نشاط 2 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: نشاط 2

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 تكملة التقويم

هذه الصفحة تكملة لأسئلة تدرب و حل المسائل من الصفحة السابقة.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

جميع العمليات المكررة لا تتضمن رسومات لأشكال هندسية، فبعض العمليات المكررة، يمكن أن تترجم إلى صيغ أو معادلات مشابهة للعبارة الجبرية التي كتبتها في السؤال 5 في الصفحة السابقة، وتسمى هذه العبارات صيغًا ترددية.

نشاط 2

نوع: محتوى تعليمي

نشاط 2

نوع: QUESTION_ACTIVITY

مثلث باسكال هو نمط عددي يبدأ كل صف فيه بالعدد 1، وينتهي بالعدد 1 أيضًا، وينتج كل حد من حدود الصفوف الأخرى عن جمع الحدين الواقعين فوقه. أوجد صيغة لمجموع حدود كل صف في مثلث باسكال بدلالة رقم هذا الصف.

تحليل النتائج

نوع: محتوى تعليمي

تحليل النتائج

نوع: QUESTION_HOMEWORK

6) اكتب صيغة للمجموع S لحدود الصف n لمثلث باسكال.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

7) ما مجموع حدود الصف الثامن في مثلث باسكال؟

تمارين

نوع: محتوى تعليمي

تمارين:

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتب صيغة ترددية لـ (F(x.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8

نوع: QUESTION_HOMEWORK

9

نوع: QUESTION_HOMEWORK

10

نوع: QUESTION_HOMEWORK

11

تحد

نوع: محتوى تعليمي

تحد

نوع: QUESTION_HOMEWORK

12) يمثل النمط أدناه متتابعة أعداد مثلثية. ما عدد النقاط في الحد الثامن في هذه المتتابعة؟ هل من الممكن كتابة صيغة ترددية يمكن استعمالها لتحديد عدد النقاط في العدد المثلثي ذي الرقم n في هذه المتتابعة؟ وإذا كان ذلك ممكنًا فاكتب الصيغة، وإلا فوضح السبب.

نوع: METADATA

وزارة التعليم 107 توسع 6-4 معمل الهندسة: الكسريات 2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

مثلث باسكال

A diagram showing the first five rows of Pascal's triangle. Each number is the sum of the two numbers directly above it. The edges of the triangle are all 1s.

A table showing the row number (الصف), the sum of the elements in that row (المجموع), and a pattern (النمط) relating the sum to powers of 2. The pattern column shows 2^(n-1) on the left side of the equality and 2^n - 1 on the right side, where n is the row number. The equality is only true for n=1.

A table presenting discrete data points for a function F(x). The x-values are 2, 4, 6, 8, 10. The corresponding F(x) values are 3, 7, 11, 15, 19. The relationship appears to be linear, with F(x) increasing by 4 for every 2-unit increase in x.

A table presenting discrete data points for a function F(x). The x-values are 0, 5, 10, 15, 20. The corresponding F(x) values are 0, 20, 90, 210, 380. The first differences in F(x) are 20, 70, 120, 170. The second differences are constant at 50, indicating a quadratic relationship.

A table presenting discrete data points for a function F(x). The x-values are 1, 2, 4, 8, 10. The corresponding F(x) values are 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.1. This data clearly shows an inverse relationship where F(x) = 1/x.

A table presenting discrete data points for a function F(x). The x-values are 4, 9, 16, 25, 36, which are perfect squares (2², 3², 4², 5², 6²). The corresponding F(x) values are 5, 6, 7, 8, 9. The relationship appears to be F(x) = √x + 3.

نمط الأعداد المثلثية

A visual representation of the first four triangular numbers using dots. Each pattern is labeled with its term number.

📄 النص الكامل للصفحة

جميع العمليات المكررة لا تتضمن رسومات لأشكال هندسية، فبعض العمليات المكررة، يمكن أن تترجم إلى صيغ أو معادلات مشابهة للعبارة الجبرية التي كتبتها في السؤال 5 في الصفحة السابقة، وتسمى هذه العبارات صيغًا ترددية. --- SECTION: نشاط 2 --- نشاط 2 مثلث باسكال هو نمط عددي يبدأ كل صف فيه بالعدد 1، وينتهي بالعدد 1 أيضًا، وينتج كل حد من حدود الصفوف الأخرى عن جمع الحدين الواقعين فوقه. أوجد صيغة لمجموع حدود كل صف في مثلث باسكال بدلالة رقم هذا الصف. الخطوة 1. اكتب الصفوف الخمسة الأولى من مثلث باسكال. الخطوة 2. أوجد مجموع حدود كل صف. الخطوة 3. أوجد نمطًا يعتمد على رقم الصف، ويمكن استعماله لإيجاد مجموع حدود كل صف. --- SECTION: تحليل النتائج --- تحليل النتائج 6) اكتب صيغة للمجموع S لحدود الصف n لمثلث باسكال. 7) ما مجموع حدود الصف الثامن في مثلث باسكال؟ --- SECTION: تمارين --- تمارين: اكتب صيغة ترددية لـ (F(x. 8 9 10 11 --- SECTION: تحد --- تحد 12) يمثل النمط أدناه متتابعة أعداد مثلثية. ما عدد النقاط في الحد الثامن في هذه المتتابعة؟ هل من الممكن كتابة صيغة ترددية يمكن استعمالها لتحديد عدد النقاط في العدد المثلثي ذي الرقم n في هذه المتتابعة؟ وإذا كان ذلك ممكنًا فاكتب الصيغة، وإلا فوضح السبب. وزارة التعليم 107 توسع 6-4 معمل الهندسة: الكسريات 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: مثلث باسكال Description: A diagram showing the first five rows of Pascal's triangle. Each number is the sum of the two numbers directly above it. The edges of the triangle are all 1s. Context: Illustrates the structure of Pascal's triangle, used to understand patterns in sums of rows for activity 2 and questions 6 and 7. **TABLE**: Untitled Description: A table showing the row number (الصف), the sum of the elements in that row (المجموع), and a pattern (النمط) relating the sum to powers of 2. The pattern column shows 2^(n-1) on the left side of the equality and 2^n - 1 on the right side, where n is the row number. The equality is only true for n=1. Table Structure: Headers: الصف | المجموع | النمط Rows: Row 1: 1 | 1 | 2⁰ = 2¹ - 1 Row 2: 2 | 2 | 2¹ = 2² - 1 Row 3: 3 | 4 | 2² = 2³ - 1 Row 4: 4 | 8 | 2³ = 2⁴ - 1 Row 5: 5 | 16 | 2⁴ = 2⁵ - 1 Context: Provides data to identify the pattern for the sum of elements in each row of Pascal's triangle, as required by activity 2 and questions 6 and 7. **TABLE**: Untitled Description: A table presenting discrete data points for a function F(x). The x-values are 2, 4, 6, 8, 10. The corresponding F(x) values are 3, 7, 11, 15, 19. The relationship appears to be linear, with F(x) increasing by 4 for every 2-unit increase in x. Table Structure: Headers: x | F(x) Rows: Row 1: 2 | 3 Row 2: 4 | 7 Row 3: 6 | 11 Row 4: 8 | 15 Row 5: 10 | 19 Context: Provides data for question 8, which asks to write a recursive formula for F(x). The explicit formula is F(x) = 2x - 1. **TABLE**: Untitled Description: A table presenting discrete data points for a function F(x). The x-values are 0, 5, 10, 15, 20. The corresponding F(x) values are 0, 20, 90, 210, 380. The first differences in F(x) are 20, 70, 120, 170. The second differences are constant at 50, indicating a quadratic relationship. Table Structure: Headers: x | F(x) Rows: Row 1: 0 | 0 Row 2: 5 | 20 Row 3: 10 | 90 Row 4: 15 | 210 Row 5: 20 | 380 Context: Provides data for question 9, which asks to write a recursive formula for F(x). **TABLE**: Untitled Description: A table presenting discrete data points for a function F(x). The x-values are 1, 2, 4, 8, 10. The corresponding F(x) values are 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.1. This data clearly shows an inverse relationship where F(x) = 1/x. Table Structure: Headers: x | F(x) Rows: Row 1: 1 | 1 Row 2: 2 | 0.5 Row 3: 4 | 0.25 Row 4: 8 | 0.125 Row 5: 10 | 0.1 Context: Provides data for question 10, which asks to write a recursive formula for F(x). The explicit formula is F(x) = 1/x. **TABLE**: Untitled Description: A table presenting discrete data points for a function F(x). The x-values are 4, 9, 16, 25, 36, which are perfect squares (2², 3², 4², 5², 6²). The corresponding F(x) values are 5, 6, 7, 8, 9. The relationship appears to be F(x) = √x + 3. Table Structure: Headers: x | F(x) Rows: Row 1: 4 | 5 Row 2: 9 | 6 Row 3: 16 | 7 Row 4: 25 | 8 Row 5: 36 | 9 Context: Provides data for question 11, which asks to write a recursive formula for F(x). The explicit formula is F(x) = √x + 3. **DIAGRAM**: نمط الأعداد المثلثية Description: A visual representation of the first four triangular numbers using dots. Each pattern is labeled with its term number. Data: The number of dots in each term follows the sequence: 1, 3, 6, 10. This corresponds to the formula T_n = n(n+1)/2. Context: Illustrates triangular numbers for question 12, which asks for the 8th term and a recursive formula for the sequence.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 7

سؤال 6: اكتب صيغة للمجموع S لحدود الصف n لمثلث باسكال.

الإجابة: س6: $S = 2^{n-1}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** مثلث باسكال هو ترتيب للأعداد على شكل مثلث، حيث يبدأ كل صف بالرقم 1 وينتهي بالرقم 1، وكل عدد داخلي هو مجموع العددين اللذين فوقه مباشرة في الصف السابق. لننظر إلى الصفوف الأولى ومجموع حدودها: - الصف 1 (n=1): 1. المجموع = 1 - الصف 2 (n=2): 1, 1. المجموع = 2 - الصف 3 (n=3): 1, 2, 1. المجموع = 4 - الصف 4 (n=4): 1, 3, 3, 1. المجموع = 8
  2. **الخطوة 2 (تحليل النمط):** نلاحظ أن مجموع حدود كل صف هو قوة للعدد 2: - مجموع الصف 1 (n=1) = $1 = 2^0$ - مجموع الصف 2 (n=2) = $2 = 2^1$ - مجموع الصف 3 (n=3) = $4 = 2^2$ - مجموع الصف 4 (n=4) = $8 = 2^3$
  3. **الخطوة 3 (استنتاج الصيغة):** نلاحظ أن الأس للعدد 2 هو دائمًا أقل من رقم الصف بمقدار 1. أي إذا كان رقم الصف هو n، فإن الأس هو n-1. إذن، الصيغة للمجموع S لحدود الصف n هي: **$$S = 2^{n-1}$$**

سؤال 7: ما مجموع حدود الصف الثامن في مثلث باسكال؟

الإجابة: س7: $S = 2^{8-1} = 2^7 = 128$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (القانون):** لقد تعلمنا أن مجموع حدود الصف n في مثلث باسكال يُعطى بالصيغة: $$S = 2^{n-1}$$
  2. **الخطوة 2 (المعطيات):** المطلوب هو مجموع حدود الصف الثامن، إذن قيمة n هي 8.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة n في الصيغة: $$S = 2^{8-1}$$ $$S = 2^7$$ $$S = 128$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، مجموع حدود الصف الثامن في مثلث باسكال هو: **128**

سؤال 8: اكتب صيغة ترددية لـ $F(x)$. | x | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | |---|---|---|---|---|----| | F(x) | 3 | 7 | 11 | 15 | 19 |

الإجابة: س: 8: $F(2) = 3$، و $x \geq 4$ (حيث $x$ زوجي): $F(x) = F(x-2) + 4$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (تحليل قيم x):** نلاحظ أن قيم x هي: 2, 4, 6, 8, 10. هذه القيم تزيد بمقدار ثابت وهو 2. أي أن $x$ هي أعداد زوجية متتالية.
  2. **الخطوة 2 (تحليل قيم F(x) والفروقات):** لننظر إلى قيم F(x): - F(2) = 3 - F(4) = 7 - F(6) = 11 - F(8) = 15 - F(10) = 19 لنحسب الفروقات بين القيم المتتالية لـ F(x): - F(4) - F(2) = 7 - 3 = 4 - F(6) - F(4) = 11 - 7 = 4 - F(8) - F(6) = 15 - 11 = 4 - F(10) - F(8) = 19 - 15 = 4 نلاحظ أن الفرق ثابت ويساوي 4.
  3. **الخطوة 3 (كتابة الصيغة الترددية):** \بما أن الفرق ثابت، فإن كل حد F(x) يساوي الحد السابق F(x-2) مضافًا إليه 4. - الشرط الأولي (القيمة الابتدائية): من الجدول، $F(2) = 3$. - العلاقة الترددية: $F(x) = F(x-2) + 4$. - مجال تطبيق العلاقة: بما أن أول قيمة لـ x هي 2، والعلاقة تعتمد على x-2، فإنها تبدأ من $x \geq 4$ (حيث x زوجي). إذن، الصيغة الترددية هي: **$F(2) = 3$، و $x \geq 4$ (حيث $x$ زوجي): $F(x) = F(x-2) + 4$**

سؤال 9: اكتب صيغة ترددية لـ $F(x)$. | x | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | |---|---|---|---|---|----| | F(x) | 0 | 20 | 90 | 210 | 380 |

الإجابة: س: 9: $F(0) = 0$، و $x \geq 5$ (حيث $x$ من مضاعفات 5): $F(x) = F(x-5) + (10x - 30)$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (تحليل قيم x):** قيم x هي: 0, 5, 10, 15, 20. هذه القيم تزيد بمقدار ثابت وهو 5. أي أن $x$ هي مضاعفات العدد 5.
  2. **الخطوة 2 (تحليل قيم F(x) والفروقات):** لننظر إلى قيم F(x): - F(0) = 0 - F(5) = 20 - F(10) = 90 - F(15) = 210 - F(20) = 380 لنحسب الفروقات بين القيم المتتالية لـ F(x): - $D_1 = F(5) - F(0) = 20 - 0 = 20$ - $D_2 = F(10) - F(5) = 90 - 20 = 70$ - $D_3 = F(15) - F(10) = 210 - 90 = 120$ - $D_4 = F(20) - F(15) = 380 - 210 = 170$ نلاحظ أن الفروقات ليست ثابتة. لنحسب فروقات الفروقات (الفرق الثاني): - $D_2 - D_1 = 70 - 20 = 50$ - $D_3 - D_2 = 120 - 70 = 50$ - $D_4 - D_3 = 170 - 120 = 50$ بما أن الفرق الثاني ثابت (ويساوي 50)، فهذا يشير إلى أن العلاقة الترددية ستكون من الدرجة الثانية، أو أن الفرق $F(x) - F(x-5)$ هو دالة خطية في x.
  3. **الخطوة 3 (إيجاد صيغة الفرق):** لنفترض أن الفرق $F(x) - F(x-5)$ يمكن تمثيله بدالة خطية $A x + B$. عندما تزيد x بمقدار 5، يزيد الفرق بمقدار 50. إذن، الميل (A) هو $50/5 = 10$. الآن لدينا $F(x) - F(x-5) = 10x + B$. باستخدام النقطة الأولى للفرق، عندما $x=5$، الفرق هو 20: $20 = 10(5) + B$ $20 = 50 + B$ $B = 20 - 50 = -30$ إذن، صيغة الفرق هي $10x - 30$.
  4. **الخطوة 4 (كتابة الصيغة الترددية):** - الشرط الأولي (القيمة الابتدائية): من الجدول، $F(0) = 0$. - العلاقة الترددية: $F(x) = F(x-5) + (10x - 30)$. - مجال تطبيق العلاقة: بما أن أول قيمة لـ x هي 0، والعلاقة تعتمد على x-5، فإنها تبدأ من $x \geq 5$ (حيث x من مضاعفات 5). إذن، الصيغة الترددية هي: **$F(0) = 0$، و $x \geq 5$ (حيث $x$ من مضاعفات 5): $F(x) = F(x-5) + (10x - 30)$**

سؤال 10: اكتب صيغة ترددية لـ $F(x)$. | x | 1 | 2 | 4 | 8 | 10 | |---|---|---|---|---|----| | F(x) | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 | 0.1 |

الإجابة: س: 10: $F(1) = 1$، و $x \geq 2$ $F(x) = \frac{x-1}{x} F(x-1)$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (تحليل قيم x و F(x)):** قيم x هي: 1, 2, 4, 8, 10. قيم F(x) هي: 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.1. نلاحظ أن قيم F(x) هي مقلوب قيم x: - F(1) = 1/1 = 1 - F(2) = 1/2 = 0.5 - F(4) = 1/4 = 0.25 - F(8) = 1/8 = 0.125 - F(10) = 1/10 = 0.1 إذن، العلاقة الصريحة هي $F(x) = 1/x$.
  2. **الخطوة 2 (تحويل العلاقة الصريحة إلى ترددية):** نريد إيجاد علاقة بين $F(x)$ و $F(x-1)$. نعلم أن $F(x) = 1/x$. ونعلم أن $F(x-1) = 1/(x-1)$. لربط $F(x)$ بـ $F(x-1)$، يمكننا كتابة: $F(x) = \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} \times \frac{1}{x-1}$ وبما أن $F(x-1) = \frac{1}{x-1}$، يمكننا التعويض: $$F(x) = \frac{x-1}{x} F(x-1)$$
  3. **الخطوة 3 (كتابة الصيغة الترددية):** - الشرط الأولي (القيمة الابتدائية): من الجدول، $F(1) = 1$. - العلاقة الترددية: $F(x) = \frac{x-1}{x} F(x-1)$. - مجال تطبيق العلاقة: بما أن أول قيمة لـ x هي 1، والعلاقة تعتمد على x-1، فإنها تبدأ من $x \geq 2$. إذن، الصيغة الترددية هي: **$F(1) = 1$، و $x \geq 2$: $F(x) = \frac{x-1}{x} F(x-1)$**

سؤال 11: اكتب صيغة ترددية لـ $F(x)$. | x | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | |---|---|---|---|---|----| | F(x) | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

الإجابة: س: 11: $F(4) = 5$، وإذا كان $x = n^2$ و $n \geq 3$: $F(n^2) = F((n-1)^2) + 1$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (تحليل قيم x):** قيم x هي: 4, 9, 16, 25, 36. نلاحظ أن هذه القيم هي مربعات لأعداد صحيحة متتالية: - $4 = 2^2$ - $9 = 3^2$ - $16 = 4^2$ - $25 = 5^2$ - $36 = 6^2$ إذن، يمكننا تمثيل x كـ $n^2$ حيث n تبدأ من 2.
  2. **الخطوة 2 (تحليل قيم F(x) والعلاقة مع n):** قيم F(x) هي: 5, 6, 7, 8, 9. لنربط F(x) بقيمة n المقابلة لـ x: - عندما $x=4$ (أي $n=2$)، $F(x)=5$. نلاحظ أن $5 = 2+3$. - عندما $x=9$ (أي $n=3$)، $F(x)=6$. نلاحظ أن $6 = 3+3$. - عندما $x=16$ (أي $n=4$)، $F(x)=7$. نلاحظ أن $7 = 4+3$. يبدو أن العلاقة الصريحة هي $F(n^2) = n+3$.
  3. **الخطوة 3 (كتابة الصيغة الترددية):** نريد إيجاد علاقة بين $F(n^2)$ و $F((n-1)^2)$. من العلاقة الصريحة: $F(n^2) = n+3$. والحد السابق سيكون $F((n-1)^2) = (n-1)+3 = n+2$. نلاحظ أن $F(n^2) = (n+2) + 1 = F((n-1)^2) + 1$. - الشرط الأولي (القيمة الابتدائية): من الجدول، $F(4) = 5$ (وهو $F(2^2)=5$). - العلاقة الترددية: $F(n^2) = F((n-1)^2) + 1$. - مجال تطبيق العلاقة: بما أن أول قيمة لـ n في النمط الذي نستخدمه للعلاقة الترددية هي 3 (لأن $F((3-1)^2) = F(2^2)$)، فإن العلاقة تبدأ من $n \geq 3$. إذن، الصيغة الترددية هي: **$F(4) = 5$، وإذا كان $x = n^2$ و $n \geq 3$: $F(n^2) = F((n-1)^2) + 1$**

سؤال 12: يمثل النمط أدناه متتابعة أعداد مثلثية. ما عدد النقاط في الحد الثامن في هذه المتتابعة؟ هل من الممكن كتابة صيغة ترددية يمكن استعمالها لتحديد عدد النقاط في العدد المثلثي ذي الرقم n في هذه المتتابعة؟ وإذا كان ذلك ممكنًا فاكتب الصيغة، وإلا فوضح السبب.

الإجابة: س: 12: عدد النقاط $T_8 = 36$ صيغة ترددية: $T_1 = 1$ و $T_n = T_{n-1} + n : n \geq 2$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (فهم الأعداد المثلثية):** الأعداد المثلثية هي متتابعة من الأعداد التي تمثل عدد النقاط اللازمة لتشكيل مثلثات متساوية الأضلاع. الحد الأول هو 1، والحد الثاني هو 3، والحد الثالث هو 6، وهكذا. يمكن حساب العدد المثلثي ذي الرقم n (نرمز له بـ $T_n$) بجمع الأعداد الصحيحة من 1 إلى n: $T_n = 1 + 2 + 3 + ... + n$ أو باستخدام الصيغة الصريحة: $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$
  2. **الخطوة 2 (حساب عدد النقاط في الحد الثامن):** باستخدام الصيغة الصريحة لـ $T_n$ حيث $n=8$: $$T_8 = \frac{8(8+1)}{2}$$ $$T_8 = \frac{8 \times 9}{2}$$ $$T_8 = \frac{72}{2}$$ $$T_8 = 36$$ إذن، عدد النقاط في الحد الثامن هو: **36**
  3. **الخطوة 3 (كتابة صيغة ترددية):** نعم، من الممكن كتابة صيغة ترددية. تعتمد فكرة الأعداد المثلثية على إضافة العدد التالي في المتتابعة إلى العدد المثلثي السابق. - الحد الأول: $T_1 = 1$ - الحد الثاني: $T_2 = T_1 + 2 = 1 + 2 = 3$ - الحد الثالث: $T_3 = T_2 + 3 = 3 + 3 = 6$ - الحد الرابع: $T_4 = T_3 + 4 = 6 + 4 = 10$ نلاحظ أن كل حد $T_n$ هو الحد السابق $T_{n-1}$ مضافًا إليه n. - الشرط الأولي (القيمة الابتدائية): $T_1 = 1$. - العلاقة الترددية: $T_n = T_{n-1} + n$. - مجال تطبيق العلاقة: تبدأ العلاقة من $n \geq 2$. إذن، الصيغة الترددية هي: **$T_1 = 1$، و $T_n = T_{n-1} + n : n \geq 2$**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 10 بطاقة لهذه الصفحة

ما صيغة مجموع حدود الصف n في مثلث باسكال؟

  • أ) S = 2^n
  • ب) S = 2^(n-1)
  • ج) S = n^2
  • د) S = 2n - 1

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: S = 2^(n-1)

الشرح: 1. مجموع حدود الصف الأول (n=1) هو 1 = 2^0. 2. مجموع حدود الصف الثاني (n=2) هو 2 = 2^1. 3. مجموع حدود الصف الثالث (n=3) هو 4 = 2^2. 4. نلاحظ أن الأس هو دائمًا أقل من رقم الصف بمقدار 1. 5. إذن، الصيغة العامة هي: S = 2^(n-1).

تلميح: انظر إلى نمط المجموع في الصفوف الأولى: 1، 2، 4، 8، 16...

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما مجموع حدود الصف الثامن في مثلث باسكال؟

  • أ) 64
  • ب) 128
  • ج) 256
  • د) 512

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 128

الشرح: 1. صيغة مجموع حدود الصف n في مثلث باسكال هي: S = 2^(n-1). 2. المطلوب هو مجموع حدود الصف الثامن، أي n = 8. 3. بالتعويض في الصيغة: S = 2^(8-1) = 2^7. 4. 2^7 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128. 5. إذن، مجموع حدود الصف الثامن هو 128.

تلميح: استخدم الصيغة S = 2^(n-1) مع n = 8.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

بالنظر إلى الجدول: x: 2, 4, 6, 8, 10 و F(x): 3, 7, 11, 15, 19. أي مما يلي يمثل الصيغة الترددية الصحيحة لـ F(x)؟

  • أ) F(2)=3، و F(x)=F(x-1)+2 لـ x≥3
  • ب) F(2)=3، و F(x)=F(x-2)+4 لـ x≥4 (حيث x زوجي)
  • ج) F(1)=1، و F(x)=F(x-1)+4 لـ x≥2
  • د) F(2)=3، و F(x)=2F(x-2) لـ x≥4

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: F(2)=3، و F(x)=F(x-2)+4 لـ x≥4 (حيث x زوجي)

الشرح: 1. القيمة الابتدائية من الجدول: F(2) = 3. 2. الفرق بين قيم F(x) المتتالية ثابت ويساوي 4. 3. بما أن x تزيد بمقدار 2، فإن العلاقة تربط F(x) بـ F(x-2). 4. إذن، العلاقة الترددية هي: F(x) = F(x-2) + 4، وتنطبق عندما x ≥ 4 و x زوجي.

تلميح: لاحظ أن قيم x تزيد بمقدار 2، وقيم F(x) تزيد بمقدار 4.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

بالنظر إلى الجدول: x: 0, 5, 10, 15, 20 و F(x): 0, 20, 90, 210, 380. أي مما يلي يمثل الصيغة الترددية الصحيحة لـ F(x)؟

  • أ) F(0)=0، و F(x)=F(x-5)+20 لـ x≥5
  • ب) F(0)=0، و F(x)=F(x-1)+(10x-30) لـ x≥1
  • ج) F(0)=0، و F(x)=F(x-5)+(10x-30) لـ x≥5 (حيث x من مضاعفات 5)
  • د) F(5)=20، و F(x)=F(x-5)+50 لـ x≥10

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: F(0)=0، و F(x)=F(x-5)+(10x-30) لـ x≥5 (حيث x من مضاعفات 5)

الشرح: 1. القيمة الابتدائية: F(0) = 0. 2. x تزيد بمقدار 5. احسب الفرق F(x) - F(x-5): - عندما x=5: 20-0=20 - عندما x=10: 90-20=70 - عندما x=15: 210-90=120 - عندما x=20: 380-210=170 3. نلاحظ أن هذا الفرق (10x-30) يعطي القيم الصحيحة (مثلاً لـ x=5: 10*5-30=20). 4. إذن، الصيغة الترددية هي: F(x) = F(x-5) + (10x - 30)، لـ x ≥ 5 ومضاعفات 5.

تلميح: لاحظ أن x تزيد بمقدار 5، ولكن الفروق الأولى لـ F(x) ليست ثابتة. ابحث عن صيغة للفرق F(x)-F(x-5).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب

بالنظر إلى الجدول: x: 1, 2, 4, 8, 10 و F(x): 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.1. أي مما يلي يمثل الصيغة الترددية الصحيحة لـ F(x)؟

  • أ) F(1)=1، و F(x)=F(x-1)/2 لـ x≥2
  • ب) F(1)=1، و F(x)=F(x-1) - 0.5 لـ x≥2
  • ج) F(1)=1، و F(x)=((x-1)/x) * F(x-1) لـ x≥2
  • د) F(1)=1، و F(x)=1/(x-1) لـ x≥2

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: F(1)=1، و F(x)=((x-1)/x) * F(x-1) لـ x≥2

الشرح: 1. القيمة الابتدائية: F(1) = 1. 2. من الجدول، العلاقة الصريحة هي F(x) = 1/x. 3. نريد صيغة ترددية تربط F(x) بـ F(x-1). 4. نعلم أن F(x-1) = 1/(x-1). 5. يمكن كتابة: F(x) = 1/x = (x-1)/x * 1/(x-1) = ((x-1)/x) * F(x-1). 6. إذن، الصيغة الترددية هي: F(x) = ((x-1)/x) * F(x-1)، لـ x ≥ 2.

تلميح: لاحظ أن F(x) = 1/x. حاول التعبير عن 1/x بدلالة 1/(x-1).

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

بالنظر إلى الجدول: x: 4, 9, 16, 25, 36 و F(x): 5, 6, 7, 8, 9. أي مما يلي يمثل الصيغة الترددية الصحيحة لـ F(x)؟

  • أ) F(4) = 5، و F(x) = F(x-1) + 1 لكل x > 4
  • ب) F(4) = 5، وإذا كان x = n² و n ≥ 3: F(n²) = F((n-1)²) + 1
  • ج) F(4) = 5، و F(x) = √x + 3 لكل x
  • د) F(4) = 5، و F(x) = F(x-7) + 2 لكل x ≥ 9

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: F(4) = 5، وإذا كان x = n² و n ≥ 3: F(n²) = F((n-1)²) + 1

الشرح: ١. قيم x هي مربعات أعداد صحيحة: 4=2²، 9=3²، 16=4²، 25=5²، 36=6². ٢. قيم F(x) هي: 5, 6, 7, 8, 9. نلاحظ أن F(n²) = n + 3. ٣. العلاقة الترددية: F(n²) = F((n-1)²) + 1، حيث F(4)=5 هي القيمة الابتدائية.

تلميح: لاحظ أن قيم x هي مربعات أعداد صحيحة. ابحث عن العلاقة بين قيمة الدالة عند مربع عدد وقيمتها عند مربع العدد السابق.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

يمثل النمط أدناه متتابعة أعداد مثلثية. ما عدد النقاط في الحد الثامن في هذه المتتابعة؟

  • أ) 28
  • ب) 36
  • ج) 45
  • د) 55

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 36

الشرح: ١. الأعداد المثلثية تُعطى بالصيغة: T_n = n(n+1)/2. ٢. للحد الثامن (n=8): T_8 = 8 × (8+1) / 2. ٣. T_8 = 8 × 9 / 2 = 72 / 2 = 36.

تلميح: تذكر أن العدد المثلثي النوني (T_n) يمثل مجموع الأعداد الصحيحة من 1 إلى n.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

هل من الممكن كتابة صيغة ترددية لمتتابعة الأعداد المثلثية (T_n)؟ إذا كان ذلك ممكنًا، فأي مما يلي يمثل الصيغة الترددية الصحيحة؟

  • أ) نعم، T₁ = 1، و T_n = T_{n-1} + n لكل n ≥ 2
  • ب) نعم، T₁ = 1، و T_n = T_{n-1} + 1 لكل n ≥ 2
  • ج) نعم، T₁ = 1، و T_n = 2 × T_{n-1} لكل n ≥ 2
  • د) لا، لأنه لا يوجد نمط ثابت بين الحدود المتتالية

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: نعم، T₁ = 1، و T_n = T_{n-1} + n لكل n ≥ 2

الشرح: ١. الأعداد المثلثية: 1, 3, 6, 10, ... ٢. كل حد هو مجموع الأعداد من 1 إلى n: T_n = 1+2+...+n. ٣. يمكن التعبير عن ذلك ترددياً: الحد الأول T₁=1، وكل حد لاحق = الحد السابق + رقم الحد (n). ٤. الصيغة: T₁ = 1، و T_n = T_{n-1} + n لكل n ≥ 2.

تلميح: فكر في كيفية تشكيل العدد المثلثي التالي بإضافة عدد النقاط في الصف الجديد (الذي رقمه n) إلى العدد المثلثي السابق.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في 'نشاط 2' الخاص بمثلث باسكال، ما الخطوة الأولى المطلوبة لإيجاد صيغة لمجموع حدود كل صف؟

  • أ) إيجاد مجموع حدود كل صف
  • ب) كتابة الصفوف الخمسة الأولى من مثلث باسكال
  • ج) إيجاد نمط يعتمد على رقم الصف
  • د) تطبيق صيغة 2^(n-1)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: كتابة الصفوف الخمسة الأولى من مثلث باسكال

الشرح: ١. ينص 'نشاط 2' على ثلاث خطوات متسلسلة. ٢. الخطوة الأولى المذكورة صراحة هي: 'اكتب الصفوف الخمسة الأولى من مثلث باسكال.' ٣. هذه الخطوة ضرورية لجمع البيانات قبل البحث عن نمط.

تلميح: يبدأ النشاط بطلب خطوات محددة. راجع التعليمات في النشاط.

التصنيف: خطوات | المستوى: سهل

ما المفهوم الذي تم تقديمه لوصف العبارات الجبرية المشابهة للعبارة التي تكتب العلاقة بين حد وسابقه في متتابعة؟

  • أ) المعادلات الخطية
  • ب) المتتابعات الحسابية
  • ج) الصيغ الترددية
  • د) القوانين الصريحة

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الصيغ الترددية

الشرح: ١. في مقدمة الصفحة، نُص على: 'بعض العمليات المكررة، يمكن أن تترجم إلى صيغ أو معادلات مشابهة للعبارة الجبرية... وتسمى هذه العبارات صيغًا ترددية.' ٢. الصيغة الترددية (أو العودية) تعرف علاقة كل حد بالحد الذي يسبقه. ٣. هذا هو المصطلح الرياضي الدال على هذا النوع من العلاقات.

تلميح: ابحث في المقدمة النصية قبل النشاط عن المصطلح الذي يصف العلاقات التكرارية.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل