معمل الهندسة: - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: 1) إذا استمررت في هذه العملية، فكم يكون عدد المثلثات غير المظللة في المرحلة 3؟

الإجابة: س1: $27 = 3^3$ مثلثًا غير مظلل.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (ملاحظة النمط):** لننظر إلى عدد المثلثات غير المظللة في كل مرحلة: - في المرحلة 0 (المثلث الأصلي): يوجد 1 مثلث غير مظلل. - في المرحلة 1: يتم تقسيم المثلث الأصلي إلى 4 مثلثات أصغر، ويظلل المثلث الأوسط. يتبقى 3 مثلثات غير مظللة. - في المرحلة 2: كل من المثلثات الثلاثة غير المظللة من المرحلة 1 يتم تقسيمها بنفس الطريقة، بحيث ينتج عن كل منها 3 مثلثات غير مظللة جديدة. إذن، عدد المثلثات غير المظللة = $3 \times 3 = 9$ مثلثات.
2. **الخطوة 2 (تحديد القاعدة):** نلاحظ أن عدد المثلثات غير المظللة يتضاعف ثلاث مرات في كل مرحلة جديدة. يمكن التعبير عن ذلك بالصيغة $3^n$ حيث 'n' هي رقم المرحلة. - المرحلة 0: $3^0 = 1$ - المرحلة 1: $3^1 = 3$ - المرحلة 2: $3^2 = 9$
3. **الخطوة 3 (الحساب للمرحلة 3):** بتطبيق القاعدة على المرحلة 3، يكون عدد المثلثات غير المظللة: $$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، عدد المثلثات غير المظللة في المرحلة 3 هو **27 مثلثًا**.

سؤال 2: 2) ما محيط المثلث غير المظلل في المرحلة 4؟

الإجابة: س2: الضلع = $\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^4 (8)$، المحيط = $\frac{3}{2} = \frac{1}{2} \times 3$ وحدة

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (تحديد طول الضلع الأصلي):** من خلال الإجابة المعطاة، يبدو أن طول ضلع المثلث الأصلي (في المرحلة 0) هو 8 وحدات. لنفترض ذلك كقيمة ابتدائية.
2. **الخطوة 2 (تحديد نمط تغير طول الضلع):** في كل مرحلة، يتم تقسيم المثلثات غير المظللة إلى مثلثات أصغر، ويكون طول ضلع كل مثلث أصغر هو نصف طول ضلع المثلث الذي سبقه. - المرحلة 0: طول الضلع = 8 - المرحلة 1: طول الضلع = $8 \times \frac{1}{2} = 4$ - المرحلة 2: طول الضلع = $4 \times \frac{1}{2} = 2$ - المرحلة 'n': طول الضلع = $8 \times (\frac{1}{2})^n$
3. **الخطوة 3 (حساب طول الضلع في المرحلة 4):** بتطبيق القاعدة للمرحلة 4: $$طول الضلع = 8 \times (\frac{1}{2})^4 = 8 \times \frac{1}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \text{ وحدة}$$
4. **الخطوة 4 (حساب المحيط):** المثلثات غير المظللة هي مثلثات متطابقة الأضلاع. محيط المثلث متطابق الأضلاع يساوي 3 أضعاف طول ضلعه. $$المحيط = 3 \times طول الضلع = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \text{ وحدة}$$
5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن، محيط المثلث غير المظلل في المرحلة 4 هو **$\frac{3}{2}$ وحدة**.

سؤال 3: 3) إذا استمررت في هذه العملية إلى مالانهاية، فماذا سيحصل لمحيط كل مثلث غير مظلل؟

الإجابة: س3: سيتناقص محيط كل مثلث غير مظلل ويؤول إلى 0.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (مراجعة نمط تغير طول الضلع):** كما رأينا في السؤال السابق، في كل مرحلة 'n'، يصبح طول ضلع المثلث غير المظلل $طول الضلع الأصلي \times (\frac{1}{2})^n$.
2. **الخطوة 2 (تأثير الاستمرار إلى مالانهاية):** إذا استمرت هذه العملية إلى مالانهاية، فهذا يعني أن قيمة 'n' ستزداد بشكل لا نهائي. عندما تزداد 'n' بشكل لا نهائي، فإن الكسر $(\frac{1}{2})^n$ سيصبح أصغر فأصغر ويقترب من الصفر.
3. **الخطوة 3 (الاستنتاج حول المحيط):** بما أن طول الضلع سيقترب من الصفر عندما تستمر العملية إلى مالانهاية، فإن محيط المثلث (الذي هو 3 أضعاف طول الضلع) سيقترب أيضًا من الصفر.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** لذلك، إذا استمرت هذه العملية إلى مالانهاية، فإن محيط كل مثلث غير مظلل **سيتناقص ويؤول إلى 0**.

سؤال 4: 4) تحد: استنادًا إلى الشكل المجاور، أكمل الآتي باستعمال برهان ذي عمودين: المعطيات: $\Delta KAP$ متطابق الأضلاع. $D, F, M, B, C, E$ منتصفات: $\overline{KA}, \overline{AP}, \overline{PK}, \overline{DA}, \overline{AF}, \overline{FD}$ على الترتيب. المطلوب: $\Delta BAC \sim \Delta KAP$.

الإجابة: س4: 1) D, F منتصفات (معطى) | 2) DF || KP (نظرية منتصفين) | 3) B, C منتصفات (معطى) | 4) BC || DF (نظرية منتصفين) 5) BC || KP (تعدي التوازي) | 6) ∠A مشتركة | 7) ∠C = ∠P (تناظر) | 8) ΔBAC ~ ΔKAP (AA)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (تحديد المعطيات وتطبيق نظرية القطعة المتوسطة):** المعطيات تخبرنا أن $D$ و $F$ هما منتصفا الضلعين $\overline{KA}$ و $\overline{AP}$ على الترتيب في المثلث $\Delta KAP$. وفقًا لنظرية القطعة المتوسطة في المثلث، فإن القطعة المستقيمة التي تصل بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث وتساوي نصف طوله. إذن، $\overline{DF} \parallel \overline{KP}$.
2. **الخطوة 2 (تطبيق نظرية القطعة المتوسطة مرة أخرى):** المعطيات تخبرنا أيضًا أن $B$ و $C$ هما منتصفا الضلعين $\overline{DA}$ و $\overline{AF}$ على الترتيب في المثلث $\Delta DAF$. بتطبيق نظرية القطعة المتوسطة مرة أخرى، نستنتج أن $\overline{BC} \parallel \overline{DF}$.
3. **الخطوة 3 (استنتاج التوازي بالتعدي):** بما أن $\overline{BC} \parallel \overline{DF}$ (من الخطوة 2) و $\overline{DF} \parallel \overline{KP}$ (من الخطوة 1)، فإنه يمكننا استنتاج أن $\overline{BC} \parallel \overline{KP}$ بخاصية التعدي للتوازي.
4. **الخطوة 4 (تحديد الزاوية المشتركة):** الزاوية $\angle A$ هي زاوية مشتركة بين المثلثين $\Delta BAC$ و $\Delta KAP$.
5. **الخطوة 5 (تحديد الزوايا المتناظرة):** بما أن $\overline{BC} \parallel \overline{KP}$ (من الخطوة 3)، و$\overline{AP}$ قاطع لهما، فإن الزاويتين $\angle BCA$ و $\angle KPA$ هما زاويتان متناظرتان. الزوايا المتناظرة الناتجة عن مستقيمين متوازيين وقاطع تكون متطابقة. إذن، $\angle BCA \cong \angle KPA$ (أو $\angle C = \angle P$).
6. **الخطوة 6 (إثبات التشابه):** لدينا الآن زاويتان متطابقتان في المثلثين: $\angle A$ (مشتركة) و $\angle BCA \cong \angle KPA$ (متناظرتان). وفقًا لمسلمة التشابه بزاويتين (AA)، إذا تطابقت زاويتان في مثلث مع زاويتين في مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان. لذلك، $\Delta BAC \sim \Delta KAP$.
7. **الخطوة 7 (النتيجة):** إذن، تم إثبات أن **$\Delta BAC \sim \Delta KAP$**.

ما الخاصية الأساسية التي تميز الأشكال الكسرية (Fractals)؟

• أ) التناظر الدوراني
• ب) الاستمرارية
• ج) ذاتية التشابه
• د) التقارب

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ذاتية التشابه

الشرح: الأشكال الكسرية هي أشكال هندسية تنتج عن تكرار نمط معين. الخاصية المميزة لها هي "الذاتية التشابه"، حيث أن الأجزاء الصغيرة من الشكل لها الخصائص الهندسية نفسها للشكل الأصلي الكبير.

تلميح: تذكر أن الأجزاء الصغيرة تشبه الشكل الأصلي.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

في مثلث سيربنسكي، إذا بدأنا بمثلث واحد غير مظلل في المرحلة 0، وكل مثلث غير مظلل يُنتج 3 مثلثات غير مظللة في المرحلة التالية، فكم يكون عدد المثلثات غير المظللة في المرحلة 3؟

• أ) 9 مثلثات
• ب) 12 مثلثًا
• ج) 27 مثلثًا
• د) 81 مثلثًا

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 27 مثلثًا

الشرح: 1. المرحلة 0: 1 مثلث غير مظلل (3^0). 2. المرحلة 1: 3 مثلثات غير مظللة (3^1). 3. المرحلة 2: 9 مثلثات غير مظللة (3^2). 4. المرحلة 3: 3^3 = 3 × 3 × 3 = 27 مثلثًا غير مظلل.

تلميح: ابحث عن نمط: عدد المثلثات غير المظللة يتضاعف ثلاث مرات في كل مرحلة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

في مثلث سيربنسكي، إذا كان طول ضلع المثلث الأصلي (المرحلة 0) 8 وحدات، ويصبح طول ضلع كل مثلث غير مظلل في المرحلة التالية نصف طول ضلع المثلث السابق، فما محيط المثلث غير المظلل في المرحلة 4؟

• أ) 3 وحدات
• ب) 3/2 وحدة
• ج) 3/4 وحدة
• د) 6 وحدات

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 3/2 وحدة

الشرح: 1. طول الضلع في المرحلة 4 = 8 × (1/2)^4 = 8 × 1/16 = 1/2 وحدة. 2. محيط المثلث متطابق الأضلاع = 3 × طول الضلع. 3. المحيط = 3 × (1/2) = 3/2 وحدة.

تلميح: احسب طول الضلع أولاً في المرحلة 4، ثم استخدم قانون محيط المثلث متطابق الأضلاع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في عملية تكوين مثلث سيربنسكي، إذا استمرت العملية إلى مالانهاية، فماذا سيحصل لمحيط كل مثلث غير مظلل؟

• أ) سيبقى ثابتًا
• ب) سيؤول إلى الصفر
• ج) سيزداد إلى مالانهاية
• د) سيصبح غير محدد

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: سيؤول إلى الصفر

الشرح: 1. في كل مرحلة، طول ضلع المثلث غير المظلل يصبح نصف طول ضلع المرحلة السابقة. 2. مع استمرار العملية إلى مالانهاية، يصبح طول الضلع أصغر فأصغر ويقترب من الصفر. 3. بما أن المحيط = 3 × طول الضلع، فإن المحيط سيقترب أيضًا من الصفر (يؤول إلى الصفر).

تلميح: فكر في ما يحدث لطول ضلع المثلث عندما يصغر بشكل متكرر إلى مالانهاية.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

في شجرة كسرية، يبدأ غصنان من نهاية كل غصن أصلي، وطول كل غصن جديد ثلث طول الغصن السابق. إذا بدأنا بغصن رئيسي (ساق) فقط في المرحلة 0، فما العدد الكلي للأغصان (بدون الساق) في نهاية المرحلة 2؟

• أ) 4 أغصان
• ب) 6 أغصان
• ج) 8 أغصان
• د) 14 غصنًا

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 6 أغصان

الشرح: 1. المرحلة 1: ينتج عن الساق غصنان جديدان. الإجمالي = 2 غصن. 2. المرحلة 2: كل من الغصنين في المرحلة 1 ينتج غصنين جديدين. الأغصان الجديدة = 2 × 2 = 4. 3. العدد الكلي للأغصان حتى المرحلة 2 = أغصان المرحلة 1 + أغصان المرحلة 2 = 2 + 4 = 6 أغصان.

تلميح: احسب عدد الأغصان الجديدة في كل مرحلة واجمعها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط