إيجاد قياسات زوايا المثلث المحاط بدائرة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 إيجاد قياسات زوايا المضلعات المحاطة بدائرة

المفاهيم الأساسية

الشكل الرباعي المحاط بدائرة (الدائري): شكل رباعي تقع رؤوسه جميعها على الدائرة نفسها.

نظرية 8.9: إذا كان الشكل الرباعي محاطًا بدائرة، فإن كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان (مجموعهما 180°).

خريطة المفاهيم

```markmap

نظرية الزاوية المحيطية

البرهان (الحالة الأولى)

المعطيات

• ∠B محيطية في P
• PB نصف قطر

خطوات البرهان

• PB ≅ PC (أنصاف أقطار الدائرة متطابقة)
• △PBC متطابق الضلعين
• m∠B = m∠C (نظرية المثلث متطابق الضلعين)
• m∠APC = m∠B + m∠C (نظرية الزاوية الخارجية)
• m∠APC = 2m∠B (بالتعويض)
• mAC = m∠APC (تعريف قياس القوس)
• mAC = 2m∠B (بالتعويض)
• m∠B = ½mAC (خاصية القسمة للمساواة)

النتائج والتطبيقات

إيجاد قياس الزاوية

• m∠P = ½mMN

إيجاد قياس القوس

• mPO = 2m∠N

نظرية 8.7

• إذا قابلت ∠B و ∠C القوس AD
• فإن ∠B ≅ ∠C

تطبيقات إضافية

استعمال الزوايا المحيطية لإيجاد قياسات

• استعمال تساوي الزوايا المحيطية المقابلة للقوس نفسه
• حل معادلات جبرية لإيجاد القياسات

استعمال الزوايا المحيطية في البراهين

• براهين ذات عمودين لإثبات تطابق المثلثات
• استخدام خصائص الأوتار والأقواس المتطابقة

زوايا المضلعات المحاطة بدائرة

#### المضلع المحاط بدائرة

• رؤوسه جميعها على الدائرة نفسها

#### النظرية 8.8

• الزاوية المحيطية تقابل قطرًا ⇔ الزاوية قائمة (90°)
• مثال: إذا كانت FJH نصف دائرة، فإن m∠G = 90°

#### إيجاد قياسات زوايا المثلث المحاط

• مثال: ΔFGH قائم الزاوية (∠G = 90°)
• استعمال نظرية مجموع زوايا المثلث: m∠F + m∠G + m∠H = 180°

#### الشكل الرباعي المحاط بدائرة

##### نظرية 8.9

• إذا كان الشكل الرباعي محاطًا بدائرة، فإن كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان.
• مثال: في الرباعي KLMN المحاط بـ A: m∠N + m∠L = 180° و m∠M + m∠K = 180°

##### تطبيق لإيجاد قياسات الزوايا

• مثال: في الرباعي ABCD المحاط بدائرة: m∠A + m∠C = 180° و m∠B + m∠D = 180°

```

نقاط مهمة

• يمكن إحاطة أي مثلث بدائرة.
• يمكن إحاطة أنواع معينة فقط من الأشكال الرباعية بدائرة.
• نظرية 8.9 تختص بالأشكال الرباعية المحاطة بدائرة فقط.
• يمكن إثبات النظرية 8.9 بإثبات أن القوسين المتقابلين لكل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي المحاط بدائرة يكونان دائرة كاملة.

---

حل مثال

مثال 4: أوجد m∠F في ΔFGH المحاط بدائرة (∠G = 90°)

نظرية مجموع زوايا المثلث: m∠F + m∠G + m∠H = 180°

بالتعويض: (4x + 2)° + 90° + (9x - 3)° = 180°

بالتبسيط: (13x)° + 89° = 180°

بطرح 89 من كلا الطرفين: 13x = 91

بقسمة كلا الطرفين على 13: x = 7

إذن: m∠F = (4(7) + 2)° = 30°

مثال 5 (من واقع الحياة): أوجد m∠A, m∠B في الرباعي ABCD المحاط بدائرة (مجوهرات)

نظرية 8.9: m∠A + m∠C = 180° و m∠B + m∠D = 180°

بالتعويض في المعادلة الأولى: m∠A + 90° = 180° ⇒ m∠A = 90°

بالتعويض في المعادلة الثانية: (2x - 30)° + x° = 180°

بالتبسيط: (3x)° - 30° = 180°

بإضافة 30° لكلا الطرفين: 3x = 210

بقسمة كلا الطرفين على 3: x = 70

إذن: m∠B = (2(70) - 30)° = 110°

---

تحقق من فهمك

السؤال 4: أوجد قيمة x في ΔFGH المحاط بدائرة (∠G = 90°) حيث m∠F = (7x + 2)°, m∠H = (17x - 8)°

نظرية مجموع زوايا المثلث: m∠F + m∠G + m∠H = 180°

بالتعويض: (7x + 2)° + 90° + (17x - 8)° = 180°

بالتبسيط: (24x)° + 84° = 180°

بطرح 84 من كلا الطرفين: 24x = 96

بقسمة كلا الطرفين على 24: x = 4

السؤال 5: أوجد m∠X, m∠Y في الرباعي WXYZ المحاط بـ V، حيث m∠W = 95°, m∠Z = 60°

نظرية 8.9: الزوايا المتقابلة في الرباعي الدائري متكاملة.

m∠W + m∠Y = 180° ⇒ 95° + m∠Y = 180° ⇒ m∠Y = 85°

m∠Z + m∠X = 180° ⇒ 60° + m∠X = 180° ⇒ m∠X = 120°

إيجاد قياسات زوايا المثلث المحاط بدائرة

جبر: أوجد m∠F مستعملاً الشكل المجاور. ΔFGH قائم الزاوية؛ لأن ∠G محيطية تقابل نصف دائرة. نظرية مجموع زوايا المثلث: m∠F + m∠G + m∠H = 180° بالتعويض: (4x + 2)° + 90° + (9x - 3)° = 180° بالتبسيط: (13x)° + 89° = 180° بطرح 89 من كلا الطرفين: 13x = 91 بقسمة كلا الطرفين على 13: x = 7 إذن: m∠F = (4(7) + 2)° = 30°

تحقق من فهمك

إذا كان m∠F = (7x + 2)°, m∠H = (17x - 8)°، فأوجد قيمة x مستعملاً الشكل أعلاه.

يمكنك إحاطة مختلف أنواع المثلثات، بما فيها المثلث القائم الزاوية بدائرة إلا أن أنواعًا معينة فقط من الأشكال الرباعية يمكنك إحاطتها بدائرة.

الأشكال الرباعية: يمكن إثبات نظرية 8.9، بإثبات أن القوسين المتقابلين لكل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي المحاط بدائرة يكونان دائرة كاملة.

إذا كان الشكل الرباعي محاطًا بدائرة، فإن كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان.

التعبير اللفظي: إذا كان الشكل الرباعي محاطًا بدائرة، فإن كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان. مثال: إذا كان الشكل الرباعي KLMN محاطًا بـ A، فإن ∠N و ∠L متكاملتان و ∠M و ∠K متكاملتان أيضًا.

سوف تبرهن النظرية 8.9 في السؤال 27

إيجاد قياسات الزوايا

مجوهرات: يحتوي العقد الظاهر في الشكل على جوهرة بصورة مضلع رباعي محاط بدائرة، أوجد m∠B, m∠A. بما أن ABCD شكل رباعي محاط بدائرة، فإن كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان. m∠A + m∠C = 180° m∠B + m∠D = 180° m∠A + 90° = 180° بالتعويض: (2x - 30)° + x° = 180° m∠A = 90° بالتبسيط: (3x)° - 30° = 180° بإضافة 30° لكلا الطرفين: 3x = 210 بقسمة كلا الطرفين على 3: x = 70 إذن: m∠A = 90°, m∠B = (2(70) - 30)° = 110°

تحقق من فهمك

المضلع WXYZ شكل رباعي محاط بـ V، أوجد m∠X, m∠Y.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

204 الفصل 8 الدائرة

--- SECTION: إيجاد قياسات زوايا المثلث المحاط بدائرة --- إيجاد قياسات زوايا المثلث المحاط بدائرة --- SECTION: مثال 4 --- جبر: أوجد m∠F مستعملاً الشكل المجاور. ΔFGH قائم الزاوية؛ لأن ∠G محيطية تقابل نصف دائرة. نظرية مجموع زوايا المثلث: m∠F + m∠G + m∠H = 180° بالتعويض: (4x + 2)° + 90° + (9x - 3)° = 180° بالتبسيط: (13x)° + 89° = 180° بطرح 89 من كلا الطرفين: 13x = 91 بقسمة كلا الطرفين على 13: x = 7 إذن: m∠F = (4(7) + 2)° = 30° --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 4 --- إذا كان m∠F = (7x + 2)°, m∠H = (17x - 8)°، فأوجد قيمة x مستعملاً الشكل أعلاه. يمكنك إحاطة مختلف أنواع المثلثات، بما فيها المثلث القائم الزاوية بدائرة إلا أن أنواعًا معينة فقط من الأشكال الرباعية يمكنك إحاطتها بدائرة. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- الأشكال الرباعية: يمكن إثبات نظرية 8.9، بإثبات أن القوسين المتقابلين لكل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي المحاط بدائرة يكونان دائرة كاملة. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- إذا كان الشكل الرباعي محاطًا بدائرة، فإن كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان. --- SECTION: نظرية 8.9 --- التعبير اللفظي: إذا كان الشكل الرباعي محاطًا بدائرة، فإن كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان. مثال: إذا كان الشكل الرباعي KLMN محاطًا بـ A، فإن ∠N و ∠L متكاملتان و ∠M و ∠K متكاملتان أيضًا. سوف تبرهن النظرية 8.9 في السؤال 27 --- SECTION: إيجاد قياسات الزوايا --- إيجاد قياسات الزوايا --- SECTION: مثال 5 من واقع الحياة --- مجوهرات: يحتوي العقد الظاهر في الشكل على جوهرة بصورة مضلع رباعي محاط بدائرة، أوجد m∠B, m∠A. بما أن ABCD شكل رباعي محاط بدائرة، فإن كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان. m∠A + m∠C = 180° m∠B + m∠D = 180° m∠A + 90° = 180° بالتعويض: (2x - 30)° + x° = 180° m∠A = 90° بالتبسيط: (3x)° - 30° = 180° بإضافة 30° لكلا الطرفين: 3x = 210 بقسمة كلا الطرفين على 3: x = 70 إذن: m∠A = 90°, m∠B = (2(70) - 30)° = 110° --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 5 --- المضلع WXYZ شكل رباعي محاط بـ V، أوجد m∠X, m∠Y. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 204 الفصل 8 الدائرة --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center J. An inscribed triangle FGH. Angle F is labeled (4x+2)°. Angle H is labeled (9x-3)°. Angle G is indicated as a right angle (90°) because it subtends the diameter FH. Context: Illustrates the theorem that an angle inscribed in a semicircle is a right angle, and the sum of angles in a triangle is 180°. Used for Example 4 and Check Your Understanding question 4. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center A. An inscribed quadrilateral KLMN. This diagram illustrates Theorem 8.9, which states that opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary. Context: Illustrates Theorem 8.9 about cyclic quadrilaterals. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with an inscribed quadrilateral ABCD. Angle B is labeled (2x-30)°. Angle D is labeled x°. Angle C is indicated as a right angle (90°). Context: Illustrates the application of Theorem 8.9 (opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary) in a real-life context (jewel design). Used for Example 5. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center V. An inscribed quadrilateral WXYZ. Angle Z is labeled 60°. Angle W is labeled 95°. Context: Used for Check Your Understanding question 5, applying Theorem 8.9 to find unknown angles in a cyclic quadrilateral.