: يحاول كل من عبد الله وفيصل أن يجد قيمة x في الشكل المجاور. فيقول عبد الله: لإيجاد قيمة x أحل التناسب 5/x = 15/8 ، ويقول فيصل: لإيجاد قيمة x ، أحل التناسب 8/x = 5/15 . أي منهما على صواب؟ وضح إجابتك.
الإجابة: س22: عبد الله هو الصحيح؛ لأن (نظرية منصف الزاوية) تعطي:
$\frac{15}{x} = \frac{5}{8} \Rightarrow 5x = 120 \Rightarrow x = 24$
أما تناسب فيصل $\frac{8}{x} = \frac{5}{15}$ فلا يطابق الأجزاء المتناظرة، لذا هو خطأ.
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 9 بطاقة لهذه الصفحة
في التناسب a/b = c/d، إذا كان a > c، فماذا يمكن استنتاج عن b و d؟
- أ) b = d
- ب) b < d
- ج) b > d
- د) لا يمكن معرفة العلاقة
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: b > d
الشرح: ١. في التناسب a/b = c/d، إذا كان a > c، فإن قيمة الكسر a/b أكبر من c/d.
٢. لكي يظل التناسب صحيحاً، يجب أن يكون المقام b أكبر من المقام d.
٣. إذن، b > d.
تلميح: فكر في العلاقة العكسية بين طرفي التناسب.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل
في برهان النظرية 6.11، المعطيات: CD تنصف ∠ACB و AE || CD. المطلوب إثبات أن AD/DB = AC/BC. أي خطوة من الخطوات التالية تعتمد على 'عكس نظرية المثلث متساوي الساقين'؟
- أ) إثبات أن ∠ACD ≅ ∠DCB
- ب) إثبات أن AE || CD
- ج) إثبات أن AC = CE
- د) إثبات أن AD/DB = BC/CE
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: إثبات أن AC = CE
الشرح: ١. من المعطيات والزوايا المتناظرة/المتبادلة مع القطع المتوازية، نثبت أن ∠EAC ≅ ∠AEC.
٢. في المثلث ACE، الزاويتان عند القاعدة A و E متساويتان.
٣. باستخدام عكس نظرية المثلث متساوي الساقين: إذا تساوت زاويتان في مثلث، فإن الضلعين المقابلين لهما متساويان.
٤. إذن، AC = CE.
تلميح: ابحث عن الخطوة التي تستنتج تساوي ضلعين من تساوي زاويتين مقابلتين لهما.
التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب
في برهان يتضمن المثلث AHG، حيث AS تنصف ∠HAG و ∠H ≅ ∠G، المطلوب إثبات أن HS/GS = AH/AG. ما مسلمة أو نظرية التشابه الأساسية المستخدمة لإثبات تشابه المثلثين AHS و AGS؟
- أ) مسلمة التشابه SSS
- ب) مسلمة التشابه SAS
- ج) نظرية فيثاغورس
- د) مسلمة التشابه AA (زاوية-زاوية)
الإجابة الصحيحة: d
الإجابة: مسلمة التشابه AA (زاوية-زاوية)
الشرح: ١. المعطيات: AS تنصف ∠HAG، لذا ∠HAS ≅ ∠SAG (زاوية مشتركة من المنصف).
٢. المعطيات: ∠H ≅ ∠G.
٣. في المثلثين AHS و AGS، لدينا زوجان من الزوايا المتطابقة.
٤. حسب مسلمة التشابه AA، إذا تساوت زاويتان في مثلث مع زاويتين في مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان.
٥. إذن، △AHS ∼ △AGS.
تلميح: ما هي المعلومات المعطاة عن الزوايا في المثلثين؟
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط
في مسألة كرة القدم، إذا كان بعد أحمد (B) عن خالد (C) 202 قدم، وعن عبدالله (R) 197 قدم، وكان المسار BH ينصف الزاوية ∠CBR، فأيهما أقرب إلى الكرة عند النقطة H؛ عبدالله أم خالد؟
- أ) خالد (C) أقرب.
- ب) عبدالله (R) أقرب.
- ج) كلاهما على نفس البعد.
- د) المعلومات غير كافية للمقارنة.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: عبدالله (R) أقرب.
الشرح: ١. نظرية منصف الزاوية: في المثلث CBR، حيث BH ينصف ∠CBR، فإن: CH / HR = BC / BR.
٢. BC = 202 قدم، BR = 197 قدم.
٣. النسبة BC/BR = 202/197 > 1، إذن BC > BR.
٤. من التناسب CH/HR = BC/BR، إذا كان BC > BR، فإن CH > HR.
٥. بما أن CH (المسافة من خالد إلى الكرة) أكبر من HR (المسافة من عبدالله إلى الكرة)، فإن عبدالله (R) أقرب إلى الكرة.
تلميح: طبق نظرية منصف الزاوية: النسبة بين بعدي النقطتين C و R عن B تساوي النسبة بين بعدهما عن النقطة H على المنصف.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل
في برهان النظرية 6.9 (إذا كان DE || BC في △ABC، فإن AD/AB = AE/AC = DE/BC)، ما هو السبب المنطقي الرئيسي الذي يسمح لنا باستنتاج أن ∠ADE ≅ ∠ABC؟
- أ) بالتطابق (SSS) لأن الأضلاع متناسبة.
- ب) بالتناظر (أو الزوايا المتناظرة) لأن DE || BC.
- ج) لأنهما زاويتان متقابلتان بالرأس.
- د) باستخدام نظرية فيثاغورس.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: بالتناظر (أو الزوايا المتناظرة) لأن DE || BC.
الشرح: ١. المعطى: DE يوازي BC في المثلث ABC.
٢. المستقيمان المتوازيان DE و BC يقطعهما القاطع AB.
٣. الزاويتان ∠ADE و ∠ABC تقعان في مواقع متناظرة بالنسبة للقاطع والخطين المتوازيين.
٤. لذلك، هما متطابقتان (∠ADE ≅ ∠ABC).
تلميح: تذكر خصائص الخطوط المتوازية والمستقيم القاطع.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
في برهان النظرية 6.10 (إذا كانت النقطتان D, E تقعان على AB و AC في △ABC و AD/DB = AE/EC، فإن DE || BC)، ما هو الهدف من إنشاء المستقيم DF بحيث F تقع على AC و DF || BC؟
- أ) لإثبات أن المثلثين ADE و ABC متشابهان.
- ب) لحساب طول الضلع AC مباشرة.
- ج) لإنشاء خط موازٍ لـ BC يمر بالنقطة D، واستخدام نظرية التناسب (6.9) لإثبات أن النقطة F يجب أن تتطابق مع النقطة E.
- د) لتطبيق نظرية منصف الزاوية على المثلث ABC.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: لإنشاء خط موازٍ لـ BC يمر بالنقطة D، واستخدام نظرية التناسب (6.9) لإثبات أن النقطة F يجب أن تتطابق مع النقطة E.
الشرح: ١. الإنشاء: رسم DF موازٍ لـ BC.
٢. حسب النظرية 6.9: لأن DF || BC، فإن AD/DB = AF/FC.
٣. المعطى الأصلي: AD/DB = AE/EC.
٤. بالتعويض: AF/FC = AE/EC.
٥. هذه المساواة تعني أن النقطة F تقسم AC بنفس النسبة التي تقسمها E.
٦. بما أن نقطة التقسيم بنسبة معينة هي نقطة وحيدة، فإن F و E هما نفس النقطة.
٧. إذن، DE هو نفسه DF، وبالتالي DE || BC.
تلميح: يفيد الإنشاء في إثبات أن نقطتين مختلفتين (E و F) هما في الحقيقة نفس النقطة.
التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب
ما هي الخطوة المنطقية التالية في برهان النظرية 6.11 بعد إثبات أن ∠EAC ≅ ∠AEC؟ (المعطيات: CD تنصف ∠ACB، AE || CD، والمطلوب إثبات AD/DB = AC/BC).
- أ) الاستنتاج أن AD = DB.
- ب) الاستنتاج أن AC = CE (لأن المثلث ACE متساوي الساقين).
- ج) تطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث ABC.
- د) إثبات أن المثلثين ADC و BDC متطابقان.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: الاستنتاج أن AC = CE (لأن المثلث ACE متساوي الساقين).
الشرح: ١. تم إثبات أن ∠EAC ≅ ∠AEC.
٢. هاتان الزاويتان هما زاويتا قاعدة المثلث ACE (حيث الرأس C).
٣. في أي مثلث، إذا تساوت زاويتان، فإن الضلعين المقابلين لهاتين الزاويتين متساويان في الطول.
٤. الضلع المقابل لـ ∠EAC هو CE.
٥. الضلع المقابل لـ ∠AEC هو AC.
٦. إذن، يمكن الاستنتاج أن AC = CE.
٧. هذه الخطوة حاسمة لاستبدال CE بـ AC في التناسب اللاحق BD/DA = BC/CE، مما يؤدي إلى المطلوب AD/DB = AC/BC.
تلميح: إذا تساوت زاويتان في مثلث، فما الخاصية التي تنطبق على الضلعين المقابلين لهما؟
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط
في برهان النظرية 6.11، المعطيات: CD تنصف ∠ACB و AE || CD. بعد إثبات أن ∠EAC ≅ ∠AEC، ما هي النتيجة المباشرة التي تسمح لنا باستبدال CE بـ AC في التناسب؟
- أ) AE = CD (من خواص الخطوط المتوازية)
- ب) AC = CE (تساوي الضلعين المقابلين للزاويتين المتساويتين في المثلث ACE)
- ج) AD = DB (من معطيات التناسب الأصلية)
- د) BC = CE (لأن E على امتداد BC)
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: AC = CE (تساوي الضلعين المقابلين للزاويتين المتساويتين في المثلث ACE)
الشرح: بعد إثبات أن ∠EAC ≅ ∠AEC في المثلث ACE، نستنتج أن الضلعين المقابلين لهاتين الزاويتين متساويان. الضلع المقابل لـ ∠EAC هو CE، والضلع المقابل لـ ∠AEC هو AC. لذلك، AC = CE. هذه الخطوة حاسمة للتعويض في التناسب اللاحق.
تلميح: فكر في العلاقة بين تساوي زاويتين في مثلث وتساوي الضلعين المقابلين لهما.
التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب
في مسألة 'اكتشف الخطأ' المتعلقة بإيجاد قيمة x باستخدام نظرية منصف الزاوية، إذا كانت الأطوال حول المثلث هي 5، x، 15، 8، فأي من التناسبين التاليين يمثل التطبيق الصحيح للنظرية؟
- أ) 5 / x = 15 / 8
- ب) 8 / x = 5 / 15
- ج) x / 5 = 8 / 15
- د) 15 / x = 8 / 5
الإجابة الصحيحة: a
الإجابة: 5 / x = 15 / 8
الشرح: نظرية منصف الزاوية تنص: (الضلع المجاور الأول) / (الضلع المجاور الثاني) = (القطعة المقابلة على الضلع المقابل للأول) / (القطعة المقابلة على الضلع المقابل للثاني).
في الشكل، الضلعان المجاوران للزاوية المنصفة هما 15 و 8. القطعتان على الضلع المقابل (المقابل للزاوية) هما 5 و x.
لذلك، التناسب الصحيح هو: 15 / 8 = 5 / x، أو مقلوبه 5 / x = 15 / 8.
تلميح: تذكر أن نظرية منصف الزاوية تنص على أن النسبة بين أطوال الضلعين المجاورين للزاوية تساوي النسبة بين القطعتين اللتين يقسمهما المنصف على الضلع المقابل.
التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط