تحديد المضلعات المتشابهة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 المضلعات المتشابهة (معامل التشابه)

المفاهيم الأساسية

معامل التشابه (عامل المقياس): النسبة بين طولي ضلعين متناظرين لمضلعين متشابهين. ويعتمد على ترتيب المقارنة.

خريطة المفاهيم

```markmap

استراتيجيات حل المسائل الهندسية

الخطوة 1: التحليل

اقرأ نص السؤال بعناية

حدد المطلوب في المسألة

ادرس الأشكال المعطاة

اسأل: ما الخصائص القابلة للتطبيق؟

الخطوة 2: الحل

حدد التعريفات والمفاهيم المناسبة

استعملها لإيجاد القيم المجهولة

اكتب معادلة وحلها باستخدام الخصائص

الخطوة 3: المراجعة

تحقق من الإجابة

تطبيق على تمارين الصفحة

شبه المنحرف

#### القطعة المتوسطة = (مجموع القاعدتين) / 2

متوازي الأضلاع

#### الزوايا المتقابلة متساوية

#### الزوايا المتجاورة متكاملة

الشكل الرباعي على المستوى الإحداثي

#### استخدم صيغة المسافة

#### تحقق من تنصف الأقطار

#### حدد النوع بناءً على الخصائص

المضلع المنتظم

#### مجموع الزوايا الخارجية = 360°

تطبيق على تمارين الصفحة الحالية (68)

المستقيمات المتوازية والمستعرضة

#### الزوايا المتناظرة متطابقة

#### الزوايا المتقابلة بالرأس متطابقة

تصنيف المثلثات حسب الزوايا

#### حاد الزوايا: جميع زواياه < 90°

#### متطابق الزوايا: جميع زواياه متساوية (60°)

#### منفرج الزاوية: فيه زاوية > 90°

#### قائم الزاوية: فيه زاوية = 90°

خصائص متوازي الأضلاع

#### الزوايا المتقابلة متطابقة: ∠R ≅ ∠T

قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم

#### استخدم قانون: ( (n-2) * 180 ) / n

خصائص المعين

#### هو حالة خاصة من متوازي الأضلاع

الزوايا المتقابلة بالرأس

#### متطابقة: 62° = (5x + 2)°

خصائص المستطيل

#### الأقطار متطابقة وتنصف بعضها: ST = نصف AE

تطبيق على تمارين الصفحة الحالية (69)

المضلع المنتظم (سداسي)

#### قياس الزاوية الداخلية = ( (6-2) * 180 ) / 6

شبه المنحرف المتطابق الساقين

#### الساقان غير المتوازيتان متطابقتان

#### إيجاد الرأس الرابع في المستوى الإحداثي

متوازي الأضلاع

#### المعين: متوازي أضلاع أقطاره متعامدة

#### طرق إثبات متوازي الأضلاع

##### ضلعان متقابلان متطابقان ومتوازيان

##### جميع الأضلاع المتقابلة متوازية

##### زاويتان متقابلتان متطابقتان

المنطق الرياضي

#### إذا كان العدد يقبل القسمة على 9، فإنه يقبل القسمة على 3

شبه المنحرف

#### حل معادلة من خصائص الأضلاع المتساوية

الدائرة المحيطة بالمثلث

#### إيجاد مركز الدائرة (نقطة تقاطع المنصفات العمودية للأضلاع)

الفصل 6: التشابه

فيما سبق

#### النسبة والتناسب وتطبيقاتهما الحياتية

والآن

#### المضلعات المتشابهة

#### استعمال النسبة والتناسب لحل المسائل

لماذا؟ (التطبيق)

#### تصميم المجسمات والمباني لتشابه أشياء مشهورة

#### وجود تناسب بين الأطوال في المجسمات والشكل الأصلي

نشاط: عمل منظم أفكار (مطوية)

#### خطوات عمل المطوية

التهيئة للفصل 6 (صفحة 71)

حل المعادلات التناسبية

#### استخدم خاصية الضرب التبادلي

#### مثال: \frac{4x - 3}{5} = \frac{2x + 11}{3}

تطبيقات على الزوايا

#### منصف الزاوية

##### تعريف: يقسم الزاوية إلى زاويتين متطابقتين

##### إذا كان BD ينصف ∠ABF، فإن m∠ABD = m∠DBF

#### الزوايا المتكاملة (نصفا مستقيم متماكسان)

##### إذا كان BA و BC نصفا مستقيم متماكسان، فإن ∠ABC = 180°

المضلعات المتشابهة (صفحة 72)

تعريف المضلعات المتشابهة

#### الزوايا المتناظرة: متطابقة

#### الأضلاع المتناظرة: متناسبة

كتابة عبارة التشابه

#### الرمز: ~

#### ترتيب الرؤوس مهم (يحدد التناظر)

معامل/نسبة التشابه

#### النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة

#### مثال: \frac{AB}{WX} = \frac{BC}{XY} = \frac{CD}{YZ} = \frac{DA}{ZW} = \frac{3}{1}

المضلعات المتشابهة (صفحة 73)

معامل التشابه (عامل المقياس)

#### تعريف: النسبة بين طولي ضلعين متناظرين

#### يعتمد على ترتيب المقارنة

#### مثال: \triangle ABC \sim \triangle XYZ

##### معامل تشابه \triangle ABC إلى \triangle XYZ = \frac{6}{3} = 2

##### معامل تشابه \triangle XYZ إلى \triangle ABC = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

تحديد المضلعات المتشابهة

#### الخطوات

##### الخطوة 1: تحقق من تطابق الزوايا المتناظرة

##### الخطوة 2: قارن النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة

#### إذا تساوت النسب: المضلعات متشابهة

#### إذا اختلفت النسب: المضلعات غير متشابهة

إرشادات للدراسة

#### التحقق من صحة الحل: أوجد النسبة بين طولي ضلعين متناظرين آخرين

خاصية المستطيلات

#### لاختبار تناسب أضلاع مستطيلين: يكفي اختبار تناسب ضلعين متتالين

```

نقاط مهمة

• معامل التشابه يسمى أحيانًا نسبة التشابه.
• ترتيب المقارنة مهم: معامل تشابه A إلى B هو مقلوب معامل تشابه B إلى A.
• لتحديد التشابه: 1) تحقق من تطابق الزوايا المتناظرة، 2) تحقق من تناسب الأضلاع المتناظرة.
• في المستطيلات، يكفي اختبار تناسب ضلعين متتالين لأن الأضلاع المتقابلة متطابقة.

---

حل مثال

مثال 2: يريد كمال تغيير أبعاد صورة مستطيلة (ABCD) لعمل خلفية شاشة. حدد إذا كانت الصورتان الآتيتان مشابهة لها أم لا، وإذا كانت كذلك، فاكتب عبارة التشابه ومعامل التشابه.

الحل:

* الصورة الأولى (المستطيل EFGH):

* الخطوة 1: جميع زوايا المستطيلات قائمة، لذا الزوايا المتناظرة متطابقة.

* الخطوة 2: قارن نسب الأضلاع المتناظرة.

\frac{BC}{FG} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

\frac{DC}{HG} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}

* النتيجة: بما أن \frac{2}{3} \neq \frac{5}{7} ، فإن الأضلاع المتناظرة غير متناسبة. إذن الصورتان غير متشابهتين.

* الصورة الثانية (المستطيل JKLM):

* الخطوة 1: جميع زوايا المستطيلات قائمة، لذا الزوايا المتناظرة متطابقة.

* الخطوة 2: قارن نسب الأضلاع المتناظرة.

\frac{BC}{KL} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

\frac{DC}{JM} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}

* النتيجة: النسب متساوية، إذن الأضلاع المتناظرة متناسبة.

* عبارة التشابه: ABCD \sim JKLM

* معامل التشابه من ABCD إلى JKLM يساوي \frac{2}{3} .

---

تحقق من فهمك

السؤال 2: حدد ما إذا كان المثلثان NQP و RST متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه ومعامل التشابه.

الحل:

* الخطوة 1: تحقق من تطابق الزوايا المتناظرة. (الزوايا غير معطاة مباشرة، لذا ننتقل للخطوة 2).

* الخطوة 2: قارن نسب أطوال الأضلاع المتناظرة (نفترض أن الترتيب المعطى هو الترتيب المتناظر).

* النسبة الأولى: \frac{NQ}{RS} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1.5

* النسبة الثانية: \frac{QP}{ST} = \frac{11.5}{9.2} = 1.25

* النسبة الثالثة: \frac{NP}{RT} = \frac{12.5}{12} \approx 1.0417

* النتيجة: النسب غير متساوية ( 1.5 \neq 1.25 \neq 1.0417 ). إذن المثلثان غير متشابهين.

النسبة بين طولي ضلعيـن متناظرين لمضلعين متشابهين تسمى معامل التشابه أو (عامل المقياس). ويعتمد معامل التشابه على ترتيب المقارنة.

ففي الشكل المجاور $\triangle ABC \sim \triangle XYZ$ ومعامل تشابه $\triangle ABC$ إلى $\triangle XYZ$ يساوي $\frac{6}{3}$ أو 2 بينما معامل تشابه $\triangle XYZ$ إلى $\triangle ABC$ يساوي $\frac{3}{6}$ أو $\frac{1}{2}$ معامل التشابه بين مضلعين متشابهين يسمى نسبة التشابه أحيانًا.

تحديد المضلعات المتشابهة

يريد كمال أن يستعمل الصورة المستطيلة لخلفية شاشة الحاسوب، ولكنه يحتاج لتغيير أبعادها، حدد كل من الصورتين الآتيتين مشابهة لها أم لا؟ وإذا كانت كذلك، فعبارة التشابه ومعامل التشابه. وضح إجابتك.

الخطوة 1: بما أن $\triangle JKLM$ ، فإن الزوايا المتناظرة متطابقة.

الخطوة 2: قارن النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة.

$\frac{BC}{FG} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ $\frac{DC}{HG} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$

وحيث إن $\frac{2}{3} \neq \frac{5}{7}$ ، فإن الأضلاع المتناظرة غير متناسبة، إذن فالصورتان غير متشابهتين.

الخطوة 1: بما أن $\triangle ABCD$ ، فإن الزوايا المتناظرة متطابقة.

الخطوة 2: قارن النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة.

$\frac{BC}{KL} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

وعليه فإن $\triangle ABCD \sim \triangle JKLM$ ، وإذن الأضلاع المتناظرة متناسبة، ومعامل تشابه $\triangle ABCD$ إلى $\triangle JKLM$ يساوي $\frac{2}{3}$

تحقق من فهمك

حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه ومعامل التشابه.

التناسب المستطيلات: لاختبار تناسب أضلاع مستطيلين، يكفي اختبار تناسب ضلعين متتالين من المستطيل الأول مع لهما في المستطيل الثاني؛ لأن كل ضلعين متقابلين فيه كل ضلعين متقابلين متطابقان.

التحقق من صحة الحل: للت تحقق من معامل التشابه، أوجد النسبة بين طولي ضلعين متناظرين آخرين.

وزارة التعليم

2025 - 1447

الدرس 1-6

المضلعات المتشابهة

النسبة بين طولي ضلعيـن متناظرين لمضلعين متشابهين تسمى معامل التشابه أو (عامل المقياس). ويعتمد معامل التشابه على ترتيب المقارنة. ففي الشكل المجاور $\triangle ABC \sim \triangle XYZ$ ومعامل تشابه $\triangle ABC$ إلى $\triangle XYZ$ يساوي $\frac{6}{3}$ أو 2 بينما معامل تشابه $\triangle XYZ$ إلى $\triangle ABC$ يساوي $\frac{3}{6}$ أو $\frac{1}{2}$ معامل التشابه بين مضلعين متشابهين يسمى نسبة التشابه أحيانًا. --- SECTION: تحديد المضلعات المتشابهة --- تحديد المضلعات المتشابهة --- SECTION: مثال 2 --- يريد كمال أن يستعمل الصورة المستطيلة لخلفية شاشة الحاسوب، ولكنه يحتاج لتغيير أبعادها، حدد كل من الصورتين الآتيتين مشابهة لها أم لا؟ وإذا كانت كذلك، فعبارة التشابه ومعامل التشابه. وضح إجابتك. --- SECTION: الخطوة 1 --- الخطوة 1: بما أن $\triangle JKLM$ ، فإن الزوايا المتناظرة متطابقة. --- SECTION: الخطوة 2 --- الخطوة 2: قارن النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة. $\frac{BC}{FG} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ $\frac{DC}{HG} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$ وحيث إن $\frac{2}{3} \neq \frac{5}{7}$ ، فإن الأضلاع المتناظرة غير متناسبة، إذن فالصورتان غير متشابهتين. --- SECTION: الخطوة 1 --- الخطوة 1: بما أن $\triangle ABCD$ ، فإن الزوايا المتناظرة متطابقة. --- SECTION: الخطوة 2 --- الخطوة 2: قارن النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة. $\frac{BC}{KL} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ وعليه فإن $\triangle ABCD \sim \triangle JKLM$ ، وإذن الأضلاع المتناظرة متناسبة، ومعامل تشابه $\triangle ABCD$ إلى $\triangle JKLM$ يساوي $\frac{2}{3}$ --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 2 --- حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه ومعامل التشابه. التناسب المستطيلات: لاختبار تناسب أضلاع مستطيلين، يكفي اختبار تناسب ضلعين متتالين من المستطيل الأول مع لهما في المستطيل الثاني؛ لأن كل ضلعين متقابلين فيه كل ضلعين متقابلين متطابقان. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- التحقق من صحة الحل: للت تحقق من معامل التشابه، أوجد النسبة بين طولي ضلعين متناظرين آخرين. --- SECTION: وزارة التعليم --- وزارة التعليم --- SECTION: 2025 - 1447 --- 2025 - 1447 --- SECTION: الدرس 1-6 --- الدرس 1-6 --- SECTION: المضلعات المتشابهة --- المضلعات المتشابهة --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: Two triangles, ABC and XYZ. Triangle ABC has sides labeled 6 and B, C, A vertices. Triangle XYZ has vertices X, Y, Z and side labeled 3. Key Values: Side AB of triangle ABC is not labeled., Side BC of triangle ABC is labeled 6., Side AC of triangle ABC is not labeled., Side XY of triangle XYZ is not labeled., Side YZ of triangle XYZ is labeled 3., Side XZ of triangle XYZ is not labeled. Context: Illustrates the concept of similar triangles and the ratio of corresponding sides. **DIAGRAM**: Untitled Description: Two rectangular images of cats. The top rectangle is labeled ABCD with a cat inside. The bottom rectangle is labeled JKLM with a cat inside. X-axis: Width (inches) Y-axis: Height (inches) Data: Visual comparison of two rectangles to determine similarity. Key Values: Rectangle ABCD: Width = 10 in, Height = 8 in, Rectangle JKLM: Width = 15 in, Height = 12 in Context: Used in Example 2 to determine if two rectangles are similar by comparing side ratios. **DIAGRAM**: Untitled Description: Two triangles, NQP and RST, with side lengths labeled. Triangle NQP has sides NQ=15, QP=11.5, NP=12.5. Triangle RST has sides RS=10, ST=9.2, RT=12. Data: Two triangles with labeled side lengths, used to determine similarity. Key Values: Triangle NQP sides: 15, 11.5, 12.5, Triangle RST sides: 10, 9.2, 12 Context: Used in Exercise 2 to determine if two triangles are similar.