مثال 2 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الزوايا المحيطية (تابع)

المفاهيم الأساسية

المضلع المحاط بدائرة: يكون المضلع محاطًا بدائرة، إذا وقعت رؤوسه جميعها على الدائرة نفسها.

النظرية 8.8: تقابل الزاوية المحيطية في مثلث قطرًا أو نصف دائرة، إذا وفقط إذا كانت هذه الزاوية قائمة.

خريطة المفاهيم

```markmap

نظرية الزاوية المحيطية

البرهان (الحالة الأولى)

المعطيات

• ∠B محيطية في P
• PB نصف قطر

خطوات البرهان

• PB ≅ PC (أنصاف أقطار الدائرة متطابقة)
• △PBC متطابق الضلعين
• m∠B = m∠C (نظرية المثلث متطابق الضلعين)
• m∠APC = m∠B + m∠C (نظرية الزاوية الخارجية)
• m∠APC = 2m∠B (بالتعويض)
• mAC = m∠APC (تعريف قياس القوس)
• mAC = 2m∠B (بالتعويض)
• m∠B = ½mAC (خاصية القسمة للمساواة)

النتائج والتطبيقات

إيجاد قياس الزاوية

• m∠P = ½mMN

إيجاد قياس القوس

• mPO = 2m∠N

نظرية 8.7

• إذا قابلت ∠B و ∠C القوس AD
• فإن ∠B ≅ ∠C

تطبيقات إضافية

استعمال الزوايا المحيطية لإيجاد قياسات

• استعمال تساوي الزوايا المحيطية المقابلة للقوس نفسه
• حل معادلات جبرية لإيجاد القياسات

استعمال الزوايا المحيطية في البراهين

• براهين ذات عمودين لإثبات تطابق المثلثات
• استخدام خصائص الأوتار والأقواس المتطابقة

زوايا المضلعات المحاطة بدائرة

#### المضلع المحاط بدائرة

• رؤوسه جميعها على الدائرة نفسها

#### النظرية 8.8

• الزاوية المحيطية تقابل قطرًا ⇔ الزاوية قائمة (90°)
• مثال: إذا كانت FJH نصف دائرة، فإن m∠G = 90°

```

نقاط مهمة

• الزوايا المحيطية التي تقابل القوس نفسه تكون متطابقة.
• يمكن استخدام تساوي الزوايا المحيطية لكتابة معادلات جبرية وحلّها لإيجاد قياسات مجهولة.
• في البراهين، نستخدم خصائص الأقواس والأوتار المتطابقة والزوايا المحيطية لإثبات تطابق المثلثات (مثل AAS).
• النظرية 8.8 تربط بشكل مباشر بين الزاوية القائمة وقطر الدائرة (أو نصف الدائرة) الذي تقابله.

---

حل مثال

مثال 2: استعمال الزوايا المحيطية لإيجاد قياسات

* المعطى: في الشكل المجاور (الدائرة STUV)، الزاويتان المحيطيتان ∠T و ∠U متطابقتان.

* m∠T = (3x - 5)°

* m∠U = (2x + 15)°

* المطلوب: إيجاد m∠T.

* الحل:

1. بما أن ∠T ≅ ∠U، فإن قياسيهما متساويان: m∠T = m∠U.

2. نعوض بالمعادلات الجبرية: (3x - 5) = (2x + 15).

3. نبسط المعادلة: 3x - 2x = 15 + 5 → x = 20.

4. نعوض بقيمة x في معادلة m∠T: m∠T = (3 * 20) - 5 = 60 - 5 = 55°.

مثال 3: استعمال الزوايا المحيطية في البراهين

* المعطيات: في الشكل المجاور (الدائرة JKLM)، القوس JM ≅ القوس KL.

* المطلوب: إثبات أن ΔJMN ≅ ΔKLN.

* البرهان (ذو عمودين):

| العبارات | المبررات |

| ---------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------ |

| 1) JM ≅ KL | 1) معطيات |

| 2) JM ≅ KL | 2) إذا كانت الأقواس متطابقة؛ فإن الأوتار المقابلة لها تكون متطابقة أيضًا. |

| 3) ∠M تقابل القوس JK | 3) تعريف القوس المقابل. |

| 4) ∠L تقابل القوس JK | 4) الزوايا المحيطية التي تقابل القوس نفسه تكون متطابقة. |

| 5) ∠JNM ≅ ∠KNL | 5) الزوايا المتقابلة بالرأس تكون متطابقة. |

| 6) ΔJMN ≅ ΔKLN | 6) AAS (زاويتان والضلع الذي ليس بينهما في ΔJMN تطابق نظائرها في ΔKLN) |

---

تحقق من فهمك

السؤال 2:

* المعطى: في الشكل المجاور (نفس الدائرة STUV في مثال 2).

* m∠S = (3x)°

* m∠V = (x + 16)°

* المطلوب: إيجاد m∠S.

* الحل:

1. في رباعي دائري (مضلع محاط بدائرة)، الزاويتان المتقابلتان متكاملتان (مجموعهما 180°). إذن: ∠S + ∠V = 180°.

2. نعوض: (3x) + (x + 16) = 180.

3. نبسط: 4x + 16 = 180 → 4x = 164 → x = 41.

4. نعوض لإيجاد m∠S: m∠S = 3 * 41 = 123°.

السؤال 3:

* المعطيات: في الشكل المجاور (الدائرة PQRST).

* القوس ST ≅ القوس QR

* القوس PT ≅ القوس PQ

* المطلوب: إثبات أن ΔPQR ≅ ΔPTS.

* خطوات الحل المقترحة:

1. من المعطى ST ≅ QR نستنتج أن الوتر ST ≅ الوتر QR (خاصية: الأقواس المتطابقة تقابل أوتارًا متطابقة).

2. من المعطى PT ≅ PQ نستنتج أن الوتر PT ≅ الوتر PQ (نفس الخاصية).

3. الزاوية ∠P مشتركة في كلا المثلثين ΔPQR و ΔPTS.

4. إذن، المثلثان متطابقان باستخدام نظرية SAS (ضلعان والزاوية المحصورة بينهما)، حيث:

* الضلع PQ ≅ الضلع PT.

* الزاوية ∠P مشتركة.

* الضلع QR ≅ الضلع ST.

(ملاحظة: البرهان الكامل ذو العمودين يتبع هذه الخطاط مع ذكر المبررات المناسبة).

مثال 2: استعمال الزوايا المحيطية لإيجاد قياسات

جبر: أوجد m∠T مستعملاً الشكل المجاور. ∠T ≅ ∠U m∠T = m∠U 3x - 5 = 2x + 15 (بالتعويض) x = 20 (بالتبسيط) إذن: m∠T = (3)(20) - 5 = 55°

تحقق من فهمك

إذا كان: (x + 16)° = m∠V ، و (3x)° = m∠S ، فأوجد m∠S مستعملاً الشكل أعلاه.

مثال 3: استعمال الزوايا المحيطية في البراهين

اكتب برهانًا ذا عمودين. المعطيات: JM ≅ KL المطلوب: ΔJMN ≅ ΔKLN البرهان:

تحقق من فهمك

اكتب برهانًا ذا عمودين: المعطيات: ST ≅ QR ، PT ≅ PQ المطلوب: ΔPQR ≅ ΔPTS

المضلعات المحاطة بدائرة: يكون المضلع محاطًا بدائرة، إذا وقعت رؤوسه جميعها على الدائرة نفسها.

زوايا المضلعات المحاطة بدائرة: للمثلثات والأشكال الرباعية المحاطة بدائرة خصائص خاصة.

التعبير اللفظي: تقابل الزاوية المحيطية في مثلث قطرًا أو نصف دائرة، إذا وفقط إذا كانت هذه الزاوية قائمة. مثال: إذا كانت FJH نصف دائرة، فإن m∠G = 90°. إذا كان m∠G = 90°، فإن FJH هي نصف دائرة، ويكون FH قطرًا فيها.

أضف إلى مطويتك

وزارة التعليم الدرس 4-8 الزوايا المحيطية 203

ستبرهن النظرية 8.8 في السؤال 31

--- SECTION: مثال 2 --- مثال 2: استعمال الزوايا المحيطية لإيجاد قياسات جبر: أوجد m∠T مستعملاً الشكل المجاور. ∠T ≅ ∠U m∠T = m∠U 3x - 5 = 2x + 15 (بالتعويض) x = 20 (بالتبسيط) إذن: m∠T = (3)(20) - 5 = 55° تحقق من فهمك --- SECTION: 2 --- إذا كان: (x + 16)° = m∠V ، و (3x)° = m∠S ، فأوجد m∠S مستعملاً الشكل أعلاه. --- SECTION: مثال 3 --- مثال 3: استعمال الزوايا المحيطية في البراهين اكتب برهانًا ذا عمودين. المعطيات: JM ≅ KL المطلوب: ΔJMN ≅ ΔKLN البرهان: تحقق من فهمك --- SECTION: 3 --- اكتب برهانًا ذا عمودين: المعطيات: ST ≅ QR ، PT ≅ PQ المطلوب: ΔPQR ≅ ΔPTS --- SECTION: إرشادات للدراسة --- المضلعات المحاطة بدائرة: يكون المضلع محاطًا بدائرة، إذا وقعت رؤوسه جميعها على الدائرة نفسها. زوايا المضلعات المحاطة بدائرة: للمثلثات والأشكال الرباعية المحاطة بدائرة خصائص خاصة. --- SECTION: النظرية 8.8 --- التعبير اللفظي: تقابل الزاوية المحيطية في مثلث قطرًا أو نصف دائرة، إذا وفقط إذا كانت هذه الزاوية قائمة. مثال: إذا كانت FJH نصف دائرة، فإن m∠G = 90°. إذا كان m∠G = 90°، فإن FJH هي نصف دائرة، ويكون FH قطرًا فيها. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك وزارة التعليم الدرس 4-8 الزوايا المحيطية 203 ستبرهن النظرية 8.8 في السؤال 31 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with four points S, T, U, V on its circumference, forming an inscribed quadrilateral STUV. Chords ST, TU, UV, VS are drawn. Angle T is labeled (3x - 5)° and Angle U is labeled (2x + 15)°. Angle S is labeled (3x)° and Angle V is labeled (x + 16)°. The chords SU and TV are also drawn, intersecting inside the circle. Key Values: m∠T = (3x - 5)°, m∠U = (2x + 15)°, m∠S = (3x)°, m∠V = (x + 16)° Context: This diagram illustrates properties of inscribed angles and quadrilaterals, specifically that opposite angles in an inscribed quadrilateral are supplementary, used for algebraic problem-solving in Example 2 and Question 2. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with four points J, K, L, M on its circumference. Chords JL and KM intersect at point N inside the circle. Chords JM and KL are also drawn, forming two triangles ΔJMN and ΔKLN. There are single tick marks on chords JM and KL indicating JM ≅ KL. Key Values: JM ≅ KL Context: This diagram is used in Example 3 to demonstrate a two-column proof for the congruence of triangles ΔJMN and ΔKLN, utilizing properties of congruent chords and inscribed angles. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with five points P, Q, R, S, T on its circumference, forming an inscribed pentagon PQRST. Chords PQ, QR, RS, ST, TP are drawn. There are single tick marks on chords PQ and PT indicating PQ ≅ PT. There are double tick marks on chords QR and ST indicating QR ≅ ST. Key Values: PQ ≅ PT, QR ≅ ST Context: This diagram is used in Question 3 (تحقق من فهمك) for a two-column proof, likely involving the congruence of triangles ΔPQR and ΔPTS based on the given congruent chords. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with points F, G, H, J on its circumference. FH is a diameter of the circle, indicated by passing through the center (marked with a small dot). Angle FGH is an inscribed angle that subtends the diameter FH. Point J is also on the circumference, forming arc FJH as a semicircle. Key Values: FH is a diameter, Arc FJH is a semicircle, ∠FGH is an inscribed angle Context: This diagram illustrates Theorem 8.8, which states that an inscribed angle subtends a diameter or a semicircle if and only if the angle is a right angle (m∠G = 90°).