مثال 4

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 تصنيف الأشكال الرباعية باستعمال الهندسة الإحداثية

المفاهيم الأساسية

الهندسة الإحداثية: استخدام المستوى الإحداثي وصيغ المسافة والميل لتحليل خصائص الأشكال الرباعية.

صيغة المسافة بين نقطتين: d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

صيغة الميل: m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

خريطة المفاهيم

```markmap

خصائص المعين والمربع

المعين

تعريف

متوازي أضلاع
جميع أضلاعه متطابقة

خصائص إضافية (نظريات)

#### نظرية 5.15

إذا كان متوازي أضلاع معيناً، فإن قطريه متعامدان.
مثال: في المعين ABCD، فإن AC ⊥ BD.

#### نظرية 5.16

إذا كان متوازي أضلاع معيناً، فإن كل قطر ينصف كلاً من الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما.
مثال: في المعين NPQR، فإن ∠1 ≅ ∠2، ∠3 ≅ ∠4، ∠5 ≅ ∠6، ∠7 ≅ ∠8.

المربع

تعريف

متوازي أضلاع
جميع أضلاعه متطابقة
جميع زواياه قوائم

العلاقات

كل مربع معين
كل مربع مستطيل
ليس كل معين مربعًا
ليس كل مستطيل مربعًا

متوازي الأضلاع

الأضلاع المتقابلة متوازية

العلاقات (شكل فن)

يحتوي على المستطيل والمعين
المربع هو تقاطع المستطيل والمعين داخل متوازي الأضلاع

شروط كافية لإثبات المعين (عكس النظريات)

نظرية 5.17

إذا كان قطرا متوازي أضلاع متعامدين، فإنه معين.

نظرية 5.18

إذا نصّف قطر متوازي أضلاع كلاً من الزاويتين اللتين يصل بين رأسيهما، فإنه معين.

نظرية 5.19

إذا كان ضلعان متتاليان في متوازي أضلاع متطابقين، فإنه معين.

شرط كافٍ لإثبات المربع

نظرية 5.20

إذا كان الشكل الرباعي مستطيلاً ومعيناً، فإنه مربع.

تطبيقات من واقع الحياة

مثال 3: علم الآثار

التحقق من أن منطقة مربعة طول ضلعها 1m.
الخطوات:

- إثبات أن الشكل الرباعي ABCD معين (جميع أضلاعه = 1m).

- إثبات أنه مستطيل (قياس الأقطار، إذا تساوت فهو مستطيل).

- النتيجة: إذا كان معيناً ومستطيلاً فهو مربع (نظرية 5.20).

تطبيق باستخدام الهندسة الإحداثية

خطوات التحليل

#### 1. التمثيل البياني

رسم الشكل الرباعي على المستوى الإحداثي لتكوين تخمين أولي.

#### 2. التحقق الجبري

استخدام صيغة المسافة: للمقارنة بين أطوال الأضلاع والأقطار.
استخدام صيغة الميل: للتحقق من التعامد.

#### 3. الاستنتاج

إذا كان قطرا متوازي الأضلاع متطابقين: فهو مستطيل.
إذا كان قطرا متوازي الأضلاع متعامدين: فهو معين.
إذا كان قطرا متوازي الأضلاع متطابقين ومتعامدين: فهو مربع (مستطيل ومعين).

```

نقاط مهمة

عند تحليل شكل رباعي باستخدام الإحداثيات، ابدأ برسمه بيانياً لتكوين تخمين أولي.
لإثبات أن الشكل مستطيل: تحقق من تساوي طولي القطرين.
لإثبات أن الشكل معين: تحقق من تعامد القطرين.
لإثبات أن الشكل مربع: تحقق من تساوي وتعامد القطرين.
إذا لم يكن الشكل مستطيلاً، فهو بالتأكيد ليس مربعاً.

---

حل مثال

مثال 4: حدد ما إذا كان الشكل الرباعي JKLM الذي إحداثيات رؤوسه J(-7, -2), K(0, 4), L(9, 2), M(2, -4) معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً.

الحل:

الخطة: رسم الشكل بيانياً يظهر أن أضلاعه متطابقة وزواياه ليست قوائم، مما يشير إلى أنه معين.

التحقق من كونه مستطيلاً (تطابق القطرين):

- حساب طول القطر KM:

KM = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}

- حساب طول القطر JL:

JL = \sqrt{(9 - (-7))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{256 + 16} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}

- النتيجة: 4\sqrt{17} \neq 2\sqrt{17}، إذن القطران غير متطابقين، والشكل ليس مستطيلاً، وبالتالي ليس مربعاً.

التحقق من كونه معيناً (تعامد القطرين):

- حساب ميل القطر KM:

m_{KM} = \frac{-4 - 4}{2 - 0} = \frac{-8}{2} = -4

- حساب ميل القطر JL:

m_{JL} = \frac{2 - (-2)}{9 - (-7)} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

- حاصل ضرب الميلين: (-4) \times (\frac{1}{4}) = -1

- النتيجة: حاصل الضرب يساوي -1، إذن القطران متعامدان، والشكل معين.

التحقق النهائي: حساب أطوال الأضلاع (مثل JK و KL) يثبت أنها متساوية (√85)، مما يؤكد أنه معين حسب النظرية.

الإجابة: الشكل الرباعي JKLM هو معين فقط.

---

تحقق من فهمك

4) حدد ما إذا كان الشكل الرباعي JKLM الذي إحداثيات رؤوسه J(-6, -3), K(8, -11), L(5, 0), M(-3, 14) معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً.

(ملاحظة: الصفحة تقدم السؤال فقط دون حل. على الطالب تطبيق نفس الخطوات الموضحة في المثال لحله.)

خطوات الحل المقترحة:

ارسم الشكل بيانياً لتكوين فكرة أولية.

احسب أطوال جميع الأضلاع باستخدام صيغة المسافة للتحقق من تساويها (لإثبات أنه معين أو مربع).

احسب أطوال القطرين (مثل JL و KM) للتحقق من تساويهما (لإثبات أنه مستطيل أو مربع).

احسب ميل كل قطر للتحقق من تعامدهما (لإثبات أنه معين أو مربع).

استنتج التصنيف بناءً على النتائج.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

مثال 4: تصنيف الأشكال الرباعية باستعمال الهندسة الإحداثية

نوع: محتوى تعليمي

هندسة إحداثية: حدد ما إذا كان JKLM الذي إحداثيات رؤوسه J(-7, -2), K(0, 4), L(9, 2), M(2, -4) معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً. اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه. وضح إجابتك.

إرشادات للدراسة

نوع: محتوى تعليمي

إرشادات للدراسة
تمثيل الشكل بيانياً:
عند تحليل شكل رباعي باستعمال الهندسة الإحداثية، مثله بيانياً لمساعدتك على وضع تخمين، ثم تحقق من تخمينك جبرياً.

افهم

نوع: محتوى تعليمي

افهم:
المعطيات: JKLM إحداثيات رؤوسه: J(-7, -2), K(0, 4), L(9, 2), M(2, -4).
المطلوب: إثبات أن JKLM هو معين أو مستطيل أو مربع.
خطط: عين الرؤوس على المستوى الإحداثي وصل بينها.
يظهر من الرسم أن أضلاع JKLM متطابقة. ولكن زواياه ليست قوائم؛ لذا يبدو أنه معين وليس مربعاً أو مستطيلاً.
إذا كان قطرا متوازي الأضلاع متطابقين فإنه مستطيل. وإذا كانا متعامدين فإنه معين. وإذا كانا متطابقين ومتعامدين فإنه مستطيل ومعين؛ أي أنه مربع.
حل: أولاً: استعمل صيغة المسافة بين نقطتين للمقارنة بين طولي القطرين.
KM = √(2 - 0)² + (-4 - 4)² = √68 = 2√17
JL = √(9 - (-7))² + [2 - (-2)]² = √272 = 4√17
بما أن 4√17 ≠ 2√17، فإن القطرين ليسا متطابقين؛ لذا JKLM ليس مستطيلاً. وبما أنه ليس مستطيلاً فإنه ليس مربعاً أيضاً.
ثانياً: استعمل صيغة الميل لتحديد ما إذا كان القطـران متعامدين.
ميل KM: ((-4 - 4) / (2 - 0)) = (-8 / 2) = -4
ميل JL: ((2 - (-2)) / (9 - (-7))) = (4 / 16) = 1/4
وبما أن حاصل ضرب الميلين يساوي 1-، فإن القطرين متعامدان؛ لذا فإن JKLM معين.
تحقق: JK = √[4 - (-2)]² + [0 - (-7)]² = √85
KL = √[9 - 0]² + [2 - 4]² = √85
لذا فإن JKLM معين بحسب النظرية 1.20.
ميل JK: ((0 - (-2)) / (4 - (-7))) = (2 / 7)
وميل KL: ((2 - 4) / (9 - 0)) = (-2 / 9)
وبما أن حاصل ضرب هذين الميلين لا يساوي 1-، فإن الضلعين المتتاليين JK و KL غير متعامدين؛ لذا فإن JKL ليست قائمة؛ إذن JKLM ليس مستطيلاً ولا مربعاً.

تحقق من فهمك

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4) حدد ما إذا كان JKLM الذي إحداثيات رؤوسه J(-6, -3), K(8, -11), L(5, 0), M(-3, 14) معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً ؟ اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه. وضح إجابتك.

نوع: METADATA

وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447

نوع: METADATA

48 الفصل 5 الأشكال الرباعية

🔍 عناصر مرئية

تمثيل بياني للشكل الرباعي JKLM

A quadrilateral JKLM plotted on a Cartesian coordinate plane. The vertices are connected by straight lines forming the sides of the quadrilateral. The figure appears to be a rhombus (معين) based on visual inspection, as its sides look equal in length, but its angles do not appear to be right angles.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: مثال 4 ---
مثال 4: تصنيف الأشكال الرباعية باستعمال الهندسة الإحداثية

هندسة إحداثية: حدد ما إذا كان JKLM الذي إحداثيات رؤوسه J(-7, -2), K(0, 4), L(9, 2), M(2, -4) معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً. اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه. وضح إجابتك.

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
إرشادات للدراسة
تمثيل الشكل بيانياً:
عند تحليل شكل رباعي باستعمال الهندسة الإحداثية، مثله بيانياً لمساعدتك على وضع تخمين، ثم تحقق من تخمينك جبرياً.

--- SECTION: افهم ---
افهم:
المعطيات: JKLM إحداثيات رؤوسه: J(-7, -2), K(0, 4), L(9, 2), M(2, -4).
المطلوب: إثبات أن JKLM هو معين أو مستطيل أو مربع.
خطط: عين الرؤوس على المستوى الإحداثي وصل بينها.
يظهر من الرسم أن أضلاع JKLM متطابقة. ولكن زواياه ليست قوائم؛ لذا يبدو أنه معين وليس مربعاً أو مستطيلاً.
إذا كان قطرا متوازي الأضلاع متطابقين فإنه مستطيل. وإذا كانا متعامدين فإنه معين. وإذا كانا متطابقين ومتعامدين فإنه مستطيل ومعين؛ أي أنه مربع.
حل: أولاً: استعمل صيغة المسافة بين نقطتين للمقارنة بين طولي القطرين.
KM = √(2 - 0)² + (-4 - 4)² = √68 = 2√17
JL = √(9 - (-7))² + [2 - (-2)]² = √272 = 4√17
بما أن 4√17 ≠ 2√17، فإن القطرين ليسا متطابقين؛ لذا JKLM ليس مستطيلاً. وبما أنه ليس مستطيلاً فإنه ليس مربعاً أيضاً.
ثانياً: استعمل صيغة الميل لتحديد ما إذا كان القطـران متعامدين.
ميل KM: ((-4 - 4) / (2 - 0)) = (-8 / 2) = -4
ميل JL: ((2 - (-2)) / (9 - (-7))) = (4 / 16) = 1/4
وبما أن حاصل ضرب الميلين يساوي 1-، فإن القطرين متعامدان؛ لذا فإن JKLM معين.
تحقق: JK = √[4 - (-2)]² + [0 - (-7)]² = √85
KL = √[9 - 0]² + [2 - 4]² = √85
لذا فإن JKLM معين بحسب النظرية 1.20.
ميل JK: ((0 - (-2)) / (4 - (-7))) = (2 / 7)
وميل KL: ((2 - 4) / (9 - 0)) = (-2 / 9)
وبما أن حاصل ضرب هذين الميلين لا يساوي 1-، فإن الضلعين المتتاليين JK و KL غير متعامدين؛ لذا فإن JKL ليست قائمة؛ إذن JKLM ليس مستطيلاً ولا مربعاً.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك

--- SECTION: 4 ---
4) حدد ما إذا كان JKLM الذي إحداثيات رؤوسه J(-6, -3), K(8, -11), L(5, 0), M(-3, 14) معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً ؟ اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه. وضح إجابتك.

وزارة التعليم
Ministry of Education
2025 - 1447

48 الفصل 5 الأشكال الرباعية

--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: تمثيل بياني للشكل الرباعي JKLM
Description: A quadrilateral JKLM plotted on a Cartesian coordinate plane. The vertices are connected by straight lines forming the sides of the quadrilateral. The figure appears to be a rhombus (معين) based on visual inspection, as its sides look equal in length, but its angles do not appear to be right angles.
X-axis: x
Y-axis: y
Data: The graph visually represents the quadrilateral JKLM with its given coordinates, allowing for a visual estimation of its properties before algebraic verification.
Context: This graph is used in Example 4 to visually represent the quadrilateral JKLM and aid in determining if it is a rhombus, rectangle, or square based on its vertices. It helps in forming an initial hypothesis before performing calculations using distance and slope formulas.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 4: 4) حدد ما إذا كان JKLM الذي إحداثيات رؤوسه J(5, 0), K(8, -11), L(-3, -14), M(-6, -3) معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً ؟ اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه. وضح إجابتك.

الإجابة: س4: الشكل JKLM مربع. التبرير: الأضلاع متطابقة ($\sqrt{130}$) و ($JK = KL$) فهو معين، والمتجاورة متعامدة (حاصل ضرب الميلين -1) فهو مستطيل.

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي JKLM: - J(5, 0) - K(8, -11) - L(-3, -14) - M(-6, -3) للتصنيف، نحتاج إلى معرفة أطوال الأضلاع وميولها.
**الخطوة 2 (القوانين):** نستخدم قانون المسافة بين نقطتين لحساب أطوال الأضلاع: $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$ ونستخدم قانون الميل لحساب ميول الأضلاع: $$m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ نتذكر أن: - إذا كانت جميع الأضلاع متساوية الطول، فالشكل معين. - إذا كانت الأضلاع المتجاورة متعامدة (حاصل ضرب ميليهما = -1)، فالشكل مستطيل. - إذا كان الشكل معيناً ومستطيلاً في نفس الوقت، فهو مربع.
**الخطوة 3 (الحل):** **أولاً: حساب أطوال الأضلاع:** - طول JK: $$JK = \sqrt{(8-5)^2 + (-11-0)^2} = \sqrt{3^2 + (-11)^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130}$$ - طول KL: $$KL = \sqrt{(-3-8)^2 + (-14-(-11))^2} = \sqrt{(-11)^2 + (-3)^2} = \sqrt{121 + 9} = \sqrt{130}$$ - طول LM: $$LM = \sqrt{(-6-(-3))^2 + (-3-(-14))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (11)^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130}$$ - طول MJ: $$MJ = \sqrt{(5-(-6))^2 + (0-(-3))^2} = \sqrt{(11)^2 + (3)^2} = \sqrt{121 + 9} = \sqrt{130}$$ بما أن جميع أطوال الأضلاع متساوية ($JK = KL = LM = MJ = \sqrt{130}$)، فإن الشكل JKLM **معين**. **ثانياً: حساب ميول الأضلاع:** - ميل JK: $$m_{JK} = \frac{-11-0}{8-5} = \frac{-11}{3}$$ - ميل KL: $$m_{KL} = \frac{-14-(-11)}{-3-8} = \frac{-3}{-11} = \frac{3}{11}$$ - ميل LM: $$m_{LM} = \frac{-3-(-14)}{-6-(-3)} = \frac{11}{-3} = -\frac{11}{3}$$ - ميل MJ: $$m_{MJ} = \frac{0-(-3)}{5-(-6)} = \frac{3}{11}$$ **ثالثاً: التحقق من التعامد (الزوايا القائمة):** نضرب ميول الأضلاع المتجاورة: - $m_{JK} \times m_{KL} = (-\frac{11}{3}) \times (\frac{3}{11}) = -1$ - $m_{KL} \times m_{LM} = (\frac{3}{11}) \times (-\frac{11}{3}) = -1$ - $m_{LM} \times m_{MJ} = (-\frac{11}{3}) \times (\frac{3}{11}) = -1$ - $m_{MJ} \times m_{JK} = (\frac{3}{11}) \times (-\frac{11}{3}) = -1$ بما أن حاصل ضرب ميول أي ضلعين متجاورين يساوي -1، فهذا يعني أن الأضلاع المتجاورة متعامدة، وبالتالي جميع زوايا الشكل قائمة. إذن، الشكل JKLM **مستطيل**.
**الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن الشكل JKLM هو **معين** (جميع أضلاعه متساوية الطول) وهو أيضاً **مستطيل** (جميع زواياه قائمة)، فإن الشكل JKLM هو **مربع**. إذن جميع التسميات التي تنطبق عليه هي: **معين، مستطيل، مربع**.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما الخطوات الأساسية لتصنيف شكل رباعي (متوازي أضلاع) باستخدام الهندسة الإحداثية؟

أ) 1. رسم الشكل بيانياً فقط. 2. مقارنة الشكل بالصور المرجعية.
ب) 1. حساب أطوال الأضلاع باستخدام قانون المسافة. 2. حساب ميول الأضلاع باستخدام قانون الميل. 3. حساب أطوال القطرين. 4. حساب ميول القطرين.
ج) 1. إيجاد معادلة المستقيم لكل ضلع. 2. إيجاد نقطة تقاطع الأضلاع. 3. حساب مساحة الشكل.
د) 1. التحقق من تساوي الإحداثيات السينية للرؤوس. 2. التحقق من تساوي الإحداثيات الصادية للرؤوس.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1. حساب أطوال الأضلاع باستخدام قانون المسافة. 2. حساب ميول الأضلاع باستخدام قانون الميل. 3. حساب أطوال القطرين. 4. حساب ميول القطرين.

الشرح: 1. أطوال الأضلاع: إذا كانت جميعها متساوية، فالشكل معين. 2. ميول الأضلاع: إذا كان حاصل ضرب ميول أي ضلعين متجاورين = -1، فالزاوية قائمة. إذا تحققت جميعها، فالشكل مستطيل. 3. إذا كان الشكل معيناً ومستطيلاً معاً، فهو مربع. 4. القطران: إذا تطابقا، فالشكل مستطيل. إذا تعامدا، فالشكل معين.

تلميح: فكر في الخصائص التي تميز المعين والمستطيل والمربع عن بعضها.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

في الهندسة الإحداثية، إذا كان قطرا متوازي أضلاع متطابقين، فماذا نستنتج عن نوعه؟ وإذا كان قطراه متعامدين؟

أ) إذا تطابق القطران: الشكل مربع. إذا تعامد القطران: الشكل مستطيل.
ب) إذا تطابق القطران: الشكل معين. إذا تعامد القطران: الشكل مربع.
ج) إذا تطابق القطران: الشكل مستطيل. إذا تعامد القطران: الشكل معين.
د) تطابق القطرين لا يحدد الشكل، وتعامدهما يعني أنه مربع.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إذا تطابق القطران: الشكل مستطيل. إذا تعامد القطران: الشكل معين.

الشرح: 1. خاصية المستطيل: قطراه متطابقان. 2. خاصية المعين: قطراه متعامدان. 3. خاصية المربع: قطراه متطابقان ومتعامدان (يجمع خواص المستطيل والمعين).

تلميح: تذكر خصائص متوازي الأضلاع الخاصة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في مثال 4، لماذا استُنتج أن الشكل JKLM ليس مستطيلاً؟

أ) لأن أضلاعه غير متساوية الطول.
ب) لأن زواياه ليست قائمة (حاصل ضرب ميول الأضلاع المتجاورة لا يساوي -1).
ج) لأن قطريه غير متطابقين (KM = 2√17، JL = 4√17).
د) لأن قطريه غير متعامدين.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لأن قطريه غير متطابقين (KM = 2√17، JL = 4√17).

الشرح: 1. خاصية المستطيل: قطراه متطابقان. 2. حساب طول القطر KM: √((2-0)²+(-4-4)²)=√68=2√17. 3. حساب طول القطر JL: √((9-(-7))²+(2-(-2))²)=√272=4√17. 4. النتيجة: 2√17 ≠ 4√17، إذن القطران غير متطابقين، والشكل ليس مستطيلاً.

تلميح: ما الخاصية الأساسية التي تميز المستطيل عن غيره من متوازيات الأضلاع؟

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

في مثال 4، كيف تم التحقق من أن الشكل JKLM معين؟

أ) بإثبات أن جميع أضلاعه متساوية الطول (JK = KL = √85).
ب) بإثبات أن جميع زواياه قائمة.
ج) بإثبات أن قطريه متطابقين.
د) بإثبات أن قطريه متعامدين (حاصل ضرب ميليهما = -1).

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: بإثبات أن قطريه متعامدين (حاصل ضرب ميليهما = -1).

الشرح: 1. خاصية المعين: قطراه متعامدان. 2. حساب ميل القطر KM: ((-4-4)/(2-0)) = -8/2 = -4. 3. حساب ميل القطر JL: ((2-(-2))/(9-(-7))) = 4/16 = 1/4. 4. حاصل ضرب الميلين: (-4) × (1/4) = -1. 5. النتيجة: بما أن حاصل الضرب = -1، فالقطران متعامدان، وبالتالي JKLM معين.

تلميح: ما الخاصية التي تميز المعين عن متوازي الأضلاع العام؟

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط