هندسة إحداثية

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 تكملة التقويم

هذه الصفحة تكملة لأسئلة تدرب و حل المسائل من الصفحة السابقة.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

هندسة إحداثية: إحداثيات رؤوس المثلثين WVV, ΔXYZ هي: X(-1, -9), Y(5, 3), Z(-1, 6), W(1, -6), V(1, -5).

22

نوع: QUESTION_HOMEWORK

22) مثل المثلثين بيانياً، وأثبت أن ΔWVV ~ ΔXYZ.

23

نوع: QUESTION_HOMEWORK

23) أوجد النسبة بين محيطي المثلثين.

قياس

نوع: QUESTION_HOMEWORK

قياس: إذا كان ΔJKL ~ ΔABC ، وطول كل ضلع في ΔJKL يساوي نصف طول الضلع المناظر له في ΔABC ، ومساحة ΔABC تساوي 40 in² ، فما مساحة ΔJKL ؟ ما العلاقة بين مساحتي ΔABC ، ΔJKL ، ومعامل التشابه بينهما؟

الربط مع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

الربط مع الحياة في بعض العلاجات الطبية تستعمل أشعة الليزر التي تلامس الجلد وتخترقه مكونة مثلثات متشابهة.

علاج

نوع: QUESTION_HOMEWORK

علاج: استعمل معلومات الربط بالحياة والشكل المجاور لإيجاد المسافة التي يجب أن تفصل بين مصدري أشعة الليزر حتى تكون المنطقتان المعالجتان المتطابقتان بكل من المصدرين غير متداخلتين.

تمثيلات متعددة

نوع: QUESTION_ACTIVITY

تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستقصي الأجزاء المتناسبة في مثلث.

مسائل مهارات التفكير العليا

نوع: محتوى تعليمي

مسائل مهارات التفكير العليا

اكتب

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتب: بين أوجه الشبه وأوجه الاختلاف بين مسلمة التشابه AA، ونظرية التشابه SSS، ونظرية التشابه SAS.

تحد

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تحد: إذا كانت النسبة بين أطوال أضلاع مثلث هي 2:3:4 ومحيطه 54 in، فأجب عما يأتي: إذا كان طول أصغر أضلاع مثلث آخر مشابه هو 16 in، فما طول كل من الضلعين الآخرين فيه؟

29

نوع: QUESTION_HOMEWORK

29) قارن النسبة بين محيطي المثلثين ومعامل التشابه بينهما. ماذا تلاحظ؟

تبرير

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تبرير: قياسات زوايا مثلثين متشابهين هي: 45°, 85°, 50°. وأطوال أضلاع أحدهما 5.2, 4, 3 وحدات، وأطوال أضلاع المثلث الآخر x, x + 1.5 – 1.8 وحدة. أوجد قيمة x.

مسألة مفتوحة

نوع: QUESTION_HOMEWORK

مسألة مفتوحة: ارسم مثلثاً مشابهاً لـ ΔABC المجاور، ووضح كيف تعرف أنهما متشابهان.

اكتب

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتب: اشرح طريقة يمكنك استعمالها لرسم مثلث يشابه مثلثاً معلوماً، وأطوال أضلاعه ضعف أطوال أضلاع المثلث المعلوم.

نوع: METADATA

وزارة التعليم

نوع: METADATA

الدرس 2-6 المثلثات المتشابهة 87

🔍 عناصر مرئية

A close-up image of a hand holding a laser device, pointing a red laser beam onto a person's skin, likely on the lower back or hip area. The laser beam is visible as a red dot on the skin.

A diagram illustrating two laser sources emitting beams onto a surface (skin). Each laser beam forms a cone, and the diagram highlights the dimensions relevant to similar triangles. The height from the laser source to the skin is 100 cm. The width of each laser beam at the skin surface is 15 cm. The distance between the inner edges of the two laser spots on the skin is 5 cm. The distance between the two laser sources is labeled 'x'. Right-angled triangles are formed by the laser beams, indicating geometric similarity.

A triangle ABC with vertices A, B, C. A line segment DE is drawn such that point D lies on side AB and point E lies on side BC. Arrows on DE and AC indicate that DE is parallel to AC. This configuration creates a smaller triangle BDE that is similar to the larger triangle BAC.

A triangle ABC with the following properties: Angle A = 34°, Angle B = 71°, Angle C = 75°. Side AB has a length of 14.1 cm. Side BC has a length of 8.1 cm. The sum of the angles is 34° + 71° + 75° = 180°.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: هندسة إحداثية ---
هندسة إحداثية: إحداثيات رؤوس المثلثين WVV, ΔXYZ هي: X(-1, -9), Y(5, 3), Z(-1, 6), W(1, -6), V(1, -5).

--- SECTION: 22 ---
22) مثل المثلثين بيانياً، وأثبت أن ΔWVV ~ ΔXYZ.

--- SECTION: 23 ---
23) أوجد النسبة بين محيطي المثلثين.

--- SECTION: قياس ---
قياس: إذا كان ΔJKL ~ ΔABC ، وطول كل ضلع في ΔJKL يساوي نصف طول الضلع المناظر له في ΔABC ، ومساحة ΔABC تساوي 40 in² ، فما مساحة ΔJKL ؟ ما العلاقة بين مساحتي ΔABC ، ΔJKL ، ومعامل التشابه بينهما؟

--- SECTION: الربط مع الحياة ---
الربط مع الحياة في بعض العلاجات الطبية تستعمل أشعة الليزر التي تلامس الجلد وتخترقه مكونة مثلثات متشابهة.

--- SECTION: علاج ---
علاج: استعمل معلومات الربط بالحياة والشكل المجاور لإيجاد المسافة التي يجب أن تفصل بين مصدري أشعة الليزر حتى تكون المنطقتان المعالجتان المتطابقتان بكل من المصدرين غير متداخلتين.

--- SECTION: تمثيلات متعددة ---
تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستقصي الأجزاء المتناسبة في مثلث.
a. هندسياً: ارسم ΔABC وارسم DE ، بحيث تكون موازية لـ AC كما في الشكل المجاور.
b. جدولياً: قس الأطوال AD, DB, CE, EB ، وسجلها في جدول، وأوجد النسبتين AD/DB ، CE/EB وسجلهما في الجدول نفسه.
c. لفظياً: اكتب تخميناً حول القطع المستقيمة الناتجة عن مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين.

--- SECTION: مسائل مهارات التفكير العليا ---
مسائل مهارات التفكير العليا

--- SECTION: اكتب ---
اكتب: بين أوجه الشبه وأوجه الاختلاف بين مسلمة التشابه AA، ونظرية التشابه SSS، ونظرية التشابه SAS.

--- SECTION: تحد ---
تحد: إذا كانت النسبة بين أطوال أضلاع مثلث هي 2:3:4 ومحيطه 54 in، فأجب عما يأتي: إذا كان طول أصغر أضلاع مثلث آخر مشابه هو 16 in، فما طول كل من الضلعين الآخرين فيه؟

--- SECTION: 29 ---
29) قارن النسبة بين محيطي المثلثين ومعامل التشابه بينهما. ماذا تلاحظ؟

--- SECTION: تبرير ---
تبرير: قياسات زوايا مثلثين متشابهين هي: 45°, 85°, 50°. وأطوال أضلاع أحدهما 5.2, 4, 3 وحدات، وأطوال أضلاع المثلث الآخر x, x + 1.5 – 1.8 وحدة. أوجد قيمة x.

--- SECTION: مسألة مفتوحة ---
مسألة مفتوحة: ارسم مثلثاً مشابهاً لـ ΔABC المجاور، ووضح كيف تعرف أنهما متشابهان.

--- SECTION: اكتب ---
اكتب: اشرح طريقة يمكنك استعمالها لرسم مثلث يشابه مثلثاً معلوماً، وأطوال أضلاعه ضعف أطوال أضلاع المثلث المعلوم.

وزارة التعليم

الدرس 2-6 المثلثات المتشابهة 87

--- VISUAL CONTEXT ---
**IMAGE**: Untitled
Description: A close-up image of a hand holding a laser device, pointing a red laser beam onto a person's skin, likely on the lower back or hip area. The laser beam is visible as a red dot on the skin.
Context: Illustrates the application of lasers in medical treatments, specifically mentioning the formation of similar triangles, providing context for question 25.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A diagram illustrating two laser sources emitting beams onto a surface (skin). Each laser beam forms a cone, and the diagram highlights the dimensions relevant to similar triangles. The height from the laser source to the skin is 100 cm. The width of each laser beam at the skin surface is 15 cm. The distance between the inner edges of the two laser spots on the skin is 5 cm. The distance between the two laser sources is labeled 'x'. Right-angled triangles are formed by the laser beams, indicating geometric similarity.
Data: Geometric measurements for similar triangles problem.
Key Values: 100 cm, 15 cm, 5 cm, x
Context: Used for question 25, which requires calculating the distance 'x' between laser sources to prevent overlapping treated areas, based on principles of similar triangles.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A triangle ABC with vertices A, B, C. A line segment DE is drawn such that point D lies on side AB and point E lies on side BC. Arrows on DE and AC indicate that DE is parallel to AC. This configuration creates a smaller triangle BDE that is similar to the larger triangle BAC.
Context: Used for question 26, which investigates the proportional parts created in a triangle when a line parallel to one side intersects the other two sides.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A triangle ABC with the following properties: Angle A = 34°, Angle B = 71°, Angle C = 75°. Side AB has a length of 14.1 cm. Side BC has a length of 8.1 cm. The sum of the angles is 34° + 71° + 75° = 180°.
Data: Specific angle and side length measurements for a triangle.
Key Values: 34°, 71°, 75°, 14.1 cm, 8.1 cm
Context: Used for question 30, which involves finding unknown side lengths in similar triangles, and question 31, which asks to draw a similar triangle.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 13

سؤال 22: هندسة إحداثية: إحداثيات رؤوس المثلثين WVV, ΔXYZ هي: X(-1, -9), Y(5, 3), Z(-1, 6), W(1, -6), V(1, -5). 22) مثل المثلثين بيانياً، وأثبت أن ΔWVV ~ ΔXYZ.

الإجابة: الحل: XY = $\sqrt{(5 - (-1))^2 + (3 - (-9))^2} = \sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ YZ = $\sqrt{(-1 - 5)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ ZX = $\sqrt{(-1 - (-1))^2 + (6 - (-9))^2} = \sqrt{0^2 + 15^2} = \sqrt{225} = 15$ WV = $\sqrt{(1 - 1)^2 + (-5 - (-6))^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$ VV = $\sqrt{(1 - 1)^2 + (-5 - (-5))^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0$ VW = $\sqrt{(1 - 1)^2 + (-5 - (-6))^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$ نسبة التشابه = $\frac{1}{3}$، إذن المثلثان متشابهان (SSS)

سؤال 23: 23) أوجد النسبة بين محيطي المثلثين.

الإجابة: 23: النسبة بين محيطي المثلثين = معامل التشابه = $\frac{1}{2}$

سؤال 24: 24) قياس: إذا كان ΔJKL ~ ΔABC ، وطول كل ضلع في ΔJKL يساوي نصف طول الضلع المناظر له في ΔABC ، ومساحة ΔABC تساوي 40 in² ، فما مساحة ΔJKL ؟ ما العلاقة بين مساحتي ΔABC ، ΔJKL ، ومعامل التشابه بينهما؟

الإجابة: 24: مساحة $\Delta JKL = 10 in^2$ النسبة بين مساحتي المثلثين = مربع معامل التشابه.

سؤال 25: 25) علاج: استعمل معلومات الربط بالحياة والشكل المجاور لإيجاد المسافة التي يجب أن تفصل بين مصدري أشعة الليزر حتى تكون المنطقتان المعالجتان المتطابقتان بكل من المصدرين غير متداخلتين.

الإجابة: 25: $x = 15 \times (\frac{100}{15}) - 5 = 100 - 5 = 95$ cm

سؤال 26 (a): 26) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستقصي الأجزاء المتناسبة في مثلث. أ) هندسياً: ارسم ΔABC وارسم DE ، بحيث تكون موازية لـ AC كما في الشكل المجاور.

الإجابة: 26 (a): ارسم $\triangle ABC$ و DE parallel AC

سؤال 26 (b): ب) جدولياً: قس الأطوال AD, DB, CE, EB ، وسجلها في جدول، وأوجد النسبتين $\frac{AD}{DB}$ ، $\frac{CE}{EB}$ وسجلهما في الجدول نفسه.

الإجابة: 26 (b): ستجد أن $\frac{AD}{DB} = \frac{CE}{EB}$

سؤال 26 (c): ج) لفظياً: اكتب تخميناً حول القطع المستقيمة الناتجة عن مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين.

الإجابة: 26 (c): التخمين: المستقيم الموازي لضلع في مثلث ويقطع الضلعين الآخرين يقسمهما إلى أجزاء متناسبة.

سؤال 27: 27) اكتب: بين أوجه الشبه وأوجه الاختلاف بين مسلمة التشابه AA، ونظرية التشابه SSS، ونظرية التشابه SAS.

الإجابة: 27: أوجه الشبه: جميعها تستعمل أضلاع وزوايا المثلثات. أوجه الاختلاف: AA تستعمل زاويتين، SSS تستعمل ثلاثة أضلاع، SAS تستعمل ضلعين وزاوية محصورة.

سؤال 28: 28) تحد: إذا كانت النسبة بين أطوال أضلاع مثلث هي 2:3:4 ومحيطه 54 in، فأجب عما يأتي: إذا كان طول أصغر أضلاع مثلث آخر مشابه هو 16 in، فما طول كل من الضلعين الآخرين فيه؟

الإجابة: 28: أطوال الأضلاع الأخرى هي 24, 32

سؤال 29: 29) قارن النسبة بين محيطي المثلثين ومعامل التشابه بينهما. ماذا تلاحظ؟

الإجابة: 29: معامل التشابه = $\frac{1}{3}$

سؤال 30: 30) تبرير: قياسات زوايا مثلثين متشابهين هي: 45°, 85°, 50°. وأطوال أضلاع أحدهما 5.2, 4, 3 وحدات، وأطوال أضلاع المثلث الآخر x, x + 1.5 – 1.8 وحدة. أوجد قيمة x.

الإجابة: 30: $x = 4.5$

سؤال 31: 31) مسألة مفتوحة: ارسم مثلثاً مشابهاً لـ ΔABC المجاور، ووضح كيف تعرف أنهما متشابهان.

الإجابة: 31: ارسم مثلثاً مشابهاً لـ $\triangle ABC$ المجاور، ووضح كيف تعرف أنهما متشابهان. (مثلاً: ارسم مثلثاً أطوال أضلاعه ضعف أطوال أضلاع المثلث المعلوم، وزواياه متطابقة).

سؤال 32: 32) اكتب: اشرح طريقة يمكنك استعمالها لرسم مثلث يشابه مثلثاً معلوماً، وأطوال أضلاعه ضعف أطوال أضلاع المثلث المعلوم.

الإجابة: 32: استعمل أداة القياس لرسم المثلث الجديد.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 19 بطاقة لهذه الصفحة

إذا كان ΔJKL ~ ΔABC، وطول كل ضلع في ΔJKL يساوي نصف طول الضلع المناظر له في ΔABC، ومساحة ΔABC تساوي 40 in²، فما مساحة ΔJKL؟

أ) ٥ in²
ب) ١٠ in²
ج) ٢٠ in²
د) ٨٠ in²

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ١٠ in²

الشرح: ١. معامل التشابه (ك) = ١/٢ (لأن أطوال ΔJKL = نصف أطوال ΔABC). ٢. نسبة المساحات = ك² = (١/٢)² = ١/٤. ٣. مساحة ΔJKL = مساحة ΔABC × (١/٤) = ٤٠ × ١/٤ = ١٠ in².

تلميح: تذكر العلاقة بين معامل التشابه ونسبة المساحات في المثلثات المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما العلاقة بين مساحتي مثلثين متشابهين ومعامل التشابه بينهما؟

أ) نسبة المساحتين = معامل التشابه
ب) نسبة المساحتين = مربع معامل التشابه
ج) نسبة المساحتين = مكعب معامل التشابه
د) لا توجد علاقة ثابتة

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: نسبة المساحتين = مربع معامل التشابه

الشرح: إذا كان معامل التشابه بين مثلثين متشابهين هو (ك)، فإن نسبة أطوال الأضلاع المتناظرة = ك. المساحة تعتمد على حاصل ضرب بعدين (القاعدة والارتفاع)، لذا فإن نسبة المساحتين = ك × ك = ك².

تلميح: فكر في كيف تتغير المساحة عندما تتضاعف الأبعاد الخطية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

إذا رسمنا في مثلث ΔABC قطعة مستقيمة DE موازية للضلع AC وتقطع الضلعين AB و BC عند النقطتين D و E على التوالي، فماذا يمكننا التخمين حول النسبتين AD/DB و CE/EB؟

أ) AD/DB = AC/DE
ب) AD/DB = CE/EB
ج) AD/DB = AB/BC
د) AD × DB = CE × EB

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: النسبتان متساويتان (AD/DB = CE/EB)

الشرح: عندما يرسم مستقيم موازٍ لأحد أضلاع المثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فإنه يقسم هذين الضلعين إلى قطع مستقيمة متناسبة. أي أن النسبة بين جزأي الضلع الأول تساوي النسبة بين جزأي الضلع الثاني.

تلميح: هذه نتيجة مهمة من نظرية القطع المستقيمة المتناسبة في المثلثات.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما أوجه الاختلاف الرئيسية بين مسلمة التشابه AA، ونظرية التشابه SSS، ونظرية التشابه SAS؟

أ) جميعها تحتاج إلى ثلاثة أضلاع.
ب) AA تستعمل زاويتين، SSS تستعمل ثلاثة أضلاع، SAS تستعمل ضلعين والزاوية المحصورة بينهما.
ج) جميعها تحتاج إلى زاوية واحدة على الأقل.
د) الفرق هو في عدد المثلثات فقط.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: AA تستعمل زاويتين، SSS تستعمل ثلاثة أضلاع، SAS تستعمل ضلعين والزاوية المحصورة بينهما.

الشرح: ١. مسلمة التشابه AA: تكفي فيها تساوي زاويتين من المثلث الأول مع زاويتين من المثلث الثاني. ٢. نظرية التشابه SSS: تشترط تناسب أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلثين. ٣. نظرية التشابه SAS: تشترط تناسب طولي ضلعين والزاوية المحصورة بينهما في المثلثين.

تلميح: ركز على العناصر الهندسية (أضلاع أو زوايا) التي تحتاجها كل طريقة لإثبات التشابه.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: متوسط

إذا رسم مستقيم داخل مثلث بحيث يوازي أحد أضلاعه ويقطع الضلعين الآخرين، فماذا يمكن أن نستنتج عن القطع المستقيمة الناتجة على هذين الضلعين؟

أ) يقسمهما إلى أجزاء متساوية الطول
ب) يقسمهما إلى أجزاء متناسبة
ج) يكون عمودياً عليهما
د) لا يؤثر على أطوالهما

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: يقسمهما إلى أجزاء متناسبة

الشرح: وفقاً لنظرية التناسب في المثلث: إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث وكان موازياً للضلع الثالث، فإنه يقسم هذين الضلعين إلى قطع مستقيمة متناسبة. أي أن النسبة بين أطوال الأجزاء على أحد الضلعين تساوي النسبة بين أطوال الأجزاء المناظرة على الضلع الآخر.

تلميح: تذكر نظرية التناسب في المثلث عندما يكون هناك خط موازٍ لأحد الأضلاع.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كان طول كل ضلع في مثلث ΔJKL يساوي نصف طول الضلع المناظر له في مثلث ΔABC المتشابه معه، ومساحة ΔABC تساوي 40 in²، فما مساحة ΔJKL؟

أ) 20 in²
ب) 10 in²
ج) 80 in²
د) 5 in²

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 10 in²

الشرح: ١. معامل التشابه بين أضلاع المثلثين = ١/٢. ٢. نسبة المساحات = (معامل التشابه)² = (١/٢)² = ١/٤. ٣. مساحة ΔJKL = مساحة ΔABC × (١/٤) = ٤٠ × ١/٤ = ١٠ in².

تلميح: تذكر العلاقة بين معامل التشابه ونسبة المساحات في المثلثات المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

ما العلاقة بين مساحتي مثلثين متشابهين ومعامل التشابه بين أطوال أضلاعهما؟

أ) نسبة المساحتين = معامل التشابه
ب) نسبة المساحتين = (معامل التشابه)²
ج) نسبة المساحتين = ٢ × معامل التشابه
د) لا توجد علاقة ثابتة بينهما

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: نسبة المساحتين = (معامل التشابه)²

الشرح: إذا كان معامل التشابه بين أطوال أضلاع مثلثين متشابهين هو (ك)، فإن نسبة مساحتيهما تساوي مربع معامل التشابه، أي (ك)². لأن المساحة تعتمد على حاصل ضرب بعدين.

تلميح: فكر في كيفية تغير المساحة عند تكبير أو تصغير الأبعاد الخطية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما أوجه الشبه بين مسلمة التشابه AA، ونظرية التشابه SSS، ونظرية التشابه SAS؟

أ) جميعها تتطلب ثلاث زوايا متطابقة.
ب) جميعها تستعمل أضلاعاً وزوايا المثلثات.
ج) جميعها تتطلب معرفة محيط المثلث.
د) جميعها تنطبق على المثلثات القائمة فقط.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: جميعها تستعمل أضلاعاً وزوايا المثلثات.

الشرح: وجه الشبه الأساسي هو أن جميع طرق إثبات تشابه المثلثات (AA, SSS, SAS) تعتمد على مقارنة عناصر المثلثين، وهي إما أطوال الأضلاع أو قياسات الزوايا أو كليهما.

تلميح: فكر في العناصر الهندسية (أضلاع، زوايا) التي تعتمد عليها كل طريقة.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

ما أوجه الاختلاف بين مسلمة التشابه AA، ونظرية التشابه SSS، ونظرية التشابه SAS؟

أ) AA أسهل في التطبيق من SSS وSAS.
ب) AA تستعمل زاويتين، SSS تستعمل ثلاثة أضلاع، SAS تستعمل ضلعين والزاوية المحصورة.
ج) SSS وSAS تحتاج إلى رسم، بينما AA لا تحتاج.
د) AA تنطبق على جميع المضلعات، بينما SSS وSAS للمثلثات فقط.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: AA تستعمل زاويتين، SSS تستعمل ثلاثة أضلاع، SAS تستعمل ضلعين والزاوية المحصورة.

الشرح: الاختلاف يكمن في العناصر المطلوبة لإثبات التشابه: • AA: زاويتان متطابقتان. • SSS: تناسب أطوال الأضلاع الثلاثة. • SAS: تناسب طولي ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما.

تلميح: راجع الشروط المطلوبة لكل طريقة من الطرق الثلاث.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

إذا كانت النسبة بين أطوال أضلاع مثلث هي 2:3:4 ومحيطه 54 in، وكان طول أصغر أضلاع مثلث آخر مشابه له هو 16 in، فما طول الضلع الأوسط في المثلث المشابه؟

أ) 18 in
ب) 32 in
ج) 24 in
د) 36 in

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 24 in

الشرح: ١. مجموع أجزاء النسبة: ٢+٣+٤ = ٩. ٢. طول الضلع الأصغر في المثلث الأصلي = (٢/٩) × ٥٤ = ١٢ in. ٣. معامل التشابه = ١٦ ÷ ١٢ = ٤/٣. ٤. طول الضلع الأوسط في المثلث الأصلي = (٣/٩) × ٥٤ = ١٨ in. ٥. طول الضلع الأوسط في المثلث المشابه = ١٨ × (٤/٣) = ٢٤ in.

تلميح: ١. أوجد طول الضلع الأصغر في المثلث الأصلي باستخدام المحيط والنسبة. ٢. استخدم معامل التشابه لإيجاد الأطوال في المثلث الجديد.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

في المسألة 22، إحداثيات رؤوس المثلثين WVV و ΔXYZ معطاة. ما هي الخطوة الأولى لإثبات تشابه المثلثين باستخدام نظرية SSS؟

أ) قياس الزوايا المتناظرة في كلا المثلثين.
ب) حساب أطوال أضلاع كل مثلث باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين.
ج) رسم المثلثين على ورقة الرسم البياني ومقارنة أشكالهما.
د) إيجاد معادلات المستقيمات التي تمثل أضلاع المثلثين.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: حساب أطوال أضلاع كل مثلث باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين.

الشرح: ١. نظرية التشابه SSS تتطلب إثبات أن نسب أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية. ٢. الخطوة الأولى هي حساب طول كل ضلع في كلا المثلثين باستخدام صيغة المسافة: √[(س₂ - س₁)² + (ص₂ - ص₁)²]. ٣. بعد حساب الأطوال، نجد النسبة بين كل ضلعين متناظرين.

تلميح: تذكر أن نظرية SSS تتطلب مقارنة نسب أطوال الأضلاع المتناظرة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

في المسألة 23، بعد إثبات أن ΔWVV ~ ΔXYZ، كيف يمكن إيجاد النسبة بين محيطي المثلثين؟

أ) النسبة بين المحيطين تساوي مربع معامل التشابه.
ب) النسبة بين المحيطين تساوي معامل التشابه بين أطوال الأضلاع المتناظرة.
ج) النسبة بين المحيطين تساوي مجموع نسب الأضلاع المتناظرة.
د) النسبة بين المحيطين تساوي جذر معامل التشابه.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: النسبة بين المحيطين تساوي معامل التشابه بين أطوال الأضلاع المتناظرة.

الشرح: ١. محيط المثلث هو مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة. ٢. إذا كان المثلثان متشابهين، فإن كل ضلع في المثلث الصغير = (معامل التشابه) × الضلع المتناظر في المثلث الكبير. ٣. عند جمع الأضلاع الثلاثة، يصبح المحيط الكلي للمثلث الصغير = (معامل التشابه) × محيط المثلث الكبير. ٤. لذلك، النسبة بين المحيطين = معامل التشابه.

تلميح: فكر في العلاقة بين محيط المضلع وأطوال أضلاعه.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في المسألة 29، بعد إيجاد النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين ومعامل التشابه بينهما، ماذا تلاحظ؟

أ) النسبة بين المحيطين تساوي مربع معامل التشابه.
ب) النسبة بين المحيطين تساوي معامل التشابه بين أطوال الأضلاع.
ج) النسبة بين المحيطين تساوي نصف معامل التشابه.
د) لا توجد علاقة ثابتة بينهما.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: النسبة بين المحيطين تساوي معامل التشابه بين أطوال الأضلاع.

الشرح: ١. معامل التشابه (ك) هو النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين في المثلثين المتشابهين. ٢. محيط المثلث الصغير = ك × (طول الضلع الأول الكبير) + ك × (طول الضلع الثاني الكبير) + ك × (طول الضلع الثالث الكبير) = ك × (مجموع الأطوال). ٣. إذن، محيط الصغير = ك × محيط الكبير. ٤. النسبة (محيط الصغير : محيط الكبير) = ك : ١، أي أنها تساوي معامل التشابه ك.

تلميح: قارن بين القيمتين اللتين حصلت عليهما.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في المسألة 32، ما هي طريقة رسم مثلث يشابه مثلثاً معلوماً، وأطوال أضلاعه ضعف أطوال أضلاع المثلث المعلوم؟

أ) تكبير المثلث الأصلي باستخدام آلة التصوير بنسبة 200%.
ب) استخدام أداة القياس (كالمنقلة والمسطرة) لرسم أضلاع جديدة طول كل منها ضعف طول الضلع المناظر في المثلث الأصلي، مع الحفاظ على قياسات الزوايا.
ج) رسم المثلث بنفس أطوال الأضلاع ثم مضاعفة قياس كل زاوية.
د) حساب إحداثيات رؤوس جديدة عن طريق ضرب إحداثيات الرؤوس الأصلية في 2.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: استخدام أداة القياس (كالمنقلة والمسطرة) لرسم أضلاع جديدة طول كل منها ضعف طول الضلع المناظر في المثلث الأصلي، مع الحفاظ على قياسات الزوايا.

الشرح: ١. لتشابه المثلثين، يجب أن تكون الزوايا المتناظرة متطابقة. ٢. معامل التشابه المطلوب هو 2 (ضعف الطول). ٣. الطريقة: قس كل ضلع في المثلث المعلوم، ثم اضرب طوله في 2. ٤. ارسم الضلع الأول بالطول الجديد (2 × الطول الأصلي). ٥. عند رأس هذا الضلع، أنشئ زاوية مساوية للزاوية المقابلة في المثلث الأصلي. ٦. ارسم الضلع الثاني بالطول الجديد المناسب على هذا الشعاع. ٧. صل نقاط نهايات الأضلاع لإكمال المثلث.

تلميح: التشابه يتطلب الحفاظ على قياسات الزوايا وتضخيم الأضلاع بنسبة ثابتة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

في المسألة 22، إحداثيات رؤوس المثلثين WVV و ΔXYZ معطاة. ما هي خطوات إثبات تشابه المثلثين ΔWVV ~ ΔXYZ باستخدام نظرية التشابه SSS؟

أ) 1. إثبات تساوي زاويتين. 2. تطبيق مسلمة التشابه AA.
ب) 1. حساب أطوال أضلاع ΔXYZ. 2. حساب أطوال أضلاع ΔWVV. 3. إيجاد النسبة بين الأضلاع المناظرة. 4. إذا كانت النسب متساوية، فإن المثلثين متشابهان (SSS).
ج) 1. رسم المثلثين. 2. قياس الزوايا بالمنقلة. 3. مقارنة القياسات.
د) 1. إيجاد ميل كل ضلع. 2. مقارنة الميلين. 3. إذا تساويا، فالخطوط متوازية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1. حساب أطوال أضلاع ΔXYZ. 2. حساب أطوال أضلاع ΔWVV. 3. إيجاد النسبة بين الأضلاع المناظرة. 4. إذا كانت النسب متساوية، فإن المثلثين متشابهان (SSS).

الشرح: 1. احسب أطوال أضلاع ΔXYZ باستخدام قانون المسافة: XY = √[(5 - (-1))² + (3 - (-9))²] = 6√5، YZ = 3√5، ZX = 15. 2. احسب أطوال أضلاع ΔWVV: WV = 1، VV = 0، VW = 1. 3. أوجد النسبة بين الأضلاع المناظرة (مثل WV/XY). 4. إذا كانت النسب متساوية (وهي 1/3)، فإن المثلثين متشابهان حسب SSS.

تلميح: تذكر أن نظرية التشابه SSS تتطلب مقارنة النسب بين الأضلاع الثلاثة المناظرة.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب

في المسألة 23، إذا كان ΔWVV ~ ΔXYZ، فما العلاقة بين النسبة بين محيطي المثلثين ومعامل التشابه بين أطوال أضلاعهما؟

أ) النسبة بين المحيطين تساوي مربع معامل التشابه.
ب) النسبة بين المحيطين تساوي معامل التشابه بين أطوال الأضلاع.
ج) النسبة بين المحيطين تساوي نصف معامل التشابه.
د) لا توجد علاقة ثابتة بين النسبة بين المحيطين ومعامل التشابه.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: النسبة بين المحيطين تساوي معامل التشابه بين أطوال الأضلاع.

الشرح: المحيط هو مجموع أطوال الأضلاع. إذا ضُرب كل ضلع في عامل التشابه (k)، فإن المحيط الجديد = k × (مجموع الأضلاع الأصلية) = k × المحيط الأصلي. لذلك، النسبة بين المحيطين = k = معامل التشابه.

تلميح: فكر في تعريف المحيط وكيف يتأثر بضرب جميع الأضلاع في نفس العامل.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

في المسألة 28 (التحدي)، إذا كانت النسبة بين أطوال أضلاع مثلث هي 2:3:4 ومحيطه 54 in، فما طول أكبر ضلع في هذا المثلث؟

أ) 12 in
ب) 18 in
ج) 24 in
د) 36 in

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 24 in

الشرح: 1. مجموع نسب الأضلاع = 2 + 3 + 4 = 9 أجزاء. 2. قيمة الجزء الواحد = المحيط ÷ مجموع الأجزاء = 54 ÷ 9 = 6 in. 3. طول أكبر ضلع (الذي نسبته 4) = 4 × 6 = 24 in.

تلميح: استخدم مفهوم 'أجزاء' لحل المسألة: اجمع نسب الأضلاع لتجد قيمة الجزء الواحد من المحيط.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في المسألة 29، إذا كانت النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين تساوي 1/3، فما معامل التشابه بين أطوال أضلاعهما؟

أ) 1/9
ب) 1/3
ج) 3
د) 9

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 1/3

الشرح: في المثلثات المتشابهة، النسبة بين المحيطين تساوي معامل التشابه بين أطوال الأضلاع المناظرة. لذلك، إذا كانت نسبة المحيطين = 1/3، فإن معامل التشابه = 1/3.

تلميح: تذكر العلاقة المباشرة بين نسبة المحيطين ومعامل التشابه في المثلثات المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

في المسألة 30 (تبرير)، إذا كانت قياسات زوايا مثلثين متشابهين هي 45°, 85°, 50°، وأطوال أضلاع أحدهما 5.2, 4, 3 وحدات، وأطوال أضلاع المثلث الآخر x, x+1.5, 1.8 وحدة، فأي من هذه المعادلات تمثل التناسب الصحيح لإيجاد x؟ (افترض أن الضلع 3 يقابل الضلع 1.8)

أ) 5.2 / x = 4 / 1.8
ب) 3 / 1.8 = 4 / (x + 1.5)
ج) 3 / x = 4 / 1.8
د) 5.2 / (x + 1.5) = 3 / 1.8

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 3 / 1.8 = 4 / (x + 1.5)

الشرح: 1. في المثلث الأول، الأضلاع مرتبة: 3 (أصغر)، 4، 5.2 (أكبر). 2. في المثلث الثاني، الأضلاع: 1.8 (أصغر)، x، x+1.5 (أكبر). 3. بما أن المثلثين متشابهان، فإن النسبة بين الأضلاع المناظرة ثابتة. 4. التناسب بين الأصغر والأوسط: 3/1.8 = 4/(x). لكن x هو الضلع الأوسط؟ تحقق: إذا كان 1.8 هو الأصغر، فإن x+1.5 هو الأكبر، لذا x هو الأوسط. إذن التناسب الصحيح هو: 3/1.8 = 4/x.

تلميح: رتب الأضلاع من الأصغر إلى الأكبر في كل مثلث، ثم أنشئ تناسباً بين الأضلاع المناظرة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب