العبارات والمبررات - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 نظرية الزاوية المحيطية (الحالة الأولى)

المفاهيم الأساسية

الزاوية المحيطية: زاوية رأسها على الدائرة وضلعاها وتران فيها.

نظرية الزاوية المحيطية (الحالة الأولى): قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها. m∠B = \frac{1}{2}mAC

نظرية 8.7: إذا قابلت زاويتان محيطيتان في دائرة القوس نفسه أو قوسين متطابقين، فإن الزاويتين تكونان متطابقتين.

خريطة المفاهيم

```markmap

نظرية الزاوية المحيطية

البرهان (الحالة الأولى)

المعطيات

• ∠B محيطية في P
• PB نصف قطر

خطوات البرهان

• PB ≅ PC (أنصاف أقطار الدائرة متطابقة)
• △PBC متطابق الضلعين
• m∠B = m∠C (نظرية المثلث متطابق الضلعين)
• m∠APC = m∠B + m∠C (نظرية الزاوية الخارجية)
• m∠APC = 2m∠B (بالتعويض)
• mAC = m∠APC (تعريف قياس القوس)
• mAC = 2m∠B (بالتعويض)
• m∠B = ½mAC (خاصية القسمة للمساواة)

النتائج والتطبيقات

إيجاد قياس الزاوية

• m∠P = ½mMN

إيجاد قياس القوس

• mPO = 2m∠N

نظرية 8.7

• إذا قابلت ∠B و ∠C القوس AD
• فإن ∠B ≅ ∠C

```

نقاط مهمة

• برهان النظرية يعتمد على رسم نصف قطر إضافي (PC) لتكوين مثلث متطابق الضلعين.
• العلاقة الأساسية: قياس الزاوية المحيطية = نصف قياس القوس المقابل.
• العلاقة العكسية: قياس القوس = ضعف قياس الزاوية المحيطية المقابلة له.
• الزوايا المحيطية التي تقابل القوس نفسه تكون متطابقة.

---

حل مثال

المثال 1: استعمال الزوايا المحيطية لإيجاد قياسات

مستخدماً الشكل (دائرة مركزها P والنقاط M, N, O):

• أ) أوجد m∠P:

- الزاوية ∠P محيطية تقابل القوس MN.

- معطى: mMN = 70°

- الحل: m∠P = ½mMN = ½(70°) = 35°

• ب) أوجد mPO:

- القوس PO يقابل الزاوية المحيطية ∠N.

- معطى: m∠N = 56°

- الحل: mPO = 2m∠N = 2(56°) = 112°

---

تحقق من فهمك

أوجد القياسات الآتية مستعملاً الشكل المجاور (دائرة النقاط C, D, E, F):

• 1A) أوجد mCF:

- القوس CF يقابل الزاوية المحيطية ∠D.

- معطى: m∠D = ؟ (غير موضح مباشرة، لكن القوس المقابل للزاوية ∠C هو DF).

- الزاوية ∠C محيطية مقابلة للقوس DF. معطى: m∠C = 40°

- إذن: mDF = 2 m∠C = 2 40° = 80°

- قياس الدائرة الكامل 360°.

- معطى: mDE = 98°

- يمكن إيجاد mEF ثم mCF، أو ملاحظة أن ∠D يقابل القوس CF. نحتاج لعلاقات أخرى في الشكل (غير مذكورة في النص) لإكمال الحل بدقة.

• 1B) أوجد m∠C:

- معطى صراحة في وصف الشكل المرئي: m∠C = 40°

برهان

نظرية الزاوية المحيطية (الحالة الأولى)

المعطيات: ∠B محيطية في P. المطلوب: m∠B = ½mAC. البرهان: تعلم أن ∠B محيطية في P، وأن PB نصف قطر في P. ارسم نصف قطر آخر PC حيث إن كل نقطتين تحددان مستقيمًا واحدًا، وهذا سيقودنا إلى:

العبارات المبررات PB ≅ PC 1) أنصاف أقطار الدائرة جميعها متطابقة. △PBC متطابق الضلعين. 2) تعريف المثلث المتطابق الضلعين m∠B = m∠C 3) نظرية المثلث المتطابق الضلعين m∠APC = m∠B + m∠C 4) نظرية الزاوية الخارجية m∠APC = 2m∠B 5) بالتعويض (من الخطوة 3 في الخطوة 4 ثم الجمع) mAC = m∠APC 6) تعريف قياس القوس mAC = 2m∠B 7) بالتعويض (من الخطوة 5 في الخطوة 6) 2m∠B = mAC 8) خاصية التماثل للمساواة m∠B = ½mAC 9) خاصية القسمة للمساواة

مثال 1

أوجد القياسين الآتيين مستعملاً الشكل المجاور:

تحقق من فهمك

أوجد القياسات الآتية مستعملاً الشكل المجاور:

هناك علاقة بين الزاويتين المحيطيتين اللتين تقابلان القوس نفسه في دائرة.

نظرية 8.7 التعبير اللفظي: إذا قابلت زاويتان محيطيتان في دائرة القوس نفسه أو قوسين متطابقين، فإن الزاويتين تكونان متطابقتين. مثال: ∠B, ∠C تقابلان AD، إذن ∠B ≅ ∠C

ستبرهن النظرية 8.7 في السؤال 30

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

202 الفصل 8 الدائرة

برهان نظرية الزاوية المحيطية (الحالة الأولى) المعطيات: ∠B محيطية في P. المطلوب: m∠B = ½mAC. البرهان: تعلم أن ∠B محيطية في P، وأن PB نصف قطر في P. ارسم نصف قطر آخر PC حيث إن كل نقطتين تحددان مستقيمًا واحدًا، وهذا سيقودنا إلى: --- SECTION: العبارات والمبررات --- العبارات المبررات PB ≅ PC 1) أنصاف أقطار الدائرة جميعها متطابقة. △PBC متطابق الضلعين. 2) تعريف المثلث المتطابق الضلعين m∠B = m∠C 3) نظرية المثلث المتطابق الضلعين m∠APC = m∠B + m∠C 4) نظرية الزاوية الخارجية m∠APC = 2m∠B 5) بالتعويض (من الخطوة 3 في الخطوة 4 ثم الجمع) mAC = m∠APC 6) تعريف قياس القوس mAC = 2m∠B 7) بالتعويض (من الخطوة 5 في الخطوة 6) 2m∠B = mAC 8) خاصية التماثل للمساواة m∠B = ½mAC 9) خاصية القسمة للمساواة مثال 1 --- SECTION: استعمال الزوايا المحيطية لإيجاد قياسات --- أوجد القياسين الآتيين مستعملاً الشكل المجاور: a. m∠P b. mPO تحقق من فهمك --- SECTION: أوجد القياسات الآتية مستعملاً الشكل المجاور: --- أوجد القياسات الآتية مستعملاً الشكل المجاور: 1A. mCF 1B. m∠C هناك علاقة بين الزاويتين المحيطيتين اللتين تقابلان القوس نفسه في دائرة. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- نظرية 8.7 التعبير اللفظي: إذا قابلت زاويتان محيطيتان في دائرة القوس نفسه أو قوسين متطابقين، فإن الزاويتين تكونان متطابقتين. مثال: ∠B, ∠C تقابلان AD، إذن ∠B ≅ ∠C ستبرهن النظرية 8.7 في السؤال 30 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 202 الفصل 8 الدائرة --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with points M, N, O on its circumference. Point P is the center. Arc MN has a measure of 70 degrees. The inscribed angle ∠N (which subtends arc MO) is given as 56 degrees. The diagram shows an inscribed angle and its intercepted arc. Key Values: mMN = 70°, m∠N = 56° Context: Used in Example 1 to calculate the measure of inscribed angle P and arc PO based on given arc and angle measures. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with points C, D, E, F on its circumference. Arc DE has a measure of 98 degrees. The inscribed angle ∠C (which subtends arc DF) is given as 40 degrees. The diagram shows inscribed angles and intercepted arcs. Key Values: mDE = 98°, m∠C = 40° Context: Used in 'تحقق من فهمك' questions 1A and 1B to find arc CF and angle C based on given arc and angle measures. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with points A, B, C, D on its circumference. Two inscribed angles, ∠B and ∠C, are shown. Both angles intercept the same arc, AD. The diagram visually represents Theorem 8.7, showing that if two inscribed angles intercept the same arc, they are congruent. Context: Illustrates Theorem 8.7, which states that inscribed angles that intercept the same arc are congruent. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center P. Points A, B, C are on the circumference. PB and PC are radii, making triangle PBC isosceles. Angle B is an inscribed angle. The diagram illustrates the setup for proving the inscribed angle theorem, specifically the case where one side of the inscribed angle is a diameter. Context: Used to illustrate the geometric proof of the inscribed angle theorem (Case 1).