إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 استعمال الأشكال المتشابهة

المفاهيم الأساسية

التشابه والتطابق: إذا كان المضلعان متطابقين فإنهما متشابهان أيضاً. وتكون جميع الزوايا المتناظرة متطابقة، وأطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة، والنسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين هي 1:1.

نظرية 6.1 (محيطا المضلعين المتشابهين): إذا تشابه مضلعان، فإن النسبة بين محيطيهما تساوي معامل التشابه بينهما.

خريطة المفاهيم

```markmap

استراتيجيات حل المسائل الهندسية

الخطوة 1: التحليل

اقرأ نص السؤال بعناية

حدد المطلوب في المسألة

ادرس الأشكال المعطاة

اسأل: ما الخصائص القابلة للتطبيق؟

الخطوة 2: الحل

حدد التعريفات والمفاهيم المناسبة

استعملها لإيجاد القيم المجهولة

اكتب معادلة وحلها باستخدام الخصائص

الخطوة 3: المراجعة

تحقق من الإجابة

تطبيق على تمارين الصفحة

شبه المنحرف

#### القطعة المتوسطة = (مجموع القاعدتين) / 2

متوازي الأضلاع

#### الزوايا المتقابلة متساوية

#### الزوايا المتجاورة متكاملة

الشكل الرباعي على المستوى الإحداثي

#### استخدم صيغة المسافة

#### تحقق من تنصف الأقطار

#### حدد النوع بناءً على الخصائص

المضلع المنتظم

#### مجموع الزوايا الخارجية = 360°

تطبيق على تمارين الصفحة الحالية (68)

المستقيمات المتوازية والمستعرضة

#### الزوايا المتناظرة متطابقة

#### الزوايا المتقابلة بالرأس متطابقة

تصنيف المثلثات حسب الزوايا

#### حاد الزوايا: جميع زواياه < 90°

#### متطابق الزوايا: جميع زواياه متساوية (60°)

#### منفرج الزاوية: فيه زاوية > 90°

#### قائم الزاوية: فيه زاوية = 90°

خصائص متوازي الأضلاع

#### الزوايا المتقابلة متطابقة: ∠R ≅ ∠T

قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم

#### استخدم قانون: ( (n-2) * 180 ) / n

خصائص المعين

#### هو حالة خاصة من متوازي الأضلاع

الزوايا المتقابلة بالرأس

#### متطابقة: 62° = (5x + 2)°

خصائص المستطيل

#### الأقطار متطابقة وتنصف بعضها: ST = نصف AE

تطبيق على تمارين الصفحة الحالية (69)

المضلع المنتظم (سداسي)

#### قياس الزاوية الداخلية = ( (6-2) * 180 ) / 6

شبه المنحرف المتطابق الساقين

#### الساقان غير المتوازيتان متطابقتان

#### إيجاد الرأس الرابع في المستوى الإحداثي

متوازي الأضلاع

#### المعين: متوازي أضلاع أقطاره متعامدة

#### طرق إثبات متوازي الأضلاع

##### ضلعان متقابلان متطابقان ومتوازيان

##### جميع الأضلاع المتقابلة متوازية

##### زاويتان متقابلتان متطابقتان

المنطق الرياضي

#### إذا كان العدد يقبل القسمة على 9، فإنه يقبل القسمة على 3

شبه المنحرف

#### حل معادلة من خصائص الأضلاع المتساوية

الدائرة المحيطة بالمثلث

#### إيجاد مركز الدائرة (نقطة تقاطع المنصفات العمودية للأضلاع)

الفصل 6: التشابه

فيما سبق

#### النسبة والتناسب وتطبيقاتهما الحياتية

والآن

#### المضلعات المتشابهة

#### استعمال النسبة والتناسب لحل المسائل

لماذا؟ (التطبيق)

#### تصميم المجسمات والمباني لتشابه أشياء مشهورة

#### وجود تناسب بين الأطوال في المجسمات والشكل الأصلي

نشاط: عمل منظم أفكار (مطوية)

#### خطوات عمل المطوية

التهيئة للفصل 6 (صفحة 71)

حل المعادلات التناسبية

#### استخدم خاصية الضرب التبادلي

#### مثال: \frac{4x - 3}{5} = \frac{2x + 11}{3}

تطبيقات على الزوايا

#### منصف الزاوية

##### تعريف: يقسم الزاوية إلى زاويتين متطابقتين

##### إذا كان BD ينصف ∠ABF، فإن m∠ABD = m∠DBF

#### الزوايا المتكاملة (نصفا مستقيم متماكسان)

##### إذا كان BA و BC نصفا مستقيم متماكسان، فإن ∠ABC = 180°

المضلعات المتشابهة (صفحة 72)

تعريف المضلعات المتشابهة

#### الزوايا المتناظرة: متطابقة

#### الأضلاع المتناظرة: متناسبة

كتابة عبارة التشابه

#### الرمز: ~

#### ترتيب الرؤوس مهم (يحدد التناظر)

معامل/نسبة التشابه

#### النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة

#### مثال: \frac{AB}{WX} = \frac{BC}{XY} = \frac{CD}{YZ} = \frac{DA}{ZW} = \frac{3}{1}

المضلعات المتشابهة (صفحة 73)

معامل التشابه (عامل المقياس)

#### تعريف: النسبة بين طولي ضلعين متناظرين

#### يعتمد على ترتيب المقارنة

#### مثال: \triangle ABC \sim \triangle XYZ

##### معامل تشابه \triangle ABC إلى \triangle XYZ = \frac{6}{3} = 2

##### معامل تشابه \triangle XYZ إلى \triangle ABC = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

تحديد المضلعات المتشابهة

#### الخطوات

##### الخطوة 1: تحقق من تطابق الزوايا المتناظرة

##### الخطوة 2: قارن النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة

#### إذا تساوت النسب: المضلعات متشابهة

#### إذا اختلفت النسب: المضلعات غير متشابهة

إرشادات للدراسة

#### التحقق من صحة الحل: أوجد النسبة بين طولي ضلعين متناظرين آخرين

خاصية المستطيلات

#### لاختبار تناسب أضلاع مستطيلين: يكفي اختبار تناسب ضلعين متتالين

استعمال الأشكال المتشابهة (صفحة 74)

الهدف

#### استعمال معاملات التشابه والتناسبات لحل مسائل تتضمن أشكالاً متشابهة

إرشادات للدراسة

#### التشابه والتطابق

##### المضلعان المتطابقان متشابهان (نسبة الأضلاع 1:1)

#### تحديد المثلثات المتشابهة

##### نظرية الزاوية الثالثة: إذا تطابق زوجان من الزوايا المتناظرة، تطابق الثالثان

نظرية 6.1: محيطا المضلعين المتشابهين

#### النسبة بين محيطي مضلعين متشابهين = معامل التشابه

#### مثال: إذا كان ABCD ~ JKLM، فإن:

##### \frac{AB}{JK} = \frac{BC}{KL} = \frac{CD}{LM} = \frac{DA}{MJ} = \frac{(AB + BC + CD + DA)}{(JK + KL + LM + MJ)}

```

نقاط مهمة

• يمكن استعمال التناسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة لإيجاد قيم مجهولة في أشكال متشابهة.
• خطوات الحل: كتابة تناسب، استخدام خاصية الضرب التبادلي، حل المعادلة الناتجة.
• النسبة بين أي طولين متناظرين في مضلعين متشابهين تساوي معامل التشابه.

---

حل مثال (مثال 3)

المعطيات: في الشكل، VWYZ ~ ACDF.

المطلوب أ: أوجد قيمة x.

الحل:

الأضلاع المتناظرة متناسبة: CD/WY = DF/YZ

بالتعويض: \frac{9}{6} = \frac{x}{10}

خاصية الضرب التبادلي: 9 × 10 = 6 × x

بالضرب: 90 = 6x

بقسمة الطرفين على 6: 15 = x

المطلوب ب: أوجد قيمة y.

الحل:

الأضلاع المتناظرة متناسبة: CD/WY = FA/ZV

بالتعويض: \frac{9}{6} = \frac{12}{3y - 1}

خاصية الضرب التبادلي: 9 × (3y - 1) = 6 × 12

بالضرب: 27y - 9 = 72

بإضافة 9 للطرفين: 27y = 81

بقسمة الطرفين على 27: y = 3

---

تحقق من فهمك

السؤال 3: إذا كان ΔJLM ~ ΔQST، فأوجد قيمة المتغير.

المعطيات من الشكل: في ΔQST: TQ=2, ST=3, QS=5. في ΔJLM: JL=2, MJ=4, LM=6x-3.

3A: أوجد x.

الأضلاع المتناظرة: JL (في ΔJLM) متناظر مع TQ (في ΔQST) لأن الزوايا عند J و T متطابقة.

الأضلاع المتناظرة: LM (في ΔJLM) متناظر مع ST (في ΔQST) لأن الزوايا عند L و S متطابقة.

كتابة التناسب: \frac{JL}{TQ} = \frac{LM}{ST}

بالتعويض: \frac{2}{2} = \frac{6x - 3}{3}

تبسيط: 1 = \frac{6x - 3}{3}

بالضرب: 3 = 6x - 3

بإضافة 3: 6 = 6x

بالقسمة على 6: x = 1

3B: أوجد y.

(ملاحظة: قيمة y غير موجودة في المعطيات المرئية المقدمة للشكل 1. بناءً على السياق، من المحتمل أن يكون هناك جزء آخر للشكل أو سؤال يتضمن متغيرًا آخر. لا توجد بيانات كافية في الـ OCR المقدم لحل 3B).

استعمال الأشكال المتشابهة: يمكنك استعمال معاملات التشابه والتناسبات، لحل مسائل تتضمن أشكالاً متشابهة.

التشابه والتطابق: إذا كان المضلعان متطابقين فإنهما متشابهان أيضاً. وتكون جميع الزوايا المتناظرة متطابقة، وأطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة، والنسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين هي 1:1.

استعمال الأشكال المتشابهة لإيجاد القيم المجهولة

في الشكل المجاور، VWYZ ~ ACDF. أوجد قيمة x.

استعمل أطوال الأضلاع المتناظرة لكتابة تناسب الأضلاع المتناظرة متناسبة CD / WY = DF / YZ 9 / 6 = x / 10 خاصية الضرب التبادلي 9(10) = 6(x) بالضرب 90 = 6x بقسمة كلا الطرفين على 6 15 = x CD = 9, WY = 6, DF = x, YZ = 10

أوجد قيمة y.

الأضلاع المتناظرة متناسبة CD / WY = FA / ZV 9 / 6 = 12 / (3y - 1) خاصية الضرب التبادلي 9(3y - 1) = 6(12) بالضرب 27y - 9 = 72 بإضافة 9 لكلا الطرفين 27y = 81 بقسمة كلا الطرفين على 27 y = 3 CD = 9, WY = 6, FA = 12, ZV = 3y - 1

تحقق من فهمك إذا كان ΔJLM ~ ΔQST، فأوجد قيمة المتغير في كل مما يأتي:

تحديد المثلثات المتشابهة: عندما تُعطى زوجين من الزوايا المتناظرة المتطابقة في مثلثين، تذكر أنه يمكنك استعمال نظرية الزاوية الثالثة؛ لإثبات أن الزاويتين المتناظرتين الباقيتين متطابقتان أيضاً.

النسبة بين أي طولي متناظرين في المضلعين المتشابهين تساوي معامل التشابه بينهما. ويؤدي هذا إلى النظرية الآتية حول محيطي المضلعين المتشابهين.

محيطا المضلعين المتشابهين إذا تشابه مضلعان، فإن النسبة بين محيطيهما تساوي معامل التشابه بينهما. مثال: إذا كان ABCD ~ JKLM ، فإن: AB / JK = BC / KL = CD / LM = DA / MJ = (AB + BC + CD + DA) / (JK + KL + LM + MJ)

ستبرهن النظرية 6.1 الخاصة بحالة المثلثات في السؤال 34

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

74 الفصل 6 التشابه

استعمال الأشكال المتشابهة: يمكنك استعمال معاملات التشابه والتناسبات، لحل مسائل تتضمن أشكالاً متشابهة. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- التشابه والتطابق: إذا كان المضلعان متطابقين فإنهما متشابهان أيضاً. وتكون جميع الزوايا المتناظرة متطابقة، وأطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة، والنسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين هي 1:1. --- SECTION: مثال 3 --- استعمال الأشكال المتشابهة لإيجاد القيم المجهولة --- SECTION: a --- في الشكل المجاور، VWYZ ~ ACDF. أوجد قيمة x. a. أوجد قيمة x. استعمل أطوال الأضلاع المتناظرة لكتابة تناسب الأضلاع المتناظرة متناسبة CD / WY = DF / YZ 9 / 6 = x / 10 خاصية الضرب التبادلي 9(10) = 6(x) بالضرب 90 = 6x بقسمة كلا الطرفين على 6 15 = x CD = 9, WY = 6, DF = x, YZ = 10 --- SECTION: b --- أوجد قيمة y. b. أوجد قيمة y. الأضلاع المتناظرة متناسبة CD / WY = FA / ZV 9 / 6 = 12 / (3y - 1) خاصية الضرب التبادلي 9(3y - 1) = 6(12) بالضرب 27y - 9 = 72 بإضافة 9 لكلا الطرفين 27y = 81 بقسمة كلا الطرفين على 27 y = 3 CD = 9, WY = 6, FA = 12, ZV = 3y - 1 --- SECTION: 3 --- تحقق من فهمك إذا كان ΔJLM ~ ΔQST، فأوجد قيمة المتغير في كل مما يأتي: 3A. x 3B. y --- SECTION: إرشادات للدراسة --- تحديد المثلثات المتشابهة: عندما تُعطى زوجين من الزوايا المتناظرة المتطابقة في مثلثين، تذكر أنه يمكنك استعمال نظرية الزاوية الثالثة؛ لإثبات أن الزاويتين المتناظرتين الباقيتين متطابقتان أيضاً. النسبة بين أي طولي متناظرين في المضلعين المتشابهين تساوي معامل التشابه بينهما. ويؤدي هذا إلى النظرية الآتية حول محيطي المضلعين المتشابهين. --- SECTION: نظرية 6.1 --- محيطا المضلعين المتشابهين إذا تشابه مضلعان، فإن النسبة بين محيطيهما تساوي معامل التشابه بينهما. مثال: إذا كان ABCD ~ JKLM ، فإن: AB / JK = BC / KL = CD / LM = DA / MJ = (AB + BC + CD + DA) / (JK + KL + LM + MJ) ستبرهن النظرية 6.1 الخاصة بحالة المثلثات في السؤال 34 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 74 الفصل 6 التشابه --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: الشكل المجاور Description: Two similar trapezoids are displayed. The first trapezoid is labeled ACDF, with side AF = 12, side CD = 9, and base FD labeled as x. The second trapezoid is labeled VWYZ, with side WY = 6, side YZ = 10, and side ZV labeled as 3y - 1. The similarity statement VWYZ ~ ACDF implies corresponding sides are proportional. Key Values: Trapezoid ACDF: AF=12, CD=9, FD=x, Trapezoid VWYZ: WY=6, YZ=10, ZV=3y-1, Similarity: VWYZ ~ ACDF Context: Used in Example 3 to demonstrate finding unknown side lengths (x and y) in similar polygons by setting up proportions based on corresponding sides. **DIAGRAM**: Untitled Description: Two triangles are displayed. The first triangle is labeled QST, with side TQ = 2, side ST = 3, and side QS = 5. Angle T and Angle Q are marked with a single arc, indicating they are congruent to corresponding angles in the other triangle. The second triangle is labeled JLM, with side JL = 2, side MJ = 4, and side LM labeled as 6x - 3. Angle L and Angle J are marked with a single arc. The problem states that ΔJLM ~ ΔQST. Key Values: Triangle QST: TQ=2, ST=3, QS=5, Triangle JLM: JL=2, MJ=4, LM=6x-3, Similarity: ΔJLM ~ ΔQST Context: Used in 'تحقق من فهمك' (Check Your Understanding) to practice finding unknown side lengths (x and y) in similar triangles by setting up proportions based on corresponding sides. **DIAGRAM**: Untitled Description: Two similar trapezoids are displayed. The first trapezoid is labeled JKLM, with vertices J, K, L, M. The second trapezoid is labeled ABCD, with vertices A, B, C, D. The diagram illustrates the concept of corresponding sides for similar polygons, specifically for Theorem 6.1 regarding the ratio of perimeters. Key Values: Trapezoid JKLM: Sides JK, KL, LM, MJ, Trapezoid ABCD: Sides AB, BC, CD, DA, Similarity: ABCD ~ JKLM Context: Illustrates Theorem 6.1, which states that if two polygons are similar, then the ratio of their perimeters is equal to the ratio of their corresponding side lengths (the scale factor).