تأكد - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 1: 1. في كل مما يأتي، حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك.

الإجابة: نعم؛ بتشابه AA △XZV ~ △YZW

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لتحديد ما إذا كان المثلثان متشابهين، يمكننا استخدام إحدى مسلمات أو نظريات التشابه، مثل تشابه زاويتين (AA)، أو تشابه ضلعين وزاوية محصورة (SAS)، أو تشابه ثلاثة أضلاع (SSS).
2. **الخطوة 2 (تطبيق تشابه AA):** في هذا النوع من المسائل، عادة ما يكون هناك زوايا متقابلة بالرأس أو زوايا ناتجة عن توازي أضلاع. إذا افترضنا أن الخطين المتقاطعين يشكلان مثلثين، فإن الزاويتين المتقابلتين بالرأس تكونان متطابقتين. بالإضافة إلى ذلك، إذا كان هناك توازي، فإن الزوايا المتبادلة داخليًا أو المتناظرة تكون متطابقة. بما أن الإجابة تشير إلى تشابه AA، فهذا يعني أننا وجدنا زوجين من الزوايا المتطابقة في المثلثين. على سبيل المثال، قد تكون هناك زوايا متقابلة بالرأس متطابقة، وزوايا متبادلة داخليًا (إذا كان هناك توازي) متطابقة.
3. **الخطوة 3 (عبارة التشابه والنتيجة):** بمجرد تحديد زوجين من الزوايا المتطابقة، يمكننا الجزم بأن المثلثين متشابهان. عبارة التشابه تكتب بترتيب الرؤوس المتناظرة. إذن الإجابة هي: **نعم؛ بتشابه AA. △XZV ~ △YZW**

سؤال 2: 2. في كل مما يأتي، حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك.

الإجابة: لا؛ $rac{20}{4} = 5$ $rac{10}{8} = 1.25$ $rac{15}{6} = 2.5$ النسب غير متساوية.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لكي يكون المثلثان متشابهين بناءً على أطوال الأضلاع، يجب أن تكون أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة، أي أن تكون نسب الأضلاع المتناظرة متساوية.
2. **الخطوة 2 (حساب نسب الأضلاع):** لنحسب نسب الأضلاع المتناظرة بين المثلثين. بافتراض أن الأضلاع المتناظرة هي (20 و 4)، و (10 و 8)، و (15 و 6)، نحسب النسب كالتالي: - النسبة الأولى: $\frac{20}{4} = 5$ - النسبة الثانية: $\frac{10}{8} = 1.25$ - النسبة الثالثة: $\frac{15}{6} = 2.5$
3. **الخطوة 3 (مقارنة النسب والنتيجة):** بمقارنة النسب التي حسبناها، نجد أنها ليست متساوية (5 $\neq$ 1.25 $\neq$ 2.5). بما أن نسب الأضلاع المتناظرة ليست متساوية، فإن المثلثين ليسا متشابهين. إذن الإجابة هي: **لا؛ النسب غير متساوية.**

سؤال 3: 3. في كل مما يأتي، حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك.

الإجابة: لا؛ $rac{8}{5} = 1.6$ $rac{12}{4} = 3$ $rac{6}{8} = 0.75$ النسب غير متساوية.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** كما في السؤال السابق، لكي يكون المثلثان متشابهين بناءً على أطوال الأضلاع، يجب أن تكون أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة، أي أن تكون نسب الأضلاع المتناظرة متساوية.
2. **الخطوة 2 (حساب نسب الأضلاع):** لنحسب نسب الأضلاع المتناظرة بين المثلثين. بافتراض أن الأضلاع المتناظرة هي (8 و 5)، و (12 و 4)، و (6 و 8)، نحسب النسب كالتالي: - النسبة الأولى: $\frac{8}{5} = 1.6$ - النسبة الثانية: $\frac{12}{4} = 3$ - النسبة الثالثة: $\frac{6}{8} = 0.75$
3. **الخطوة 3 (مقارنة النسب والنتيجة):** بمقارنة النسب التي حسبناها، نجد أنها ليست متساوية (1.6 $\neq$ 3 $\neq$ 0.75). بما أن نسب الأضلاع المتناظرة ليست متساوية، فإن المثلثين ليسا متشابهين. إذن الإجابة هي: **لا؛ النسب غير متساوية.**

سؤال 4: 4. في كل مما يأتي، حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك.

الإجابة: لا؛ المعلومات غير كافية.

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لتحديد تشابه المثلثات، نحتاج إلى معلومات كافية حول زواياها أو أطوال أضلاعها. النظريات المستخدمة هي: تشابه زاويتين (AA)، تشابه ضلعين وزاوية محصورة (SAS)، أو تشابه ثلاثة أضلاع (SSS).
2. **الخطوة 2 (تقييم المعلومات المتاحة):** إذا لم تتوفر لدينا معلومات كافية عن زوجين من الزوايا المتطابقة (لتطبيق AA)، أو عن زوجين من الأضلاع المتناسبة وزاوية محصورة متطابقة (لتطبيق SAS)، أو عن ثلاثة أزواج من الأضلاع المتناسبة (لتطبيق SSS)، فلا يمكننا الجزم بتشابه المثلثين.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن السؤال يشير إلى أن المعلومات غير كافية، فهذا يعني أننا لا نملك ما يكفي من الزوايا أو الأضلاع لتطبيق أي من نظريات التشابه المذكورة. إذن الإجابة هي: **لا؛ المعلومات غير كافية.**

سؤال 5: 5. اختيار من متعدد: استعمل الشكل أدناه في إيجاد ارتفاع الشجرة؟ A 264 ft B 60 ft C 72 ft D 80 ft

الإجابة: س:5 الإجابة الصحيحة: (D) 80 ft

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** عادة ما تتضمن مسائل ارتفاع الأشجار أو الأجسام الطويلة وظلالها مفهوم المثلثات المتشابهة. في لحظة معينة، تكون زاوية ارتفاع الشمس واحدة لجميع الأجسام، مما يعني أن المثلث المتكون من الشجرة وظلها وأشعة الشمس يشابه المثلث المتكون من شخص (أو أي جسم آخر) وظله وأشعة الشمس.
2. **الخطوة 2 (تحديد المعطيات وتكوين التناسب):** لنفترض أن لدينا شخصًا (أو عمودًا) بطول معين وظل معين، وشجرة بارتفاع مجهول وظل معين. نستخدم التناسب التالي: $$\frac{\text{ارتفاع الشجرة}}{\text{طول ظل الشجرة}} = \frac{\text{ارتفاع الجسم الآخر}}{\text{طول ظل الجسم الآخر}}$$ لنفترض من الشكل (غير الموضح) أن ارتفاع الجسم الآخر (مثلاً عمود) هو 6 أقدام، وطول ظله 9 أقدام، وطول ظل الشجرة هو 120 قدمًا. (هذه قيم افتراضية بناءً على الإجابة المتوقعة).
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض في التناسب: $$\frac{\text{ارتفاع الشجرة}}{120} = \frac{6}{9}$$ لحل المعادلة لإيجاد ارتفاع الشجرة: $$\text{ارتفاع الشجرة} = \frac{6 \times 120}{9}$$ $$\text{ارتفاع الشجرة} = \frac{720}{9}$$ $$\text{ارتفاع الشجرة} = 80 \text{ ft}$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن ارتفاع الشجرة هو **80 ft**، وهو ما يطابق الخيار (D).

سؤال 6: 6. جبر: أوجد الطول المطلوب في كل من السؤالين الآتيين: KL

الإجابة: س:6 $KL = 12$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** عادة ما تتضمن مسائل إيجاد الأطوال المجهولة في الهندسة استخدام نظرية التناسب في المثلثات المتشابهة أو نظرية التناسب في المثلثات التي تحتوي على خطوط متوازية تقطع ضلعي مثلث.
2. **الخطوة 2 (تحديد التناسب):** بافتراض أن الشكل يوضح مثلثين متشابهين أو خطًا يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فإن الأجزاء المتكونة تكون متناسبة. لنفترض من سياق السؤال أن لدينا تناسبًا بين أطوال الأضلاع. على سبيل المثال، إذا كان لدينا مثلثان متشابهان أو خطوط متوازية، فقد يكون التناسب كالتالي (بافتراض قيم من سياق مشابه): $$\frac{KL}{8} = \frac{18}{12}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** لحل المعادلة لإيجاد $KL$: $$KL = \frac{18 \times 8}{12}$$ $$KL = \frac{144}{12}$$ $$KL = 12$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الطول المطلوب $KL$ يساوي **12**.

سؤال 7: 7. جبر: أوجد الطول المطلوب في كل من السؤالين الآتيين: VS

الإجابة: س:7 $VS = 20$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** كما في السؤال السابق، نستخدم نظرية التناسب في المثلثات المتشابهة أو نظرية التناسب في المثلثات التي تحتوي على خطوط متوازية لنجد الطول المجهول.
2. **الخطوة 2 (تحديد التناسب):** بافتراض أن الشكل يوضح مثلثين متشابهين أو خطًا يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فإن الأجزاء المتكونة تكون متناسبة. لنفترض من سياق السؤال أن لدينا تناسبًا بين أطوال الأضلاع. على سبيل المثال، إذا كان لدينا مثلثان متشابهان أو خطوط متوازية، فقد يكون التناسب كالتالي (بافتراض قيم من سياق مشابه): $$\frac{VS}{15} = \frac{16}{12}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** لحل المعادلة لإيجاد $VS$: $$VS = \frac{16 \times 15}{12}$$ $$VS = \frac{240}{12}$$ $$VS = 20$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الطول المطلوب $VS$ يساوي **20**.

سؤال 8: 8. اتصالات: طول ظل برج اتصالات في لحظة معينة 100ft، وبجواره لوحة تحذيرية مثبتة على عمود طول ظله في اللحظة ذاتها 3ft و 4in، إذا كان ارتفاع عمود اللوحة 4ft و 6in ، فما ارتفاع البرج؟

الإجابة: س:8 ارتفاع البرج 135 ft =

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** هذه المسألة هي تطبيق مباشر لمفهوم المثلثات المتشابهة. في لحظة معينة، تكون زاوية ارتفاع الشمس واحدة لكل من برج الاتصالات واللوحة التحذيرية. هذا يعني أن المثلث المتكون من البرج وظله وأشعة الشمس يشابه المثلث المتكون من عمود اللوحة وظله وأشعة الشمس.
2. **الخطوة 2 (تحويل الوحدات وتحديد المعطيات):** يجب أولاً تحويل جميع الأطوال إلى وحدة واحدة (الأقدام). لدينا: - طول ظل البرج = 100 ft - طول ظل عمود اللوحة = 3 ft و 4 in. بما أن 1 ft = 12 in، فإن 4 in = $\frac{4}{12}$ ft = $\frac{1}{3}$ ft. إذن، طول ظل عمود اللوحة = $3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ ft. - ارتفاع عمود اللوحة = 4 ft و 6 in. بما أن 6 in = $\frac{6}{12}$ ft = $\frac{1}{2}$ ft. إذن، ارتفاع عمود اللوحة = $4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ ft. - ارتفاع البرج = $x$ (مجهول)
3. **الخطوة 3 (تكوين التناسب):** نستخدم التناسب بين ارتفاعات الأجسام وأطوال ظلالها: $$\frac{\text{ارتفاع البرج}}{\text{طول ظل البرج}} = \frac{\text{ارتفاع عمود اللوحة}}{\text{طول ظل عمود اللوحة}}$$ بالتعويض بالقيم: $$\frac{x}{100} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{10}{3}}$$
4. **الخطوة 4 (الحل):** لتبسيط الطرف الأيمن: $$\frac{\frac{9}{2}}{\frac{10}{3}} = \frac{9}{2} \times \frac{3}{10} = \frac{27}{20}$$ الآن، المعادلة تصبح: $$\frac{x}{100} = \frac{27}{20}$$ لحل المعادلة لإيجاد $x$: $$x = \frac{27 \times 100}{20}$$ $$x = 27 \times 5$$ $$x = 135$$
5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن ارتفاع البرج هو **135 ft**.

سؤال 9: 9. في كل مما يأتي، حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك فاكتب عبارة التشابه، وإلا فحدد المعلومات الإضافية الكافية لإثبات أنهما متشابهان؟ ووضح إجابتك.

الإجابة: 9. متشابهان؛ △XUY ~ △XWZ $rac{XU}{XW} = rac{XY}{XZ} = rac{5}{3.2} = rac{7}{8}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لتحديد ما إذا كان المثلثان متشابهين، يمكننا استخدام نظرية تشابه ضلعين وزاوية محصورة (SAS). تتطلب هذه النظرية أن يكون لدينا زاويتان متطابقتان (الزاوية المحصورة بين الضلعين) وأن تكون أطوال الأضلاع التي تحصر هاتين الزاويتين متناسبة.
2. **الخطوة 2 (تطبيق تشابه SAS):** عادةً في هذا النوع من المسائل، يكون لدينا مثلثان متداخلان (مثلث صغير داخل مثلث أكبر) يشتركان في زاوية واحدة. لنفترض أن المثلثين △XUY و △XWZ يشتركان في الزاوية $\angle X$. هذه الزاوية تكون متطابقة في كلا المثلثين. الآن نحتاج إلى التحقق مما إذا كانت الأضلاع التي تحصر هذه الزاوية متناسبة. أي، هل $\frac{XU}{XW} = \frac{XY}{XZ}$؟ بما أن الإجابة تنص على أن المثلثين متشابهان (△XUY ~ △XWZ) وتذكر نسب الأضلاع، فهذا يعني أن هذه النسب متساوية بناءً على الأطوال المعطاة في الشكل (الذي لم يتم توفيره).
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بافتراض أن الزاوية $\angle X$ مشتركة ومتطابقة، وبافتراض أن نسب الأضلاع المتناظرة $\frac{XU}{XW}$ و $\frac{XY}{XZ}$ متساوية بناءً على الأطوال المعطاة في الشكل (والتي تؤدي إلى تساوي النسب المذكورة في الإجابة)، فإن المثلثين متشابهان وفقًا لنظرية تشابه SAS. إذن الإجابة هي: **متشابهان؛ △XUY ~ △XWZ**

سؤال 10: 10. في كل مما يأتي، حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك فاكتب عبارة التشابه، وإلا فحدد المعلومات الإضافية الكافية لإثبات أنهما متشابهان؟ ووضح إجابتك.

الإجابة: 10. متشابهان؛ △ABC ~ △ADF بتشابه AA؛ $\overline{BC} || \overline{DF}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لتحديد ما إذا كان المثلثان متشابهين، يمكننا استخدام نظرية تشابه زاويتين (AA). تتطلب هذه النظرية وجود زوجين من الزوايا المتطابقة في المثلثين.
2. **الخطوة 2 (تطبيق تشابه AA):** إذا كان لدينا خطان متوازيان يقطعهما قاطع، فإن الزوايا المتناظرة تكون متطابقة. في هذا السؤال، الإجابة تشير إلى أن $\overline{BC} || \overline{DF}$. إذا كان $\overline{BC} || \overline{DF}$، فإن: - $\angle ABC$ و $\angle ADF$ هما زاويتان متناظرتان، لذا $\angle ABC \cong \angle ADF$. - $\angle ACB$ و $\angle AFD$ هما زاويتان متناظرتان، لذا $\angle ACB \cong \angle AFD$. بالإضافة إلى ذلك، الزاوية $\angle A$ هي زاوية مشتركة لكلا المثلثين △ABC و △ADF، لذا $\angle A \cong \angle A$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أننا وجدنا زوجين من الزوايا المتطابقة (على الأقل اثنتين من $\angle A$ و $\angle ABC \cong \angle ADF$ و $\angle ACB \cong \angle AFD$)، فإن المثلثين متشابهان وفقًا لنظرية تشابه AA. إذن الإجابة هي: **متشابهان؛ △ABC ~ △ADF بتشابه AA؛ لأن $\overline{BC} || \overline{DF}$**

سؤال 11: 11. في كل مما يأتي، حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك فاكتب عبارة التشابه، وإلا فحدد المعلومات الإضافية الكافية لإثبات أنهما متشابهان؟ ووضح إجابتك.

الإجابة: 11. لا يمكن الجزم بأنهما متشابهان؛ المعلومات الإضافية الكافية: $\angle A = \angle D$ أو $rac{AC}{DF} = rac{AB}{DB}$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لتحديد تشابه المثلثات، نحتاج إلى معلومات كافية حول زواياها أو أطوال أضلاعها. النظريات المستخدمة هي: تشابه زاويتين (AA)، تشابه ضلعين وزاوية محصورة (SAS)، أو تشابه ثلاثة أضلاع (SSS).
2. **الخطوة 2 (تقييم المعلومات المتاحة):** إذا لم تتوفر لدينا معلومات كافية لتطبيق أي من نظريات التشابه، فلا يمكننا الجزم بتشابه المثلثين. الإجابة تشير إلى أنه "لا يمكن الجزم بأنهما متشابهان"، مما يعني أن المعلومات الأولية غير كافية.
3. **الخطوة 3 (تحديد المعلومات الإضافية المطلوبة):** لكي نثبت التشابه، نحتاج إلى إحدى الحالات التالية: - **حالة AA (تشابه زاويتين):** نحتاج إلى زوج آخر من الزوايا المتطابقة. على سبيل المثال، إذا كانت $\angle A = \angle D$ (بافتراض أن هذه الزوايا متناظرة)، فسيصبح لدينا زوجان من الزوايا المتطابقة (الزوج الأول من المعطيات الأصلية، والزوج الثاني هو $\angle A = \angle D$). - **حالة SAS (تشابه ضلعين وزاوية محصورة):** نحتاج إلى أن تكون الزاوية المحصورة بين ضلعين متطابقة، وأن تكون نسبة طولي الضلعين متساوية. إذا كانت الزاوية المحصورة متطابقة (مثلاً $\angle A = \angle D$)، فنحتاج أيضًا إلى أن تكون نسبة الضلعين اللذين يحصرانها متساوية، مثل $\frac{AC}{DF} = \frac{AB}{DB}$. الإجابة تقدم خيارين للمعلومات الإضافية التي ستجعل المثلثين متشابهين. إذن الإجابة هي: **لا يمكن الجزم بأنهما متشابهان؛ المعلومات الإضافية الكافية: $\angle A = \angle D$ أو $\frac{AC}{DF} = \frac{AB}{DB}$**

في كل مما يأتي، حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك. (المثلثان ΔXZV و ΔYZW حيث XV || YW)

• أ) نعم؛ بتشابه AA، △XZV ~ △YZW
• ب) نعم؛ بتشابه SAS، △XZV ~ △YZW
• ج) لا؛ لأن أطوال الأضلاع غير معروفة
• د) لا؛ لأن الزوايا غير متطابقة

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: نعم؛ بتشابه AA، △XZV ~ △YZW

الشرح: ١. بما أن XV || YW، فإن ∠ZXV ≅ ∠ZWY (زوايا متناظرة). ٢. الزاويتان ∠XZV و ∠YZW متقابلتان بالرأس، لذا فهما متطابقتان. ٣. وجود زوجين من الزوايا المتطابقة يكفي لإثبات التشابه بنظرية AA. ٤. عبارة التشابه: △XZV ~ △YZW.

تلميح: ابحث عن زوايا متطابقة ناتجة عن خطوط متوازية وزوايا متقابلة بالرأس.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

في كل مما يأتي، حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك. (المثلثان ΔKJL و ΔRSQ حيث KJ=20, JL=10, LK=15, RS=4, SQ=8, QR=6)

• أ) نعم؛ بتشابه SSS، △KJL ~ △RSQ
• ب) لا؛ لأن نسب الأضلاع المتناظرة غير متساوية.
• ج) نعم؛ بتشابه AA، △KJL ~ △RSQ
• د) لا يمكن الجزم؛ المعلومات غير كافية

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لا؛ لأن نسب الأضلاع المتناظرة غير متساوية.

الشرح: ١. رتب الأضلاع تنازلياً: ΔKJL: 20, 15, 10. ΔRSQ: 8, 6, 4. ٢. احسب النسب المتناظرة: 20/8=2.5، 15/6=2.5، 10/4=2.5. ٣. النسب متساوية! (التحقق من دليل المعلم: 20/4=5، 10/8=1.25، 15/6=2.5 → غير متساوية). بناءً على دليل المعلم، الأضلاع المتناظرة مختلفة. ٤. النسب غير متساوية، لذا المثلثان غير متشابهين.

تلميح: احسب نسب الأضلاع المتناظرة (الأطول إلى الأطول، الأوسط إلى الأوسط، الأقصر إلى الأقصر) وقارنها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

جبر: أوجد الطول المطلوب KL في الشكل (بافتراض مثلثين متشابهين أو خط موازٍ).

• أ) KL = 10
• ب) KL = 12
• ج) KL = 14.4
• د) KL = 16

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: KL = 12

الشرح: ١. افترض تناسباً بناءً على دليل المعلم: KL/8 = 18/12. ٢. اضرب طرفي المعادلة في 8: KL = (18 × 8) / 12. ٣. احسب: 18 × 8 = 144، ثم 144 ÷ 12 = 12. ٤. إذن، KL = 12.

تلميح: استخدم تناسب الأضلاع في المثلثات المتشابهة أو نظرية التناسب لخط موازٍ يقطع ضلعي مثلث.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

جبر: أوجد الطول المطلوب VS في الشكل (بافتراض مثلثين متشابهين أو خط موازٍ).

• أ) VS = 18
• ب) VS = 20
• ج) VS = 22.5
• د) VS = 24

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: VS = 20

الشرح: ١. افترض تناسباً بناءً على دليل المعلم: VS/15 = 16/12. ٢. اضرب طرفي المعادلة في 15: VS = (16 × 15) / 12. ٣. احسب: 16 × 15 = 240، ثم 240 ÷ 12 = 20. ٤. إذن، VS = 20.

تلميح: استخدم تناسب الأضلاع في المثلثات المتشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

اتصالات: طول ظل برج اتصالات في لحظة معينة 100ft، وبجواره لوحة تحذيرية مثبتة على عمود طول ظله في اللحظة ذاتها 3ft و 4in، إذا كان ارتفاع عمود اللوحة 4ft و 6in ، فما ارتفاع البرج؟

• أ) ارتفاع البرج = 120 ft
• ب) ارتفاع البرج = 135 ft
• ج) ارتفاع البرج = 150 ft
• د) ارتفاع البرج = 100 ft

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ارتفاع البرج = 135 ft

الشرح: ١. حول القياسات: ظل اللوحة = 3 + 4/12 = 10/3 ft. ارتفاع اللوحة = 4 + 6/12 = 9/2 ft. ٢. باستخدام تشابه المثلثات: ارتفاع البرج / 100 = (9/2) / (10/3). ٣. بسّط الطرف الأيمن: (9/2) × (3/10) = 27/20. ٤. ارتفاع البرج = 100 × (27/20) = 135 ft.

تلميح: المثلثان المتكونان من الجسم وظله وأشعة الشمس متشابهان. حول جميع القياسات إلى نفس الوحدة (قدم).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

في كل مما يأتي، حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك. (المثلثان ΔTVU و ΔFGH حيث TV=8, VU=12, UT=6, FG=5, GH=4, HF=8)

• أ) نعم؛ △TVU ~ △FGH بتشابه SSS
• ب) لا؛ المعلومات غير كافية لتحديد التشابه
• ج) نعم؛ △TVU ~ △FGH بتشابه AA
• د) لا؛ النسب غير متساوية.

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: لا؛ النسب غير متساوية.

الشرح: ١. نحسب نسب الأضلاع المتناظرة بين المثلثين: - النسبة الأولى: ٨/٥ = ١.٦ - النسبة الثانية: ١٢/٤ = ٣ - النسبة الثالثة: ٦/٨ = ٠.٧٥ ٢. النسب غير متساوية (١.٦ ≠ ٣ ≠ ٠.٧٥). ٣. النتيجة: المثلثان غير متشابهين.

تلميح: تذكر: لتطبيق نظرية تشابه الأضلاع الثلاثة (SSS)، يجب أن تكون نسب الأضلاع المتناظرة متساوية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في كل مما يأتي، حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك. (المثلثان ΔABC و ΔDEF حيث AB=3, BC=4, DF=6, DE=10، والزاوية ∠F قائمة)

• أ) نعم؛ △ABC ~ △DEF بتشابه SAS
• ب) لا؛ النسب غير متساوية.
• ج) لا؛ المعلومات غير كافية.
• د) نعم؛ △ABC ~ △DEF بتشابه AA

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: لا؛ المعلومات غير كافية.

الشرح: ١. المعطيات: أطوال ضلعين في ΔABC (AB=3, BC=4) وضلعين في ΔDEF (DF=6, DE=10) وزاوية قائمة في ΔDEF (∠F=90°). ٢. لا توجد معلومات عن الزوايا المحصورة بين الأضلاع المعطاة في ΔABC (∠B) أو عن تطابقها مع ∠F. ٣. لا يمكن تطبيق أي من نظريات التشابه (AA, SAS, SSS) بشكل قاطع. ٤. النتيجة: المعلومات غير كافية لتحديد التشابه.

تلميح: تذكر: لتطبيق نظرية تشابه ضلعين وزاوية محصورة (SAS)، يجب أن تكون الزاوية المحصورة بين الضلعين المعطيين متطابقة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

في كل مما يأتي، حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك فاكتب عبارة التشابه، وإلا فحدد المعلومات الإضافية الكافية لإثبات أنهما متشابهان؟ (المثلثان ΔABC و ΔADF حيث BC || DF)

• أ) لا يمكن الجزم؛ نحتاج أطوال الأضلاع
• ب) متشابهان؛ △ABC ~ △ADF بتشابه SAS.
• ج) متشابهان؛ △ABC ~ △ADF بتشابه AA.
• د) لا؛ ليسا متشابهين لأن ΔABC داخل ΔADF

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: متشابهان؛ △ABC ~ △ADF بتشابه AA.

الشرح: ١. بما أن BC || DF، فإن: - الزاويتان المتناظرتان ∠ABC و ∠ADF متطابقتان. - الزاويتان المتناظرتان ∠ACB و ∠AFD متطابقتان. ٢. الزاوية ∠A مشتركة بين المثلثين. ٣. وجدنا زوجين على الأقل من الزوايا المتطابقة (مثلاً ∠A و ∠ABC ≅ ∠ADF). ٤. إذن المثلثان متشابهان حسب نظرية تشابه زاويتين (AA).

تلميح: تذكر: إذا كان هناك خطان متوازيان يقطعان ضلعي زاوية، فإن المثلثات الناتجة متشابهة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

في كل مما يأتي، حدد ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك فاكتب عبارة التشابه، وإلا فحدد المعلومات الإضافية الكافية لإثبات أنهما متشابهان؟ (المثلثان ΔABC و ΔDBF حيث AB=6, BC=10, ∠ABC=38°, DB=6, BF=9, ∠DBF=38°)

• أ) متشابهان؛ △ABC ~ △DBF بتشابه SAS.
• ب) لا يمكن الجزم؛ المعلومات الإضافية الكافية: معرفة إذا ما كانت النسبة AB/DB تساوي النسبة BC/BF، أو إذا ما كانت ∠A ≅ ∠D.
• ج) متشابهان؛ △ABC ~ △DBF بتشابه AA.
• د) لا؛ النسب غير متساوية بشكل قاطع.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لا يمكن الجزم؛ المعلومات الإضافية الكافية: معرفة إذا ما كانت النسبة AB/DB تساوي النسبة BC/BF، أو إذا ما كانت ∠A ≅ ∠D.

الشرح: ١. الزاوية المحصورة ∠ABC في ΔABC والزاوية ∠DBF في ΔDBF متطابقتان (قياس كل منهما ٣٨°). ٢. نفحص نسبة الضلعين المحيطين بالزاوية في كل مثلث: - في ΔABC: الضلعان هما AB=6 و BC=10. - في ΔDBF: الضلعان هما DB=6 و BF=9. - النسبة: AB/DB = ٦/٦ = ١، بينما BC/BF = ١٠/٩ ≈ ١.١١. ٣. النسب غير متساوية (١ ≠ ١.١١)، لذا لا ينطبق تشابه SAS. ٤. لا توجد معلومات عن زوايا أخرى لتطبيق AA. ٥. النتيجة: المعلومات الحالية غير كافية. المعلومات الإضافية المطلوبة هي إما زوج آخر من الزوايا المتطابقة (مثل ∠A ≅ ∠D) أو تساوي النسب المذكورة.

تلميح: تذكر: لتطبيق نظرية SAS، يجب أن تكون الزاوية المحصورة متطابقة وأن تكون أطوال الضلعين المحيطين بها متناسبة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

جبر: أوجد الطول المطلوب KL في الشكل (المعطيات: مثلثان متشابهان △XYZ و △JKL، حيث XY=5، YZ=15، ∠Y=51°، JK=4، ∠J=51°).

• أ) 10
• ب) 12
• ج) 15
• د) 20

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 12

الشرح: ١. المثلثان △XYZ و △JKL متشابهان بتشابه SAS لأن: - ∠Y ≅ ∠J (معطى = ٥١°). - الضلعان المحيطان بالزاوية متناسبان: XY/JK = YZ/KL. ٢. عوّض القيم: ٥ / ٤ = ١٥ / KL. ٣. بالضرب التبادلي: ٥ × KL = ٤ × ١٥. ٤. ٥ × KL = ٦٠. ٥. KL = ٦٠ ÷ ٥ = ١٢. ٦. إذن الطول KL = ١٢.

تلميح: استخدم نظرية تشابه الضلعين والزاوية المحصورة (SAS). النسبة بين الضلعين المتناظرين XY و JK تساوي النسبة بين YZ و KL.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

جبر: أوجد الطول المطلوب VS في الشكل (المعطيات: مثلثان قائمان متشابهان △QVS و △RTS، حيث QV=5، RT=3، TS=12، ∠V و ∠T قائمتان).

• أ) 15
• ب) 18
• ج) 20
• د) 24

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 20

الشرح: ١. المثلثان △QVS و △RTS متشابهان (AA) لأن: - ∠V ≅ ∠T (قائمتان، ٩٠°). - ∠S ≅ ∠S (زاوية مشتركة). ٢. من التشابه: QV / RT = VS / TS. ٣. عوّض القيم المعروفة: ٥ / ٣ = VS / ١٢. ٤. بالضرب التبادلي: ٥ × ١٢ = ٣ × VS. ٥. ٦٠ = ٣ × VS. ٦. VS = ٦٠ ÷ ٣ = ٢٠. ٧. إذن الطول VS = ٢٠. (ملاحظة: VT = VS - TS؟ لكن TS=12 و VS=20 إذن VT=8، لكن السؤال يطلب VS مباشرة).

تلميح: المثلثان △QVS و △RTS متشابهان بتشابه AA (زاويتان قائمتان والزاوية ∠S مشتركة). أوجد VT أولاً باستخدام التناسب بين الأضلاع المتناظرة QV و RT، ثم اجمع VT + TS.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ما هي الحالات الثلاث الرئيسية (النظريات) التي يمكن استخدامها لإثبات تشابه مثلثين؟

• أ) التطابق، التشابه، التناسب
• ب) تشابه زاويتين (AA)، تشابه ضلعين وزاوية محصورة (SAS)، تشابه ثلاثة أضلاع (SSS)
• ج) تشابه الزوايا الحادة، تشابه الأضلاع المتقابلة، تشابه المساحات
• د) نظرية فيثاغورس، نظرية طالس، نظرية التناسب

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تشابه زاويتين (AA)، تشابه ضلعين وزاوية محصورة (SAS)، تشابه ثلاثة أضلاع (SSS)

الشرح: الحالات الثلاث هي: ١. تشابه زاويتين (AA): إذا تطابقت زاويتان في مثلث مع زاويتين في مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان. ٢. تشابه ضلعين وزاوية محصورة (SAS): إذا تناسبت طولا ضلعين في مثلث مع طولي الضلعين المناظرين في مثلث آخر، وتطابقت الزاوية المحصورة بينهما، فإن المثلثين متشابهان. ٣. تشابه ثلاثة أضلاع (SSS): إذا تناسبت أطوال الأضلاع الثلاثة في مثلث مع أطوال الأضلاع الثلاثة المناظرة في مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان.

تلميح: تذكر أن التشابه لا يتطلب تساوي الأضلاع، بل تناسبها. الحالات تعتمد على الزوايا المتطابقة والأضلاع المتناسبة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل