النظرية 8.10 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 المماسات للدائرة (النظرية 8.10)

المفاهيم الأساسية

المماس: مستقيم يقطع الدائرة في نقطة واحدة فقط (نقطة التماس).

النظرية 8.10: يكون المستقيم مماساً لدائرة في المستوى نفسه، إذا وفقط إذا كان عمودياً على نصف القطر عند نقطة التماس.

خريطة المفاهيم

```markmap

المماسات

تعريفات

المماس

• مستقيم
• يقطع الدائرة في نقطة واحدة فقط
• نقطة التماس

المماس المشترك

• يمس دائرتين
• أنواعه: خارجي وداخلي

أهداف الدرس

استعمال خصائص المماسات

• لإيجاد قياسات تتعلق بالدائرة

حل مسائل تتضمن مضلعات محيطة بدائرة

عدد المماسات المشتركة

دائرتان متقاطعتان

• مماسان مشتركان (خارجيان)

دائرتان منفصلتان

• 4 مماسات مشتركة (2 خارجيان، 2 داخليان)

دائرتان متماستان من الخارج

• 3 مماسات مشتركة (2 خارجيان، 1 داخلي)

دائرتان متداخلتان (متحدتا المركز)

• لا يوجد مماس مشترك

النظرية 8.10

الشرط

• المستقيم مماس للدائرة

الشرط المكافئ (إذا وفقط إذا)

• المستقيم عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس

تطبيقات

• تحديد إذا ما كان مستقيم ما مماساً
• إيجاد قيم مجهولة باستخدام نظرية فيثاغورس

```

نقاط مهمة

• أقصر مسافة من المماس إلى مركز الدائرة هي نصف القطر المار بنقطة التماس.
• يمكن استخدام النظرية 8.10 لتحديد إذا ما كان مستقيم ما مماساً للدائرة عن طريق التحقق من كون المثلث (المركز، نقطة التماس، نقطة خارجية) قائم الزاوية.
• يمكن استخدام النظرية 8.10 مع نظرية فيثاغورس لإيجاد قيم أطوال مجهولة (مثل نصف القطر).

---

حل مثال

مثال 2: تحديد المماس

* المعطيات: دائرة مركزها J، نصف قطرها JL = 8، JK = 15، KL = 9.

* المطلوب: تحديد إذا كان KL مماساً للدائرة ⊙ J.

* الحل:

1. اختبر إذا كان △ JKL قائم الزاوية في L (أي إذا كان JL ⊥ KL).

2. طبق نظرية فيثاغورس العكسية: 8^2 + 15^2 = (8 + 9)^2

3. بالتبسيط: 64 + 225 = 17^2 → 289 = 289 (صحيحة ✓).

4. إذن △ JKL قائم الزاوية في L، وبالتالي KL ⊥ JL.

5. النتيجة: حسب النظرية 8.10، KL مماس لـ ⊙ J.

مثال 3: استعمال المماس لإيجاد القيم المجهولة

* المعطيات: JH مماس لـ ⊙ G عند J، GJ = x (نصف القطر)، JH = 12، GH = x + 8.

* المطلوب: أوجد قيمة x.

* الحل:

1. حسب النظرية 8.10، △ JHG قائم الزاوية في J (لأن GJ نصف قطر و JH مماس).

2. طبق نظرية فيثاغورس: GJ^2 + JH^2 = GH^2

3. عوّض بالقيم: x^2 + 12^2 = (x + 8)^2

4. وسّع وبسّط: x^2 + 144 = x^2 + 16x + 64

5. اطرح x^2 من الطرفين: 144 = 16x + 64

6. اطرح 64: 80 = 16x

7. اقسم على 16: x = 5

8. النتيجة: قيمة x هي 5.

---

تحقق من فهمك

2) حدد ما إذا كان GH مماساً لـ ⊙ F أم لا، برر إجابتك.

* المعطيات (من الرسم): FH = 6 (نصف القطر)، FG = 14، GH = 12.

* الحل:

1. اختبر إذا كان △ FGH قائم الزاوية في H (أي إذا كان FH ⊥ GH).

2. طبق نظرية فيثاغورس العكسية: 6^2 + 12^2 = 14^2

3. بالتبسيط: 36 + 144 = 196 → 180 = 196 (خاطئة ✗).

4. إذن △ FGH ليس قائم الزاوية، وبالتالي GH ليس عمودياً على نصف القطر FH.

5. النتيجة: GH ليس مماساً لـ ⊙ F.

أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين مفترضاً أن القطعة المستقيمة التي تبدو مماساً هي مماساً فعلاً.

* الشكل (1):

* المعطيات: RQ = x (نصف القطر)، SQ = 2، SR = 4.

* الحل (باستخدام نظرية فيثاغورس في △ RQS القائم في Q):

x^2 + 2^2 = 4^2

x^2 + 4 = 16

x^2 = 12

x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}

* الشكل (2):

* المعطيات: AC = x (نصف القطر)، BC = 14، AB = 17.

* الحل (باستخدام نظرية فيثاغورس في △ ACB القائم في C):

x^2 + 14^2 = 17^2

x^2 + 196 = 289

x^2 = 93

x = \sqrt{93}

أضف إلى

مطلوبك

أقصر مسافة من المماس إلى مركز الدائرة هي نصف القطر المار بنقطة التماس.

التعبيير اللفظي: يكون المستقيم مماساً لدائرة في المستوى نفسه، إذا وفقط إذا كان عمودياً على نصف القطر عند نقطة التماس.

مثال:

يكون المستقيم ℓ مماساً لـ ⊙ S ، إذا وفقط إذا كان ℓ ⊥ ST.

ستبرهن جزئي النظرية 8.10 في السؤالين 25, 24

مثال 2

نصف قطر في ⊙ J ، حدده ما إذا كانت KL مماساً لـ ⊙ J أم لا، برر إجابتك.

اختبر ما إذا كان △ JKL قائم الزاوية.

8² + 15² = (8 + 9)²

بالتبسيط

289 = 289 ✓

لذا فإن △ JKL قائم الزاوية في JKL ؛ أي أن KL عمودية على JL عند النقطة L .

وبحسب النظرية 8.10 يكون KL مماساً لـ ⊙ J.

2) حدد ما إذا كان GH مماساً لـ ⊙ F أم لا، برر إجابتك.

يمكنك استعمال النظرية 8.10 لإيجاد قيم مجهولة.

مثال 3

JH مماس لـ ⊙ G عند J ، أوجد قيمة x . وفقاً للنظرية 8.10 ، يكون △ JHG قائم الزاوية.

نظرية فيثاغورس

GJ² + JH² = GH²

GJ = x, JH = 12, GH = x + 8

x² + 144 = (x + 8)²

بالضرب

x² + 144 = x² + 16x + 64

بالطرح

80 = 16x

بقسمة كلا الطرفين على 16

5 = x

أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين مفترضاً أن القطعة المستقيمة التي تبدو مماساً هي مماساً فعلاً.

حل مسألة أبسط: يمكنك استعمال استراتيجية حل مسألة أبسط، برسم المثلث القائم دون الدائرة وتسميته، والشكل أدناه يبين الرسم المثلث في المثال 3

وزارة التعليم

Ministry of Education

2025 - 1447

210

الفصل 8 الدائرة

أضف إلى مطلوبك أقصر مسافة من المماس إلى مركز الدائرة هي نصف القطر المار بنقطة التماس. --- SECTION: النظرية 8.10 --- التعبيير اللفظي: يكون المستقيم مماساً لدائرة في المستوى نفسه، إذا وفقط إذا كان عمودياً على نصف القطر عند نقطة التماس. مثال: يكون المستقيم ℓ مماساً لـ ⊙ S ، إذا وفقط إذا كان ℓ ⊥ ST. ستبرهن جزئي النظرية 8.10 في السؤالين 25, 24 --- SECTION: تحديد المماس --- مثال 2 --- SECTION: 2 --- نصف قطر في ⊙ J ، حدده ما إذا كانت KL مماساً لـ ⊙ J أم لا، برر إجابتك. اختبر ما إذا كان △ JKL قائم الزاوية. 8² + 15² = (8 + 9)² بالتبسيط 289 = 289 ✓ لذا فإن △ JKL قائم الزاوية في JKL ؛ أي أن KL عمودية على JL عند النقطة L . وبحسب النظرية 8.10 يكون KL مماساً لـ ⊙ J. --- SECTION: تحقق من فهمك --- 2) حدد ما إذا كان GH مماساً لـ ⊙ F أم لا، برر إجابتك. يمكنك استعمال النظرية 8.10 لإيجاد قيم مجهولة. --- SECTION: استعمال المماس لإيجاد القيم المجهولة --- مثال 3 --- SECTION: 3 --- JH مماس لـ ⊙ G عند J ، أوجد قيمة x . وفقاً للنظرية 8.10 ، يكون △ JHG قائم الزاوية. نظرية فيثاغورس GJ² + JH² = GH² GJ = x, JH = 12, GH = x + 8 x² + 144 = (x + 8)² بالضرب x² + 144 = x² + 16x + 64 بالطرح 80 = 16x بقسمة كلا الطرفين على 16 5 = x --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين مفترضاً أن القطعة المستقيمة التي تبدو مماساً هي مماساً فعلاً. --- SECTION: إرشادات لحل المسألة --- حل مسألة أبسط: يمكنك استعمال استراتيجية حل مسألة أبسط، برسم المثلث القائم دون الدائرة وتسميته، والشكل أدناه يبين الرسم المثلث في المثال 3 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 210 الفصل 8 الدائرة --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center J. A point K is outside the circle. A line segment KL is drawn from K to a point L on the circle. A line segment JL is the radius. A triangle JKL is formed. JK = 15, JL = 8, KL = 9. A right angle symbol is shown at L, indicating JL is perpendicular to KL. Context: Used to determine if KL is tangent to circle J by checking if triangle JKL is a right triangle at L. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center F. A point G is outside the circle. A line segment GH is drawn from G to a point H on the circle. A line segment FH is the radius. A triangle FGH is formed. FH = 6, FG = 14, GH = 12. A right angle symbol is shown at H, indicating FH is perpendicular to GH. Context: Used to determine if GH is tangent to circle F by checking if triangle FGH is a right triangle at H. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center G. A point J is on the circle such that GJ is a radius. A line segment JH is tangent to the circle at J. A line segment GH is drawn from G to H, passing through J. A right angle symbol is shown at J, indicating GJ is perpendicular to JH. GJ = x, JH = 12, GH = x + 8. Context: Used to find the value of x by applying the Pythagorean theorem to the right triangle JHG. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center R. A point Q is on the circle. A line segment RQ is a radius. A line segment S is drawn from an external point S to the circle, with a point Q on the circle. A line segment SQ is drawn. The segment SQ appears to be tangent at Q. RQ = x, SQ = 2, SR = 4. A right angle symbol is shown at Q, indicating RQ is perpendicular to SQ. Context: Used to find the value of x by applying the Pythagorean theorem to the right triangle RQS. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center A. A point C is on the circle. A line segment AC is a radius. A line segment BC is drawn from an external point B to the circle, with a point C on the circle. The segment BC appears to be tangent at C. AC = x, BC = 14, AB = 17. A right angle symbol is shown at C, indicating AC is perpendicular to BC. Context: Used to find the value of x by applying the Pythagorean theorem to the right triangle ACB.