مثال 1

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 خصائص المعين والمربع

المفاهيم الأساسية

المربع: متوازي أضلاع جميع أضلاعه متطابقة وجميع زواياه قوائم.

المعين: متوازي أضلاع جميع أضلاعه متطابقة.

متوازي الأضلاع: شكل رباعي الأضلاع المتقابلة فيه متوازية.

خريطة المفاهيم

```markmap

خصائص المعين والمربع

المعين

تعريف

متوازي أضلاع
جميع أضلاعه متطابقة

خصائص إضافية (نظريات)

#### نظرية 5.15

إذا كان متوازي أضلاع معيناً، فإن قطريه متعامدان.
مثال: في المعين ABCD، فإن AC ⊥ BD.

#### نظرية 5.16

إذا كان متوازي أضلاع معيناً، فإن كل قطر ينصف كلاً من الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما.
مثال: في المعين NPQR، فإن ∠1 ≅ ∠2، ∠3 ≅ ∠4، ∠5 ≅ ∠6، ∠7 ≅ ∠8.

المربع

تعريف

متوازي أضلاع
جميع أضلاعه متطابقة
جميع زواياه قوائم

العلاقات

كل مربع معين
كل مربع مستطيل
ليس كل معين مربعًا
ليس كل مستطيل مربعًا

متوازي الأضلاع

الأضلاع المتقابلة متوازية

العلاقات (شكل فن)

يحتوي على المستطيل والمعين
المربع هو تقاطع المستطيل والمعين داخل متوازي الأضلاع

```

نقاط مهمة

المربع هو حالة خاصة من متوازي الأضلاع يجمع بين خصائص المستطيل (الزوايا القائمة) والمعين (الأضلاع المتطابقة).
قطري المعين متعامدان وينصفان زواياه.
لحل مسائل المعين: استخدم خصائص تطابق الأضلاع، وتعامد القطرين، وتنصفهما للزوايا.

---

حل مثال

مثال 1: استعمال خصائص المعين FGHJ (قطراه يتقاطعان عند K)

* أ) إذا كان قياس ∠FJH = 82°، فأوجد قياس ∠KHJ.

* الخطوات:

1. في المعين، القطر JG ينصف ∠FJH. إذن: m∠KJH = ½ * 82° = 41°.

2. قطري المعين متعامدان، لذا m∠JKH = 90°.

3. في ∆KJH مجموع الزوايا 180°: 41° + 90° + m∠KHJ = 180°

4. m∠KHJ = 180° - 131° = 49°.

* ب) إذا كان JH = 5x – 2 و GH = x + 9، فأوجد قيمة x.

* الخطوات:

1. في المعين، جميع الأضلاع متطابقة، لذا GH ≅ JH.

2. x + 9 = 5x – 2

3. 9 + 2 = 5x – x

4. 11 = 4x

5. x = 11/4 أو 2.75

---

تحقق من فهمك

بالاستعانة بالمعين FGHJ أعلاه (قطراه يتقاطعان عند K):

* 1A) إذا كان FG = 13 و FK = 5، فأوجد KJ.

* الحل: في المعين، جميع الأضلاع متطابقة، لذا FG = JH = 13. الأقطار تنصف بعضها، لذا KJ = FK = 5.

* 1B) إذا كان m∠KFG = (9y – 5)° و m∠JFK = (6y + 7)°، فأوجد قيمة y.

* الحل: في المعين، القطر ينصف الزاوية، لذا ∠KFG ≅ ∠JFK.

* (9y – 5) = (6y + 7)

* 9y – 6y = 7 + 5

* 3y = 12

* y = 4

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

مثال 1

استعمال خصائص المعين

نوع: محتوى تعليمي

استعمال خصائص المعين

a

نوع: محتوى تعليمي

استعمل بالمعين FGHJ المبين جانبًا.
a) إذا كان m∠FJH = 82°، فأوجد m∠KHJ.
بما أن FGHJ معين، فإن القطر JG ينصف ∠FJH.
لذا فإن m∠KJH = 1/2 m∠FJH = 1/2 (82°) = 41°. إذن m∠KJH = 41°.
وبما أن قطري المعين متعامدان، فإن m∠JKH = 90° بحسب تعريف المستقيمين المتعامدين.
m∠KJH + m∠JKH + m∠KHJ = 180° (نظرية مجموع قياسات زوايا المثلث)
41° + 90° + m∠KHJ = 180° (بالتعويض)
131° + m∠KHJ = 180° (بالتبسيط)
m∠KHJ = 49° (بطرح 131° من كلا الطرفين)

b

نوع: محتوى تعليمي

b) جبر: إذا كان JH = 5x – 2 و GH = x + 9، فأوجد قيمة x.
GH ≅ JH (تعريف المعين)
GH = JH (تعريف تطابق القطع المستقيمة)
x + 9 = 5x – 2 (بالتعويض)
9 = 4x – 2 (بطرح x من كلا الطرفين)
11 = 4x (بجمع 2 لكلا الطرفين)
2.75 = x (بقسمة كلا الطرفين على 4)

تحقق من فهمك

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

1A

نوع: QUESTION_HOMEWORK

استعن بالمعين FGHJ أعلاه.
1A) إذا كان FG = 13 و FK = 5، فأوجد KJ.

1B

نوع: QUESTION_HOMEWORK

جبر: إذا كان m∠KFG = (9y – 5)° و m∠JFK = (6y + 7)°، فأوجد قيمة y.

إرشادات للدراسة

نوع: محتوى تعليمي

إرشادات للدراسة

المربع والمعين:

نوع: محتوى تعليمي

المربع والمعين:
كل مربع معين، ولكن ليس كل معين مربعًا.
وكل مربع مستطيل، وليس كل مستطيل مربعًا.

نوع: محتوى تعليمي

المربع هو متوازي أضلاع جميع أضلاعه متطابقة وجميع زواياه قوائم. تذكر أن متوازي الأضلاع الذي زواياه الأربع قوائم يكون مستطيلاً، ومتوازي الأضلاع الذي أضلاعه الأربعة متطابقة يكون معينًا؛ لذا فعندما يكون متوازي الأضلاع معينًا وإحدى زواياه قائمة فإنه يكون مربعًا أيضًا، وعليه فإن المربع هو متوازي أضلاع ومستطيل ومعين.
ويلخص شكل فن الآتي العلاقة بين متوازي الأضلاع والمعين والمستطيل.

المربع ABCD

نوع: FIGURE_REFERENCE

المربع ABCD

ملخص المفهوم

نوع: محتوى تعليمي

ملخص المفهوم

متوازي الأضلاع

نوع: محتوى تعليمي

متوازي الأضلاع

نوع: محتوى تعليمي

متوازي الأضلاع (الأضلاع المتقابلة متوازية)

نوع: METADATA

وزارة التعليم

نوع: METADATA

45 الدرس 5-5 المعين والمربع

🔍 عناصر مرئية

FGHJ

A rhombus labeled FGHJ. The vertices are F (top-left), G (top-right), H (bottom-right), J (bottom-left). Diagonals FH and GJ intersect at point K. The diagonals are shown intersecting at right angles, and bisecting each other. Angle FJH is indicated as 82 degrees in the problem description. Angle JKH is implicitly 90 degrees due to perpendicular diagonals. The segments GH and JH are referenced in the problem.

المربع ABCD

A square labeled ABCD. The vertices are A (top-left), B (top-right), C (bottom-right), D (bottom-left). All four sides are marked with single tick marks indicating congruence. All four angles are marked with right angle symbols, indicating 90-degree angles.

ملخص المفهوم: متوازي الأضلاع

A Venn-like diagram illustrating the relationships between different quadrilaterals. The largest enclosing shape is a parallelogram (متوازي الأضلاع) with the property 'الأضلاع المتقابلة متوازية' (opposite sides are parallel). Inside the parallelogram, there are two overlapping ovals. One oval represents a rectangle (المستطيل) with the property 'الزوايا الأربع قوائم' (four right angles). The other oval represents a rhombus (المعين) with the property 'الأضلاع الأربعة متطابقة' (four congruent sides). The overlapping region of the rectangle and rhombus ovals represents a square (المربع), which inherits properties from both (four right angles and four congruent sides). Each shape is also depicted with a small example diagram: a parallelogram, a rectangle, a rhombus, and a square.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: مثال 1 ---
مثال 1

--- SECTION: استعمال خصائص المعين ---
استعمال خصائص المعين

--- SECTION: a ---
استعمل بالمعين FGHJ المبين جانبًا.
a) إذا كان m∠FJH = 82°، فأوجد m∠KHJ.
بما أن FGHJ معين، فإن القطر JG ينصف ∠FJH.
لذا فإن m∠KJH = 1/2 m∠FJH = 1/2 (82°) = 41°. إذن m∠KJH = 41°.
وبما أن قطري المعين متعامدان، فإن m∠JKH = 90° بحسب تعريف المستقيمين المتعامدين.
m∠KJH + m∠JKH + m∠KHJ = 180° (نظرية مجموع قياسات زوايا المثلث)
41° + 90° + m∠KHJ = 180° (بالتعويض)
131° + m∠KHJ = 180° (بالتبسيط)
m∠KHJ = 49° (بطرح 131° من كلا الطرفين)

--- SECTION: b ---
b) جبر: إذا كان JH = 5x – 2 و GH = x + 9، فأوجد قيمة x.
GH ≅ JH (تعريف المعين)
GH = JH (تعريف تطابق القطع المستقيمة)
x + 9 = 5x – 2 (بالتعويض)
9 = 4x – 2 (بطرح x من كلا الطرفين)
11 = 4x (بجمع 2 لكلا الطرفين)
2.75 = x (بقسمة كلا الطرفين على 4)

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك

--- SECTION: 1A ---
استعن بالمعين FGHJ أعلاه.
1A) إذا كان FG = 13 و FK = 5، فأوجد KJ.

--- SECTION: 1B ---
جبر: إذا كان m∠KFG = (9y – 5)° و m∠JFK = (6y + 7)°، فأوجد قيمة y.

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
إرشادات للدراسة

--- SECTION: المربع والمعين: ---
المربع والمعين:
كل مربع معين، ولكن ليس كل معين مربعًا.
وكل مربع مستطيل، وليس كل مستطيل مربعًا.

المربع هو متوازي أضلاع جميع أضلاعه متطابقة وجميع زواياه قوائم. تذكر أن متوازي الأضلاع الذي زواياه الأربع قوائم يكون مستطيلاً، ومتوازي الأضلاع الذي أضلاعه الأربعة متطابقة يكون معينًا؛ لذا فعندما يكون متوازي الأضلاع معينًا وإحدى زواياه قائمة فإنه يكون مربعًا أيضًا، وعليه فإن المربع هو متوازي أضلاع ومستطيل ومعين.
ويلخص شكل فن الآتي العلاقة بين متوازي الأضلاع والمعين والمستطيل.

--- SECTION: المربع ABCD ---
المربع ABCD

--- SECTION: ملخص المفهوم ---
ملخص المفهوم

--- SECTION: متوازي الأضلاع ---
متوازي الأضلاع

متوازي الأضلاع (الأضلاع المتقابلة متوازية)

وزارة التعليم

45 الدرس 5-5 المعين والمربع

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: FGHJ
Description: A rhombus labeled FGHJ. The vertices are F (top-left), G (top-right), H (bottom-right), J (bottom-left). Diagonals FH and GJ intersect at point K. The diagonals are shown intersecting at right angles, and bisecting each other. Angle FJH is indicated as 82 degrees in the problem description. Angle JKH is implicitly 90 degrees due to perpendicular diagonals. The segments GH and JH are referenced in the problem.
Context: Illustrates properties of a rhombus, specifically angle bisection by diagonals and perpendicular diagonals, used for solving angle and algebraic problems.

**DIAGRAM**: المربع ABCD
Description: A square labeled ABCD. The vertices are A (top-left), B (top-right), C (bottom-right), D (bottom-left). All four sides are marked with single tick marks indicating congruence. All four angles are marked with right angle symbols, indicating 90-degree angles.
Context: Illustrates the properties of a square: four congruent sides and four right angles. Referenced in the text explaining the definition of a square.

**DIAGRAM**: ملخص المفهوم: متوازي الأضلاع
Description: A Venn-like diagram illustrating the relationships between different quadrilaterals. The largest enclosing shape is a parallelogram (متوازي الأضلاع) with the property 'الأضلاع المتقابلة متوازية' (opposite sides are parallel). Inside the parallelogram, there are two overlapping ovals. One oval represents a rectangle (المستطيل) with the property 'الزوايا الأربع قوائم' (four right angles). The other oval represents a rhombus (المعين) with the property 'الأضلاع الأربعة متطابقة' (four congruent sides). The overlapping region of the rectangle and rhombus ovals represents a square (المربع), which inherits properties from both (four right angles and four congruent sides). Each shape is also depicted with a small example diagram: a parallelogram, a rectangle, a rhombus, and a square.
Context: Visually summarizes the hierarchical relationships and defining properties of parallelograms, rectangles, rhombuses, and squares, showing how a square is a special type of both a rectangle and a rhombus, all of which are parallelograms.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال 1A: استعن بالمعين FGHJ أعلاه. 1A) إذا كان FG = 13 و FK = 5، فأوجد KJ.

الإجابة: 12

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - طول الضلع FG = 13 وحدة. - طول الجزء FK = 5 وحدات. المطلوب هو إيجاد طول الضلع KJ.
**الخطوة 2 (المفهوم والقانون):** - المعين (Rhombus) هو شكل رباعي جميع أضلاعه متساوية في الطول. إذن، FG = GH = HJ = JF. - أقطار المعين متعامدة وتنصف بعضها البعض. هذا يعني أن القطرين FH و GJ يتقاطعان في النقطة K بزاوية قائمة (90 درجة). - بما أن الأقطار متعامدة، فإن المثلث \( \triangle FKJ \) هو مثلث قائم الزاوية في K. - يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية: \( (الوتر)^2 = (الضلع الأول)^2 + (الضلع الثاني)^2 \).
**الخطوة 3 (الحل):** 1. بما أن FGHJ معين، فإن جميع أضلاعه متساوية. إذن، طول الضلع FJ يساوي طول الضلع FG. \( FJ = FG = 13 \) 2. الآن لدينا المثلث القائم الزاوية \( \triangle FKJ \) حيث: - الوتر هو FJ = 13 (الضلع المقابل للزاوية القائمة K). - أحد ضلعي القائمة هو FK = 5. - الضلع الآخر للقائمة هو KJ، وهو المطلوب إيجاده. 3. بتطبيق نظرية فيثاغورس: \( (FJ)^2 = (FK)^2 + (KJ)^2 \) \( (13)^2 = (5)^2 + (KJ)^2 \) \( 169 = 25 + (KJ)^2 \) 4. لإيجاد \( (KJ)^2 \)، نطرح 25 من الطرفين: \( (KJ)^2 = 169 - 25 \) \( (KJ)^2 = 144 \) 5. لإيجاد KJ، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين: \( KJ = \sqrt{144} \) \( KJ = 12 \)
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن طول الضلع KJ = **12**

سؤال 1B: 1B) جبر: إذا كان m∠KFG = (9y - 5)° و m∠JFK = (6y + 7)°، فأوجد قيمة y.

الإجابة: 4

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - قياس الزاوية \( m\angle KFG = (9y - 5)° \). - قياس الزاوية \( m\angle JFK = (6y + 7)° \). المطلوب هو إيجاد قيمة \( y \).
**الخطوة 2 (المفهوم والقانون):** - في المعين (Rhombus)، تنصف الأقطار الزوايا التي تمر بها. هذا يعني أن القطر FJ ينصف الزاوية \( \angle GFJ \). - عندما ينصف القطر زاوية الرأس، فإنه يقسمها إلى زاويتين متساويتين في القياس. - إذن، قياس الزاوية \( m\angle KFG \) يجب أن يساوي قياس الزاوية \( m\angle JFK \).
**الخطوة 3 (الحل):** 1. بما أن القطر FJ ينصف الزاوية \( \angle GFJ \)، فإننا نساوي بين تعبيري الزاويتين المعطاتين: \( m\angle KFG = m\angle JFK \) \( 9y - 5 = 6y + 7 \) 2. لحل المعادلة لإيجاد قيمة \( y \)، نبدأ بجمع الحدود المتشابهة. نطرح \( 6y \) من الطرفين: \( 9y - 6y - 5 = 6y - 6y + 7 \) \( 3y - 5 = 7 \) 3. نضيف 5 إلى الطرفين: \( 3y - 5 + 5 = 7 + 5 \) \( 3y = 12 \) 4. نقسم الطرفين على 3 لإيجاد قيمة \( y \): \( \frac{3y}{3} = \frac{12}{3} \) \( y = 4 \)
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة \( y \) = **4**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

في المعين، ما الخاصية التي تتعلق بقطره وزواياه؟

أ) قطر المعين يوازي أضلاعه.
ب) قطر المعين ينصف زواياه.
ج) قطر المعين يساوي طول ضلعه.
د) قطر المعين لا يتقاطع مع القطر الآخر.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: قطر المعين ينصف زواياه.

الشرح: 1. أحد خصائص المعين أن قطره ينصف الزوايا المتقابلة عند رؤوسه. 2. في المثال، استُخدمت هذه الخاصية لإيجاد قياس ∠KJH حيث كان ∠FJH = 82°.

تلميح: تذكر العلاقة بين قطري المعين وزواياه الداخلية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

إذا كان لديك معين FGHJ، وقياس ∠FJH = 82°، وقطره JG ينصف هذه الزاوية، فما قياس ∠KJH؟

أ) 82°
ب) 90°
ج) 41°
د) 164°

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 41°

الشرح: 1. بما أن القطر JG ينصف ∠FJH، فإن m∠KJH = ½ m∠FJH. 2. بالتعويض: m∠KJH = ½ × 82° = 41°.

تلميح: الانصاف يعني القسمة على 2.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما العلاقة بين قطري المعين؟

أ) قطرا المعين متوازيان.
ب) قطرا المعين متطابقان.
ج) قطرا المعين متعامدان.
د) قطرا المعين ينصفان بعضهما فقط.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: قطرا المعين متعامدان.

الشرح: 1. من الخصائص المميزة للمعين أن قطريه متعامدان. 2. هذا يعني أن الزاوية بينهما قائمة (90°). 3. في الشكل، الزاوية عند نقطة التقاطع K هي زاوية قائمة.

تلميح: تذكر خاصية تميز المعين عن متوازي الأضلاع العادي.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

في المعين FGHJ، إذا علمت أن JH = 5x – 2 و GH = x + 9، فما قيمة x؟

أ) 3
ب) 2.75
ج) 2.5
د) 1.75

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 2.75

الشرح: 1. في المعين، جميع الأضلاع متطابقة، لذا GH = JH. 2. نعوض: x + 9 = 5x – 2. 3. بحل المعادلة: 9 + 2 = 5x - x → 11 = 4x → x = 11/4 = 2.75.

تلميح: في المعين، جميع الأضلاع متطابقة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أي العبارات التالية تصف العلاقة بين المربع والمعين بدقة؟

أ) كل معين مربع، ولكن ليس كل مربع معينًا.
ب) المربع والمعين شكلان مختلفان تمامًا.
ج) كل مربع معين، ولكن ليس كل معين مربعًا.
د) المعين هو حالة خاصة من المربع.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: كل مربع معين، ولكن ليس كل معين مربعًا.

الشرح: 1. المربع هو حالة خاصة من المعين. 2. لكي يكون المعين مربعًا، يجب أن تكون جميع زواياه قوائم (90°). 3. لذلك، كل مربع (بأضلاع متطابقة وزوايا قائمة) هو معين، لكن معينًا قد لا تكون زواياه قائمة.

تلميح: فكر في الشروط الإضافية التي يجب أن تتوفر في المعين ليكون مربعًا.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: متوسط