5-5 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 المعين والمربع

المفاهيم الأساسية

المعين: متوازي أضلاع جميع أضلاعه متطابقة.

المربع: (تم ذكره فقط كمصطلح، التعريف غير موجود في الصفحة).

خريطة المفاهيم

```markmap

خصائص المعين والمربع

المعين

تعريف

• متوازي أضلاع
• جميع أضلاعه متطابقة

خصائص إضافية (نظريات)

#### نظرية 5.15

• إذا كان متوازي أضلاع معيناً، فإن قطريه متعامدان.
• مثال: في المعين ABCD، فإن AC ⊥ BD.

#### نظرية 5.16

• إذا كان متوازي أضلاع معيناً، فإن كل قطر ينصف كلاً من الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما.
• مثال: في المعين NPQR، فإن ∠1 ≅ ∠2، ∠3 ≅ ∠4، ∠5 ≅ ∠6، ∠7 ≅ ∠8.

المربع

• تم ذكره فقط كمصطلح.

```

نقاط مهمة

• درس سابقاً: تحديد ما إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع أو مستطيلاً.
• أهداف الدرس الحالي:

1. التعرف على خصائص المعين والمربع وتطبيقها.

2. تحديد ما إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً أو معيناً أو مربعاً.

• برهان نظرية 5.15 (قطرا المعين متعامدان) موجود بالتفصيل في الصفحة.

---

حل مثال

تم العثور على كلمة "مثال" في المحتوى. فيما يلي حل الأمثلة المذكورة:

المثال المصاحب لنظرية 5.15:

* النص: "مثال: إذا كان ABCD معيناً، فإن AC ⊥ BD."

* الحل: هذا ليس سؤالاً يحتاج إلى حل، بل هو تطبيق مباشر للنظرية. الجواب هو: بما أن ABCD معين، فبناءً على نظرية 5.15، قطريه متعامدان، أي أن AC عمودي على BD.

المثال المصاحب لنظرية 5.16:

* النص: "مثال: إذا كان NPQR معيناً، فإن ∠1 ≅ ∠2, ∠3 ≅ ∠4, ∠5 ≅ ∠6, ∠7 ≅ ∠8."

* الحل: هذا أيضاً تطبيق مباشر للنظرية. الجواب هو: بما أن NPQR معين، فبناءً على نظرية 5.16، كل قطر ينصف زوايا الرأسين الذين يصل بينهما. لذلك، القطر الذي يصل بين الرأسين P و R ينصف الزاوية عند P (∠1 ≅ ∠2) والزاوية عند R (∠3 ≅ ∠4). والقطر الذي يصل بين الرأسين N و Q ينصف الزاوية عند N (∠5 ≅ ∠6) والزاوية عند Q (∠7 ≅ ∠8).

5-5

المعين والمربع Rhombus and Square

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

فيما سبق؟

درست تحديد ما إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع أو مستطيلاً. (الدرس 5-4)

والآن

أتعرف خصائص المعين والمربع وأطبقها. أحدد ما إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً أو معيناً أو مربعاً.

المفردات

المعين rhombus

المربع square

لماذا؟

تصمم الألماس باستعمال أنماط متكررة من الأشكال الهندسية. إذا صمم فنان الألماس المجاورة، بحيث تكونت من أنماط متكررة من مثلثات وأشكال رباعية، كيف يمكن تحديد نوع الأشكال الرباعية المحددة باللون الأحمر في الألماسة؟

خصائص المعين والمربع

المعين هو متوازي أضلاع جميع أضلاعه متطابقة. وللمعين جميع خصائص متوازي الأضلاع علاوة على الخاصيتين الواردتين في النظريتين الآتيتين:

نظريات

أضف إلى مطويتك

قطرا المعين

5.15 إذا كان متوازي أضلاع معيناً، فإن قطريه متعامدان. مثال: إذا كان ABCD معيناً، فإن AC ⊥ BD.

5.16 إذا كان متوازي أضلاع معيناً فإن كل قطر فيه ينصف كلاً من الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما. مثال: إذا كان NPQR معيناً، فإن ∠1 ≅ ∠2, ∠3 ≅ ∠4, ∠5 ≅ ∠6, ∠7 ≅ ∠8.

سوف تبرهن النظرية 5.16 في السؤال 28

برهان

نظرية 5.15

أكتب برهاناً حراً للنظرية 5.15

المعطيات: ABCD معين. المطلوب: AC ⊥ BD.

البرهان: بما أن ABCD معين، فإن AB ≅ BC بحسب التعريف. وبما أن المعين متوازي أضلاع، وقطري متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر، فإن BD ينصف AC عند P؛ لذا فإن AP ≅ PC. وكذلك BP ≅ BP بحسب خاصية الانعكاس؛ إذن △APB ≅ △CPB بحسب SSS. وبما أن العناصر المتناظرة في المثلثات المتطابقة تكون متطابقة، فإن ∠APB ≅ ∠CPB. وكذلك ∠APB, ∠CPB متجاورتان على مستقيم، وإذا كانتا المتطابقتان المتجاورتان على مستقيم تكونان قائمتين. وبما أن ∠APB قائمة، فإن AC ⊥ BD بحسب تعريف المستقيمين المتعامدين.

الفصل 5 الأشكال الرباعية

44

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- SECTION: 5-5 --- 5-5 المعين والمربع Rhombus and Square --- SECTION: رابط الدرس الرقمي --- رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- SECTION: فيما سبق؟ --- فيما سبق؟ درست تحديد ما إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع أو مستطيلاً. (الدرس 5-4) --- SECTION: والآن --- والآن أتعرف خصائص المعين والمربع وأطبقها. أحدد ما إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً أو معيناً أو مربعاً. --- SECTION: المفردات --- المفردات --- SECTION: المعين --- المعين rhombus --- SECTION: المربع --- المربع square --- SECTION: لماذا؟ --- لماذا؟ تصمم الألماس باستعمال أنماط متكررة من الأشكال الهندسية. إذا صمم فنان الألماس المجاورة، بحيث تكونت من أنماط متكررة من مثلثات وأشكال رباعية، كيف يمكن تحديد نوع الأشكال الرباعية المحددة باللون الأحمر في الألماسة؟ --- SECTION: خصائص المعين والمربع --- خصائص المعين والمربع المعين هو متوازي أضلاع جميع أضلاعه متطابقة. وللمعين جميع خصائص متوازي الأضلاع علاوة على الخاصيتين الواردتين في النظريتين الآتيتين: --- SECTION: نظريات --- نظريات --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك --- SECTION: قطرا المعين --- قطرا المعين --- SECTION: نظرية 5.15 --- 5.15 إذا كان متوازي أضلاع معيناً، فإن قطريه متعامدان. مثال: إذا كان ABCD معيناً، فإن AC ⊥ BD. --- SECTION: نظرية 5.16 --- 5.16 إذا كان متوازي أضلاع معيناً فإن كل قطر فيه ينصف كلاً من الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما. مثال: إذا كان NPQR معيناً، فإن ∠1 ≅ ∠2, ∠3 ≅ ∠4, ∠5 ≅ ∠6, ∠7 ≅ ∠8. سوف تبرهن النظرية 5.16 في السؤال 28 --- SECTION: برهان --- برهان --- SECTION: نظرية 5.15 --- نظرية 5.15 أكتب برهاناً حراً للنظرية 5.15 المعطيات: ABCD معين. المطلوب: AC ⊥ BD. --- SECTION: البرهان --- البرهان: بما أن ABCD معين، فإن AB ≅ BC بحسب التعريف. وبما أن المعين متوازي أضلاع، وقطري متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر، فإن BD ينصف AC عند P؛ لذا فإن AP ≅ PC. وكذلك BP ≅ BP بحسب خاصية الانعكاس؛ إذن △APB ≅ △CPB بحسب SSS. وبما أن العناصر المتناظرة في المثلثات المتطابقة تكون متطابقة، فإن ∠APB ≅ ∠CPB. وكذلك ∠APB, ∠CPB متجاورتان على مستقيم، وإذا كانتا المتطابقتان المتجاورتان على مستقيم تكونان قائمتين. وبما أن ∠APB قائمة، فإن AC ⊥ BD بحسب تعريف المستقيمين المتعامدين. الفصل 5 الأشكال الرباعية 44 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **QR_CODE**: رابط الدرس الرقمي Description: A QR code linking to the digital lesson, with 'www.ien.edu.sa' printed below it. Context: Provides a digital resource link for the lesson content. **IMAGE**: N/A Description: A 3D illustration of a faceted diamond, showing multiple triangular and quadrilateral faces. The internal structure or specific cuts are highlighted with red lines, forming a smaller rhombus-like shape within the diamond's center. Context: Illustrates the real-world application of geometric shapes, specifically rhombuses and quadrilaterals, as mentioned in the 'لماذا؟' section. **DIAGRAM**: N/A Description: A 2D diagram of a rhombus with vertices labeled F, G, H, J in counter-clockwise order. All four sides (FG, GH, HJ, JF) are marked with single tick marks, indicating that they are congruent. This diagram visually represents the definition of a rhombus as a parallelogram with four congruent sides. Context: Illustrates the definition and basic properties of a rhombus, specifically the congruence of its sides, as part of the 'خصائص المعين والمربع' section. **DIAGRAM**: N/A Description: A 2D diagram of a rhombus with vertices labeled A, B, C, D in counter-clockwise order. Diagonals AC and BD are drawn, intersecting at a central point. A small square symbol (right angle indicator) is placed at the intersection of the diagonals, explicitly showing that the diagonals AC and BD are perpendicular (AC ⊥ BD). Context: Visually represents Theorem 5.15, which states that the diagonals of a rhombus are perpendicular. **DIAGRAM**: N/A Description: A 2D diagram of a rhombus with vertices labeled N, P, Q, R in counter-clockwise order. Diagonals NQ and PR are drawn, intersecting at a central point. The angles formed by the diagonals and the sides at each vertex are numbered 1 through 8. Specifically, at vertex P, the angles are 1 and 2; at vertex R, they are 3 and 4; at vertex N, they are 5 and 6; and at vertex Q, they are 7 and 8. The numbering suggests that angles 1 and 2 are congruent, 3 and 4 are congruent, 5 and 6 are congruent, and 7 and 8 are congruent, illustrating that the diagonals bisect the vertex angles. Context: Visually represents Theorem 5.16, which states that each diagonal of a rhombus bisects the pair of opposite angles. **DIAGRAM**: N/A Description: A 2D diagram of a rhombus with vertices labeled A, B, C, D in counter-clockwise order. Diagonals AC and BD are drawn, intersecting at point P. This diagram is used as a visual aid for the step-by-step proof of Theorem 5.15, which demonstrates that the diagonals of a rhombus are perpendicular. Context: Serves as the visual reference for the detailed geometric proof of Theorem 5.15.