الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال س:1: اختبار المفردات a) نسبة التشابه b) معامل التشابه c) مسلمة التشابه AA d) نظرية التشابه SSS e) نظرية التشابه SAS f) القطعة المنصفة اختر مما سبق رمز الجملة التي تكمل كلاً مما يأتي: 1) طرفا ______ في المثلث هما منتصفا ضلعين فيه.

الإجابة: (f) القطعة المنصفة

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر تعريف القطعة المنصفة في المثلث. القطعة المنصفة هي قطعة مستقيمة تصل بين منتصفي ضلعين في المثلث.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** الجملة المعطاة تصف بالضبط هذا المفهال: "طرفا ______ في المثلث هما منتصفا ضلعين فيه." وهذا يتطابق مع تعريف القطعة المنصفة.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك، الكلمة التي تكمل الجملة هي: **القطعة المنصفة**

سؤال س:2: 2) إذا كانت: $\angle A \cong \angle X, \angle C \cong \angle Z$ فإن $\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ وفق ______ ؟

الإجابة: (c) مسلمة التشابه AA

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر مسلمات ونظريات تشابه المثلثات. هناك عدة طرق لإثبات تشابه مثلثين، منها ما يعتمد على الزوايا، ومنها ما يعتمد على الأضلاع، ومنها ما يجمع بينهما.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** السؤال يذكر أن لدينا تطابق زاويتين متناظرتين: $\angle A \cong \angle X$ و $\angle C \cong \angle Z$. عندما تتطابق زاويتان في مثلث مع زاويتين متناظرتين في مثلث آخر، فإن المثلثين يكونان متشابهين.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** هذه الحالة تُعرف بـ: **مسلمة التشابه AA** (Angle-Angle)

سؤال س:3: 3) النسبة بين طولي ضلعين متناظرين في مضلعين متشابهين هي ______ ؟

الإجابة: (b) معامل التشابه

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** عندما يكون لدينا مضلعان متشابهان، فإن الأضلاع المتناظرة تكون متناسبة. وهذا يعني أن نسبة طول أي ضلع في المضلع الأول إلى طول الضلع المناظر له في المضلع الثاني تكون ثابتة.
2. **الخطوة 2 (التعريف):** هذه النسبة الثابتة بين طولي أي ضلعين متناظرين في مضلعين متشابهين لها اسم محدد في الهندسة.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن، هذه النسبة هي: **معامل التشابه**

سؤال س:4: 4) إذا كانت أطوال الأضلاع المتناظرة في مثلثين متناسبة، فإن المثلثين متشابهان وفق ______ ؟

الإجابة: (d) نظرية التشابه SSS

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر نظريات تشابه المثلثات. إحدى هذه النظريات تركز على العلاقة بين أطوال الأضلاع المتناظرة في المثلثين.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** السؤال ينص على أن أطوال الأضلاع المتناظرة في مثلثين متناسبة. هذا يعني أن نسبة كل ضلع في المثلث الأول إلى الضلع المناظر له في المثلث الثاني متساوية لجميع الأضلاع.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** هذه الحالة تُعرف بـ: **نظرية التشابه SSS** (Side-Side-Side)

سؤال س:5: 5) أحيانًا يطلق على معامل التشابه بين مضلعين اسم ______ ؟

الإجابة: (a) نسبة التشابه

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لقد عرفنا سابقاً أن النسبة بين طولي ضلعين متناظرين في مضلعين متشابهين تُسمى معامل التشابه.
2. **الخطوة 2 (التعريف):** في بعض السياقات أو الكتب، قد يُستخدم مصطلح آخر مرادف لمعامل التشابه للتعبير عن نفس المفهوم.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن، الاسم الآخر الذي يطلق على معامل التشابه هو: **نسبة التشابه**

سؤال س:6: 6) إذا كانت $\angle A \cong \angle F$ ، وكان $\frac{BA}{EF} = \frac{AC}{FD}$ ، فإن $\Delta BAC \sim \Delta EFD$ وفق ______ ؟

الإجابة: (e) نظرية التشابه SAS

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر نظريات تشابه المثلثات التي تجمع بين الزوايا والأضلاع. هناك نظرية محددة تستخدم تطابق زاوية واحدة وتناسب طولي الضلعين اللذين يحصران هذه الزاوية.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** السؤال يذكر أن لدينا تطابق زاوية: $\angle A \cong \angle F$، ويذكر أيضاً تناسب طولي الضلعين اللذين يحصران هذه الزاوية في كل مثلث: $\frac{BA}{EF} = \frac{AC}{FD}$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** هذه الحالة تُعرف بـ: **نظرية التشابه SAS** (Side-Angle-Side)

ما الشرط الأساسي لتشابه مضلعين؟

• أ) تطابق جميع الأضلاع فقط.
• ب) تطابق الزوايا المتناظرة وتناسب أطوال الأضلاع المتناظرة.
• ج) تطابق جميع الزوايا فقط.
• د) تساوي مساحتي المضلعين.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تطابق الزوايا المتناظرة وتناسب أطوال الأضلاع المتناظرة.

الشرح: 1. **الخطوة 1 (الشرط الأول):** يجب أن تكون الزوايا المتناظرة في المضلعين متطابقة. 2. **الخطوة 2 (الشرط الثاني):** يجب أن تكون أطوال الأضلاع المتناظرة متنسبة (أي تكون نسبة طول أي ضلع إلى نظيره ثابتة). 3. **النتيجة:** يتشابه المضلعان إذا وفقط إذا تحقق الشرطان معاً.

تلميح: فكر في العلاقة بين الزوايا والأضلاع في المضلعات المتشابهة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما هي مسلمة التشابه التي تثبت تشابه مثلثين إذا تطابقت زاويتان متناظرتان فيهما؟

• أ) نظرية التشابه SAS.
• ب) مسلمة التشابه AA (Angle-Angle).
• ج) نظرية التشابه SSS.
• د) خاصية القطعة المنصفة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: مسلمة التشابه AA (Angle-Angle).

الشرح: 1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لإثبات تشابه مثلثين، يمكن استخدام مسلمات أو نظريات تعتمد على الزوايا أو الأضلاع. 2. **الخطوة 2 (التطبيق):** عندما تتطابق زاويتان في مثلث مع زاويتين متناظرتين في مثلث آخر، فإن الزاوية الثالثة تتطابق تلقائياً (لأن مجموع زوايا المثلث 180°). 3. **النتيجة:** هذا يكفي لإثبات التشابه وفق **مسلمة التشابه AA**.

تلميح: تذكر أن الحرفين A يرمزان إلى الزاوية (Angle).

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

إذا وازى مستقيم أحد أضلاع مثلث وقطع ضلعيه الآخرين، فماذا يحدث للأجزاء الناتجة على هذين الضلعين؟

• أ) تكون أطوالها متساوية.
• ب) تكون أطوالها متناسبة.
• ج) تكون متعامدة مع الضلع الموازي.
• د) تشكل مثلثاً جديداً غير مشابه للأصل.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تكون أطوالها متناسبة.

الشرح: 1. **الخطوة 1 (النظرية):** إذا رسم مستقيم موازٍ لأحد أضلاع مثلث، فإنه يقطع الضلعين الآخرين. 2. **الخطوة 2 (النتيجة):** الأجزاء المستقيمة التي يقطعها هذا المستقيم على الضلعين تكون أطوالها متناسبة مع بعضها ومع أطوال أضلاع المثلث الأصلية. 3. **النتيجة:** هذا يخلق نسباً متساوية بين الأجزاء المتناظرة.

تلميح: تذكر نظرية التناسب الناتجة عن رسم خط موازٍ لأحد الأضلاع.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما العلاقة بين طول القطعة المنصفة في مثلث وطول الضلع الذي توازيه؟

• أ) طولها يساوي طول ذلك الضلع.
• ب) طولها يساوي ضعف طول ذلك الضلع.
• ج) طولها يساوي نصف طول ذلك الضلع.
• د) لا توجد علاقة طولية ثابتة بينهما.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: طولها يساوي نصف طول ذلك الضلع.

الشرح: 1. **الخطوة 1 (تعريف القطعة المنصفة):** القطعة المنصفة في المثلث تصل بين منتصفي ضلعين. 2. **الخطوة 2 (خاصيتها):** هذه القطعة تكون موازية للضلع الثالث في المثلث. 3. **الخطوة 3 (العلاقة الطولية):** طول هذه القطعة المنصفة يساوي بالضبط نصف طول الضلع الذي توازيه. 4. **النتيجة:** طول القطعة المنصفة = ½ × طول الضلع الموازي.

تلميح: كلمة 'منصفة' تشير إلى التقسيم إلى نصفين.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

إذا تشابه مثلثان، فماذا تساوي النسبة بين ارتفاعيهما المتناظرين؟

• أ) تساوي النسبة بين محيطيهما.
• ب) تساوي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين (معامل التشابه).
• ج) تساوي دائماً 1.
• د) تساوي النسبة بين مساحتيهما.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تساوي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين (معامل التشابه).

الشرح: 1. **الخطوة 1 (المبدأ العام):** عندما يتشابه مثلثان، فإن النسبة بين أي قطعتين مستقيمتين متناظرتين تكون ثابتة. 2. **الخطوة 2 (التطبيق على الارتفاعات):** الارتفاعات المتناظرة هي قطع مستقيمة متناظرة في المثلثين المتشابهين. 3. **النتيجة:** لذلك، النسبة بين طولي ارتفاعين متناظرين تساوي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين، وهي **معامل التشابه**.

تلميح: فكر في أن التشابه يؤثر على جميع القطع المستقيمة المتناظرة، وليس فقط الأضلاع.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب