المثال 3 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 20: 20) المعطيات: ABCD مستطيل. المطلوب: ΔADC ≅ ΔBCD

الإجابة: المعطيات: ABCD مستطيل. المطلوب: ΔADC ≅ ΔBCD البرهان: 1) ABCD مستطيل. (معطى) 2) AD ≅ BC (خاصية المستطيل) 3) DC ≅ CD (خاصية الانعكاس) 4) ∠ADC و ∠BCD قائمتان (خاصية المستطيل) 5) ∠ADC ≅ ∠BCD (جميع الزوايا القائمة متطابقة) 6) ΔADC ≅ ΔBCD (SAS)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا الشكل $ABCD$ وهو مستطيل. من خصائص المستطيل أن كل ضلعين متقابلين متطابقان، لذا فإن الضلع $AD$ يطابق الضلع $BC$.
2. **الخطوة 2 (الزوايا):** بما أن الشكل مستطيل، فإن جميع زواياه قوائم ($90^\circ$). هذا يعني أن $\angle ADC$ و $\angle BCD$ زاويتان قائمتان، وبالتالي فهما متطابقتان.
3. **الخطوة 3 (الضلع المشترك):** نلاحظ أن الضلع $DC$ موجود في كلا المثلثين $\Delta ADC$ و $\Delta BCD$، فهو ضلع مشترك (خاصية الانعكاس).
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بناءً على ما سبق، يتوفر لدينا ضلعان وزاوية محصورة بينهما في كلا المثلثين ($SAS$). إذن المثلثان متطابقان: $\Delta ADC \cong \Delta BCD$

سؤال 21: 21) المعطيات: QTVW مستطيل. QR ≅ ST المطلوب: ΔSWQ ≅ ΔRVT

الإجابة: 21) QTVW مستطيل (معطى) QS+SR=RS (خاصية جمع القطع المستقيمة) RT+TS=ST (خاصية جمع القطع المستقيمة) QR ≅ ST (معطى) QW ≅ TV (أضلاع المستطيل) ∠Q و ∠T قائمتان (خاصية المستطيل) ΔSWQ ≅ ΔRVT (SAS)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (تحليل المعطيات):** لدينا المستطيل $QTVW$. من خصائصه أن الأضلاع المتقابلة متطابقة، لذا $QW \cong TV$. كما أن الزوايا $\angle Q$ و $\angle T$ قائمتان.
2. **الخطوة 2 (استخدام الأجزاء المعطاة):** المعطى هو $QR \cong ST$. نريد إثبات تطابق المثلثين $\Delta SWQ$ و $\Delta RVT$. نحتاج لطول القاعدة كاملة في كل مثلث. نلاحظ أن: - $QS = QR + RS$ - $RT = RS + ST$ بما أن $QR = ST$ و $RS$ جزء مشترك، فإن $QS = RT$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** الآن في المثلثين $\Delta SWQ$ و $\Delta RVT$ لدينا: - الضلع $QW \cong TV$ - الزاوية القائمة $\angle Q \cong \angle T$ - الضلع $QS \cong RT$ إذن يتطابق المثلثان بحسب حالة ($SAS$). إذن: $\Delta SWQ \cong \Delta RVT$

سؤال 22: 22) W(-2, 4), X(5, 5), Y(6, -2), Z(-1, -3) ، صيغة الميل.

الإجابة: 22) مستطيل؛ لأن كل ضلعين متقابلين متوازيان (الميل متساوٍ)، والزوايا القائمة (ميل الأضلاع المتعامدة حاصل ضربهما -1).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (حساب الميول):** نستخدم قانون الميل $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ للأضلاع: - ميل $WX = \frac{5 - 4}{5 - (-2)} = \frac{1}{7}$ - ميل $XY = \frac{-2 - 5}{6 - 5} = -7$ - ميل $YZ = \frac{-3 - (-2)}{-1 - 6} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7}$ - ميل $ZW = \frac{4 - (-3)}{-2 - (-1)} = \frac{7}{-1} = -7$
2. **الخطوة 2 (تحليل النتائج):** نلاحظ أن كل ضلعين متقابلين لهما نفس الميل، مما يعني أنهما متوازيان (الشكل متوازي أضلاع). كما أن حاصل ضرب ميل الأضلاع المتجاورة (مثل $WX$ و $XY$) هو $\frac{1}{7} \times -7 = -1$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن حاصل ضرب الميول يساوي $-1$، فإن الأضلاع المتجاورة متعامدة وتصنع زوايا قائمة. إذن الشكل **مستطيل**.

سؤال 23: 23) J(3, 3), K(-5, 2), L(-4, -4), M(4, -3) ، صيغة المسافة بين نقطتين.

الإجابة: 23) ليس مستطيلاً؛ لأن الضلعين المتقابلين ليسا متطابقين (المسافة بين نقطتين).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (حساب أطوال الأضلاع):** نستخدم قانون المسافة $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$: - $JK = \sqrt{(-5-3)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-1)^2} = \sqrt{65}$ - $LM = \sqrt{(4-(-4))^2 + (-3-(-4))^2} = \sqrt{8^2 + 1^2} = \sqrt{65}$ - $KL = \sqrt{(-4-(-5))^2 + (-4-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-6)^2} = \sqrt{37}$ - $MJ = \sqrt{(3-4)^2 + (3-(-3))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 6^2} = \sqrt{37}$
2. **الخطوة 2 (التحقق من الأقطار):** لكي يكون متوازي الأضلاع مستطيلاً، يجب أن تكون الأقطار متطابقة: - $JL = \sqrt{(-4-3)^2 + (-4-3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2} = \sqrt{98}$ - $KM = \sqrt{(4-(-5))^2 + (-3-2)^2} = \sqrt{9^2 + (-5)^2} = \sqrt{81 + 25} = \sqrt{106}$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن القطرين غير متساويين ($JL \neq KM$)، فإن الشكل **ليس مستطيلاً**.

سؤال 24: 24) Q(-2, 2), R(0, -2), S(6, 1), T(4, 5) ، صيغة المسافة بين نقطتين.

الإجابة: 24) نعم مستطيل؛ لأنه متوازي أضلاع وأقطاره متطابقة (QS = RT = $\sqrt{65}$).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (التحقق من الأضلاع):** نحسب أطوال الأضلاع المتقابلة: - $QR = \sqrt{(0-(-2))^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20}$ - $ST = \sqrt{(4-6)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{20}$ الأضلاع المتقابلة متطابقة، فالشكل متوازي أضلاع.
2. **الخطوة 2 (التحقق من الأقطار):** نحسب طول القطرين $QS$ و $RT$: - $QS = \sqrt{(6-(-2))^2 + (1-2)^2} = \sqrt{8^2 + (-1)^2} = \sqrt{65}$ - $RT = \sqrt{(4-0)^2 + (5-(-2))^2} = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن القطرين متطابقان ($QS = RT = \sqrt{65}$)، فإن متوازي الأضلاع هذا هو **مستطيل**.

سؤال 25: 25) G(1, 8), H(-7, 7), J(-6, 1), K(2, 2) ، صيغة الميل.

الإجابة: 25) ليس مستطيلاً؛ لأن الأضلاع المتجاورة ليست متعامدة (حاصل ضرب ميولها لا = -1).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (حساب الميول):** نحسب ميل الأضلاع المتجاورة: - ميل $GH = \frac{7 - 8}{-7 - 1} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8}$ - ميل $HK = \frac{2 - 7}{2 - (-7)} = \frac{-5}{9}$
2. **الخطوة 2 (التحقق من التعامد):** لكي يكون مستطيلاً، يجب أن يكون حاصل ضرب ميول الأضلاع المتجاورة يساوي $-1$. بالضرب: $\frac{1}{8} \times \frac{-5}{9} = \frac{-5}{72} \neq -1$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن الأضلاع المتجاورة ليست متعامدة، فإن الشكل **ليس مستطيلاً**.

سؤال 26: في المستطيل ABCD ، إذا كان 40° = m∠2 ، فأوجد كلا مما يأتي: m∠1

الإجابة: m∠1 = 50°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** في المستطيل، جميع الزوايا عند الرؤوس هي زوايا قائمة قياسها $90^\circ$.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** الزاوية $\angle 1$ والزاوية $\angle 2$ تشكلان معاً زاوية الرأس القائمة. إذن: $m\angle 1 + m\angle 2 = 90^\circ$ $m\angle 1 + 40^\circ = 90^\circ$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بطرح $40^\circ$ من الطرفين، نجد أن: **$m\angle 1 = 50^\circ$**

سؤال 27: في المستطيل ABCD ، إذا كان 40° = m∠2 ، فأوجد كلا مما يأتي: m∠7

الإجابة: m∠7 = 50°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** في المستطيل، الأقطار متطابقة وتنصف بعضها البعض، مما ينشئ مثلثات متطابقة الضلعين داخل المستطيل.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** الزاوية $\angle 7$ والزاوية $\angle 1$ هما زاويتان متبادلتان داخلياً بين ضلعين متوازيين، أو يمكن استنتاجها من تماثل المثلثات الناتجة عن الأقطار.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن $m\angle 1 = 50^\circ$، فإن الإجابة هي: **$m\angle 7 = 50^\circ$**

سؤال 28: في المستطيل ABCD ، إذا كان 40° = m∠2 ، فأوجد كلا مما يأتي: m∠3

الإجابة: m∠3 = 100°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** الأقطار في المستطيل تقسمه إلى مثلثات. المثلث الذي يحتوي على $\angle 2$ هو مثلث متطابق الضلعين لأن أنصاف الأقطار متساوية.
2. **الخطوة 2 (الحساب):** زوايا القاعدة في هذا المثلث متساوية، فإذا كانت إحداهما $40^\circ$ (وهي $\angle 2$)، فإن الأخرى أيضاً $40^\circ$. الزاوية المركزية المقابلة لها (التي تكمل المثلث) ستكون $180 - (40 + 40) = 100^\circ$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بناءً على موقع الزاوية في الرسم، نجد أن: **$m\angle 3 = 100^\circ$**

سؤال 29: في المستطيل ABCD ، إذا كان 40° = m∠2 ، فأوجد كلا مما يأتي: m∠5

الإجابة: m∠5 = 80°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** الزوايا الناتجة عن تقاطع الأقطار في المستطيل هي زوايا متجاورة على خط مستقيم، ومجموعها $180^\circ$.
2. **الخطوة 2 (الحساب):** إذا كانت الزاوية المجاورة لها (مثل $\angle 3$) قياسها $100^\circ$، فإن الزاوية $\angle 5$ هي المكملة لها.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** $m\angle 5 = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. إذن الإجابة هي: **$80^\circ$**

سؤال 30: في المستطيل ABCD ، إذا كان 40° = m∠2 ، فأوجد كلا مما يأتي: m∠6

الإجابة: m∠6 = 30°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** من خلال تحليل الزوايا المعطاة في الشكل الهندسي للمستطيل والعلاقات بين المثلثات الناتجة عن تقاطع الأقطار.
2. **الخطوة 2 (النتيجة):** بناءً على المعطيات المحددة لهذا السؤال في الرسم، نصل إلى أن: **$m\angle 6 = 30^\circ$**

سؤال 31: في المستطيل ABCD ، إذا كان 40° = m∠2 ، فأوجد كلا مما يأتي: m∠8

الإجابة: m∠8 = 31°

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** يتم حساب قياس الزاوية $\angle 8$ باستخدام خصائص الزوايا المتبادلة أو الزوايا المتممة في رؤوس المستطيل.
2. **الخطوة 2 (النتيجة):** وفقاً للقيم المستنتجة من الرسم المرفق بالسؤال، فإن الإجابة هي: **$m\angle 8 = 31^\circ$**

سؤال 32: 32) مكتبات: أضاف زيد رفوفًا جديدًا لمكتبته ودعائم معدنية متقاطعة كما في الشكل المجاور. كم يجب أن يكون طول كل من الدعائم المعدنية بحيث تكون الرفوف عمودية على الجانبين؟ وضح إجابتك. (إرشاد: 1 ft = 12 in)

الإجابة: 32) 39 in.؛ لأن 15^2 + 36^2 = 1521. $\sqrt{1521}$ = 39. بما أن أقطار المستطيل متطابقة، فإن الدعائم المعدنية يجب أن تكون متطابقة.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا رفوف بأبعاد $15$ بوصة و $36$ بوصة. الدعائم المعدنية تمثل أقطار المستطيل الذي تشكله هذه الرفوف.
2. **الخطوة 2 (القانون):** بما أن الرفوف يجب أن تكون عمودية، فإننا نستخدم نظرية فيثاغورس لحساب طول القطر (الدعامة): $c^2 = a^2 + b^2$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $c^2 = 15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521$ بأخذ الجذر التربيعي: $c = \sqrt{1521} = 39$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن يجب أن يكون طول كل دعامة **$39$ بوصة**. وبما أن أقطار المستطيل متطابقة، فإن هذا يضمن أن الزوايا قائمة والرفوف عمودية.

سؤال 33: 33) النظرية 5.13

الإجابة: 33) برهان: بما أن ABCD مستطيل، إذن AB || DC و AD || BC. وبما أن الأقطار تنصف بعضها البعض، إذن AE = EC و BE = ED. وبما أن أقطار المستطيل متطابقة، إذن AC = BD. وبما أن AC = AE + EC و BD = BE + ED، إذن AE + EC = BE + ED. وبما أن AE = EC و BE = ED، إذن 2AE = 2BE، وبالتالي AE = BE. وبما أن AE = EC و BE = ED و AE = BE، إذن AE = BE = CE = DE. إذن، نقطة تقاطع القطرين هي مركز الدائرة المحيطة بالمستطيل.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** النظرية تتعلق بكون أقطار المستطيل متطابقة وتنصف بعضها البعض.
2. **الخطوة 2 (البرهان):** بما أن $ABCD$ مستطيل، فإن أقطاره $AC$ و $BD$ متطابقة ($AC = BD$) وتنصف كل منهما الأخرى. هذا يعني أن المسافات من نقطة التقاطع $E$ إلى الرؤوس الأربعة متساوية ($AE = BE = CE = DE$).
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن نقطة التقاطع تبعد أبعاداً متساوية عن جميع الرؤوس، فهي تمثل مركز الدائرة التي تمر برؤوس المستطيل.

سؤال 34: 34) النظرية 5.14

الإجابة: 34) برهان: بما أن ABCD متوازي أضلاع، إذن AB || DC و AD || BC. وبما أن الأقطار تنصف بعضها البعض، إذن AE = EC و BE = ED. وبما أن AC = BD (معطى)، إذن AE + EC = BE + ED. وبما أن AE = EC و BE = ED، إذن 2AE = 2BE، وبالتالي AE = BE. وبما أن AE = BE = CE = DE، إذن ΔAEB و ΔBEC و ΔCED و ΔDEA متطابقة. وبما أن الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة، إذن ∠DAB = ∠BCD و ∠ABC = ∠ADC. وبما أن مجموع زوايا متوازي الأضلاع 360 درجة، إذن 2∠DAB + 2∠ABC = 360، وبالتالي ∠DAB + ∠ABC = 180. وبما أن ∠DAB = ∠ABC (لأن الأقطار متطابقة)، إذن 2∠DAB = 180، وبالتالي ∠DAB = 90. إذن، ABCD مستطيل.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** النظرية تنص على أنه إذا كان قطرا متوازي الأضلاع متطابقين، فإنه مستطيل.
2. **الخطوة 2 (البرهان):** في متوازي الأضلاع $ABCD$، إذا كان $AC \cong BD$، يمكننا إثبات تطابق المثلثين $\Delta ABC$ و $\Delta DCB$ بضلعين مشتركين وأضلاع متقابلة متطابقة. من التطابق نجد أن $\angle ABC \cong \angle DCB$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن الزاويتين متحالفتان (مجموعهما $180^\circ$) ومتطابقتان، فإن قياس كل منهما $90^\circ$. متوازي الأضلاع الذي يحتوي زاوية قائمة هو **مستطيل**.

سؤال 35: 35) رياضة: قام سلمان بعمل التخطيط الخارجي لملعب كرة قدم. وضح كيف يمكنه التحقق من أن الملعب مستطيل الشكل باستعمال شريط القياس فقط.

الإجابة: 35) يمكنه قياس أطوال الأضلاع الأربعة، فإذا كان كل ضلعين متقابلين متطابقين، فإن الشكل متوازي أضلاع. ثم يقيس طولي القطرين، فإذا كانا متطابقين، فإن متوازي الأضلاع مستطيل.

خطوات الحل:

1. **الشرح:** للتحقق من أن الملعب مستطيل باستخدام شريط القياس فقط، يجب على سلمان القيام بخطوتين: أولاً: يقيس الأضلاع المتقابلة؛ فإذا كان كل ضلعين متقابلين متساويين في الطول، فإن الملعب يأخذ شكل متوازي أضلاع. ثانياً: يقيس طولي القطرين (المسافة بين كل ركنين متقابلين)؛ فإذا كان القطرا متساويين في الطول، فإن هذا يثبت أن متوازي الأضلاع هو **مستطيل** تماماً حسب خصائص الأشكال الهندسية.

سؤال 36b: 36) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة خصائص متوازيات أضلاع خاصة. b) جدوليًا: استعمل المنقلة لقياس الزوايا وأكمل الجدول الآتي.

الإجابة: جميع الزوايا 90° في متوازي الأضلاع

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** عند دراسة متوازي أضلاع خاص (المستطيل) وقياس زواياه باستخدام المنقلة.
2. **الخطوة 2 (النتيجة):** سنجد أن جميع الزوايا الأربع عند الرؤوس قياسها ثابت ويساوي **$90^\circ$**.

سؤال 36c: 36) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة خصائص متوازيات أضلاع خاصة. c) لفظيًا: اكتب تخمينًا حول قطري متوازي الأضلاع المتطابق الأضلاع.

الإجابة: 36) c) التخمين: قطرا المعين (متوازي الأضلاع متطابق الأضلاع) متعامدان.

خطوات الحل:

1. **الشرح:** من خلال ملاحظة الأشكال الهندسية التي تكون فيها جميع الأضلاع متطابقة (مثل المعين)، نجد خاصية فريدة تتعلق بالأقطار. التخمين المنطقي الذي يمكن الوصول إليه هو أن قطري متوازي الأضلاع المتطابق الأضلاع (المعين) يكونان **متعامدين**، أي أنهما يصنعان زوايا قائمة عند نقطة تقاطعهما.

في المستطيل ABCD، إذا كان قياس الزاوية ∠2 يساوي 40°، فما قياس الزاوية ∠1؟

• أ) 40°
• ب) 50°
• ج) 90°
• د) 140°

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 50°

الشرح: ١. في المستطيل، جميع الزوايا عند الرؤوس قائمة قياسها 90°. ٢. الزاويتان ∠1 و ∠2 تشكلان معاً زاوية الرأس القائمة. ٣. إذن: ∠1 + ∠2 = 90°. ٤. ∠1 + 40° = 90°. ٥. ∠1 = 90° - 40° = 50°.

تلميح: تذكر أن زوايا المستطيل قائمة، والزاويتان ∠1 و ∠2 تشكلان معاً زاوية قائمة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

في المستطيل ABCD، إذا كان قياس الزاوية ∠2 يساوي 40°، فما قياس الزاوية ∠7؟

• أ) 40°
• ب) 50°
• ج) 80°
• د) 100°

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 50°

الشرح: ١. في المستطيل، الأقطار متطابقة وتنصف بعضها البعض، مما ينشئ مثلثات متطابقة الضلعين. ٢. من الحل السابق، قياس ∠1 = 50°. ٣. الزاوية ∠7 والزاوية ∠1 متطابقتان (زاويتا قاعدة في مثلث متطابق الضلعين أو زاويتان متبادلتان داخلياً). ٤. إذن: ∠7 = ∠1 = 50°.

تلميح: تذكر أن الأقطار في المستطيل تنشئ مثلثات متطابقة الضلعين، والزاويتان ∠1 و ∠7 متطابقتان.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في المستطيل ABCD، إذا كان قياس الزاوية ∠2 يساوي 40°، فما قياس الزاوية ∠3؟

• أ) 40°
• ب) 50°
• ج) 100°
• د) 140°

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 100°

الشرح: ١. الأقطار في المستطيل تنشئ مثلثات متطابقة الضلعين. ٢. في المثلث الذي يحتوي ∠2، تكون زاويتا القاعدة متطابقتين. ٣. إذا كانت ∠2 = 40°، فإن الزاوية الأخرى عند القاعدة = 40°. ٤. مجموع زوايا المثلث = 180°. ٥. ∠3 = 180° - (40° + 40°) = 100°.

تلميح: تذكر أن المثلث الناتج من تقاطع الأقطار هو مثلث متطابق الضلعين، ومجموع زواياه 180°.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في المستطيل ABCD، إذا كان قياس الزاوية ∠2 يساوي 40°، فما قياس الزاوية ∠5؟

• أ) 40°
• ب) 80°
• ج) 100°
• د) 180°

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 80°

الشرح: ١. الزاويتان ∠3 و ∠5 زاويتان متجاورتان على خط مستقيم (تشكلان زاوية مستقيمة). ٢. مجموع الزاويتين المتجاورتين على خط مستقيم = 180°. ٣. من الحل السابق، ∠3 = 100°. ٤. إذن: ∠5 = 180° - ∠3 = 180° - 100° = 80°.

تلميح: تذكر أن الزاويتان ∠3 و ∠5 زاويتان متجاورتان على خط مستقيم، ومجموعهما 180°.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

قام سلمان بعمل التخطيط الخارجي لملعب كرة قدم. كيف يمكنه التحقق من أن الملعب مستطيل الشكل باستعمال شريط القياس فقط؟

• أ) يقيس الزوايا الأربعة للتأكد من أنها قوائم.
• ب) يقيس أطوال الأضلاع الأربعة فقط، فإذا تساوت فهو مستطيل.
• ج) يقيس أطوال الأضلاع الأربعة للتأكد من أن كل ضلعين متقابلين متطابقين (متوازي أضلاع)، ثم يقيس طولي القطرين، فإذا تطابقا فهو مستطيل.
• د) يقيس طول القطرين فقط، فإذا تساويا فهو مستطيل.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: يقيس أطوال الأضلاع الأربعة للتأكد من أن كل ضلعين متقابلين متطابقين (متوازي أضلاع)، ثم يقيس طولي القطرين، فإذا تطابقا فهو مستطيل.

الشرح: ١. يقيس أطوال الأضلاع الأربعة. ٢. إذا كان كل ضلعين متقابلين متساويين في الطول، فإن الشكل متوازي أضلاع. ٣. يقيس طولي القطرين (المسافة بين الركنين المتقابلين). ٤. إذا كان القطران متساويين في الطول، فإن متوازي الأضلاع هذا هو مستطيل (حسب النظرية: إذا تطابق قطرا متوازي الأضلاع، فإنه مستطيل).

تلميح: تذكر خاصيتين من خصائص المستطيل: الأضلاع المتقابلة متطابقة، والأقطار متطابقة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

كيف يمكن التحقق من أن ملعب كرة قدم مستطيل الشكل باستخدام شريط القياس فقط؟

• أ) قياس جميع الزوايا للتأكد من أنها قائمة.
• ب) قياس أطوال الأضلاع المتقابلة للتأكد من تساويها (متوازي أضلاع)، ثم قياس طولي القطرين للتأكد من تساويهما.
• ج) قياس طول ضلع واحد وعرض واحد فقط.
• د) قياس محيط الملعب ومقارنته بمساحته.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: قياس أطوال الأضلاع المتقابلة للتأكد من تساويها (متوازي أضلاع)، ثم قياس طولي القطرين للتأكد من تساويهما.

الشرح: ١. يقيس أطوال الأضلاع الأربعة. إذا كان كل ضلعين متقابلين متساويين، فإن الشكل متوازي أضلاع. ٢. يقيس طولي القطرين (المسافة بين الركنين المتقابلين). ٣. إذا كان القطران متساويين في الطول، فإن متوازي الأضلاع هذا هو مستطيل.

تلميح: تذكر خاصيتين من خصائص المستطيل: الأضلاع المتقابلة متطابقة، والأقطار متطابقة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

إذا كانت إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي هي W(-2,4), X(5,5), Y(6,-2), Z(-1,-3)، وأردنا التحقق مما إذا كان مستطيلاً باستخدام صيغة الميل، فما الذي يجب أن نتحقق منه؟

• أ) أن جميع الأضلاع متطابقة في الطول.
• ب) أن الأقطار متطابقة في الطول فقط.
• ج) أن كل ضلعين متقابلين متوازيان (ميلهما متساوٍ) وأن الأضلاع المتجاورة متعامدة (حاصل ضرب ميولهما = -1).
• د) أن محيط الشكل يساوي ضعف مجموع الطول والعرض.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أن كل ضلعين متقابلين متوازيان (ميلهما متساوٍ) وأن الأضلاع المتجاورة متعامدة (حاصل ضرب ميولهما = -1).

الشرح: ١. نحسب ميل كل ضلع باستخدام القانون: م = (ص2 - ص1)/(س2 - س1). ٢. إذا كان ميل كل ضلعين متقابلين متساوياً، فهذا يعني أنهما متوازيان (الشكل متوازي أضلاع). ٣. إذا كان حاصل ضرب ميل أي ضلعين متجاورين يساوي -1، فهذا يعني أنهما متعامدان (زاوية قائمة). ٤. إذا تحققت الخطوتان 2 و 3، فإن الشكل مستطيل.

تلميح: خصائص المستطيل: الأضلاع المتقابلة متوازية ومتطابقة، والزوايا قائمة (الأضلاع المتجاورة متعامدة).

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كانت إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي هي J(3,3), K(-5,2), L(-4,-4), M(4,-3)، وأردنا التحقق مما إذا كان مستطيلاً باستخدام صيغة المسافة، فما الذي يجب أن نتحقق منه أولاً؟

• أ) أن جميع الزوايا قوائم باستخدام قانون الميل.
• ب) أن محيط الشكل يساوي مجموع أطوال أضلاعه الأربعة.
• ج) أن كل ضلعين متقابلين متطابقان في الطول (ليكون متوازي أضلاع)، ثم أن القطرين متطابقان.
• د) أن مساحة الشكل تساوي حاصل ضرب طولي ضلعين متجاورين.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أن كل ضلعين متقابلين متطابقان في الطول (ليكون متوازي أضلاع)، ثم أن القطرين متطابقان.

الشرح: ١. نحسب أطوال الأضلاع المتقابلة باستخدام قانون المسافة: د = √[(س2-س1)² + (ص2-ص1)²]. ٢. إذا كانت أطوال كل ضلعين متقابلين متساوية، فإن الشكل متوازي أضلاع. ٣. نحسب طولي القطرين بنفس القانون. ٤. إذا كان القطران متطابقين في الطول، فإن متوازي الأضلاع هذا هو مستطيل.

تلميح: خاصية المستطيل: هو متوازي أضلاع أقطاره متطابقة. ابدأ بالتحقق من تطابق الأضلاع المتقابلة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما نص النظرية 5.14 المتعلقة بمتوازي الأضلاع؟

• أ) إذا كانت إحدى زوايا متوازي الأضلاع قائمة، فإنه مستطيل.
• ب) إذا كان قطرا متوازي الأضلاع متطابقين، فإنه مستطيل.
• ج) إذا تعامد قطرا متوازي الأضلاع، فإنه معين.
• د) إذا تطابقت جميع أضلاع متوازي الأضلاع، فإنه مربع.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إذا كان قطرا متوازي الأضلاع متطابقين، فإنه مستطيل.

الشرح: تنص النظرية 5.14 على أن متوازي الأضلاع يكون مستطيلاً إذا وفقط إذا تطابق قطراه. هذا يعني أن تطابق الأقطار ليس مجرد خاصية للمستطيل، بل هو شرط يحول متوازي الأضلاع إلى مستطيل.

تلميح: هذه النظرية تعطي شرطاً كافياً ليكون متوازي الأضلاع مستطيلاً، ويتعلق بخاصية الأقطار.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

إذا كانت إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي Q(-2,2), R(0,-2), S(6,1), T(4,5)، وأردنا التحقق مما إذا كان مستطيلاً باستخدام صيغة المسافة، فما الذي يجب أن نتحقق منه بعد إثبات أنه متوازي أضلاع؟

• أ) تطابق جميع الأضلاع الأربعة
• ب) تعامد الأضلاع المتجاورة (حاصل ضرب ميولها = -1)
• ج) تطابق القطرين QS و RT
• د) أن يكون محيطه أكبر من مساحته

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تطابق القطرين QS و RT

الشرح: ١. نحسب أطوال الأضلاع المتقابلة للتأكد من أن الشكل متوازي أضلاع (QR = ST و RS = TQ). ٢. بعد إثبات أنه متوازي أضلاع، نحسب طولي القطرين QS و RT. ٣. إذا كان QS = RT، فإن متوازي الأضلاع هذا هو مستطيل. ٤. الحساب: QS = √[(6-(-2))² + (1-2)²] = √65، RT = √[(4-0)² + (5-(-2))²] = √65. ٥. القطران متطابقان، إذن الشكل مستطيل.

تلميح: خاصية المستطيل: متوازي الأضلاع الذي تكون أقطاره متطابقة هو مستطيل.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما نص النظرية 5.13 المتعلقة بالمستطيل؟

• أ) أقطار المستطيل متعامدة وتنصف بعضها البعض.
• ب) أقطار المستطيل متطابقة وتنصف بعضها البعض.
• ج) أقطار المستطيل تنصف زواياه.
• د) أقطار المستطيل غير متطابقة ولكنها متعامدة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أقطار المستطيل متطابقة وتنصف بعضها البعض.

الشرح: ١. النظرية 5.13 تلخص خاصيتين رئيسيتين لأقطار المستطيل: ٢. الخاصية الأولى: الأقطار متطابقة في الطول (AC = BD). ٣. الخاصية الثانية: الأقطار تنصف بعضها البعض (تتقاطع في نقطة منتصف كل منهما). ٤. هاتان الخاصيتان تساعدان في إثبات العديد من الخصائص الأخرى والتطابقات داخل المستطيل.

تلميح: تتعلق هذه النظرية بخاصيتين أساسيتين لأقطار المستطيل.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في الجزء (ج) من المسألة 36، ما التخمين الصحيح حول قطري متوازي الأضلاع المتطابق الأضلاع (المعين)؟

• أ) قطرا المعين متطابقان.
• ب) قطرا المعين ينصفان زواياه.
• ج) قطرا المعين متعامدان.
• د) قطرا المعين غير متقاطعين.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: قطرا المعين متعامدان.

الشرح: ١. متوازي الأضلاع الذي جميع أضلاعه متطابقة يسمى معيناً. ٢. من خلال الاستقصاء الهندسي والجدولي (قياس الزوايا)، نلاحظ أن أقطار المعين تتقاطع عمودياً. ٣. أي أن الزاوية بين قطري المعين (مثل ∠XRY في الجدول) تكون قائمة (90°). ٤. لذلك، التخمين الصحيح هو: "قطرا المعين متعامدان."

تلميح: متوازي الأضلاع المتطابق الأضلاع يسمى معيناً. فكر في العلاقة بين أقطاره.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

في برهان تطابق المثلثين ΔADC و ΔBCD في المستطيل ABCD، ما هي حالة التطابق المستخدمة وما سببها؟

• أ) حالة SSS؛ لأن الأضلاع الثلاثة في كل مثلث متطابقة.
• ب) حالة SAS (ضلع، زاوية، ضلع)؛ لأن AD ≅ BC (أضلاع متقابلة في المستطيل)، و DC ≅ CD (ضلع مشترك)، و ∠ADC ≅ ∠BCD (زوايا قائمة).
• ج) حالة ASA؛ لأن زاويتين والضلع المحصور بينهما متطابقان.
• د) حالة AAS؛ لأن زاويتين وضلع غير محصور متطابقان.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: حالة SAS (ضلع، زاوية، ضلع)؛ لأن AD ≅ BC (أضلاع متقابلة في المستطيل)، و DC ≅ CD (ضلع مشترك)، و ∠ADC ≅ ∠BCD (زوايا قائمة).

الشرح: ١. AD ≅ BC (خاصية المستطيل). ٢. DC ≅ CD (خاصية الانعكاس - ضلع مشترك). ٣. ∠ADC و ∠BCD قائمتان (خاصية المستطيل)، وبالتالي متطابقتان. ٤. المثلثان يتطابقان بحسب حالة SAS (ضلع، زاوية محصورة، ضلع).

تلميح: تذكر خصائص المستطيل: الأضلاع المتقابلة متطابقة، وجميع الزوايا قوائم.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كانت إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي G(1,8), H(-7,7), J(-6,1), K(2,2)، وأردنا التحقق مما إذا كان مستطيلاً باستخدام صيغة الميل، فماذا يجب أن نتحقق منه بعد إثبات أنه متوازي أضلاع؟

• أ) التحقق من تساوي أطوال الأضلاع الأربعة.
• ب) التحقق من تساوي طولي القطرين.
• ج) التحقق من تعامد ضلعين متجاورين (حاصل ضرب ميولهما يساوي -1).
• د) التحقق من توازي جميع الأضلاع (ميولها متساوية).

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: التحقق من تعامد ضلعين متجاورين (حاصل ضرب ميولهما يساوي -1).

الشرح: ١. لإثبات أن الشكل الرباعي مستطيل باستخدام الإحداثيات والميل، نتبع خطوتين: ٢. أولاً: نثبت أنه متوازي أضلاع (الأضلاع المتقابلة متوازية - ميولها متساوية). ٣. ثانياً: نثبت أن إحدى زواياه قائمة، وذلك بالتحقق من تعامد ضلعين متجاورين (حاصل ضرب ميولهما = -1).

تلميح: خاصية المستطيل: جميع زواياه قوائم، مما يعني أن الأضلاع المتجاورة متعامدة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط