صفحة 88 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 33: 33) إجابة مطولة: في الشكل أدناه $\overline{EB} \parallel \overline{DC}$. a) اكتب تناسبًا يمكن استعماله لإيجاد قيمة x. b) أوجد قيمة x وطول $\overline{AB}$.

الإجابة: س: 33: (أ) $\frac{AE}{ED} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow$ $\frac{10}{4} = \frac{x-2}{5}$ (ب) $x = 14.5$ ، $AB = 12.5$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات والمفهوم):** لنفهم هذا السؤال، يجب أن نتذكر نظرية التناسب في المثلثات أو نظرية التناسب للأجزاء التي تقطعها مستقيمات متوازية. إذا قطع مستقيمان متوازيان (مثل $\overline{EB}$ و $\overline{DC}$) ضلعي مثلث (أو مستقيمين متقاطعين)، فإنهما يقسمانهما إلى أجزاء متناسبة. من الشكل (المفترض بناءً على المعطيات في الإجابة)، لدينا: - طول الجزء الأول على أحد القاطعين: $AE = 10$ - طول الجزء الثاني على نفس القاطع: $ED = 4$ - طول الجزء الأول على القاطع الآخر: $AB = x-2$ - طول الجزء الثاني على القاطع الآخر: $BC = 5$
2. **الخطوة 2 (كتابة التناسب):** بناءً على نظرية التناسب، يمكننا كتابة التناسب التالي: $$\frac{AE}{ED} = \frac{AB}{BC}$$
3. **الخطوة 3 (الحل - إيجاد قيمة x):** (أ) بالتعويض بالقيم المعطاة في التناسب: $$\frac{10}{4} = \frac{x-2}{5}$$ (ب) لحل التناسب وإيجاد قيمة x، نستخدم الضرب التبادلي: $$10 \times 5 = 4 \times (x-2)$$ $$50 = 4x - 8$$ نضيف 8 إلى الطرفين: $$50 + 8 = 4x$$ $$58 = 4x$$ نقسم الطرفين على 4: $$x = \frac{58}{4} = \frac{29}{2} = 14.5$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة - إيجاد طول $\overline{AB}$):** بعد إيجاد قيمة x، يمكننا حساب طول $\overline{AB}$ بالتعويض في تعبيره: $$AB = x - 2 = 14.5 - 2 = 12.5$$ إذن الإجابة هي: (أ) التناسب هو: **$\frac{10}{4} = \frac{x-2}{5}$** (ب) قيمة x = **14.5**، وطول $\overline{AB}$ = **12.5**

سؤال 34: 34) جبر: أي مما يأتي يمثل مساحة المنطقة المظللة؟ A) $\pi r^2$ B) $\pi r^2 + r^2$ C) $\pi r^2 + r$ D) $\pi r^2 - r^2$

الإجابة: س: 34: $\pi r^2 - r^2$ (D)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (فهم المكونات):** لفهم أي من الخيارات يمثل مساحة المنطقة المظللة، يجب أن نتعرف على المعاني الهندسية للمصطلحات في الخيارات: - $\pi r^2$: هذه هي صيغة مساحة الدائرة التي نصف قطرها $r$. - $r^2$: هذه هي صيغة مساحة المربع الذي طول ضلعه $r$.
2. **الخطوة 2 (تحليل الخيارات):** الخيارات المعطاة هي تركيبات من هاتين المساحتين. السؤال يطلب مساحة منطقة مظللة، مما يعني عادةً أننا نجد مساحة شكل كبير ثم نطرح منه مساحة شكل أصغر غير مظلل، أو نجمع مساحات أشكال مختلفة. - A) $\pi r^2$: مساحة دائرة كاملة. - B) $\pi r^2 + r^2$: مساحة دائرة مضافاً إليها مساحة مربع. - C) $\pi r^2 + r$: مساحة دائرة مضافاً إليها طول ضلع (وهذا غير منطقي لأننا نجمع مساحة مع طول). - D) $\pi r^2 - r^2$: مساحة دائرة مطروحاً منها مساحة مربع.
3. **الخطوة 3 (الاستنتاج):** الخيار (D) $\pi r^2 - r^2$ يمثل مساحة الدائرة التي نصف قطرها $r$ مطروحاً منها مساحة المربع الذي طول ضلعه $r$. هذا يعني أن المنطقة المظللة هي الجزء المتبقي من الدائرة بعد إزالة مربع منها، حيث يكون نصف قطر الدائرة وطول ضلع المربع متساويين (أو أن $r$ يمثل قيمة مشتركة لكليهما في سياق المسألة). لذلك الإجابة هي: **$\pi r^2 - r^2$ (D)**

سؤال 35: اكتب جميع الزوايا المتطابقة ثم اكتب تناسبًا يربط الأضلاع المتناظرة للمضلعين في كل مما يأتي: (الدرس 6-1) 35) $\Delta JKL \sim \Delta CDE$

الإجابة: س: 35: $\angle J \cong \angle C, \angle K \cong \angle D, \angle L \cong \angle E$ $\frac{JK}{CD} = \frac{KL}{DE} = \frac{JL}{CE}$

خطوات الحل:

1. **الشرح:** عندما نقول إن مضلعين متشابهان (مثل $\Delta JKL \sim \Delta CDE$)، فهذا يعني أن هناك علاقتين أساسيتين بينهما: 1. **الزوايا المتناظرة متطابقة:** كل زاوية في المضلع الأول تطابق الزاوية المناظرة لها في المضلع الثاني. 2. **الأضلاع المتناظرة متناسبة:** النسبة بين أطوال كل زوج من الأضلاع المتناظرة تكون ثابتة. من عبارة التشابه $\Delta JKL \sim \Delta CDE$، نستنتج ترتيب التناظر بين الرؤوس: - الرأس J يناظر الرأس C - الرأس K يناظر الرأس D - الرأس L يناظر الرأس E بناءً على ذلك، الزوايا المتطابقة هي: $\angle J \cong \angle C$ $\angle K \cong \angle D$ $\angle L \cong \angle E$ والأضلاع المتناظرة التي تكون نسبها متساوية هي: $\frac{JK}{CD} = \frac{KL}{DE} = \frac{JL}{CE}$ إذن الإجابة هي: **الزوايا المتطابقة:** $\angle J \cong \angle C, \angle K \cong \angle D, \angle L \cong \angle E$ **التناسب بين الأضلاع المتناظرة:** $\frac{JK}{CD} = \frac{KL}{DE} = \frac{JL}{CE}$

سؤال 36: 36) $WXYZ \sim QRST$

الإجابة: س: 36: $\angle W \cong \angle Q, \angle X \cong \angle R, \angle Y \cong \angle S, \angle Z \cong \angle T$ $\frac{WX}{QR} = \frac{XY}{RS} = \frac{YZ}{ST} = \frac{WZ}{TQ}$

خطوات الحل:

1. **الشرح:** بما أن المضلعين $WXYZ$ و $QRST$ متشابهان ($WXYZ \sim QRST$)، فإن هذا يعني أن: 1. **الزوايا المتناظرة متطابقة.** 2. **الأضلاع المتناظرة متناسبة.** من عبارة التشابه $WXYZ \sim QRST$، نستنتج ترتيب التناظر بين الرؤوس: - الرأس W يناظر الرأس Q - الرأس X يناظر الرأس R - الرأس Y يناظر الرأس S - الرأس Z يناظر الرأس T بناءً على ذلك، الزوايا المتطابقة هي: $\angle W \cong \angle Q$ $\angle X \cong \angle R$ $\angle Y \cong \angle S$ $\angle Z \cong \angle T$ والأضلاع المتناظرة التي تكون نسبها متساوية هي: $\frac{WX}{QR} = \frac{XY}{RS} = \frac{YZ}{ST} = \frac{WZ}{TQ}$ إذن الإجابة هي: **الزوايا المتطابقة:** $\angle W \cong \angle Q, \angle X \cong \angle R, \angle Y \cong \angle S, \angle Z \cong \angle T$ **التناسب بين الأضلاع المتناظرة:** $\frac{WX}{QR} = \frac{XY}{RS} = \frac{YZ}{ST} = \frac{WZ}{TQ}$

سؤال 37: 37) $FGHJ \sim MPQS$

الإجابة: س: 37: $\angle F \cong \angle M, \angle G \cong \angle P, \angle H \cong \angle Q, \angle J \cong \angle S$ $\frac{FG}{MP} = \frac{GH}{PQ} = \frac{HJ}{QS} = \frac{JF}{SM}$

خطوات الحل:

1. **الشرح:** بما أن المضلعين $FGHJ$ و $MPQS$ متشابهان ($FGHJ \sim MPQS$)، فإن هذا يعني أن: 1. **الزوايا المتناظرة متطابقة.** 2. **الأضلاع المتناظرة متناسبة.** من عبارة التشابه $FGHJ \sim MPQS$، نستنتج ترتيب التناظر بين الرؤوس: - الرأس F يناظر الرأس M - الرأس G يناظر الرأس P - الرأس H يناظر الرأس Q - الرأس J يناظر الرأس S بناءً على ذلك، الزوايا المتطابقة هي: $\angle F \cong \angle M$ $\angle G \cong \angle P$ $\angle H \cong \angle Q$ $\angle J \cong \angle S$ والأضلاع المتناظرة التي تكون نسبها متساوية هي: $\frac{FG}{MP} = \frac{GH}{PQ} = \frac{HJ}{QS} = \frac{JF}{SM}$ إذن الإجابة هي: **الزوايا المتطابقة:** $\angle F \cong \angle M, \angle G \cong \angle P, \angle H \cong \angle Q, \angle J \cong \angle S$ **التناسب بين الأضلاع المتناظرة:** $\frac{FG}{MP} = \frac{GH}{PQ} = \frac{HJ}{QS} = \frac{JF}{SM}$

سؤال 38: 38) القطع الهندسية السبع: تتكون مجموعة القطع الهندسية السبع (Tangram) في الشكل المجاور من سبع قطع: مربع صغير، مثلثين صغيرين قائما الزاوية ومتطابقين، مثلثين كبيرين قائما الزاوية ومتطابقين، مثلث قائم الزاوية متوسط القياس، وشكل رباعي. كيف يمكنك أن تتحقق من أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع؟ وضح إجابتك. (مهارة سابقة)

الإجابة: س: 38: نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة (تساوي الزوايا المتبادلة) $\Rightarrow$ الشكل متوازي أضلاع.

خطوات الحل:

1. **الشرح:** للتحقق من أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع، يجب أن نستند إلى أحد تعريفات أو خصائص متوازي الأضلاع. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين. إحدى طرق إثبات توازي مستقيمين هي إثبات أن الزوايا المتبادلة داخلياً (أو المتناظرة) متطابقة عندما يقطعهما قاطع. لذلك، يمكننا اتباع الخطوات التالية: 1. **تحديد الأضلاع المتقابلة:** في الشكل الرباعي، نحدد أزواج الأضلاع المتقابلة. 2. **البحث عن قاطع:** نعتبر أحد الأضلاع الأخرى كقاطع يقطع زوجاً من الأضلاع المتقابلة. 3. **قياس الزوايا المتبادلة داخلياً:** نقوم بقياس الزوايا المتبادلة داخلياً التي تتكون عند تقاطع القاطع مع الأضلاع المتقابلة. 4. **التحقق من التطابق:** إذا كانت الزوايا المتبادلة داخلياً متطابقة، فإن الضلعين المتقابلين متوازيان. 5. **تكرار العملية:** نكرر هذه العملية للزوج الآخر من الأضلاع المتقابلة. إذا وجدنا أن كل ضلعين متقابلين متوازيان (عن طريق تساوي الزوايا المتبادلة داخلياً أو أي طريقة أخرى لإثبات التوازي)، فإن الشكل الرباعي يكون متوازي أضلاع. إذن الإجابة هي: **نتحقق من توازي الأضلاع المتقابلة (عن طريق تساوي الزوايا المتبادلة داخلياً)؛ إذا كانت متوازية، فإن الشكل متوازي أضلاع.**

سؤال 39: حدد المسلمة التي يمكن استعمالها؛ لإثبات تطابق المثلثين في كل مما يأتي، واكتب "غير ممكن" في الحالة التي لا يمكنك فيها إثبات التطابق. (مهارة سابقة) 39)

الإجابة: س: 39: غير ممكن (SSA)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (مراجعة مسلمات تطابق المثلثات):** نتذكر مسلمات تطابق المثلثات: - **SSS (ضلع-ضلع-ضلع):** تتطابق المثلثات إذا تطابقت أضلاع أحدها مع الأضلاع المناظرة في الآخر. - **SAS (ضلع-زاوية-ضلع):** تتطابق المثلثات إذا تطابق ضلعان والزاوية المحصورة بينهما في أحدها مع ضلعين والزاوية المحصورة بينهما في الآخر. - **ASA (زاوية-ضلع-زاوية):** تتطابق المثلثات إذا تطابقت زاويتان والضلع المحصور بينهما في أحدها مع زاويتين والضلع المحصور بينهما في الآخر. - **AAS (زاوية-زاوية-ضلع):** تتطابق المثلثات إذا تطابقت زاويتان وضلع غير محصور بينهما في أحدها مع زاويتين وضلع غير محصور بينهما في الآخر. كما نتذكر أن **SSA (ضلع-ضلع-زاوية)** حيث الزاوية غير محصورة، لا تعتبر مسلمة لتطابق المثلثات لأنها قد تؤدي إلى حالتين مختلفتين للمثلث (الحالة المبهمة).
2. **الخطوة 2 (تحليل الشكل - افتراضي):** بما أن الإجابة تشير إلى "غير ممكن (SSA)"، فإن الشكل (الذي لم يتم توفيره) يجب أن يكون قد أظهر زوجين من الأضلاع المتطابقة وزاوية متطابقة، ولكن هذه الزاوية لم تكن محصورة بين الضلعين المتطابقين. هذه الحالة لا تضمن تطابق المثلثين.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك، المسلمة التي يمكن استعمالها لإثبات التطابق في هذه الحالة هي **غير ممكن**، والسبب هو توفر معلومات تتوافق مع حالة **SSA**.

سؤال 40: 40)

الإجابة: س: 40: غير ممكن

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (مراجعة مسلمات تطابق المثلثات):** نتذكر مسلمات تطابق المثلثات: - **SSS (ضلع-ضلع-ضلع)** - **SAS (ضلع-زاوية-ضلع)** - **ASA (زاوية-ضلع-زاوية)** - **AAS (زاوية-زاوية-ضلع)** ونتذكر أيضاً أن **AAA (زاوية-زاوية-زاوية)** لا تثبت التطابق (بل تثبت التشابه)، وأن **SSA (ضلع-ضلع-زاوية)** حيث الزاوية غير محصورة، لا تثبت التطابق.
2. **الخطوة 2 (تحليل الشكل - افتراضي):** بما أن الإجابة هي "غير ممكن"، فإن الشكل (الذي لم يتم توفيره) يجب أن يكون قد أظهر معلومات غير كافية أو معلومات تتوافق مع إحدى الحالات التي لا تثبت التطابق، مثل: - ثلاث زوايا متطابقة (AAA). - ضلعين وزاوية غير محصورة (SSA). - معلومات غير كافية تماماً (مثل ضلع واحد وزاوية واحدة فقط). في غياب الشكل، نفترض أن المعلومات المقدمة لا تتوافق مع أي من مسلمات التطابق الأربعة (SSS, SAS, ASA, AAS).
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك، المسلمة التي يمكن استعمالها لإثبات التطابق في هذه الحالة هي **غير ممكن**.

سؤال 41: 41)

الإجابة: س: 41: SSS

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (مراجعة مسلمات تطابق المثلثات):** نتذكر مسلمات تطابق المثلثات: - **SSS (ضلع-ضلع-ضلع):** تتطابق المثلثات إذا تطابقت أضلاع أحدها مع الأضلاع المناظرة في الآخر. - **SAS (ضلع-زاوية-ضلع):** تتطابق المثلثات إذا تطابق ضلعان والزاوية المحصورة بينهما في أحدها مع ضلعين والزاوية المحصورة بينهما في الآخر. - **ASA (زاوية-ضلع-زاوية):** تتطابق المثلثات إذا تطابقت زاويتان والضلع المحصور بينهما في أحدها مع زاويتين والضلع المحصور بينهما في الآخر. - **AAS (زاوية-زاوية-ضلع):** تتطابق المثلثات إذا تطابقت زاويتان وضلع غير محصور بينهما في أحدها مع زاويتين وضلع غير محصور بينهما في الآخر.
2. **الخطوة 2 (تحليل الشكل - افتراضي):** بما أن الإجابة هي "SSS"، فإن الشكل (الذي لم يتم توفيره) يجب أن يكون قد أظهر ثلاثة أزواج من الأضلاع المتطابقة بين المثلثين. أي أن كل ضلع في المثلث الأول يطابق الضلع المناظر له في المثلث الثاني.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك، المسلمة التي يمكن استعمالها لإثبات التطابق في هذه الحالة هي **SSS**.

سؤال 42: حل كل تناسب مما يأتي: 42) $\frac{3}{4} = \frac{x}{16}$

الإجابة: س: 42: $x = 12$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا التناسب التالي: $$\frac{3}{4} = \frac{x}{16}$$
2. **الخطوة 2 (الحل):** لحل هذا التناسب وإيجاد قيمة x، نستخدم خاصية الضرب التبادلي: $$3 \times 16 = 4 \times x$$ $$48 = 4x$$ نقسم الطرفين على 4: $$\frac{48}{4} = x$$ $$x = 12$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن قيمة x = **12**

سؤال 43: 43) $\frac{x}{10} = \frac{22}{50}$

الإجابة: س: 43: $x = 4.4$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا التناسب التالي: $$\frac{x}{10} = \frac{22}{50}$$
2. **الخطوة 2 (الحل):** لحل هذا التناسب وإيجاد قيمة x، نستخدم خاصية الضرب التبادلي: $$x \times 50 = 10 \times 22$$ $$50x = 220$$ نقسم الطرفين على 50: $$x = \frac{220}{50}$$ $$x = \frac{22}{5}$$ $$x = 4.4$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن قيمة x = **4.4**

سؤال 44: 44) $\frac{20.2}{88} = \frac{12}{x}$

الإجابة: س: 44: $x \approx 52.28$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا التناسب التالي: $$\frac{20.2}{88} = \frac{12}{x}$$
2. **الخطوة 2 (الحل):** لحل هذا التناسب وإيجاد قيمة x، نستخدم خاصية الضرب التبادلي: $$20.2 \times x = 88 \times 12$$ $$20.2x = 1056$$ نقسم الطرفين على 20.2: $$x = \frac{1056}{20.2}$$ $$x \approx 52.2772...$$ بالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين: $$x \approx 52.28$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن قيمة x تقريباً = **52.28**

سؤال 45: 45) $\frac{x-2}{2} = \frac{3}{8}$

الإجابة: س: 45: $x = 2.75$

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا التناسب التالي: $$\frac{x-2}{2} = \frac{3}{8}$$
2. **الخطوة 2 (الحل):** لحل هذا التناسب وإيجاد قيمة x، نستخدم خاصية الضرب التبادلي: $$8 \times (x-2) = 2 \times 3$$ $$8x - 16 = 6$$ نضيف 16 إلى الطرفين: $$8x = 6 + 16$$ $$8x = 22$$ نقسم الطرفين على 8: $$x = \frac{22}{8}$$ يمكن تبسيط الكسر بقسمة البسط والمقام على 2: $$x = \frac{11}{4}$$ أو بصيغة عشرية: $$x = 2.75$$
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن قيمة x = **2.75**

حل التناسب التالي: x/10 = 22/50

• أ) x = 2.2
• ب) x = 4.4
• ج) x = 5
• د) x = 44

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: x = 4.4

الشرح: ١. التناسب: x/10 = 22/50. ٢. خاصية الضرب التبادلي: x × 50 = 10 × 22. ٣. التبسيط: 50x = 220. ٤. قسمة الطرفين على 50: x = 220/50. ٥. تبسيط الكسر: x = 22/5 = 4.4.

تلميح: استخدم خاصية الضرب التبادلي: حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل التناسب التالي: 20.2/88 = 12/x

• أ) x ≈ 4.67
• ب) x ≈ 52.28
• ج) x = 105.6
• د) x ≈ 5.23

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: x ≈ 52.28

الشرح: ١. التناسب: 20.2/88 = 12/x. ٢. خاصية الضرب التبادلي: 20.2 × x = 88 × 12. ٣. التبسيط: 20.2x = 1056. ٤. قسمة الطرفين على 20.2: x = 1056 / 20.2. ٥. الحساب: 1056 ÷ 20.2 ≈ 52.277. ٦. التقريب إلى منزلتين عشريتين: x ≈ 52.28.

تلميح: استخدم خاصية الضرب التبادلي، ثم اقسم على 20.2 للحصول على x.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

جبر: أي مما يأتي يمثل مساحة المنطقة المظللة في دائرة نصف قطرها r، حيث المنطقة المظللة هي مساحة الدائرة مطروحاً منها مساحة مربع طول ضلعه r؟

• أ) πr²
• ب) πr² + r²
• ج) πr² - r²
• د) πr² + r

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: πr² - r²

الشرح: ١. مساحة الدائرة الكاملة = πr². ٢. مساحة المربع الذي طول ضلعه r = r². ٣. المنطقة المظللة هي الجزء المتبقي من الدائرة بعد إزالة المربع، لذا تُحسب بطرح مساحة المربع من مساحة الدائرة. ٤. إذن، مساحة المنطقة المظللة = πr² - r².

تلميح: فكر في مساحة الدائرة الكاملة ومساحة الشكل الذي تمت إزالته منها.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كان المثلثان ΔJKL و ΔCDE متشابهين (ΔJKL ~ ΔCDE)، فأي مما يلي يمثل التناسب الصحيح بين أضلاعهما المتناظرة؟

• أ) JK/DE = KL/CD = JL/CE
• ب) JK/CD = KL/DE = JL/CE
• ج) JL/CD = KL/DE = JK/CE
• د) JK/CE = KL/CD = JL/DE

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: JK/CD = KL/DE = JL/CE

الشرح: ١. من عبارة التشابه ΔJKL ~ ΔCDE، نستنتج أن الرؤوس المتناظرة هي: J ↔ C، K ↔ D، L ↔ E. ٢. الأضلاع المتناظرة هي: JK ↔ CD، KL ↔ DE، JL ↔ CE. ٣. النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة ثابتة، لذا يكون التناسب: JK/CD = KL/DE = JL/CE.

تلميح: تذكر أن الأضلاع المتناظرة في المضلعين المتشابهين تكون متناسبة. رتب الأحرف حسب ترتيب التشابه.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

إذا كان الشكلان الرباعيان WXYZ و QRST متشابهين (WXYZ ~ QRST)، فأي مما يلي يمثل التناسب الصحيح بين أضلاعهما المتناظرة؟

• أ) WX/RS = XY/ST = YZ/QR = WZ/TQ
• ب) WX/QR = XY/RS = YZ/ST = WZ/TQ
• ج) WX/TQ = XY/QR = YZ/RS = WZ/ST
• د) WX/ST = XY/TQ = YZ/QR = WZ/RS

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: WX/QR = XY/RS = YZ/ST = WZ/TQ

الشرح: ١. من عبارة التشابه WXYZ ~ QRST، نستنتج أن الرؤوس المتناظرة هي: W ↔ Q، X ↔ R، Y ↔ S، Z ↔ T. ٢. الأضلاع المتناظرة هي: WX ↔ QR، XY ↔ RS، YZ ↔ ST، WZ ↔ TQ (لاحظ أن ZW يقابل QT). ٣. النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة ثابتة، لذا يكون التناسب: WX/QR = XY/RS = YZ/ST = WZ/TQ.

تلميح: تذكر أن الأضلاع المتناظرة في المضلعين المتشابهين تكون متناسبة. رتب الأحرف حسب ترتيب التشابه.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل التناسب التالي: 3/4 = x/16

• أ) 10
• ب) 12
• ج) 14
• د) 16

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 12

الشرح: ١. نطبق خاصية الضرب التبادلي: 3 × 16 = 4 × x. ٢. نبسط: 48 = 4x. ٣. نقسم الطرفين على 4: x = 48 / 4. ٤. النتيجة: x = 12.

تلميح: استخدم خاصية الضرب التبادلي (الطرفين في الوسطين).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حل التناسب التالي: (x-2)/2 = 3/8

• أ) 2.5
• ب) 2.75
• ج) 3
• د) 3.25

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 2.75 أو 11/4

الشرح: ١. نطبق خاصية الضرب التبادلي: 8 × (x-2) = 2 × 3. ٢. نبسط: 8x - 16 = 6. ٣. نضيف 16 إلى الطرفين: 8x = 22. ٤. نقسم الطرفين على 8: x = 22/8 = 11/4 = 2.75.

تلميح: استخدم خاصية الضرب التبادلي، ثم حل المعادلة الناتجة لإيجاد x.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كان الشكلان الرباعيان FGHJ و MPQS متشابهين (FGHJ ~ MPQS)، فأي مما يلي يمثل التناسب الصحيح بين أضلاعهما المتناظرة؟

• أ) FG/MP = GH/RS = HJ/ST = JF/TQ
• ب) FG/MQ = GH/PQ = HJ/QS = JF/SP
• ج) FG/MP = GH/PQ = HJ/QS = JF/SM
• د) FG/PM = GH/QP = HJ/SQ = JF/MS

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: FG/MP = GH/PQ = HJ/QS = JF/SM

الشرح: ١. من عبارة التشابه FGHJ ~ MPQS، نستنتج ترتيب التناظر: F↔M، G↔P، H↔Q، J↔S. ٢. الأضلاع المتناظرة هي: FG و MP، GH و PQ، HJ و QS، JF و SM. ٣. التناسب بين الأضلاع المتناظرة: FG/MP = GH/PQ = HJ/QS = JF/SM.

تلميح: تذكر: في المضلعات المتشابهة، تكون النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة ثابتة. رتب الحروف حسب التناظر.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

حدد المسلمة التي يمكن استعمالها لإثبات تطابق المثلثين في الشكل الذي يظهر مثلثين، كل منهما يحتوي على ضلعين متطابقين (محددين بعلامة واحدة)، والضلع الثالث غير محدد. (مهارة سابقة)

• أ) SAS
• ب) SSS
• ج) غير ممكن (SSA)
• د) ASA

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: غير ممكن (SSA)

الشرح: ١. المعلومات المعطاة: ضلعان متطابقان في كلا المثلثين (محددان بعلامة واحدة). ٢. لا توجد معلومات عن الزوايا المحصورة أو الأضلاع الأخرى. ٣. هذه الحالة تنطبق على SSA (ضلع-ضلع-زاوية) حيث الزاوية غير محصورة. ٤. SSA ليست مسلمة لتطابق المثلثات لأنها قد تؤدي إلى مثلثين مختلفين (الحالة المبهمة). ٥. النتيجة: غير ممكن.

تلميح: تذكر مسلمات التطابق: SSS, SAS, ASA, AAS. SSA ليست مسلمة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد المسلمة التي يمكن استعمالها لإثبات تطابق المثلثين في الشكل الذي يظهر مثلثين، كل منهما يحتوي على زاويتين متطابقتين (محددتين بقوس واحد)، والضلع بينهما غير محدد. (مهارة سابقة)

• أ) ASA
• ب) AAS
• ج) SSS
• د) غير ممكن

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: غير ممكن

الشرح: ١. المعلومات المعطاة: زاويتان متطابقتان في كل مثلث. ٢. المسلمات الممكنة: ASA (زاوية-ضلع-زاوية) تتطلب الضلع المحصور بين الزاويتين. ٣. التحليل: الضلع بين الزاويتين غير محدد بالتطابق. ٤. النتيجة: المعلومات غير كافية لتطبيق ASA أو AAS (الذي يتطلب ضلعاً غير محصور).

تلميح: تذكر مسلمات التطابق: ASA تتطلب الضلع المحصور بين الزاويتين المتطابقتين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

حدد المسلمة التي يمكن استعمالها لإثبات تطابق المثلثين في الشكل الذي يظهر مثلثين، كل منهما يحتوي على ضلعين متطابقين (أحدهما بعلامة واحدة والآخر بعلامتين)، والزاوية بينهما غير محددة. (مهارة سابقة)

• أ) SAS
• ب) SSS
• ج) غير ممكن
• د) AAS

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: غير ممكن

الشرح: ١. المعلومات المعطاة: ضلعان متطابقان في كل مثلث. ٢. المسلمات الممكنة: SAS (ضلع-زاوية-ضلع) تتطلب الزاوية المحصورة. ٣. التحليل: الزاوية بين الضلعين المتطابقين غير محددة بالتطابق. ٤. النتيجة: المعلومات تتوافق مع حالة SSA (ضلع-ضلع-زاوية) التي لا تثبت التطابق.

تلميح: تذكر أن مسلمة SAS تتطلب الزاوية المحصورة بين الضلعين المتطابقين.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كان المثلثان ΔJKL و ΔCDE متشابهين (ΔJKL ~ ΔCDE)، فأي مما يلي يمثل الزوايا المتطابقة الصحيحة؟

• أ) ∠J ≅ ∠D, ∠K ≅ ∠C, ∠L ≅ ∠E
• ب) ∠J ≅ ∠C, ∠K ≅ ∠D, ∠L ≅ ∠E
• ج) ∠J ≅ ∠E, ∠K ≅ ∠D, ∠L ≅ ∠C
• د) ∠J ≅ ∠C, ∠K ≅ ∠E, ∠L ≅ ∠D

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ∠J ≅ ∠C, ∠K ≅ ∠D, ∠L ≅ ∠E

الشرح: ١. رمز التشابه ΔJKL ~ ΔCDE يحدد التناظر بين الرؤوس: J↔C, K↔D, L↔E. ٢. لذلك، الزوايا المتناظرة (وبالتالي المتطابقة) هي: - الزاوية عند الرأس J تطابق الزاوية عند الرأس C. - الزاوية عند الرأس K تطابق الزاوية عند الرأس D. - الزاوية عند الرأس L تطابق الزاوية عند الرأس E.

تلميح: في المضلعات المتشابهة، الزوايا المتناظرة متطابقة، والترتيب في رمز التشابه يحدد التناظر.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

إذا كان الشكلان الرباعيان WXYZ و QRST متشابهين (WXYZ ~ QRST)، فأي مما يلي يمثل الزوايا المتطابقة الصحيحة؟

• أ) ∠W ≅ ∠R, ∠X ≅ ∠S, ∠Y ≅ ∠T, ∠Z ≅ ∠Q
• ب) ∠W ≅ ∠Q, ∠X ≅ ∠R, ∠Y ≅ ∠S, ∠Z ≅ ∠T
• ج) ∠W ≅ ∠S, ∠X ≅ ∠T, ∠Y ≅ ∠Q, ∠Z ≅ ∠R
• د) ∠W ≅ ∠T, ∠X ≅ ∠Q, ∠Y ≅ ∠R, ∠Z ≅ ∠S

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ∠W ≅ ∠Q, ∠X ≅ ∠R, ∠Y ≅ ∠S, ∠Z ≅ ∠T

الشرح: ١. رمز التشابه WXYZ ~ QRST يحدد التناظر بين الرؤوس: W↔Q, X↔R, Y↔S, Z↔T. ٢. لذلك، الزوايا المتناظرة (وبالتالي المتطابقة) عند كل رأس من الرباعي الأول تطابق الزاوية عند الرأس المناظر في الرباعي الثاني.

تلميح: في المضلعات المتشابهة، الزوايا المتناظرة متطابقة، والترتيب في رمز التشابه يحدد التناظر.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل