مثال 5 من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 القياس غير المباشر وتشابه المثلثات

المفاهيم الأساسية

القياس غير المباشر: طريقة لحساب أطوال أو ارتفاعات غير قابلة للقياس المباشر باستخدام علاقات رياضية مثل تشابه المثلثات.

خريطة المفاهيم

```markmap

تشابه المثلثات

مسلمة التشابه AA

تستخدم لإثبات النظريتين

نظريتا التشابه

نظرية التشابه بثلاثة أضلاع (SSS)

#### الشرط: تناسب أطوال الأضلاع المتناظرة

#### مثال: إذا كان JK/MP = KL/PQ = LJ/QM ، فإن JKL ~ MPQ

نظرية التشابه بضلعين وزاوية محصورة (SAS)

#### الشرط: تناسب ضلعين وتطابق الزاوية المحصورة بينهما

#### مثال: إذا كان RS/XY = ST/YZ ، ∠S ≅ ∠Y ، فإن RST ~ XYZ

برهان النظرية 6.2 (SSS)

المعطيات: AB/FG = BC/GH = AC/FH

المطلوب: ΔABC ~ ΔFGH

خطوات البرهان الرئيسية

#### إنشاء مثلث وسيط (ΔGJK) مشابه لـ ΔGFH باستخدام AA

#### إثبات تطابق ΔJGK مع ΔABC باستخدام SSS

#### استنتاج تشابه ΔABC و ΔFGH باستخدام AA

استعمال النظريتين

خطوات تحديد الأضلاع المتناظرة

#### 1. قارن أطول ضلعين

#### 2. قارن الضلعين التاليين طولاً

#### 3. قارن أقصر ضلعين

إيجاد طول مجهول في مثلثات متشابهة

#### استخدام التناسب بين الأضلاع المتناظرة

خصائص المثلثات المتشابهة (نظرية 6.4)

خاصية الانعكاس

#### ΔABC ~ ΔABC

خاصية التماثل

#### إذا كان ΔABC ~ ΔDEF ، فإن ΔDEF ~ ΔABC

خاصية التعدي

#### إذا كان ΔABC ~ ΔDEF ، و ΔDEF ~ ΔXYZ ، فإن ΔABC ~ ΔXYZ

أجزاء المثلثات المتشابهة

إيجاد أطوال مجهولة باستخدام التناسب

#### مثال: إيجاد BE و AD في مثلثين متشابهين

القياس غير المباشر

تطبيق على أرض الواقع

#### مثال: قياس ارتفاع أفعوانية باستخدام الظلال

##### المبدأ: تشابه المثلثات القائمة المتكونة من الجسم وظله

##### التناسب: طول ظل الجسم / طول الجسم = طول ظل الشيء المراد قياسه / ارتفاعه

##### خطوات الحل: افهم، خطط، حل، تحقق

```

نقاط مهمة

• في مسائل الظل، افترض أن الزاويتين المتكونتين من شعاعي الشمس وأي جسمين رأسيين تكونان متطابقتين.
• المثلث المتشكل من الجسم والأرض وشعاع الشمس المار بقمة الجسم قائم الزاوية.
• عند حل مسألة، تحقق من معقولية إجابتك (مثلاً: طول الظل أكبر بقليل من نصف طول الجسم).
• لتحويل الوحدات: 12 in = 1 ft، لذا 3 in = 3/12 = 0.25 ft.

---

حل مثال

المثال 5 (أفعوانية):

* المعطيات: طول ظل تركي = 3 ft، طول ظل الأفعوانية = 40 ft، طول تركي = 5 ft و 3 in.

* المطلوب: ارتفاع الأفعوانية (x).

* التحويل: 5 ft و 3 in = 5 + (3/12) = 5.25 ft.

* التناسب (بناءً على تشابه المثلثات):

\frac{\text{طول تركي}}{\text{ارتفاع الأفعوانية}} = \frac{\text{طول ظل تركي}}{\text{طول ظل الأفعوانية}}

\frac{5.25}{x} = \frac{3}{40}

* الحل:

1. خاصية الضرب التبادلي: \( 3 \cdot x = 40 \cdot 5.25 \)

2. بالضرب: \( 3x = 210 \)

3. بالقسمة على 3: \( x = 70 \)

* الإجابة: ارتفاع الأفعوانية = 70 ft.

* التحقق: \( \frac{70}{5.25} \approx 13.3 \) و \( \frac{40}{3} \approx 13.3 \)، النسب متساوية.

---

تحقق من فهمك

السؤال 5 (بنايات):

* المعطيات: طول ظل منصور = 9 ft، طول ظل البناية = 322.5 ft، طول منصور = 6 ft.

* المطلوب: ارتفاع البناية (h).

* التناسب:

\frac{\text{طول منصور}}{\text{ارتفاع البناية}} = \frac{\text{طول ظل منصور}}{\text{طول ظل البناية}}

\frac{6}{h} = \frac{9}{322.5}

* الحل:

1. خاصية الضرب التبادلي: \( 9 \cdot h = 322.5 \cdot 6 \)

2. بالضرب: \( 9h = 1935 \)

3. بالقسمة على 9: \( h = 215 \)

* الإجابة: ارتفاع البناية = 215 ft.

مثال 5 من واقع الحياة

القياس غير المباشر

أفعوانية: يريد تركي أن يقدر ارتفاع الأفعوانية في مدينة الألعاب، فلاحظ أنه عندما كان طول ظله 3 ft، كان طول ظل الأفعوانية 40 ft. إذا كان طول تركي 5 ft و 3 in، فكم قدمًا ارتفاع الأفعوانية؟

افهم: المعطيات: طول ظل تركي 3 ft، وطول ظل الأفعوانية 40 ft، وطول تركي 5 ft و 3 in. المطلوب: ارتفاع الأفعوانية. ارسم مخططًا توضيحيًا. 5 ft و 3 in تساوي 5.25 ft.

إرشادات للدراسة تحويل الوحدات: 12 in = 1 ft 3 in = 3/12 = 0.25 ft أي أن 5 ft و 3 in تساوي 5.25 ft

خطط: في مسائل الظل، افترض أن الزاويتين المتكونتين من شعاعي الشمس وأي جسمين رأسيين تكونان متطابقتين، وأن المثلث المتشكل من الجسم والأرض وشعاع الشمس المار بقيمة الجسم قائم الزاوية، وبما أن هناك زوجين من الزوايا المتطابقة، فإن المثلثين القائمي الزاوية متشابهان وفق مسلمة التشابه AA؛ إذن يمكن كتابة التناسب الآتي: طول ظل تركي / طول تركي = ارتفاع الأفعوانية / ارتفاع الأفعوانية

إرشادات لحل المسألة حدد الإجابات المعقولة: عندما تحل مسألة، تحقق من معقولية إجابتك. في هذا المثال، طول ظل تركي أكبر بقليل من نصف طوله، وكذلك طول ظل الأفعوانية أكبر من نصف ارتفاعها بقليل؛ لذا فالإجابة معقولة.

حل: افترض أن ارتفاع الأفعوانية يساوي x وعوض القيم المعلومة. بالتعويض: 5.25 / x = 3 / 40 خاصية الضرب التبادلي: 3 ⋅ x = 40(5.25) بالضرب: 3x = 210 بقسمة كلا الطرفين على 3: x = 70 إذن ارتفاع الأفعوانية يساوي 70 ft.

تحقق: طول ظل الأفعوانية يساوي 13.3 تقريبًا من طول ظل تركي. تحقق لترى ما إذا كان ارتفاع الأفعوانية يساوي 13.3 ≈ 40/3 مرة من طول تركي، 70 ft / 5.25 ft ≈ 13.3.

تحقق من فهمك

5) بنايات: يقف منصور بجوار بناية، وعندما كان طول ظله 9 ft، كان طول ظل البناية 322.5 ft. إذا كان طول منصور 6 ft، فكم قدمًا ارتفاع البناية؟

أضف إلى مطويتك

ملخص المفهوم

تشابه المثلثات

مسلمة التشابه AA إذا كانت: ∠A ≅ ∠X, ∠C ≅ ∠Z فإن: △ABC ~ △XYZ

نظرية التشابه SSS إذا كانت: AB/XY = BC/YZ = CA/ZX فإن: △ABC ~ △XYZ

نظرية التشابه SAS إذا كانت: ∠A ≅ ∠X, AB/XY = CA/ZX فإن: △ABC ~ △XYZ

84 الفصل 6 التشابه

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- SECTION: مثال 5 من واقع الحياة --- مثال 5 من واقع الحياة --- SECTION: القياس غير المباشر --- القياس غير المباشر --- SECTION: أفعوانية --- أفعوانية: يريد تركي أن يقدر ارتفاع الأفعوانية في مدينة الألعاب، فلاحظ أنه عندما كان طول ظله 3 ft، كان طول ظل الأفعوانية 40 ft. إذا كان طول تركي 5 ft و 3 in، فكم قدمًا ارتفاع الأفعوانية؟ --- SECTION: افهم --- افهم: المعطيات: طول ظل تركي 3 ft، وطول ظل الأفعوانية 40 ft، وطول تركي 5 ft و 3 in. المطلوب: ارتفاع الأفعوانية. ارسم مخططًا توضيحيًا. 5 ft و 3 in تساوي 5.25 ft. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة تحويل الوحدات: 12 in = 1 ft 3 in = 3/12 = 0.25 ft أي أن 5 ft و 3 in تساوي 5.25 ft --- SECTION: خطط --- خطط: في مسائل الظل، افترض أن الزاويتين المتكونتين من شعاعي الشمس وأي جسمين رأسيين تكونان متطابقتين، وأن المثلث المتشكل من الجسم والأرض وشعاع الشمس المار بقيمة الجسم قائم الزاوية، وبما أن هناك زوجين من الزوايا المتطابقة، فإن المثلثين القائمي الزاوية متشابهان وفق مسلمة التشابه AA؛ إذن يمكن كتابة التناسب الآتي: طول ظل تركي / طول تركي = ارتفاع الأفعوانية / ارتفاع الأفعوانية --- SECTION: إرشادات لحل المسألة --- إرشادات لحل المسألة حدد الإجابات المعقولة: عندما تحل مسألة، تحقق من معقولية إجابتك. في هذا المثال، طول ظل تركي أكبر بقليل من نصف طوله، وكذلك طول ظل الأفعوانية أكبر من نصف ارتفاعها بقليل؛ لذا فالإجابة معقولة. --- SECTION: حل --- حل: افترض أن ارتفاع الأفعوانية يساوي x وعوض القيم المعلومة. بالتعويض: 5.25 / x = 3 / 40 خاصية الضرب التبادلي: 3 ⋅ x = 40(5.25) بالضرب: 3x = 210 بقسمة كلا الطرفين على 3: x = 70 إذن ارتفاع الأفعوانية يساوي 70 ft. --- SECTION: تحقق --- تحقق: طول ظل الأفعوانية يساوي 13.3 تقريبًا من طول ظل تركي. تحقق لترى ما إذا كان ارتفاع الأفعوانية يساوي 13.3 ≈ 40/3 مرة من طول تركي، 70 ft / 5.25 ft ≈ 13.3. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 5 --- 5) بنايات: يقف منصور بجوار بناية، وعندما كان طول ظله 9 ft، كان طول ظل البناية 322.5 ft. إذا كان طول منصور 6 ft، فكم قدمًا ارتفاع البناية؟ --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك --- SECTION: ملخص المفهوم --- ملخص المفهوم --- SECTION: تشابه المثلثات --- تشابه المثلثات --- SECTION: مسلمة التشابه AA --- مسلمة التشابه AA إذا كانت: ∠A ≅ ∠X, ∠C ≅ ∠Z فإن: △ABC ~ △XYZ --- SECTION: نظرية التشابه SSS --- نظرية التشابه SSS إذا كانت: AB/XY = BC/YZ = CA/ZX فإن: △ABC ~ △XYZ --- SECTION: نظرية التشابه SAS --- نظرية التشابه SAS إذا كانت: ∠A ≅ ∠X, AB/XY = CA/ZX فإن: △ABC ~ △XYZ 84 الفصل 6 التشابه وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: مخطط توضيحي Description: A diagram illustrating the concept of indirect measurement using similar triangles. It shows a roller coaster and a person (Turki) casting shadows. The roller coaster has an unknown height 'x ft' and casts a shadow of '40 ft'. The person has a height of '5.25 ft' and casts a shadow of '3 ft'. Both objects are depicted as vertical lines, and their shadows as horizontal lines on the ground. The sun's rays form the hypotenuses, creating two similar right-angled triangles. X-axis: distance (ft) Y-axis: height (ft) Data: The diagram visually represents two similar right triangles. The first triangle has a vertical side of length 'x' (roller coaster height) and a horizontal side of length '40' (roller coaster shadow). The second triangle has a vertical side of length '5.25' (person's height) and a horizontal side of length '3' (person's shadow). The angles of elevation of the sun are assumed to be equal, making the triangles similar. Key Values: x ft, 40 ft, 5.25 ft, 3 ft Context: This diagram is used to set up a proportion for solving the indirect measurement problem in Example 5, demonstrating the application of similar triangles. **DIAGRAM**: مسلمة التشابه AA Description: A diagram illustrating the Angle-Angle (AA) Similarity Postulate. It shows two triangles, △ABC (larger) and △XYZ (smaller). Angle A in △ABC is marked with a single arc, congruent to Angle X in △XYZ, which is also marked with a single arc. Angle C in △ABC is marked with a double arc, congruent to Angle Z in △XYZ, which is also marked with a double arc. This visual confirms that if two angles of one triangle are congruent to two angles of another triangle, then the triangles are similar. Data: The diagram shows two triangles, △ABC and △XYZ, with vertices labeled. Angle A is congruent to Angle X, and Angle C is congruent to Angle Z, indicated by matching arc marks. This visual supports the AA Similarity Postulate. Context: This diagram visually explains the AA Similarity Postulate, a fundamental concept for determining if two triangles are similar based on their angles. **DIAGRAM**: نظرية التشابه SSS Description: A diagram illustrating the Side-Side-Side (SSS) Similarity Theorem. It shows two triangles, △ABC (larger) and △XYZ (smaller). The sides are labeled A, B, C for the first triangle and X, Y, Z for the second. The diagram implies that if the corresponding sides are proportional (AB/XY = BC/YZ = CA/ZX), then the triangles are similar. No specific side lengths are given, but the visual representation of two triangles of different sizes suggests proportionality. Data: The diagram shows two triangles, △ABC and △XYZ, with vertices labeled. The visual implies that the ratio of corresponding sides is constant, which is the condition for SSS Similarity. Context: This diagram visually explains the SSS Similarity Theorem, a fundamental concept for determining if two triangles are similar based on the proportionality of their sides. **DIAGRAM**: نظرية التشابه SAS Description: A diagram illustrating the Side-Angle-Side (SAS) Similarity Theorem. It shows two triangles, △ABC (larger) and △XYZ (smaller). Angle A in △ABC is marked with a single arc, congruent to Angle X in △XYZ, which is also marked with a single arc. The sides adjacent to these angles (AB and AC for △ABC, XY and XZ for △XYZ) are implied to be proportional. This visual confirms that if two sides of one triangle are proportional to two sides of another triangle and the included angles are congruent, then the triangles are similar. Data: The diagram shows two triangles, △ABC and △XYZ, with vertices labeled. Angle A is congruent to Angle X, indicated by matching arc marks. The visual implies that the ratio of sides AB to XY and AC to XZ is constant, which is the condition for SAS Similarity. Context: This diagram visually explains the SAS Similarity Theorem, a fundamental concept for determining if two triangles are similar based on two proportional sides and their included angle.