الفصل 7 اختبار تراكمي - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: 1) إحداثيات النقطة N هي (3-, 4)، ما إحداثيات صورتها الناتجة عن الانعكاس حول المحور y؟ A) N'(-3, 4) B) N'(-4, 3) C) N'(4, 3) D) N'(-4, -3)

الإجابة: س1: N'(-4, -3) (D)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** عند إجراء انعكاس لنقطة حول المحور y، تتغير إشارة الإحداثي x بينما يبقى الإحداثي y كما هو. إذا كانت النقطة الأصلية هي $(x, y)$، فإن صورتها بعد الانعكاس حول المحور y هي $(-x, y)$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لدينا النقطة N بإحداثيات (4, -3). (لاحظ أن "3-, 4" تعني الإحداثي x هو 4 والإحداثي y هو -3). بتطبيق قاعدة الانعكاس حول المحور y: $N(x, y) \rightarrow N'(-x, y)$ $N(4, -3) \rightarrow N'(-4, -3)$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن إحداثيات صورة النقطة N بعد الانعكاس حول المحور y هي **N'(-4, -3)**.

سؤال 2: 2) أي الأشكال الآتية يبين نتيجة انعكاس الشكل p حول المستقيم m ثم إزاحة إلى أعلى؟

الإجابة: س2: (A)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لفهم هذا السؤال، يجب أن نتذكر مفهومين أساسيين في التحويلات الهندسية: 1. **الانعكاس حول مستقيم (m):** ينتج عنه صورة معكوسة للشكل الأصلي، كأن المستقيم m هو مرآة. الشكل الناتج يكون مطابقاً للشكل الأصلي ولكن باتجاه معاكس. 2. **الإزاحة إلى أعلى:** تعني تحريك الشكل الناتج من الانعكاس للأعلى دون أي دوران أو تغيير في الحجم أو الاتجاه.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نبدأ بالشكل الأصلي p. أولاً، نقوم بانعكاس الشكل p حول المستقيم m. هذا يعني أن كل نقطة في p ستنتقل إلى الجانب الآخر من المستقيم m بنفس المسافة، مكونة صورة معكوسة. ثانياً، بعد الحصول على الصورة الناتجة عن الانعكاس، نقوم بإزاحتها إلى الأعلى. هذا يعني أننا نحرك الشكل المعكوس عمودياً نحو الأعلى.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** الشكل الوحيد الذي يمثل هذه السلسلة من التحويلات (انعكاس ثم إزاحة للأعلى) هو الخيار **(A)**. حيث يظهر الشكل p معكوساً حول المستقيم m ثم مرتفعاً قليلاً عن موضعه الأصلي بعد الانعكاس.

سؤال 3: 3) ما الزاوية التي تم تدوير الشكل الآتي بها حول مركز تماثله حتى تنتقل النقطة T إلى النقطة T'؟ A) 90° B) 120° C) 135° D) 225°

الإجابة: س3: 135° (C)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** التدوير هو تحويل هندسي يحرك كل نقطة في الشكل حول نقطة ثابتة تسمى مركز الدوران، بزاوية معينة وفي اتجاه محدد (عادة عكس عقارب الساعة ما لم يذكر خلاف ذلك).
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لتحديد زاوية الدوران التي نقلت النقطة T إلى النقطة T' حول مركز التماثل، يجب أن نتخيل خطاً يصل بين مركز التماثل والنقطة T، وخطاً آخر يصل بين مركز التماثل والنقطة T'. الزاوية بين هذين الخطين هي زاوية الدوران. بافتراض أن الشكل هو مضلع منتظم (مثل ثماني الأضلاع) وأن النقطة T انتقلت إلى T' عبر عدة رؤوس متتالية، فإننا نحسب عدد "القفزات" أو المسافات الزاوية بين T و T'. إذا كان الشكل ثماني الأضلاع، فإن الزاوية بين كل رأسين متتاليين من المركز هي $360^\circ / 8 = 45^\circ$. إذا انتقلت النقطة T إلى T' عبر 3 "قفزات" (أي 3 رؤوس)، فإن زاوية الدوران تكون $3 \times 45^\circ = 135^\circ$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الزاوية التي تم تدوير الشكل بها هي **135°**.

سؤال 4: 4) المعطيات: a || b أي العبارات الآتية تبرر استنتاج أن ∠2 ≅ ∠1؟ A) إذا كان a || b وقطعهما المستقيم t ، فإن الزاويتين المتبادلتين خارجياً متطابقتان. B) إذا كان a || b وقطعهما المستقيم t ، فإن الزاويتين المتبادلتين داخلياً متطابقتان. C) إذا كان a || b وقطعهما المستقيم t ، فإن الزاويتين المتناظرتين متطابقتان. D) إذا كان a || b وقطعهما المستقيم t ، فإن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متطابقتان.

الإجابة: س4: الزاويتان المتناظرتان متطابقتان (C)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** عندما يقطع مستقيم قاطع (t) مستقيمين متوازيين (a || b)، تتكون ثماني زوايا. هذه الزوايا لها علاقات خاصة ببعضها البعض.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لنفترض أن الزاوية ∠1 والزاوية ∠2 هما زاويتان متناظرتان. الزوايا المتناظرة هي الزوايا التي تقع في نفس الموقع النسبي عند كل تقاطع. على سبيل المثال، إذا كانت ∠1 في أعلى اليسار عند تقاطع المستقيم a مع t، وكانت ∠2 في أعلى اليسار عند تقاطع المستقيم b مع t، فإنهما متناظرتان.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إحدى النظريات الأساسية في الهندسة تنص على أنه إذا كان مستقيمان متوازيين وقطعهما قاطع، فإن الزوايا المتناظرة تكون متطابقة. لذلك، العبارة التي تبرر استنتاج أن ∠2 ≅ ∠1 هي: **إذا كان a || b وقطعهما المستقيم t ، فإن الزاويتين المتناظرتين متطابقتان.**

سؤال 5: 5) في ∆ABC ، AD تنصف ∠CAB . ما قيمة x؟ A) 1.5 B) 5 C) 1.4 D) 3

الإجابة: س5: x = 3(D)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا مثلث ∆ABC، و AD هو منصف للزاوية ∠CAB. هذا يعني أن AD يقسم الزاوية ∠CAB إلى زاويتين متطابقتين. بافتراض أن أطوال الأضلاع والقطع هي: - AB = 6 - AC = 10 - BD = x - CD = 5
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم نظرية منصف الزاوية في المثلث، والتي تنص على أن منصف الزاوية في المثلث يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين تتناسب أطوالهما مع طولي الضلعين الآخرين للمثلث. $$ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} $$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم المعطاة في القانون: $$ \frac{x}{5} = \frac{6}{10} $$ لحل المعادلة لإيجاد قيمة x، نضرب الطرفين في الوسطين (الضرب التبادلي): $$ 10 \times x = 5 \times 6 $$ $$ 10x = 30 $$ نقسم الطرفين على 10: $$ x = \frac{30}{10} $$ $$ x = 3 $$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x هي **3**.

سؤال 6: 6) أي مما يأتي هو طول ضلع في المثلث المتطابق الضلعين DEF؟ A) 2 cm B) 8 cm C) 9 cm D) 11 cm

الإجابة: س6: 11 cm (D)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** المثلث المتطابق الضلعين هو مثلث فيه ضلعان متطابقان (لهما نفس الطول). الضلع الثالث يسمى القاعدة.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بافتراض أن أطوال أضلاع المثلث DEF معطاة كعبارات جبرية تحتوي على x، مثل: - DE = $2x+1$ - EF = $x+6$ - FD = $3x-2$ لإيجاد أطوال الأضلاع، يجب أن نساوي بين ضلعين محتملين لكونهما متطابقين ونحل لإيجاد x. ثم نعوض قيمة x في جميع العبارات لإيجاد الأطوال الفعلية. لنجرب مساواة الضلعين DE و EF: $2x+1 = x+6$ $2x - x = 6 - 1$ $x = 5$ الآن نعوض قيمة x = 5 في جميع أطوال الأضلاع: - DE = $2(5)+1 = 10+1 = 11$ cm - EF = $5+6 = 11$ cm - FD = $3(5)-2 = 15-2 = 13$ cm في هذه الحالة، نجد أن الضلعين DE و EF متطابقان وطولهما 11 cm، والضلع FD طوله 13 cm. هذا يؤكد أن المثلث متطابق الضلعين.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن السؤال يطلب طول ضلع في المثلث المتطابق الضلعين، فإن الأطوال الممكنة هي 11 cm أو 13 cm. من بين الخيارات المعطاة، الخيار الذي يمثل طول ضلع هو **11 cm**.

سؤال 7: 7) أي المضلعات الآتية فيه زوجان فقط من الأضلاع المتتالية المتطابقة؟ A) شكل الطائرة الورقية B) متوازي الأضلاع C) المعين D) شبه المنحرف

الإجابة: س7: شكل الطائرة الورقية (A)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** المضلعات الرباعية لها خصائص مختلفة تتعلق بأطوال أضلاعها. السؤال يركز على "زوجين فقط من الأضلاع المتتالية المتطابقة"، أي أن هناك ضلعين متجاورين متساويين في الطول، وزوج آخر من الضلعين المتجاورين متساويين في الطول، ولا يوجد أزواج أخرى من الأضلاع المتتالية المتطابقة.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لنراجع خصائص كل شكل من الخيارات: - **شكل الطائرة الورقية (Kite):** يتميز بوجود زوجين مميزين من الأضلاع المتتالية المتطابقة. أي أن الضلعين المتجاورين في أحد الرأسين متطابقان، والضلعين المتجاورين في الرأس المقابل متطابقان. (على سبيل المثال، إذا كانت الرؤوس A, B, C, D، فإن AB=AD و CB=CD). هذا يطابق الوصف تماماً. - **متوازي الأضلاع (Parallelogram):** فيه كل ضلعين متقابلين متطابقين، وليس بالضرورة أن تكون الأضلاع المتتالية متطابقة إلا إذا كان معيناً أو مربعاً. - **المعين (Rhombus):** جميع أضلاعه الأربعة متطابقة. هذا يعني أن لديه أربعة أزواج من الأضلاع المتتالية المتطابقة، وليس زوجين فقط. - **شبه المنحرف (Trapezoid):** فيه زوج واحد على الأقل من الأضلاع المتوازية. لا توجد خاصية عامة تتعلق بتطابق الأضلاع المتتالية، إلا في حالات خاصة مثل شبه المنحرف المتطابق الساقين، حيث يكون لديه زوج واحد من الأضلاع غير المتوازية المتطابقة.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** الشكل الوحيد الذي ينطبق عليه وصف "زوجان فقط من الأضلاع المتتالية المتطابقة" هو **شكل الطائرة الورقية**.

إحداثيات النقطة N هي (4, -3)، ما إحداثيات صورتها الناتجة عن الانعكاس حول المحور y؟

• أ) N'(-3, 4)
• ب) N'(-4, 3)
• ج) N'(4, 3)
• د) N'(-4, -3)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: N'(-4, -3)

الشرح: ١. قاعدة الانعكاس حول المحور y: (x, y) → (-x, y). ٢. النقطة الأصلية: N(4, -3). ٣. تطبيق القاعدة: الإحداثي x الجديد = -4، الإحداثي y يبقى = -3. ٤. النتيجة: N'(-4, -3).

تلميح: تذكر: عند الانعكاس حول المحور y، تتغير إشارة الإحداثي x فقط.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

إذا كان المستقيمان a و b متوازيين (a || b) وقطعهما قاطع t، فأي العبارات الآتية تبرر استنتاج أن الزاوية ∠2 ≅ الزاوية ∠1؟

• أ) إذا كان a || b وقطعهما المستقيم t ، فإن الزاويتين المتبادلتين خارجياً متطابقتان.
• ب) إذا كان a || b وقطعهما المستقيم t ، فإن الزاويتين المتبادلتين داخلياً متطابقتان.
• ج) إذا كان a || b وقطعهما المستقيم t ، فإن الزاويتين المتناظرتين متطابقتان.
• د) إذا كان a || b وقطعهما المستقيم t ، فإن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متطابقتان.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إذا كان a || b وقطعهما المستقيم t ، فإن الزاويتين المتناظرتين متطابقتان.

الشرح: ١. عند قطع قاطع (t) لمستقيمين متوازيين (a || b)، تتكون زوايا لها علاقات خاصة. ٢. الزوايا المتناظرة هي الزوايا التي تقع في نفس الموقع النسبي عند كل تقاطع. ٣. النظرية تنص: إذا كان مستقيمان متوازيين وقطعهما قاطع، فإن الزوايا المتناظرة متطابقة. ٤. إذن، التبرير الصحيح هو تطابق الزاويتين المتناظرتين.

تلميح: تذكر العلاقات بين الزوايا الناتجة عن قاطع يقطع مستقيمين متوازيين.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

في المثلث ∆ABC، إذا كان AD منصفاً للزاوية ∠CAB، وكانت أطوال الأضلاع: AB = (7x - 5)، AC = (2x + 2)، BD = 10، DC = 5، فما قيمة x؟

• أ) 1.5
• ب) 5
• ج) 1.4
• د) 3

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: x = 3

الشرح: ١. نظرية منصف الزاوية: BD / DC = AB / AC. ٢. بالتعويض: 10 / 5 = (7x - 5) / (2x + 2). ٣. التبسيط: 2 = (7x - 5) / (2x + 2). ٤. الضرب التبادلي: 2(2x + 2) = 7x - 5. ٥. التوزيع: 4x + 4 = 7x - 5. ٦. حل المعادلة: 4 + 5 = 7x - 4x → 9 = 3x → x = 3.

تلميح: استخدم نظرية منصف الزاوية في المثلث: النسبة بين قطعتي الضلع المقابل تساوي النسبة بين الضلعين الآخرين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في المثلث المتطابق الضلعين DEF، إذا كانت أطوال أضلاعه معبراً عنها بـ: DE = 10x cm، DF = (8.5x + 3) cm، EF = (3.5x + 4) cm، وكان الضلعان DE و DF متطابقين، فأي مما يأتي هو طول ضلع فعلي في المثلث؟

• أ) 2 cm
• ب) 8 cm
• ج) 9 cm
• د) 11 cm

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: 11 cm

الشرح: ١. بما أن DE ≅ DF، فإن: 10x = 8.5x + 3. ٢. حل المعادلة: 10x - 8.5x = 3 → 1.5x = 3 → x = 2. ٣. عوض قيمة x لإيجاد الأطوال: - DE = 10 * 2 = 20 cm - DF = 8.5*2 + 3 = 17 + 3 = 20 cm - EF = 3.5*2 + 4 = 7 + 4 = 11 cm ٤. إذن، أحد أطوال الأضلاع هو 11 cm.

تلميح: بما أن المثلث متطابق الضلعين، ابدأ بمساواة طولي الضلعين المتطابقين (DE و DF) لحل قيمة x.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي المضلعات الرباعية الآتية يتميز بوجود زوجين فقط من الأضلاع المتتالية (المتجاورة) المتطابقة؟

• أ) شكل الطائرة الورقية
• ب) متوازي الأضلاع
• ج) المعين
• د) شبه المنحرف

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: شكل الطائرة الورقية

الشرح: ١. شكل الطائرة الورقية: فيه زوجان من الأضلاع المتجاورة المتطابقة. (مثلاً: AB=AD و CB=CD). ٢. متوازي الأضلاع: أضلاعه المتقابلة متطابقة، وليست بالضرورة المتجاورة. ٣. المعين: جميع أضلاعه الأربعة متطابقة (أكثر من زوجين). ٤. شبه المنحرف: لا يشترط أن تكون أضلاعه المتجاورة متطابقة. ٥. إذن، الشكل الذي ينطبق عليه الوصف هو شكل الطائرة الورقية.

تلميح: فكر في خصائص كل شكل رباعي فيما يتعلق بتطابق أضلاعه المتجاورة.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

ما إحداثيات صورة النقطة N(4, -3) بعد الانعكاس حول المحور y؟

• أ) (-3, 4)
• ب) (-4, 3)
• ج) (4, 3)
• د) (-4, -3)

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: (-4, -3)

الشرح: ١. قاعدة الانعكاس حول المحور y: (x, y) → (-x, y). ٢. تطبيق القاعدة على النقطة N(4, -3): الإحداثي x الجديد = -4 الإحداثي y الجديد = -3 (يبقى كما هو). ٣. النتيجة: إحداثيات الصورة هي (-4, -3).

تلميح: تذكر: عند الانعكاس حول المحور y، تتغير إشارة الإحداثي x فقط.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل