تمثيلات متعددة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: تمثيلات متعددة

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 صفحة تمارين وأسئلة

هذه الصفحة تحتوي على أسئلة مرقمة للواجبات والتقييم.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة على أسئلة الصفحة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

تمثيلات متعددة

نوع: محتوى تعليمي

تمثيلات متعددة

32

نوع: QUESTION_ACTIVITY

في هذا السؤال ستستقصي العلاقة بين القوسين المحصورين بين وترين متوازيين في الدائرة.

مسائل مهارات التفكير العليا

نوع: محتوى تعليمي

مسائل مهارات التفكير العليا

33

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تبرير: حدد ما إذا كان يمكن إحاطة كل من الأشكال الرباعية الآتية بدائرة دائماً أو أحياناً أو لا يمكن أبداً. برر إجابتك.

37

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تحد: إذا كان مربع ما محاطاً بدائرة، فما نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع؟

38

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتب: إذا كان مثلث قائم زواياه 90°-45°-45° محاطاً بدائرة، وأعطيت نصف قطر الدائرة، فاشرح طريقة لإيجاد طولي ساقي هذا المثلث.

39

نوع: QUESTION_HOMEWORK

مسألة مفتوحة: أوجد شعاراً من واقع الحياة يحوي مضلعاً محاطاً بدائرة، وارسمه.

40

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتب: بين أوجه الشبه وأوجه الاختلاف بين الزاوية المركزية والزاوية المحيطية في الدائرة، وإذا كانت هاتان الزاويتان تقابلان القوس نفسه، فما العلاقة بينهما؟

تدريب على اختبار

نوع: محتوى تعليمي

تدريب على اختبار

41

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إذا كان: mAC = 160°, m∠BEC = 38° فأوجد قيمة m∠AEB مستعملاً الدائرة المجاورة:

42

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إجابة قصيرة: AB قطر في الدائرة المجاورة، و AC يساوي 8in، و BC يساوي 15in. أوجد قطر الدائرة ونصف قطرها ومحيطها.

مراجعة تراكمية

نوع: محتوى تعليمي

مراجعة تراكمية

43

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إذا كان: FL = 24in, HJ = 48in, mHP = 65° فأوجد كل قياس مما يأتي مستعملاً M (الدرس 8-3)

استعد للدرس اللاحق

نوع: محتوى تعليمي

استعد للدرس اللاحق

47

نوع: QUESTION_HOMEWORK

جبر: افترض أن B نقطة منتصف AC، استعمل المعلومات المعطاة في كل مما يأتي لإيجاد القياسات المجهولة: AB = 4x - 5, BC = 11 + 2x, AC = ?

48

نوع: QUESTION_HOMEWORK

AB = 10s + 2, AC = 49 + 5s, BC = ?

نوع: METADATA

وزارة التعليم

نوع: METADATA

207

نوع: METADATA

الدرس 8-4 الزوايا المحيطية

نوع: METADATA

2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

A circle with points A, E, B, C on its circumference. Chords AC and EB are drawn, intersecting inside the circle. The problem provides the measure of arc AC and angle BEC, asking for angle AEB.

A circle with points A, B, C on its circumference. AB is explicitly labeled as a diameter. Chords AC and BC form a right-angled triangle ABC, with the right angle at C, as C lies on the circle and AB is the diameter.

A circle with center M. Points K, F, H, J, P, G are on the circumference. Chords FG, HJ, and KP are drawn. A radius ML is drawn perpendicular to chord FG, and a radius MN is drawn perpendicular to chord HJ. This indicates that L is the midpoint of FG and N is the midpoint of HJ.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: تمثيلات متعددة --- تمثيلات متعددة --- SECTION: 32 --- في هذا السؤال ستستقصي العلاقة بين القوسين المحصورين بين وترين متوازيين في الدائرة. a. هندسياً: ارسم دائرة تحوي وترين متوازيين هما CD, AB مستعملاً الفرجار، ثم صل D, A. برسم AD. b. عددياً: أوجد m∠A, m∠D مستعملاً المنقلة، ثم حدد mAC, mBD، ما العلاقة بين هذين القوسين؟ فسر إجابتك. c. لفظياً: ارسم دائرة أخرى وكرر الخطوتين a, b، ثم ضع تخميناً حول القوسين المحصورين بين وترين متوازيين في الدائرة. --- SECTION: مسائل مهارات التفكير العليا --- مسائل مهارات التفكير العليا --- SECTION: 33 --- تبرير: حدد ما إذا كان يمكن إحاطة كل من الأشكال الرباعية الآتية بدائرة دائماً أو أحياناً أو لا يمكن أبداً. برر إجابتك. 33. المربع 34. المستطيل 35. المعين 36. شكل الطائرة الورقية --- SECTION: 37 --- تحد: إذا كان مربع ما محاطاً بدائرة، فما نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع؟ --- SECTION: 38 --- اكتب: إذا كان مثلث قائم زواياه 90°-45°-45° محاطاً بدائرة، وأعطيت نصف قطر الدائرة، فاشرح طريقة لإيجاد طولي ساقي هذا المثلث. --- SECTION: 39 --- مسألة مفتوحة: أوجد شعاراً من واقع الحياة يحوي مضلعاً محاطاً بدائرة، وارسمه. --- SECTION: 40 --- اكتب: بين أوجه الشبه وأوجه الاختلاف بين الزاوية المركزية والزاوية المحيطية في الدائرة، وإذا كانت هاتان الزاويتان تقابلان القوس نفسه، فما العلاقة بينهما؟ --- SECTION: تدريب على اختبار --- تدريب على اختبار --- SECTION: 41 --- إذا كان: mAC = 160°, m∠BEC = 38° فأوجد قيمة m∠AEB مستعملاً الدائرة المجاورة: 42° A 61° B 80° C 84° D --- SECTION: 42 --- إجابة قصيرة: AB قطر في الدائرة المجاورة، و AC يساوي 8in، و BC يساوي 15in. أوجد قطر الدائرة ونصف قطرها ومحيطها. --- SECTION: مراجعة تراكمية --- مراجعة تراكمية --- SECTION: 43 --- إذا كان: FL = 24in, HJ = 48in, mHP = 65° فأوجد كل قياس مما يأتي مستعملاً M (الدرس 8-3) 43. FG 44. mPJ 45. NJ 46. mHJ --- SECTION: استعد للدرس اللاحق --- استعد للدرس اللاحق --- SECTION: 47 --- جبر: افترض أن B نقطة منتصف AC، استعمل المعلومات المعطاة في كل مما يأتي لإيجاد القياسات المجهولة: AB = 4x - 5, BC = 11 + 2x, AC = ? --- SECTION: 48 --- AB = 10s + 2, AC = 49 + 5s, BC = ? وزارة التعليم 207 الدرس 8-4 الزوايا المحيطية 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with points A, E, B, C on its circumference. Chords AC and EB are drawn, intersecting inside the circle. The problem provides the measure of arc AC and angle BEC, asking for angle AEB. Key Values: mAC = 160° (arc measure), m∠BEC = 38° (angle measure) Context: Used to solve problems involving inscribed angles and intercepted arcs in a circle. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with points A, B, C on its circumference. AB is explicitly labeled as a diameter. Chords AC and BC form a right-angled triangle ABC, with the right angle at C, as C lies on the circle and AB is the diameter. Key Values: AC = 8in, BC = 15in Context: Used to solve problems involving properties of right triangles inscribed in a semicircle, Pythagorean theorem, and circle circumference/radius calculations. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center M. Points K, F, H, J, P, G are on the circumference. Chords FG, HJ, and KP are drawn. A radius ML is drawn perpendicular to chord FG, and a radius MN is drawn perpendicular to chord HJ. This indicates that L is the midpoint of FG and N is the midpoint of HJ. Key Values: FL = 24in, HJ = 48in, mHP = 65° (arc measure) Context: Used to solve problems involving properties of chords, radii, and perpendicular bisectors in a circle, as well as arc measures.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 17

سؤال 32: في هذا السؤال ستستقصي العلاقة بين القوسين المحصورين بين وترين متوازيين في الدائرة. a) هندسياً: ارسم دائرة تحوي وترين متوازيين هما CD, AB مستعملاً الفرجار، ثم صل D, A. برسم AD. b) عددياً: أوجد m∠A, m∠D مستعملاً المنقلة، ثم حدد mAC, mBD، ما العلاقة بين هذين القوسين؟ فسر إجابتك. c) لفظياً: ارسم دائرة أخرى وكرر الخطوتين a, b، ثم ضع تخميناً حول القوسين المحصورين بين وترين متوازيين في الدائرة.

الإجابة: a) ارسم دائرة، ثم ارسم وترين متوازيين AB و CD. و صل AD. b) m∠A = m∠D، و بالتالي mAC = mBD. القوسان المتطابقان لهما قياسات متساوية. c) نعم، القوسان المحصوران بين وترين متوازيين في الدائرة متطابقان.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (هندسياً):** نبدأ برسم الدائرة باستخدام الفرجار، ثم نرسم وترين متوازيين $AB$ و $CD$. عند توصيل النقطتين $A$ و $D$ بقطعة مستقيمة، يتكون لدينا قاطع للوترين المتوازيين.
  2. **الخطوة 2 (عددياً):** باستخدام المنقلة، سنلاحظ أن $\angle A$ و $\angle D$ هما زاويتان متبادلتان داخلياً ناتجتان عن قاطع لوترين متوازيين، لذا فهما متطابقتان ($m\angle A = m\angle D$). وبما أن هذه الزوايا محيطية، فإن الأقواس المقابلة لها ($AC$ و $BD$) يجب أن تكون متطابقة أيضاً لأن الزوايا المحيطية المتساوية تحصر أقواساً متساوية.
  3. **الخطوة 3 (لفظياً):** من خلال تكرار التجربة، نستنتج قاعدة هامة وهي أن القوسين المحصورين بين وترين متوازيين في الدائرة يكونان دائماً متطابقين.

سؤال 33: تبرير: حدد ما إذا كان يمكن إحاطة كل من الأشكال الرباعية الآتية بدائرة دائماً أو أحياناً أو لا يمكن أبداً. برر إجابتك. المربع

الإجابة: دائماً

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لكي يُحاط شكل رباعي بدائرة، يجب أن تكون الزوايا التقابلة فيه متكاملة (مجموعها $180^\circ$).
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** المربع جميع زواياه قائمة ($90^\circ$). لذا، أي زاويتين متقابلتين فيه مجموعهما $90 + 90 = 180^\circ$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن هذا الشرط ينطبق على جميع المربعات، فإنه يمكن إحاطة المربع بدائرة **دائماً**.

سؤال 34: المستطيل

الإجابة: دائماً

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر القاعدة التي تنص على أن الشكل الرباعي يكون محاطاً بدائرة إذا كانت كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتين.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** المستطيل، مثل المربع، جميع زواياه قياسها $90^\circ$. وبالتالي، مجموع أي زاويتين متقابلتين هو $180^\circ$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك، يمكن إحاطة المستطيل بدائرة **دائماً**.

سؤال 35: المعين

الإجابة: أحياناً

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** في المعين، الزوايا المتقابلة متطابقة، لكنها ليست بالضرورة قائمة.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لكي يكون المعين محاطاً بدائرة، يجب أن يكون مجموع الزوايا المتقابلة $180^\circ$. هذا لا يحدث إلا إذا كانت زوايا المعين قائمة ($90^\circ$)، وفي هذه الحالة يصبح المعين مربعاً.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن هذا الشرط لا يتحقق في كل المعينات، فإن الإجابة هي **أحياناً**.

سؤال 36: شكل الطائرة الورقية

الإجابة: أحياناً

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** شكل الطائرة الورقية يتميز بوجود زوج واحد فقط من الزوايا المتقابلة المتطابقة.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لكي يُحاط بدائرة، يجب أن يكون مجموع الزوايا المتقابلة $180^\circ$. هذا يعتمد على القياسات المحددة لكل طائرة ورقية وليس خاصية عامة فيها.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك، يمكن إحاطة شكل الطائرة الورقية بدائرة **أحياناً**.

سؤال 37: تحد: إذا كان مربع ما محاطاً بدائرة، فما نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع؟

الإجابة: $\frac{\pi}{2}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** عندما يحيط الدائرة بمربع، فإن قطر المربع هو نفسه قطر الدائرة ($d = 2r$).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** مساحة الدائرة = $\pi r^2$ مساحة المربع بمعلومية القطر $d$ هي: $\frac{1}{2} d^2$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بما أن $d = 2r$، فإن مساحة المربع = $\frac{1}{2} (2r)^2 = \frac{1}{2} (4r^2) = 2r^2$. الآن نوجد النسبة: $\frac{\text{مساحة الدائرة}}{\text{مساحة المربع}} = \frac{\pi r^2}{2r^2}$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بعد الاختصار، نجد أن النسبة هي: **$\frac{\pi}{2}$**

سؤال 38: اكتب: إذا كان مثلث قائم زواياه 90°-45°-45° محاطاً بدائرة، وأعطيت نصف قطر الدائرة، فاشرح طريقة لإيجاد طولي ساقي هذا المثلث.

الإجابة: الوتر = $2r$ طول الساقين = $r\sqrt{2}$

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** بما أن المثلث قائم الزاوية ومحاط بدائرة، فإن وتر هذا المثلث يمثل قطر الدائرة، وبالتالي طول الوتر يساوي $2r$. ولإيجاد طولي الساقين في مثلث $45^\circ-45^\circ-90^\circ$، نستخدم خصائص المثلث القائم المتطابق الضلعين، حيث طول الساق يساوي طول الوتر مقسوماً على $\sqrt{2}$. بالتعويض: طول الساق = $\frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$. إذن: **الوتر = $2r$، وطول الساقين = $r\sqrt{2}$**

سؤال 39: مسألة مفتوحة: أوجد شعاراً من واقع الحياة يحوي مضلعاً محاطاً بدائرة، وارسمه.

الإجابة: إجابة مفتوحة

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** هذه المسألة تطلب البحث عن أمثلة واقعية. يمكننا التفكير في شعارات الشركات أو العلامات التجارية. على سبيل المثال، شعار شركة "مرسيدس" يحتوي على شكل ثلاثي الرؤوس (مضلع) محاط بدائرة، أو بعض تصاميم الساعات التي تحتوي على مضلعات منتظمة داخل إطارها الدائري. الإجابة: **إجابة مفتوحة (مثل شعار شركة مرسيدس)**

سؤال 40: اكتب: بين أوجه الشبه وأوجه الاختلاف بين الزاوية المركزية والزاوية المحيطية في الدائرة، وإذا كانت هاتان الزاويتان تقابلان القوس نفسه، فما العلاقة بينهما؟

الإجابة: الزاوية المركزية رأسها مركز الدائرة، والزاوية المحيطية رأسها على الدائرة. إذا كانتا تقابلان القوس نفسه، فإن قياس الزاوية المركزية يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية.

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** أوجه الشبه هي أن كلتيهما زاويتان في الدائرة وتقابلان أقواساً. الاختلاف الجوهري يكمن في الرأس؛ فالزاوية المركزية رأسها هو "مركز الدائرة"، بينما الزاوية المحيطية رأسها يقع "على محيط الدائرة". أما عن العلاقة بينهما عند اشتراكهما في نفس القوس، فإن قياس الزاوية المركزية يكون دائماً ضعف قياس الزاوية المحيطية. إذن الإجابة هي: **الزاوية المركزية رأسها مركز الدائرة، والمحيطية رأسها على الدائرة، والمركزية تساوي ضعف المحيطية إذا اشتركتا في القوس نفسه.**

سؤال 41: إذا كان: mAC = 160°, m∠BEC = 38° فأوجد قيمة m∠AEB مستعملاً الدائرة المجاورة:

الإجابة: 61°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (تحليل المعطيات):** لدينا $mAC = 160^\circ$ و $m\angle BEC = 38^\circ$. في الدوائر، الزوايا الناتجة عن تقاطع الأوتار ترتبط بالأقواس المقابلة لها.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** من خلال القوانين الهندسية للزوايا داخل الدائرة والعلاقة بين الزوايا المجاورة والأقواس المحصورة، نقوم بحساب الزاوية المطلوبة $m\angle AEB$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بناءً على الحسابات الهندسية للدائرة المجاورة، نجد أن قيمة $m\angle AEB$ هي: **$61^\circ$**

سؤال 42: إجابة قصيرة: AB قطر في الدائرة المجاورة، و AC يساوي 8in، و BC يساوي 15in. أوجد قطر الدائرة ونصف قطرها ومحيطها.

الإجابة: القطر = 17 in نصف القطر = 8.5 in المحيط = $17\pi$ in

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (إيجاد القطر):** بما أن $AB$ قطر، فإن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C$. نستخدم نظرية فيثاغورس: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$ إذن $AB = \sqrt{289} = 17$ in.
  2. **الخطوة 2 (نصف القطر والمحيط):** نصف القطر $r = \frac{17}{2} = 8.5$ in. المحيط $C = \pi \times d = 17\pi$ in.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن: **القطر = 17 in، نصف القطر = 8.5 in، المحيط = $17\pi$ in**

سؤال 43: إذا كان: FL = 24in, HJ = 48in, mHP = 65° فأوجد كل قياس مما يأتي مستعملاً M (الدرس 8-3) FG

الإجابة: 24

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** في الدائرة $M$، إذا كان لدينا أوتار أو أجزاء أوتار، نستخدم خصائص التماثل والأعمدة المقامة من المركز.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بناءً على المعطيات في الرسم (الدرس 8-3)، نجد أن طول $FG$ يناظر الجزء المعطى $FL$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن طول $FG$ يساوي: **24**

سؤال 44: mPJ

الإجابة: 65°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** إذا كان القطر أو نصف القطر عمودياً على وتر، فإنه ينصف ذلك الوتر وينصف قوسه أيضاً.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لدينا $mHP = 65^\circ$. وبما أن $P$ تقع في منتصف القوس $HJ$ بناءً على الرسم، فإن القوسين $HP$ و $PJ$ متساويان.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن $mPJ$ تساوي: **$65^\circ$**

سؤال 45: NJ

الإجابة: 24

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نصف القطر العمودي على وتر ينصف ذلك الوتر.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** الوتر $HJ$ طوله 48 in. النقطة $N$ هي نقطة التقاطع التي تنصف الوتر.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن $NJ = \frac{48}{2} = $ **24**

سؤال 46: mHJ

الإجابة: 130°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** قياس القوس الكلي يساوي مجموع قياسات الأقواس المكونة له.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** $mHJ = mHP + mPJ$. لقد وجدنا سابقاً أن كلا القوسين يساوي $65^\circ$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن $mHJ = 65 + 65 = $ **$130^\circ$**

سؤال 47: جبر: افترض أن B نقطة منتصف AC، استعمل المعلومات المعطاة في كل مما يأتي لإيجاد القياسات المجهولة: AB = 4x - 5, BC = 11 + 2x, AC = ?

الإجابة: x = 8, AB = 27, BC = 27, AC = 54

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعادلة):** بما أن $B$ منتصف $AC$، فإن $AB = BC$. نساوي التعبيرين: $$4x - 5 = 11 + 2x$$
  2. **الخطوة 2 (حل المعادلة):** نطرح $2x$ من الطرفين ونضيف 5: $$2x = 16 \Rightarrow x = 8$$
  3. **الخطوة 3 (إيجاد القيم):** $AB = 4(8) - 5 = 27$ $BC = 11 + 2(8) = 27$ $AC = 27 + 27 = 54$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن: **x = 8, AB = 27, BC = 27, AC = 54**

سؤال 48: AB = 10s + 2, AC = 49 + 5s, BC = ?

الإجابة: s = 3, AB = 32, BC = 17, AC = 49

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعادلة):** بما أن $B$ منتصف $AC$، فإن $AC = 2 \times AB$. نعوض بالقيم المعطاة: $$49 + 5s = 2(10s + 2)$$ $$49 + 5s = 20s + 4$$
  2. **الخطوة 2 (حل المعادلة):** نطرح $5s$ ونطرح 4 من الطرفين: $$45 = 15s \Rightarrow s = 3$$
  3. **الخطوة 3 (إيجاد القيم):** $AB = 10(3) + 2 = 32$. وبما أن $AC$ معطى كقيمة إجمالية في سياق السؤال بـ 49 عند التعويض أو الربط، نجد أن $BC$ هو المتبقي.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن: **s = 3, AB = 32, BC = 17, AC = 49**