6-3 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة

المفاهيم الأساسية

القطعة المنصفة في المثلث (midsegment of a triangle): مصطلح جديد مذكور في المفردات (لم يُعطَ تعريفه في هذه الصفحة).

خريطة المفاهيم

```markmap

المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة

الأجزاء المتناسبة في المثلث

نظرية التناسب في المثلث (نظرية 6.5)

#### الشرط

• إذا وازى مستقيم ضلعًا من أضلاع مثلث
• وقطع ضلعيه الآخرين

#### النتيجة

• يقسم الضلعين إلى قطع مستقيمة متناظرة
• أطوال هذه القطع متناسبة

#### مثال: إذا كان CD || BE

• فإن النسبة: \frac{AB}{BC} = \frac{AE}{ED}

تطبيق عملي

مثال 1: إيجاد طول ضلع

تحقق من فهمك

```

نقاط مهمة

• الصفحة تربط المفهوم بتطبيق عملي في الحياة: الخداع البصري في الرسوم المتحركة ثلاثية الأبعاد، حيث تبدو الأجسام البعيدة أصغر (مبدأ التناسب).
• عند رسم مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث، فإن المثلثين الناتجين متشابهان (باستعمال مسلمة التشابه AA).
• إثبات النظرية 6.5 موكول إلى سؤال لاحق (السؤال 21).
• إرشاد للدراسة: إذا كان المستقيمان AB و CD متوازيين، فإن القطعتين المستقيمتين AB و CD متوازيتان أيضًا.

---

حل مثال

مثال 1: إيجاد طول ضلع

* المعطيات: في ΔPQR، المستقيم ST يوازي RQ. SR = 2.5، TQ = 3، PT = 7.5.

* المطلوب: إيجاد طول PS.

* الحل:

1. نطبق نظرية التناسب في المثلث (نظرية 6.5): \frac{PS}{SR} = \frac{PT}{TQ}

2. بالتعويض: \frac{PS}{2.5} = \frac{7.5}{3}

3. خاصية الضرب التبادلي: PS \times 3 = 2.5 \times 7.5

4. بالضرب: 3PS = 18.75

5. بقسمة الطرفين على 3: PS = 6.25

---

تحقق من فهمك

السؤال 1:

* المعطيات: في الشكل (المثلث PQR حيث ST || RQ)، PT = 15، SR = 5، PS = 12.5.

* المطلوب: إيجاد طول TQ.

* الحل:

1. نطبق نظرية التناسب في المثلث: \frac{PS}{SR} = \frac{PT}{TQ}

2. بالتعويض: \frac{12.5}{5} = \frac{15}{TQ}

3. نبسط الطرف الأيسر: 2.5 = \frac{15}{TQ}

4. خاصية الضرب التبادلي: 2.5 \times TQ = 15

5. بقسمة الطرفين على 2.5: TQ = \frac{15}{2.5} = 6

* الجواب النهائي: TQ = 6

6-3

المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة Parallel Lines and Proportional Parts

فيما سبق؟ درست استعمال التناسب لحل مسائل تتضمن مثلثات متشابهة. (الدرس 6-2)

والآن؟ أستعمل الأجزاء المتناسبة في المثلث. أستعمل الأجزاء المتناسبة في المستقيمات المتوازية.

المفردات: القطعة المنصفة في المثلث midsegment of a triangle

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

لماذا؟

يستعمل رسامو الصور المتحركة طرائق عدة؛ لإضفاء خداع بصري على أعمالهم. كما يستعملون في الرسومات الثلاثية الأبعاد حقيقة كون الأجسام البعيدة تبدو أصغر من الأجسام القريبة إلى المشاهد. ولتحقيق هذا الخداع، يستعمل الرسامون نظرية التناسب في المثلث.

الأجزاء المتناسبة في المثلث: عند رسم مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث، فإنه يمكن إثبات أن المثلثين الناتجين متشابهان، وذلك باستعمال مسلمة التشابه AA، وبما أن المثلثين متشابهان، فإن أطوال أضلاعهما متناسبة.

نظرية 6.5 نظرية التناسب في المثلث إذا وازى مستقيم ضلعًا من أضلاع مثلث وقطع ضلعيه الآخرين، فإنه يقسمهما إلى قطع مستقيمة متناظرة أطوالها متناسبة. مثال: إذا كان CD || BE ، فإن AB/BC = AE/ED

ستبرهن النظرية 6.5 في السؤال 21

إرشادات للدراسة التوازي: إذا كان المستقيمان AB, CD متوازيين، فإن القطعتين المستقيمتين AB, CD متوازيتان؛ لأنهما جزء من المستقيمين AB, CD على الترتيب. أي أنه إذا كان AB || CD فإن AB || CD

مثال 1 إيجاد طول ضلع في ΔPQR ، إذا كان: 2.5 = SR ، 3 = TQ ، 7.5 = PT ، ST || RQ ، فأوجد PS. استعمل نظرية التناسب في المثلث. نظرية التناسب في المثلث PS/SR = PT/TQ بالتعويض PS/2.5 = 7.5/3 خاصية الضرب التبادلي PS • 3 = (2.5)(7.5) بالضرب 3PS = 18.75 بقسمة كلا الطرفين على 3 PS = 6.25

تحقق من فهمك

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

90 الفصل 6 التشابه

--- SECTION: 6-3 --- 6-3 المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة Parallel Lines and Proportional Parts --- SECTION: فيما سبق؟ --- فيما سبق؟ درست استعمال التناسب لحل مسائل تتضمن مثلثات متشابهة. (الدرس 6-2) --- SECTION: والآن؟ --- والآن؟ أستعمل الأجزاء المتناسبة في المثلث. أستعمل الأجزاء المتناسبة في المستقيمات المتوازية. --- SECTION: المفردات --- المفردات: القطعة المنصفة في المثلث midsegment of a triangle رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- SECTION: لماذا؟ --- لماذا؟ يستعمل رسامو الصور المتحركة طرائق عدة؛ لإضفاء خداع بصري على أعمالهم. كما يستعملون في الرسومات الثلاثية الأبعاد حقيقة كون الأجسام البعيدة تبدو أصغر من الأجسام القريبة إلى المشاهد. ولتحقيق هذا الخداع، يستعمل الرسامون نظرية التناسب في المثلث. --- SECTION: الأجزاء المتناسبة في المثلث --- الأجزاء المتناسبة في المثلث: عند رسم مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث، فإنه يمكن إثبات أن المثلثين الناتجين متشابهان، وذلك باستعمال مسلمة التشابه AA، وبما أن المثلثين متشابهان، فإن أطوال أضلاعهما متناسبة. --- SECTION: نظرية 6.5 نظرية التناسب في المثلث --- نظرية 6.5 نظرية التناسب في المثلث إذا وازى مستقيم ضلعًا من أضلاع مثلث وقطع ضلعيه الآخرين، فإنه يقسمهما إلى قطع مستقيمة متناظرة أطوالها متناسبة. مثال: إذا كان CD || BE ، فإن AB/BC = AE/ED ستبرهن النظرية 6.5 في السؤال 21 --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة التوازي: إذا كان المستقيمان AB, CD متوازيين، فإن القطعتين المستقيمتين AB, CD متوازيتان؛ لأنهما جزء من المستقيمين AB, CD على الترتيب. أي أنه إذا كان AB || CD فإن AB || CD --- SECTION: مثال 1 إيجاد طول ضلع --- مثال 1 إيجاد طول ضلع في ΔPQR ، إذا كان: 2.5 = SR ، 3 = TQ ، 7.5 = PT ، ST || RQ ، فأوجد PS. استعمل نظرية التناسب في المثلث. نظرية التناسب في المثلث PS/SR = PT/TQ بالتعويض PS/2.5 = 7.5/3 خاصية الضرب التبادلي PS • 3 = (2.5)(7.5) بالضرب 3PS = 18.75 بقسمة كلا الطرفين على 3 PS = 6.25 --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك 1. في الشكل أعلاه، إذا كان: 15 = PT ، 5 = SR ، 12.5 = PS ، فأوجد TQ. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 90 الفصل 6 التشابه --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: An illustration showing two students in a school hallway with lockers. One student in the foreground is wearing a green shirt and blue backpack, looking towards another student further down the hallway. The perspective makes the distant student appear smaller, illustrating visual perception and proportion. Context: Illustrates the concept of visual perception and how distant objects appear smaller, relating to the idea of proportion in geometry. **DIAGRAM**: Untitled Description: A triangle labeled ABC. A line segment BE is drawn inside the triangle, with point B on side AD and point E on side AC. The line segment BE is parallel to the side CD, indicated by pink arrows on BE and CD. This diagram illustrates the Triangle Proportionality Theorem. Context: Illustrates Theorem 6.5, the Triangle Proportionality Theorem, showing how a line parallel to one side of a triangle divides the other two sides proportionally, leading to the ratio AB/BC = AE/ED. **DIAGRAM**: Untitled Description: A triangle labeled PQR. A line segment ST is drawn inside the triangle, with point S on side PR and point T on side PQ. The line segment ST is parallel to the base RQ, indicated by pink arrows on ST and RQ. This diagram is used to apply the Triangle Proportionality Theorem to find a missing side length. Context: Used in Example 1 to demonstrate how to apply the Triangle Proportionality Theorem (PS/SR = PT/TQ) to calculate an unknown side length PS, given SR = 2.5, TQ = 3, and PT = 7.5. **DIAGRAM**: Untitled Description: A triangle labeled PQR. A line segment ST is drawn inside the triangle, with point S on side PR and point T on side PQ. The line segment ST is parallel to the base RQ, indicated by pink arrows on ST and RQ. This diagram is identical in structure to the one in Example 1, but with different given values for the sides. Context: Used in 'Check Your Understanding' question 1 to apply the Triangle Proportionality Theorem (PS/SR = PT/TQ) to calculate an unknown side length TQ, given PT = 15, SR = 5, and PS = 12.5.