مثال 1

Q: حدد ما إذا كان المثلثان ABC و DEF متشابهين أم لا. إذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه. (المعطيات: AB=5, BC=9, AC=7, DE=5, EF=3, DF=7)

لا، غير متشابهين.

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 تكملة التقويم

هذه الصفحة تكملة لأسئلة تأكد من الصفحة السابقة.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

مراجعة الدروس

نوع: محتوى تعليمي

6-1 المضلعات المتشابهة (ص 72-79)

نوع: محتوى تعليمي

حدد ما إذا كان المضلعان أدناه متشابهين أم لا. برر إجابتك. وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه ومعامل التشابه، ووضح إجابتك.
الخطوة 1: حدد الزوايا المتناظرة المتطابقة.
∠J ≅ ∠T, ∠K ≅ ∠U, ∠L ≅ ∠V, ∠M ≅ ∠W
الخطوة 2: اختبر النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة.
JK/TU = 12/6 = 2/1
KL/UV = 24/16 = 3/2
LM/VW = 24/14 = 12/7
JM/TW = 6/1
بما أن الأضلاع المتناظرة غير متناسبة، فإن المضلعين TUVW, JKLM غير متشابهين.

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حدد ما إذا كان المضلعان أدناه متشابهين أم لا. وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه ومعامل التشابه، ووضح إجابتك.

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

المثلثان في الشكل أدناه متشابهان، أوجد قيمة x.

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

النظام الشمسي: في نموذج دقيق لنظامنا الشمسي، وضعت سميرة الأرض على بعد 1 ft من الشمس، علمًا بأن المسافة الحقيقية بين الأرض والشمس 93000000 mi، إذا كانت المسافة من بلوتو إلى الشمس 3695950000 mi، فعلى أي بعد من الشمس ستضع سميرة بلوتو في نموذجها؟

نوع: محتوى تعليمي

6-2 المثلثات المتشابهة (ص 80-88)

مثال 2

نوع: محتوى تعليمي

حدد ما إذا كان المثلثان الآتيان متشابهين أم لا، وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك.
∠WZX ≅ ∠XZY لأنهما زاويتان قائمتان، والآن اختبر تناسب طولي ساقي المثلثين القائمين.
WZ/XZ = 9/12 = 3/4
XZ/YZ = 12/16 = 3/4
وبما أنه يوجد ضلعان في المثلث الأول، طولاهما متناسبان مع طولي نظيريهما في الثاني، وأن الزاويتين المحصورتين بينهما متطابقتان، فإن △WZX ~ △XZY، وفق نظرية التشابه SAS.

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حدد ما إذا كان المثلثان في كل من السؤالين الآتيين متشابهين أم لا، وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك.

5

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حدد ما إذا كان المثلثان في كل من السؤالين الآتيين متشابهين أم لا، وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك.

6

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أشجار: يريد عبد الله أن يقدر ارتفاع شجرة، فوقف على مسافة 66 ft منها، فكانت نهاية ظله ونهاية ظل الشجرة عند النقطة نفسها، إذا كان طول عبد الله 6 ft و 4 in وطول ظله 15 ft، فما ارتفاع الشجرة؟

نوع: METADATA

وزارة التعليم

نوع: METADATA

الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة 109

🔍 عناصر مرئية

Two quadrilaterals, JKLM and TUVW, presented for an example on polygon similarity. JKLM is on the left, TUVW on the right. Both are irregular quadrilaterals with labeled side lengths and angle markings.

Two quadrilaterals, ABCD and EFGH, for question 1 on polygon similarity. ABCD is on the left, EFGH on the right. Both appear to be parallelograms based on labeled side lengths and angle markings.

Two triangles, VGC and BMH, for question 2. VGC is on the left, BMH on the right. They are stated to be similar, and the task is to find the unknown side length x.

A large triangle WZY with an altitude XZ, dividing it into two right-angled triangles, WZX and XZY, for an example on triangle similarity. The altitude XZ is common to both triangles.

Two triangles, ABC and DEF, for question 4 on triangle similarity. ABC is on the left, DEF on the right. Side lengths are provided for all sides of both triangles.

Two triangles, HIJ and FGK, for question 5 on triangle similarity. HIJ is on the left, FGK on the right. Side lengths are provided for all sides of both triangles.

📄 النص الكامل للصفحة

مراجعة الدروس

6-1 المضلعات المتشابهة (ص 72-79)

--- SECTION: مثال 1 ---
حدد ما إذا كان المضلعان أدناه متشابهين أم لا. برر إجابتك. وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه ومعامل التشابه، ووضح إجابتك.
الخطوة 1: حدد الزوايا المتناظرة المتطابقة.
∠J ≅ ∠T, ∠K ≅ ∠U, ∠L ≅ ∠V, ∠M ≅ ∠W
الخطوة 2: اختبر النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة.
JK/TU = 12/6 = 2/1
KL/UV = 24/16 = 3/2
LM/VW = 24/14 = 12/7
JM/TW = 6/1
بما أن الأضلاع المتناظرة غير متناسبة، فإن المضلعين TUVW, JKLM غير متشابهين.

--- SECTION: 1 ---
حدد ما إذا كان المضلعان أدناه متشابهين أم لا. وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه ومعامل التشابه، ووضح إجابتك.

--- SECTION: 2 ---
المثلثان في الشكل أدناه متشابهان، أوجد قيمة x.

--- SECTION: 3 ---
النظام الشمسي: في نموذج دقيق لنظامنا الشمسي، وضعت سميرة الأرض على بعد 1 ft من الشمس، علمًا بأن المسافة الحقيقية بين الأرض والشمس 93000000 mi، إذا كانت المسافة من بلوتو إلى الشمس 3695950000 mi، فعلى أي بعد من الشمس ستضع سميرة بلوتو في نموذجها؟

6-2 المثلثات المتشابهة (ص 80-88)

--- SECTION: مثال 2 ---
حدد ما إذا كان المثلثان الآتيان متشابهين أم لا، وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك.
∠WZX ≅ ∠XZY لأنهما زاويتان قائمتان، والآن اختبر تناسب طولي ساقي المثلثين القائمين.
WZ/XZ = 9/12 = 3/4
XZ/YZ = 12/16 = 3/4
وبما أنه يوجد ضلعان في المثلث الأول، طولاهما متناسبان مع طولي نظيريهما في الثاني، وأن الزاويتين المحصورتين بينهما متطابقتان، فإن △WZX ~ △XZY، وفق نظرية التشابه SAS.

--- SECTION: 4 ---
حدد ما إذا كان المثلثان في كل من السؤالين الآتيين متشابهين أم لا، وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك.

--- SECTION: 5 ---
حدد ما إذا كان المثلثان في كل من السؤالين الآتيين متشابهين أم لا، وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك.

--- SECTION: 6 ---
أشجار: يريد عبد الله أن يقدر ارتفاع شجرة، فوقف على مسافة 66 ft منها، فكانت نهاية ظله ونهاية ظل الشجرة عند النقطة نفسها، إذا كان طول عبد الله 6 ft و 4 in وطول ظله 15 ft، فما ارتفاع الشجرة؟

وزارة التعليم

الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة 109

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: Two quadrilaterals, JKLM and TUVW, presented for an example on polygon similarity. JKLM is on the left, TUVW on the right. Both are irregular quadrilaterals with labeled side lengths and angle markings.
Data: Side lengths and angle congruence markings are provided for both quadrilaterals to assess similarity.
Key Values: JK=12, KL=24, LM=24, TU=6, UV=16, VW=14
Context: This diagram illustrates the polygons used in Example 1 to determine if they are similar by comparing corresponding angles and side ratios.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: Two quadrilaterals, ABCD and EFGH, for question 1 on polygon similarity. ABCD is on the left, EFGH on the right. Both appear to be parallelograms based on labeled side lengths and angle markings.
Data: Side lengths and angle congruence markings are provided for both quadrilaterals to assess similarity.
Key Values: AB=4, BC=6, CD=6, DA=4, EF=10, FG=16, GH=10, HE=16
Context: This diagram provides the figures for Question 1, requiring the user to determine if the polygons are similar and to state the similarity criteria.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: Two triangles, VGC and BMH, for question 2. VGC is on the left, BMH on the right. They are stated to be similar, and the task is to find the unknown side length x.
Data: Side lengths and angle congruence markings are provided for two similar triangles to find an unknown side.
Key Values: VG=12, GC=x, BM=16, MH=22
Context: This diagram provides the figures for Question 2, requiring the application of similar triangle properties to solve for an unknown side length.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A large triangle WZY with an altitude XZ, dividing it into two right-angled triangles, WZX and XZY, for an example on triangle similarity. The altitude XZ is common to both triangles.
Data: Side lengths and right angle markings are provided for two triangles to assess similarity using SAS theorem.
Key Values: WZ=9, XZ=12, ZY=16
Context: This diagram illustrates the triangles used in Example 2 to demonstrate how to check for triangle similarity using the SAS similarity theorem for right triangles.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: Two triangles, ABC and DEF, for question 4 on triangle similarity. ABC is on the left, DEF on the right. Side lengths are provided for all sides of both triangles.
Data: Side lengths are provided for two triangles to assess similarity.
Key Values: AB=5, BC=9, AC=7, DE=5, EF=3, DF=7
Context: This diagram provides the figures for Question 4, requiring the user to determine if the triangles are similar and to state the similarity criteria.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: Two triangles, HIJ and FGK, for question 5 on triangle similarity. HIJ is on the left, FGK on the right. Side lengths are provided for all sides of both triangles.
Data: Side lengths are provided for two triangles to assess similarity.
Key Values: HI=4, IJ=5, HJ=6, FG=6, GK=9, FK=7.5
Context: This diagram provides the figures for Question 5, requiring the user to determine if the triangles are similar and to state the similarity criteria.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 6

سؤال 1: حدد ما إذا كان المضلعان أدناه متشابهين أم لا. وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه ومعامل التشابه، ووضح إجابتك.

الإجابة: س1: لا، غير متشابهين؛ لأن النسب بين الأضلاع المتناظرة غير متساوية فمثلاً: $\frac{4}{10} \neq \frac{6}{16}$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنفترض أن لدينا مضلعين، ونريد تحديد ما إذا كانا متشابهين. بناءً على الإجابة المعطاة، نفترض أن أطوال الأضلاع المتناظرة التي سنقارنها هي 4 و 10، و 6 و 16.
**الخطوة 2 (القانون):** لكي يكون مضلعان متشابهين، يجب أن تتحقق شرطان: 1. الزوايا المتناظرة متطابقة. 2. النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية (أي أن معامل التشابه ثابت).
**الخطوة 3 (الحل):** بما أن السؤال يركز على الأضلاع، سنقوم بحساب النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة: - النسبة الأولى: $$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$ (بعد التبسيط) - النسبة الثانية: $$\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$$ (بعد التبسيط) الآن نقارن النسبتين: $$\frac{2}{5}$$ و $$\frac{3}{8}$$ للمقارنة، يمكننا توحيد المقامات أو الضرب التبادلي: $2 \times 8 = 16$ $5 \times 3 = 15$ بما أن $16 \neq 15$، فإن النسبتين غير متساويتين.
**الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن النسب بين الأضلاع المتناظرة غير متساوية، فإن المضلعين **غير متشابهين**.

سؤال 2: المثلثان في الشكل أدناه متشابهان، أوجد قيمة x.

الإجابة: س2: بما أن المثلثين متشابهان: $\frac{12}{16} = \frac{x}{22}$ $x = 16.5$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مثلثان متشابهان. بناءً على الإجابة، نفترض أن أطوال الأضلاع المتناظرة هي: - الضلع الأول في المثلث الأول = 12 - الضلع المناظر له في المثلث الثاني = 16 - الضلع الثاني في المثلث الأول = x - الضلع المناظر له في المثلث الثاني = 22
**الخطوة 2 (القانون):** إذا كان مثلثان متشابهين، فإن النسب بين أطوال أضلاعهما المتناظرة تكون متساوية.
**الخطوة 3 (الحل):** نكتب التناسب بين الأضلاع المتناظرة: $$ \frac{\text{الضلع الأول في المثلث الأول}}{\text{الضلع المناظر في المثلث الثاني}} = \frac{\text{الضلع الثاني في المثلث الأول}}{\text{الضلع المناظر في المثلث الثاني}} $$ بالتعويض بالقيم المعطاة: $$ \frac{12}{16} = \frac{x}{22} $$ لحل قيمة x، نستخدم الضرب التبادلي: $$ 16 \times x = 12 \times 22 $$ $$ 16x = 264 $$ نقسم الطرفين على 16: $$ x = \frac{264}{16} $$ $$ x = 16.5 $$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قيمة x هي **16.5**.

سؤال 3: النظام الشمسي: في نموذج دقيق لنظامنا الشمسي، وضعت سميرة الأرض على بعد 1 ft من الشمس، علمًا بأن المسافة الحقيقية بين الأرض والشمس 93000000 mi، إذا كانت المسافة من بلوتو إلى الشمس 3695950000 mi، فعلى أي بعد من الشمس ستضع سميرة بلوتو في نموذجها؟

الإجابة: س3: بعد بلوتو في النموذج ≈ 39.7 ft (حوالي 40 ft)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد المعطيات لدينا: - المسافة الحقيقية بين الأرض والشمس: $D_{ES\_real} = 93,000,000 \text{ mi}$ - المسافة في النموذج بين الأرض والشمس: $D_{ES\_model} = 1 \text{ ft}$ - المسافة الحقيقية بين بلوتو والشمس: $D_{PS\_real} = 3,695,950,000 \text{ mi}$ - المطلوب: المسافة في النموذج بين بلوتو والشمس: $D_{PS\_model}$
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم مفهوم التناسب أو عامل المقياس. النسبة بين المسافة في النموذج والمسافة الحقيقية يجب أن تكون ثابتة لجميع الأجرام السماوية في النموذج الدقيق. $$ \frac{\text{المسافة في النموذج}}{\text{المسافة الحقيقية}} = \text{ثابت التناسب} $$
**الخطوة 3 (الحل):** نكتب التناسب الذي يربط بين المسافات الحقيقية ومسافات النموذج: $$ \frac{D_{ES\_model}}{D_{ES\_real}} = \frac{D_{PS\_model}}{D_{PS\_real}} $$ بالتعويض بالقيم المعروفة: $$ \frac{1 \text{ ft}}{93,000,000 \text{ mi}} = \frac{D_{PS\_model}}{3,695,950,000 \text{ mi}} $$ لحل قيمة $D_{PS\_model}$، نضرب الطرفين في المسافة الحقيقية لبلوتو: $$ D_{PS\_model} = \frac{1 \text{ ft} \times 3,695,950,000 \text{ mi}}{93,000,000 \text{ mi}} $$ $$ D_{PS\_model} = \frac{3,695,950,000}{93,000,000} \text{ ft} $$ $$ D_{PS\_model} \\approx 39.7413978 \text{ ft} $$ بالتقريب لأقرب جزء من عشرة (أو حسب المطلوب في السؤال): $$ D_{PS\_model} \\approx 39.7 \text{ ft} $$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، ستضع سميرة بلوتو على بعد **حوالي 39.7 ft** من الشمس في نموذجها.

سؤال 4: حدد ما إذا كان المثلثان في كل من السؤالين الآتيين متشابهين أم لا، وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك.

الإجابة: س4: لا؛ لأن $\frac{AB}{DE} = \frac{5}{5} = 1$ $\frac{AC}{DF} = \frac{7}{7} = 1$ $\frac{BC}{EF} = \frac{9}{3} = 3$ والنسبة $\frac{9}{3}$ لا تساوي 1

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مثلثان. بناءً على الإجابة، نفترض أن أطوال الأضلاع المتناظرة هي: - المثلث الأول: AB = 5, AC = 7, BC = 9 - المثلث الثاني: DE = 5, DF = 7, EF = 3
**الخطوة 2 (القانون):** لكي يكون المثلثان متشابهين، يجب أن تكون النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية (وهذا ما يُعرف بحالة SSS للتشابه).
**الخطوة 3 (الحل):** نحسب النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة: - النسبة بين الضلعين AB و DE: $$\frac{AB}{DE} = \frac{5}{5} = 1$$ - النسبة بين الضلعين AC و DF: $$\frac{AC}{DF} = \frac{7}{7} = 1$$ - النسبة بين الضلعين BC و EF: $$\frac{BC}{EF} = \frac{9}{3} = 3$$ نلاحظ أن النسبة الأولى والثانية متساويتان (تساوي 1)، ولكن النسبة الثالثة (3) لا تساوي 1. هذا يعني أن النسب بين جميع الأضلاع المتناظرة ليست متساوية.
**الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن النسب بين الأضلاع المتناظرة ليست متساوية، فإن المثلثين **غير متشابهين**.

سؤال 5: حدد ما إذا كان المثلثان في كل من السؤالين الآتيين متشابهين أم لا، وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك.

الإجابة: س5: نعم؛ متشابهان (SSS)؛ لأن: $\frac{4}{6} = \frac{5}{7.5} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مثلثان. بناءً على الإجابة، نفترض أن أطوال الأضلاع المتناظرة هي: - أضلاع المثلث الأول: 4, 5, 6 - أضلاع المثلث الثاني: 6, 7.5, 9
**الخطوة 2 (القانون):** لكي يكون المثلثان متشابهين، يجب أن تكون النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية (حالة SSS للتشابه). يجب أن نربط الضلع الأقصر في أحد المثلثين بالضلع الأقصر في الآخر، وهكذا.
**الخطوة 3 (الحل):** نحسب النسب بين الأضلاع المتناظرة: - النسبة بين الضلعين الأقصرين (4 و 6): $$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ (بعد التبسيط) - النسبة بين الضلعين المتوسطين (5 و 7.5): $$\frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2 \times 25}{3 \times 25} = \frac{2}{3}$$ (بعد التبسيط) - النسبة بين الضلعين الأطولين (6 و 9): $$\frac{6}{9} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{2}{3}$$ (بعد التبسيط) نلاحظ أن جميع النسب بين الأضلاع المتناظرة متساوية وتساوي $$\frac{2}{3}$$.
**الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن النسب بين الأضلاع المتناظرة متساوية، فإن المثلثين **متشابهان** حسب مسلمة SSS للتشابه، ومعامل التشابه هو $$\frac{2}{3}$$.

سؤال 6: أشجار: يريد عبد الله أن يقدر ارتفاع شجرة، فوقف على مسافة 66 ft منها، فكانت نهاية ظله ونهاية ظل الشجرة عند النقطة نفسها، إذا كان طول عبد الله 6 ft و 4 in وطول ظله 15 ft، فما ارتفاع الشجرة؟

الإجابة: س6: طول ظل الشجرة = 81 ft $\frac{x}{6.33} = \frac{81}{15}$؛ وطول عبد الله ≈ 6.33 ft ارتفاع الشجرة ≈ 34.2 ft

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد المعطيات لدينا: - طول عبد الله: $L_{عبدالله} = 6 \text{ ft و } 4 \text{ in}$ - طول ظل عبد الله: $S_{عبدالله} = 15 \text{ ft}$ - المسافة بين عبد الله والشجرة: $D = 66 \text{ ft}$ (هذه المسافة هي الجزء من ظل الشجرة الذي يقع بين عبد الله والشجرة) - المطلوب: ارتفاع الشجرة $H_{شجرة}$
**الخطوة 2 (القانون):** يمكننا استخدام مفهوم المثلثات المتشابهة. عندما يقف شخص وشجرة في نفس الوقت، فإن أشعة الشمس تسقط بزاوية متساوية، مما يشكل مثلثين قائمي الزاوية متشابهين (مثلث يمثله عبد الله وظله، ومثلث يمثله الشجرة وظلها الكلي). النسبة بين ارتفاع الجسم وطول ظله تكون ثابتة. $$ \frac{\text{ارتفاع الجسم}}{\text{طول ظله}} = \text{ثابت} $$
**الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نحول طول عبد الله إلى أقدام فقط. نعلم أن 1 قدم = 12 بوصة: $4 \text{ in} = \frac{4}{12} \text{ ft} = \frac{1}{3} \text{ ft} \\approx 0.333 \text{ ft}$ إذن، طول عبد الله $L_{عبدالله} = 6 + \frac{1}{3} = 6.33 \text{ ft}$ (بالتقريب). ثانياً، نحسب طول ظل الشجرة الكلي. بما أن نهاية ظل عبد الله ونهاية ظل الشجرة عند النقطة نفسها، فإن طول ظل الشجرة الكلي هو مجموع طول ظل عبد الله والمسافة بين عبد الله والشجرة: $S_{شجرة} = S_{عبدالله} + D = 15 \text{ ft} + 66 \text{ ft} = 81 \text{ ft}$ ثالثاً، نطبق التناسب بين المثلثين المتشابهين (مثلث عبد الله وظله، ومثلث الشجرة وظلها): $$ \frac{H_{شجرة}}{S_{شجرة}} = \frac{L_{عبدالله}}{S_{عبدالله}} $$ بالتعويض بالقيم التي حسبناها والمعطاة: $$ \frac{H_{شجرة}}{81} = \frac{6.33}{15} $$ لحل قيمة $H_{شجرة}$، نضرب الطرفين في 81: $$ H_{شجرة} = \frac{6.33}{15} \times 81 $$ $$ H_{شجرة} = 0.422 \times 81 $$ $$ H_{شجرة} \\approx 34.182 \text{ ft} $$ بالتقريب لأقرب جزء من عشرة: $$ H_{شجرة} \\approx 34.2 \text{ ft} $$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، ارتفاع الشجرة هو **حوالي 34.2 ft**.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 7 بطاقة لهذه الصفحة

حدد ما إذا كان المضلعان ABCD و EFGH متشابهين أم لا. إذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه ومعامل التشابه. (المعطيات: AB=4, BC=6, CD=6, DA=4, EF=10, FG=16, GH=10, HE=16)

أ) نعم، متشابهان (SSS)؛ معامل التشابه = 2/5
ب) نعم، متشابهان (SAS)؛ معامل التشابه = 3/8
ج) لا، غير متشابهين؛ لأن النسب بين الأضلاع المتناظرة غير متساوية.
د) لا، غير متشابهين؛ لأن الزوايا المتناظرة غير متطابقة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا، غير متشابهين؛ لأن النسب بين الأضلاع المتناظرة غير متساوية.

الشرح: ١. احسب النسب بين الأضلاع المتناظرة: AB/EF = 4/10 = 2/5، BC/FG = 6/16 = 3/8. ٢. قارن النسبتين: 2/5 ≠ 3/8. ٣. بما أن النسب بين الأضلاع المتناظرة غير متساوية، فإن المضلعين غير متشابهين.

تلميح: تذكر: لكي يكون المضلعان متشابهين، يجب أن تكون النسب بين جميع أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في نموذج دقيق للنظام الشمسي، وضعت سميرة الأرض على بعد 1 ft من الشمس، علمًا أن المسافة الحقيقية بين الأرض والشمس 93,000,000 mi. إذا كانت المسافة الحقيقية من بلوتو إلى الشمس 3,695,950,000 mi، فعلى أي بعد من الشمس ستضع سميرة بلوتو في نموذجها؟

أ) حوالي 0.025 ft
ب) حوالي 39.7 ft
ج) حوالي 397 ft
د) حوالي 3.97 ft

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: حوالي 39.7 ft

الشرح: ١. أوجد ثابت التناسب (مقياس النموذج): 1 ft / 93,000,000 mi. ٢. استخدم هذا الثابت لإيجاد مسافة بلوتو في النموذج: (مسافة بلوتو في النموذج) = (1 ft / 93,000,000 mi) × 3,695,950,000 mi. ٣. احسب: 3,695,950,000 / 93,000,000 ≈ 39.7414 ft. ٤. النتيجة: حوالي 39.7 ft.

تلميح: استخدم مفهوم التناسب: المسافة في النموذج ÷ المسافة الحقيقية = ثابت.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد ما إذا كان المثلثان ABC و DEF متشابهين أم لا. إذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه. (المعطيات: AB=5, BC=9, AC=7, DE=5, EF=3, DF=7)

أ) نعم، متشابهان (SSS)؛ △ABC ~ △DEF
ب) نعم، متشابهان (SAS)؛ △ABC ~ △DEF
ج) لا، غير متشابهين.
د) نعم، متشابهان (AA)؛ △ABC ~ △DEF

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا، غير متشابهين.

الشرح: ١. رتب أضلاع المثلث ABC تصاعدياً: 5, 7, 9. ٢. رتب أضلاع المثلث DEF تصاعدياً: 3, 5, 7. ٣. احسب النسب بين الأضلاع المتناظرة: 5/3 ≠ 7/5 ≠ 9/7. ٤. بما أن النسب غير متساوية، فإن المثلثين غير متشابهين (حالة SSS غير محققة).

تلميح: رتب أطوال أضلاع كل مثلث تصاعدياً، ثم احسب النسب بين الأضلاع المتناظرة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في مثال 1، لماذا قررنا أن المضلعين JKLM و TUVW غير متشابهين؟

أ) لأن الزوايا المتناظرة غير متطابقة.
ب) لأن النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة غير متساوية.
ج) لأن عدد أضلاع المضلعين مختلف.
د) لأن المضلعين ليسا رباعيين.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لأن النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة غير متساوية.

الشرح: ١. تم التحقق من تطابق الزوايا المتناظرة: ∠J ≅ ∠T, ∠K ≅ ∠U, ∠L ≅ ∠V, ∠M ≅ ∠W. ٢. عند حساب النسب بين الأضلاع المتناظرة كانت: JK/TU = 2/1, KL/UV = 3/2, LM/VW = 12/7, JM/TW = 6/1. ٣. بما أن هذه النسب غير متساوية، فإن الأضلاع غير متناسبة. ٤. النتيجة: المضلعين غير متشابهين.

تلميح: تذكر أن شرط تشابه المضلعين هو تطابق الزوايا المتناظرة وتناسب الأضلاع المتناظرة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

في مثال 2، ما النظرية التي استخدمناها لإثبات تشابه المثلثين △WZX و △XZY؟

أ) نظرية التشابه SSS (ضلع-ضلع-ضلع).
ب) نظرية التشابه AA (زاوية-زاوية).
ج) نظرية التشابه SAS (ضلع-زاوية-ضلع).
د) نظرية فيثاغورس.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: نظرية التشابه SAS (ضلع-زاوية-ضلع).

الشرح: ١. تم إثبات أن ∠WZX ≅ ∠XZY (زاويتان قائمتان). ٢. تم حساب النسب: WZ/XZ = 9/12 = 3/4 و XZ/YZ = 12/16 = 3/4. ٣. الضلعان WZ و XZ في △WZX متناسبان مع الضلعين XZ و YZ في △XZY على الترتيب. ٤. الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين في كل مثلث متطابقة. ٥. النتيجة: التشابه تم إثباته باستخدام نظرية SAS.

تلميح: تم إثبات تطابق زاوية محصورة بين ضلعين متناسبين.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

حدد ما إذا كان المثلثان HIJ و FGK متشابهين أم لا، إذا علمت أن HI=4, IJ=5, HJ=6, FG=6, GK=9, FK=7.5.

أ) لا، غير متشابهين لأن الزوايا غير معروفة.
ب) نعم، متشابهان (AA).
ج) نعم، المثلثان متشابهان (SSS).
د) لا، غير متشابهين لأن النسب غير متساوية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: نعم، المثلثان متشابهان (SSS).

الشرح: ١. نرتب أضلاع △HIJ تصاعدياً: 4, 5, 6. ٢. نرتب أضلاع △FGK تصاعدياً: 6, 7.5, 9. ٣. نحسب النسب بين الأضلاع المتناظرة: 4/6 = 2/3، 5/7.5 = 2/3، 6/9 = 2/3. ٤. جميع النسب متساوية وتساوي 2/3. ٥. النتيجة: المثلثان متشابهان حسب مسلمة SSS.

تلميح: رتب أطوال الأضلاع تصاعدياً في كل مثلث، ثم احسب النسب بين الأضلاع المتناظرة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أشجار: وقف عبد الله (طوله 6 ft و 4 in) على مسافة 66 ft من شجرة، وكان طول ظله 15 ft ونهاية ظله تتطابق مع نهاية ظل الشجرة. ما ارتفاع الشجرة (تقريباً)؟

أ) ارتفاع الشجرة ≈ 25.4 ft
ب) ارتفاع الشجرة ≈ 30.0 ft
ج) ارتفاع الشجرة ≈ 34.2 ft
د) ارتفاع الشجرة ≈ 40.5 ft

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ارتفاع الشجرة ≈ 34.2 ft

الشرح: ١. طول عبد الله = 6 ft + (4/12) ft = 6.33 ft. ٢. طول ظل الشجرة الكلي = ظل عبد الله + المسافة بينه وبين الشجرة = 15 + 66 = 81 ft. ٣. من تشابه المثلثات: (ارتفاع الشجرة) / (81) = (6.33) / (15). ٤. ارتفاع الشجرة = (6.33 / 15) × 81 ≈ 0.422 × 81 ≈ 34.182 ft. ٥. بالتقريب: ≈ 34.2 ft.

تلميح: استخدم تشابه المثلثات القائمة المتكونة من الأجسام وظلالها. النسبة (الارتفاع/طول الظل) ثابتة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب