📝 ملخص الصفحة
📚 إثبات أن الشكل الرباعي معين أو مربع
المفاهيم الأساسية
المربع: شكل رباعي يجمع بين جميع خصائص متوازي الأضلاع والمستطيل والمعين. قطراه ينصف كل منهما الآخر (خاصية متوازي الأضلاع)، وهما متطابقان (خاصية المستطيل)، ومتعامدان (خاصية المعين).
خريطة المفاهيم
```markmap
خصائص المعين والمربع
المعين
تعريف
- متوازي أضلاع
- جميع أضلاعه متطابقة
خصائص إضافية (نظريات)
#### نظرية 5.15
- إذا كان متوازي أضلاع معيناً، فإن قطريه متعامدان.
- مثال: في المعين ABCD، فإن AC ⊥ BD.
#### نظرية 5.16
- إذا كان متوازي أضلاع معيناً، فإن كل قطر ينصف كلاً من الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما.
- مثال: في المعين NPQR، فإن ∠1 ≅ ∠2، ∠3 ≅ ∠4، ∠5 ≅ ∠6، ∠7 ≅ ∠8.
المربع
تعريف
- متوازي أضلاع
- جميع أضلاعه متطابقة
- جميع زواياه قوائم
العلاقات
- كل مربع معين
- كل مربع مستطيل
- ليس كل معين مربعًا
- ليس كل مستطيل مربعًا
متوازي الأضلاع
- الأضلاع المتقابلة متوازية
العلاقات (شكل فن)
- يحتوي على المستطيل والمعين
- المربع هو تقاطع المستطيل والمعين داخل متوازي الأضلاع
شروط كافية لإثبات المعين (عكس النظريات)
نظرية 5.17
- إذا كان قطرا متوازي أضلاع متعامدين، فإنه معين.
نظرية 5.18
- إذا نصّف قطر متوازي أضلاع كلاً من الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما، فإنه معين.
نظرية 5.19
- إذا كان ضلعان متتاليان في متوازي أضلاع متطابقين، فإنه معين.
شرط كافٍ لإثبات المربع
نظرية 5.20
- إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً ومعيناً، فإنه مربع.
```
نقاط مهمة
- جميع خصائص متوازي الأضلاع والمستطيل والمعين تنطبق على المربع.
- النظريات 5.17، 5.18، 5.19 تكون صحيحة فقط إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع، ولا تستعمل مع أي شكل رباعي آخر.
- يمكن استعمال خصائص المعين والمربع في البراهين الهندسية.
- في المعين، يقسم كل قطر الشكل إلى مثلثين متطابقين. وعند رسم القطرين معاً، يقسمان المعين إلى أربعة مثلثات قائمة متطابقة.
---
حل مثال
مثال 2: استعمال خصائص المعين والمربع في البراهين
* المعطيات: `JKLM` متوازي أضلاع. `∆JKL` متطابق الضلعين.
* المطلوب: إثبات أن `JKLM` معين.
* البرهان:
بما أن `∆JKL` متطابق الضلعين، فإن الضلعين `JK ≅ KL` بحسب تعريف المثلث متطابق الضلعين.
هذان الضلعان (`JK` و `KL`) متتاليان في متوازي الأضلاع `JKLM`.
وبحسب النظرية 5.19 (إذا كان ضلعان متتاليان في متوازي أضلاع متطابقين، فإنه معين)، نستنتج أن `JKLM` معين.
---
تحقق من فهمك
السؤال 2:
* المعطيات:
1. `SQ` عمود منصف لـ `PR`.
2. `PR` عمود منصف لـ `SQ`.
3. `∆RMS` متطابق الضلعين.
* المطلوب: إثبات أن `PQRS` مربع.
* خطوات التفكير للإثبات (مخطط البرهان):
1. إذا كان `SQ` عمود منصف لـ `PR`، فإن `M` (نقطة التقاطع) هي منتصف `PR`، والزاوية عند `M` قائمة. والعكس صحيح بالنسبة للقطر الآخر.
2. من كون كل قطر عمود منصف للآخر، نستنتج أن أقطار `PQRS` تنصف بعضها البعض. وهذا شرط كافٍ لأن يكون الشكل متوازي أضلاع.
3. في هذا المتوازي الأضلاع، الأقطار متعامدة (من كونها أعمدة منصفة). وبحسب النظرية 5.17، إذا كان قطرا متوازي أضلاع متعامدين، فإنه معين. إذن `PQRS` معين.
4. في هذا المتوازي الأضلاع، الأقطار تنصف بعضها البعض وتكون متطابقة (لأن كل منهما عمود منصف للآخر، مما يعني أن النقاط `P, Q, R, S` متساوية البعد عن `M`، وبالتالي `PR = SQ`). متوازي الأضلاع الذي أقطاره متطابقة هو مستطيل.
5. الشكل `PQRS` هو معين (من الخطوة 3) وهو مستطيل (من الخطوة 4).
6. وبحسب النظرية 5.20، إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً ومعيناً، فإنه مربع.
📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: محتوى تعليمي
جميع خصائص متوازي الأضلاع والمستطيل والمعين تنطبق على المربع. فمثلاً قطرا المربع ينصف كل منهما الآخر (متوازي أضلاع)، وهما متطابقان (مستطيل)، ومتعامدان (معين).
إثبات أن الشكل الرباعي معين أو مربع
نوع: محتوى تعليمي
إثبات أن الشكل الرباعي معين أو مربع: تُحدّد النظريات الآتية الشروط الكافية للمعين والمربع.
نظريات
نوع: محتوى تعليمي
نظريات
أضف إلى مطويتك
نوع: NON_EDUCATIONAL
أضف إلى مطويتك
5.17
نوع: محتوى تعليمي
5.17 إذا كان قطرا متوازي أضلاع متعامدين فإنه معين. (عكس النظرية 5.15)
مثال: إذا كان JKLM متوازي أضلاع، وكان JL ⊥ KM ، فإن JKLM معين.
5.18
نوع: محتوى تعليمي
5.18 إذا نصّف قطر متوازي أضلاع كلاً من الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما، فإن متوازي الأضلاع يكون معيناً. (عكس النظرية 5.16)
مثال: إذا كان WXYZ متوازي أضلاع، وكانت ∠4 ≅ ∠3 ، ∠2 ≅ ∠1 ، أو ∠8 ≅ ∠7 ، ∠6 ≅ ∠5 ، فإن WXYZ معين.
5.19
نوع: محتوى تعليمي
5.19 إذا كان ضلعان متتاليان في متوازي الأضلاع متطابقين فإنه معين.
مثال: إذا كان ABCD متوازي أضلاع، وكان AB ≅ BC ، فإن ABCD معين.
5.20
نوع: محتوى تعليمي
5.20 إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً ومعيناً فإنه مربع.
تنبيه!
نوع: محتوى تعليمي
أخطاء شائعة
يخطئ البعض فيستعمل النظريات 5.19, 5.18, 5.17 مع أي شكل رباعي، وهذا غير صحيح؛ لأن هذه النظريات تكون صحيحة فقط إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع.
نوع: محتوى تعليمي
سوف تبرهن النظريات 5.17 إلى 5.20 في الأسئلة 29-32 على الترتيب.
يمكنك استعمال خصائص المعين والمربع في البراهين.
مثال 2
نوع: محتوى تعليمي
مثال 2: استعمال خصائص المعين والمربع في البراهين
اكتب برهاناً حراً.
المعطيات: JKLM متوازي أضلاع.
JKL∆ متطابق الضلعين.
المطلوب: JKLM معين.
برهان حر:
بما أن JKL∆ متطابق الضلعين، فإن JK ≅ KL بحسب التعريف، وهذان الضلعان متتاليان في متوازي الأضلاع JKLM ، لذا وبحسب النظرية 5.19، يكون JKLM معيناً.
إرشادات للدراسة
نوع: محتوى تعليمي
إرشادات للدراسة
المثلثات المتطابقة
بما أن للمعين أربعة أضلاع متطابقة، فإن كلاً من قطريه يقسمه إلى مثلثين متطابقين وضلعين متطابقين. وإذا رسم القطران فإنهما يقسمان المعين إلى أربعة مثلثات قائمة ومتطابقة.
تحقق من فهمك
نوع: محتوى تعليمي
تحقق من فهمك
2
نوع: QUESTION_HOMEWORK
2) اكتب برهاناً حراً.
المعطيات: SQ عمود منصف لـ PR.
PR عمود منصف لـ SQ.
RMS∆ متطابق الضلعين.
المطلوب: PQRS مربع.
نوع: METADATA
Ministry of Education
2025 - 1447
نوع: METADATA
46 الفصل 5 الأشكال الرباعية
🔍 عناصر مرئية
A quadrilateral JKLM with diagonals JL and KM intersecting. A right angle symbol is shown at the intersection point of the diagonals, indicating that JL is perpendicular to KM. This diagram illustrates a rhombus where diagonals are perpendicular.
A quadrilateral WXYZ with diagonal WY drawn. The angles formed by the diagonal at vertices W and Y are numbered. At vertex W, angles 1 and 2 are shown. At vertex Y, angles 3 and 4 are shown. Angles 5, 6, 7, 8 are also labeled inside the quadrilateral, formed by the intersection of diagonals (though only one diagonal is fully drawn). This diagram illustrates a rhombus where a diagonal bisects two angles.
A quadrilateral ABCD. Sides AB and BC are marked with single tick marks, indicating that they are congruent. This diagram illustrates a rhombus where two consecutive sides are congruent.
A quadrilateral JKLM with diagonals JL and KM intersecting at point P. Sides JK and KL are marked with single tick marks, indicating that they are congruent. This diagram is used in Example 2 to prove that JKLM is a rhombus given it is a parallelogram and triangle JKL is isosceles.
A quadrilateral PQRS with diagonals PR and SQ intersecting at point M. The diagonals appear to be perpendicular, and M is the midpoint of both diagonals, implying they bisect each other. Sides RM and MS are marked with single tick marks, indicating that they are congruent. This diagram is associated with Check Your Understanding Question 2, which asks to prove that PQRS is a square.
📄 النص الكامل للصفحة
جميع خصائص متوازي الأضلاع والمستطيل والمعين تنطبق على المربع. فمثلاً قطرا المربع ينصف كل منهما الآخر (متوازي أضلاع)، وهما متطابقان (مستطيل)، ومتعامدان (معين).
--- SECTION: إثبات أن الشكل الرباعي معين أو مربع ---
إثبات أن الشكل الرباعي معين أو مربع: تُحدّد النظريات الآتية الشروط الكافية للمعين والمربع.
--- SECTION: نظريات ---
نظريات
--- SECTION: أضف إلى مطويتك ---
أضف إلى مطويتك
--- SECTION: 5.17 ---
5.17 إذا كان قطرا متوازي أضلاع متعامدين فإنه معين. (عكس النظرية 5.15)
مثال: إذا كان JKLM متوازي أضلاع، وكان JL ⊥ KM ، فإن JKLM معين.
--- SECTION: 5.18 ---
5.18 إذا نصّف قطر متوازي أضلاع كلاً من الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما، فإن متوازي الأضلاع يكون معيناً. (عكس النظرية 5.16)
مثال: إذا كان WXYZ متوازي أضلاع، وكانت ∠4 ≅ ∠3 ، ∠2 ≅ ∠1 ، أو ∠8 ≅ ∠7 ، ∠6 ≅ ∠5 ، فإن WXYZ معين.
--- SECTION: 5.19 ---
5.19 إذا كان ضلعان متتاليان في متوازي الأضلاع متطابقين فإنه معين.
مثال: إذا كان ABCD متوازي أضلاع، وكان AB ≅ BC ، فإن ABCD معين.
--- SECTION: 5.20 ---
5.20 إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً ومعيناً فإنه مربع.
--- SECTION: تنبيه! ---
أخطاء شائعة
يخطئ البعض فيستعمل النظريات 5.19, 5.18, 5.17 مع أي شكل رباعي، وهذا غير صحيح؛ لأن هذه النظريات تكون صحيحة فقط إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع.
سوف تبرهن النظريات 5.17 إلى 5.20 في الأسئلة 29-32 على الترتيب.
يمكنك استعمال خصائص المعين والمربع في البراهين.
--- SECTION: مثال 2 ---
مثال 2: استعمال خصائص المعين والمربع في البراهين
اكتب برهاناً حراً.
المعطيات: JKLM متوازي أضلاع.
JKL∆ متطابق الضلعين.
المطلوب: JKLM معين.
برهان حر:
بما أن JKL∆ متطابق الضلعين، فإن JK ≅ KL بحسب التعريف، وهذان الضلعان متتاليان في متوازي الأضلاع JKLM ، لذا وبحسب النظرية 5.19، يكون JKLM معيناً.
--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
إرشادات للدراسة
المثلثات المتطابقة
بما أن للمعين أربعة أضلاع متطابقة، فإن كلاً من قطريه يقسمه إلى مثلثين متطابقين وضلعين متطابقين. وإذا رسم القطران فإنهما يقسمان المعين إلى أربعة مثلثات قائمة ومتطابقة.
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك
--- SECTION: 2 ---
2) اكتب برهاناً حراً.
المعطيات: SQ عمود منصف لـ PR.
PR عمود منصف لـ SQ.
RMS∆ متطابق الضلعين.
المطلوب: PQRS مربع.
Ministry of Education
2025 - 1447
46 الفصل 5 الأشكال الرباعية
--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A quadrilateral JKLM with diagonals JL and KM intersecting. A right angle symbol is shown at the intersection point of the diagonals, indicating that JL is perpendicular to KM. This diagram illustrates a rhombus where diagonals are perpendicular.
Context: Illustrates Theory 5.17: if diagonals of a parallelogram are perpendicular, it is a rhombus.
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A quadrilateral WXYZ with diagonal WY drawn. The angles formed by the diagonal at vertices W and Y are numbered. At vertex W, angles 1 and 2 are shown. At vertex Y, angles 3 and 4 are shown. Angles 5, 6, 7, 8 are also labeled inside the quadrilateral, formed by the intersection of diagonals (though only one diagonal is fully drawn). This diagram illustrates a rhombus where a diagonal bisects two angles.
Context: Illustrates Theory 5.18: if a diagonal of a parallelogram bisects two angles, it is a rhombus.
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A quadrilateral ABCD. Sides AB and BC are marked with single tick marks, indicating that they are congruent. This diagram illustrates a rhombus where two consecutive sides are congruent.
Context: Illustrates Theory 5.19: if two consecutive sides of a parallelogram are congruent, it is a rhombus.
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A quadrilateral JKLM with diagonals JL and KM intersecting at point P. Sides JK and KL are marked with single tick marks, indicating that they are congruent. This diagram is used in Example 2 to prove that JKLM is a rhombus given it is a parallelogram and triangle JKL is isosceles.
Context: Used in Example 2 to demonstrate a proof for a rhombus.
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A quadrilateral PQRS with diagonals PR and SQ intersecting at point M. The diagonals appear to be perpendicular, and M is the midpoint of both diagonals, implying they bisect each other. Sides RM and MS are marked with single tick marks, indicating that they are congruent. This diagram is associated with Check Your Understanding Question 2, which asks to prove that PQRS is a square.
Context: Associated with Check Your Understanding Question 2, requiring a proof for a square.
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة
ما الشرط الكافي الذي إذا تحقق في متوازي أضلاع، فإنه يصبح معيناً؟
- أ) إذا كان قطرا متوازي أضلاع متطابقين، فإنه معين.
- ب) إذا كان قطرا متوازي أضلاع متعامدين، فإنه معين.
- ج) إذا كان قطرا متوازي أضلاع ينصف كل منهما الآخر، فإنه معين.
- د) إذا كان قطرا متوازي أضلاع متوازيين، فإنه معين.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: إذا كان قطرا متوازي أضلاع متعامدين، فإنه معين.
الشرح: 1. النظرية 5.17 تنص على: إذا كان قطرا متوازي أضلاع متعامدين، فإنه معين.
2. هذه النظرية هي عكس النظرية 5.15.
3. مثال: إذا كان JKLM متوازي أضلاع، وكان JL ⊥ KM، فإن JKLM معين.
تلميح: تذكر النظرية التي تربط خاصية الأقطار بنوع متوازي الأضلاع.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
أي مما يلي يصف شرطاً كافياً ليكون متوازي الأضلاع معيناً؟
- أ) إذا كان قطرا متوازي الأضلاع متطابقين، فإنه معين.
- ب) إذا كان قطرا متوازي الأضلاع متوازيين، فإنه معين.
- ج) إذا كان ضلعان متتاليان في متوازي الأضلاع متطابقين، فإنه معين.
- د) إذا كان قطرا متوازي الأضلاع ينصفان زاويتين، فإنه معين.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: إذا كان ضلعان متتاليان في متوازي الأضلاع متطابقين، فإنه معين.
الشرح: 1. النظرية 5.19 تنص على: إذا كان ضلعان متتاليان في متوازي الأضلاع متطابقين، فإنه معين.
2. هذا يعني أن تطابق ضلعين متجاورين فقط (بدون شرط آخر) يكفي لتحويل متوازي الأضلاع إلى معين.
3. مثال: إذا كان ABCD متوازي أضلاع، وكان AB ≅ BC، فإن ABCD معين.
تلميح: فكر في النظرية التي تتعلق بتطابق الأضلاع المتجاورة.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط
ما الشرط الكافي الذي يجعل الشكل الرباعي مربعاً؟
- أ) إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً فقط، فإنه مربع.
- ب) إذا كان الشكل الرباعي معيناً فقط، فإنه مربع.
- ج) إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع فقط، فإنه مربع.
- د) إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً ومعيناً في نفس الوقت، فإنه مربع.
الإجابة الصحيحة: d
الإجابة: إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً ومعيناً في نفس الوقت، فإنه مربع.
الشرح: 1. النظرية 5.20 تنص على: إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً ومعيناً فإنه مربع.
2. المربع هو حالة خاصة تجمع بين جميع خصائص المستطيل (أقطار متطابقة) وخصائص المعين (أقطار متعامدة، جميع الأضلاع متطابقة).
3. جميع خصائص متوازي الأضلاع تنطبق عليه أيضاً.
تلميح: المربع يجمع خصائص شكلين رباعيين معاً.
التصنيف: تعريف | المستوى: سهل
ما الخطأ الشائع في تطبيق النظريات 5.17، 5.18، و5.19؟
- أ) تطبيقها على المربع فقط، بينما تنطبق على جميع الأشكال الرباعية.
- ب) تطبيقها على أي شكل رباعي، بينما هي صحيحة فقط إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع.
- ج) تطبيقها على المعين فقط، بينما تنطبق على المستطيل أيضاً.
- د) تطبيقها عندما تكون الأضلاع متطابقة فقط، بينما تشترط تعامد الأقطار.
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: تطبيقها على أي شكل رباعي، بينما هي صحيحة فقط إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع.
الشرح: 1. النظريات 5.17، 5.18، و5.19 تبدأ بفرض أن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
2. الخطأ الشائع هو استعمال هذه النظريات مباشرة مع أي شكل رباعي دون التحقق أولاً من أنه متوازي أضلاع.
3. مثال: النظرية 5.17 (أقطار متعامدة → معين) لا تنطبق إلا إذا كان الشكل متوازي أضلاع أصلاً.
تلميح: انتبه إلى الفرض الأساسي الذي يجب تحققه قبل تطبيق هذه النظريات.
التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب
في برهان حر، إذا كان JKL∆ متطابق الضلعين و JKLM متوازي أضلاع، فماذا نستنتج عن الشكل JKLM؟
- أ) يكون JKLM مربعاً.
- ب) يكون JKLM مستطيلاً.
- ج) يكون JKLM معيناً.
- د) يظل JKLM متوازي أضلاع عادياً.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: يكون JKLM معيناً.
الشرح: 1. المعطى: JKL∆ متطابق الضلعين، لذا JK ≅ KL (بحسب تعريف المثلث متطابق الضلعين).
2. المعطى: JKLM متوازي أضلاع.
3. الضلعان JK و KL متتاليان في متوازي الأضلاع JKLM.
4. بحسب النظرية 5.19: إذا كان ضلعان متتاليان في متوازي أضلاع متطابقين، فإنه معين.
5. النتيجة: JKLM معين.
تلميح: استخدم النظرية التي تربط تطابق ضلعين متتاليين في متوازي الأضلاع بنوع الشكل.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط