نظرية 6.6

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة

المفاهيم الأساسية

عكس نظرية التناسب في المثلث (نظرية 6.6): إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث وقسمهما إلى قطع مستقيمة متناظرة أطوالها متناسبة، فإن المستقيم يوازي الضلع الثالث للمثلث.

القطعة المنصفة في المثلث: قطعة مستقيمة طرفاها نقطتا منتصف ضلعين في المثلث.

نظرية القطعة المنصفة في المثلث (نظرية 6.7): القطعة المنصفة في المثلث توازي أحد أضلاعه، وطولها يساوي نصف طول ذلك الضلع.

خريطة المفاهيم

```markmap

المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة

الأجزاء المتناسبة في المثلث

نظرية التناسب في المثلث (نظرية 6.5)

#### الشرط

إذا وازى مستقيم ضلعًا من أضلاع مثلث
وقطع ضلعيه الآخرين

#### النتيجة

يقسم الضلعين إلى قطع مستقيمة متناظرة
أطوال هذه القطع متناسبة

#### مثال: إذا كان CD || BE

فإن النسبة: \frac{AB}{BC} = \frac{AE}{ED}

تطبيق عملي

مثال 1: إيجاد طول ضلع

تحقق من فهمك

عكس النظرية

عكس نظرية التناسب في المثلث (نظرية 6.6)

#### الشرط

إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث
وقسمهما إلى قطع متناظرة أطوالها متناسبة

#### النتيجة

فإن المستقيم يوازي الضلع الثالث

#### مثال: إذا كان \frac{AE}{EB} = \frac{CD}{DB}

فإن ED \parallel AC

#### مثال 2: تحديد توازي مستقيمين

القطعة المنصفة في المثلث

التعريف

قطعة طرفاها نقطتا منتصف ضلعين
كل مثلث له ثلاث قطع منصفة
تشكل مثلثًا داخليًا (مثلث القطع المنصفة)

نظرية القطعة المنصفة (نظرية 6.7)

#### الخاصية 1: التوازي

القطعة المنصفة توازي الضلع الثالث

#### الخاصية 2: الطول

طول القطعة المنصفة = نصف طول الضلع الموازي

#### مثال: إذا كانت J, K منتصفي FH, HG

فإن: JK \parallel FG
و: JK = \frac{1}{2} FG

```

نقاط مهمة

عكس نظرية 6.5 صحيح ويثبت باستعمال الأجزاء المتناسبة ونظرية التشابه SAS.
إثبات نظرية 6.6 موجود في السؤال 22.
نظرية القطعة المنصفة هي حالة خاصة من عكس نظرية التناسب في المثلث.
إثبات نظرية 6.7 موجود في السؤال 23.

---

حل مثال

مثال 2: تحديد ما إذا كان المستقيمان متوازيين

المعطيات: في ΔDEF: HF = 9، EH = 3، DG = ⅓ GF.

المطلوب: هل DE || GH ؟ وضح إجابتك.

الحل:

المعطى: DG = ⅓ GF.

بقسمة الطرفين على GF: DG/GF = ⅓.

بالتعويض عن EH و HF: EH/HF = 3/9 = ⅓.

النتيجة: DG/GF = EH/HF = ⅓.

الاستنتاج: بما أن النسب متساوية، فبحسب عكس نظرية التناسب في المثلث (نظرية 6.6)، يكون GH || DE.

---

تحقق من فهمك

(2) في الشكل أعلاه، إذا كان: HF = 10، EH = 6، DG = ½ GF، فهل GH || DE ؟

الحل:

المعطى: DG = ½ GF.

بقسمة الطرفين على GF: DG/GF = ½.

بالتعويض عن EH و HF: EH/HF = 6/10 = 3/5.

النتيجة: DG/GF = ½ = 0.5، بينما EH/HF = 3/5 = 0.6.

الاستنتاج: بما أن النسب غير متساوية (0.5 ≠ 0.6)، فلا ينطبق عكس نظرية التناسب. إذن، GH لا يوازي DE.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

وعكس النظرية 6.5 صحيح أيضًا، ويمكن إثباته باستعمال الأجزاء المتناسبة في المثلث ونظرية التشابه SAS.

نوع: محتوى تعليمي

نظرية 6.6
عكس نظرية التناسب في المثلث
إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث وقسمهما إلى قطع مستقيمة متناظرة أطوالها متناسبة، فإن المستقيم يوازي الضلع الثالث للمثلث.
مثال: إذا كان AE/EB = CD/DB ، فإن ED || AC

نوع: محتوى تعليمي

ستبرهن النظرية 6.6 في السؤال 22

مثال 2

نوع: محتوى تعليمي

مثال 2
تحديد ما إذا كان المستقيمان متوازيين
في ΔDEF إذا كان: 9 = HF ، 3 = EH ، DG = ⅓ GF ، فهل DE || GH ؟ وضح إجابتك.
يتعين عليك إثبات أن DG/GF = EH/HF ، وذلك باستعمال عكس نظرية التناسب في المثلث.
معطى
بقسمة كلا الطرفين على GF
DG = ⅓ GF
DG/GF = ⅓
بالتعويض 3 = EH ، 9 = HF
EH/HF = 3/9
بالتبسيط
= ⅓
وبما أن:
DG/GF = EH/HF = ⅓
بحسب عكس نظرية التناسب في المثلث، تكون GH || DE

تحقق من فهمك

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك
(2) في الشكل أعلاه، إذا كان: 10 = HF ، 6 = EH ، DG = ½ GF ، فهل GH || DE ؟

إرشادات للدراسة

نوع: محتوى تعليمي

إرشادات للدراسة
مثلث القطع المنصفة:
القطع المنصفة الثلاث في المثلث تشكل مثلثًا يسمى مثلث القطع المنصفة.

نوع: محتوى تعليمي

القطعة المنصفة في المثلث هي قطعة مستقيمة طرفاها نقطتا منتصف ضلعين في المثلث. وفي كل مثلث ثلاث قطع منصفة. فالقطع المنصفة في ΔABC هي RP, PQ, RQ. ونظرية القطعة المنصفة في المثلث هي حالة خاصة من عكس نظرية التناسب في المثلث.

نظرية 6.7

نوع: محتوى تعليمي

نظرية 6.7
نظرية القطعة المنصفة في المثلث
القطعة المنصفة في المثلث توازي أحد أضلاعه، وطولها يساوي نصف طول ذلك الضلع.
مثال: إذا كانت K, J نقطتي منتصف FH, HG على الترتيب، فإن: JK || FG, JK = ½ FG

نوع: محتوى تعليمي

ستبرهن النظرية 6.7 في السؤال 23

نوع: METADATA

وزارة التعليم
الدرس 3-6 المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة 91

🔍 عناصر مرئية

A triangle labeled A at the top vertex, B at the right base vertex, and C at the left base vertex. A line segment ED connects a point E on side AB to a point D on side CB. Red arrows on ED and AC indicate that ED is parallel to AC. This diagram illustrates the Converse of the Triangle Proportionality Theorem.

A triangle labeled D at the top-left vertex, E at the top-right vertex, and F at the bottom vertex. A line segment GH connects a point G on side DF to a point H on side EF. This diagram is used for calculations to determine if GH is parallel to DE.

A large triangle labeled A at the top vertex, B at the right base vertex, and C at the left base vertex. Point P is the midpoint of side AB (indicated by two hash marks on AP and PB). Point Q is the midpoint of side BC (indicated by three hash marks on BQ and QC). Point R is the midpoint of side AC (indicated by one hash mark on AR and RC). Line segments RP, PQ, and RQ connect these midpoints, forming a smaller triangle PQR inside triangle ABC. This diagram illustrates the definition of midsegments.

A triangle labeled F at the top-left vertex, G at the top-right vertex, and H at the bottom vertex. Point J is the midpoint of side FH (indicated by two hash marks on FJ and JH). Point K is the midpoint of side HG (indicated by one hash mark on HK and KG). A line segment JK connects points J and K. Red arrows on JK and FG indicate that JK is parallel to FG. This diagram illustrates the Triangle Midsegment Theorem.

📄 النص الكامل للصفحة

وعكس النظرية 6.5 صحيح أيضًا، ويمكن إثباته باستعمال الأجزاء المتناسبة في المثلث ونظرية التشابه SAS.

--- SECTION: نظرية 6.6 ---
نظرية 6.6
عكس نظرية التناسب في المثلث
إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث وقسمهما إلى قطع مستقيمة متناظرة أطوالها متناسبة، فإن المستقيم يوازي الضلع الثالث للمثلث.
مثال: إذا كان AE/EB = CD/DB ، فإن ED || AC

ستبرهن النظرية 6.6 في السؤال 22

--- SECTION: مثال 2 ---
مثال 2
تحديد ما إذا كان المستقيمان متوازيين
في ΔDEF إذا كان: 9 = HF ، 3 = EH ، DG = ⅓ GF ، فهل DE || GH ؟ وضح إجابتك.
يتعين عليك إثبات أن DG/GF = EH/HF ، وذلك باستعمال عكس نظرية التناسب في المثلث.
معطى
بقسمة كلا الطرفين على GF
DG = ⅓ GF
DG/GF = ⅓
بالتعويض 3 = EH ، 9 = HF
EH/HF = 3/9
بالتبسيط
= ⅓
وبما أن:
DG/GF = EH/HF = ⅓
بحسب عكس نظرية التناسب في المثلث، تكون GH || DE

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك
(2) في الشكل أعلاه، إذا كان: 10 = HF ، 6 = EH ، DG = ½ GF ، فهل GH || DE ؟

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
إرشادات للدراسة
مثلث القطع المنصفة:
القطع المنصفة الثلاث في المثلث تشكل مثلثًا يسمى مثلث القطع المنصفة.

القطعة المنصفة في المثلث هي قطعة مستقيمة طرفاها نقطتا منتصف ضلعين في المثلث. وفي كل مثلث ثلاث قطع منصفة. فالقطع المنصفة في ΔABC هي RP, PQ, RQ. ونظرية القطعة المنصفة في المثلث هي حالة خاصة من عكس نظرية التناسب في المثلث.

--- SECTION: نظرية 6.7 ---
نظرية 6.7
نظرية القطعة المنصفة في المثلث
القطعة المنصفة في المثلث توازي أحد أضلاعه، وطولها يساوي نصف طول ذلك الضلع.
مثال: إذا كانت K, J نقطتي منتصف FH, HG على الترتيب، فإن: JK || FG, JK = ½ FG

ستبرهن النظرية 6.7 في السؤال 23

وزارة التعليم
الدرس 3-6 المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة 91

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A triangle labeled A at the top vertex, B at the right base vertex, and C at the left base vertex. A line segment ED connects a point E on side AB to a point D on side CB. Red arrows on ED and AC indicate that ED is parallel to AC. This diagram illustrates the Converse of the Triangle Proportionality Theorem.
Key Values: ED || AC
Context: Illustrates the conditions for parallel lines based on proportional segments in a triangle, as stated in Theorem 6.6.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A triangle labeled D at the top-left vertex, E at the top-right vertex, and F at the bottom vertex. A line segment GH connects a point G on side DF to a point H on side EF. This diagram is used for calculations to determine if GH is parallel to DE.
Key Values: HF = 9, EH = 3, DG = ⅓ GF
Context: Used in Example 2 and 'تحقق من فهمك' question 2 to apply the Converse of the Triangle Proportionality Theorem to determine if two lines are parallel.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A large triangle labeled A at the top vertex, B at the right base vertex, and C at the left base vertex. Point P is the midpoint of side AB (indicated by two hash marks on AP and PB). Point Q is the midpoint of side BC (indicated by three hash marks on BQ and QC). Point R is the midpoint of side AC (indicated by one hash mark on AR and RC). Line segments RP, PQ, and RQ connect these midpoints, forming a smaller triangle PQR inside triangle ABC. This diagram illustrates the definition of midsegments.
Key Values: AP=PB, BQ=QC, AR=RC
Context: Illustrates the definition of a midsegment and the formation of a midsegment triangle, which is related to Theorem 6.7.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A triangle labeled F at the top-left vertex, G at the top-right vertex, and H at the bottom vertex. Point J is the midpoint of side FH (indicated by two hash marks on FJ and JH). Point K is the midpoint of side HG (indicated by one hash mark on HK and KG). A line segment JK connects points J and K. Red arrows on JK and FG indicate that JK is parallel to FG. This diagram illustrates the Triangle Midsegment Theorem.
Key Values: FJ=JH, HK=KG, JK || FG, JK = ½ FG
Context: Illustrates the properties of a midsegment in a triangle, specifically its parallelism to the third side and its length being half the length of the third side, as stated in Theorem 6.7.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 2: تحقق من فهمك 2) في الشكل أعلاه، إذا كان: $10 = HF$ ، $6 = EH$ ، $DG = \frac{1}{2} GF$ ، فهل $GH \parallel DE$ ؟

الإجابة: س2: لا، لأن $\frac{DG}{GF} = \frac{1}{2}$ بينما $\frac{EH}{HF} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ والنسبتان غير متساويتين إذن $DE \nparallel GH$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنفهم هذا السؤال، يجب أن نحدد المعطيات التي لدينا من الشكل (الذي نفترض أنه مثلث DFE والمستقيم GH يقطع الضلعين DF و EF): - طول القطعة HF = 10 وحدات. - طول القطعة EH = 6 وحدات. - العلاقة بين طولي القطعتين DG و GF هي: $DG = \frac{1}{2} GF$. يمكن إعادة كتابة هذه العلاقة كنسبة: $\frac{DG}{GF} = \frac{1}{2}$.
**الخطوة 2 (القانون/المبدأ):** لنتحقق مما إذا كان المستقيم $GH$ يوازي المستقيم $DE$، نستخدم عكس نظرية التناسب في المثلثات (أو عكس نظرية طاليس). تنص هذه النظرية على أنه إذا قسّم مستقيم ضلعين في مثلث بنسب متساوية، فإن هذا المستقيم يوازي الضلع الثالث. بمعنى آخر، لكي يكون $GH \parallel DE$، يجب أن تكون النسبة بين أجزاء الضلع الأول مساوية للنسبة بين أجزاء الضلع الثاني. أي يجب أن تكون $\frac{DG}{GF} = \frac{EH}{HF}$.
**الخطوة 3 (الحل):** الآن، لنحسب كل نسبة على حدة ونقارن بينهما: - النسبة الأولى من المعطيات هي: $\frac{DG}{GF} = \frac{1}{2}$. - النسبة الثانية من المعطيات هي: $\frac{EH}{HF} = \frac{6}{10}$. لتبسيط النسبة الثانية: $\frac{6}{10}$ يمكن قسمة البسط والمقام على 2، فتصبح $\frac{3}{5}$.
**الخطوة 4 (النتيجة):** الآن نقارن النسبتين: هل $\frac{1}{2} = \frac{3}{5}$؟ إذا حولنا الكسرين إلى أعداد عشرية: $\frac{1}{2} = 0.5$ و $\frac{3}{5} = 0.6$. بما أن $0.5 \neq 0.6$، فإن النسبتين غير متساويتين. إذن، بما أن $\frac{DG}{GF} \neq \frac{EH}{HF}$، فإن المستقيم $GH$ لا يوازي المستقيم $DE$. لذلك الإجابة هي: **لا، لأن النسبتين غير متساويتين**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

ما نص نظرية 6.6 (عكس نظرية التناسب في المثلث)؟

أ) إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث وكان موازياً للضلع الثالث، فإنه يقسم هذين الضلعين إلى أجزاء متناسبة.
ب) إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث وقسمهما إلى قطع مستقيمة متناظرة أطوالها متناسبة، فإن المستقيم يوازي الضلع الثالث للمثلث.
ج) إذا توازى مستقيم مع أحد أضلاع المثلث، فإنه يقسم الضلعين الآخرين إلى أجزاء متساوية.
د) في المثلث المتطابق الأضلاع، أي مستقيم يقطع ضلعين يكون موازياً للضلع الثالث.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث وقسمهما إلى قطع مستقيمة متناظرة أطوالها متناسبة، فإن المستقيم يوازي الضلع الثالث للمثلث.

الشرح: 1. النظرية هي عكس نظرية التناسب في المثلث. 2. الشرط: وجود مستقيم يقطع ضلعين في مثلث ويقسمهما إلى أجزاء متناظرة متناسبة. 3. النتيجة: هذا المستقيم يوازي الضلع الثالث للمثلث.

تلميح: تتعلق النظرية بشرط التوازي بناءً على تناسب الأجزاء في أضلاع المثلث.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

ما الخطوة الأولى لتحديد ما إذا كان GH || DE في مثلث باستخدام عكس نظرية التناسب؟

أ) إثبات أن الزوايا المتناظرة بين GH و DE متطابقة.
ب) إثبات أن النسبة بين الأجزاء على الضلع DF (مثل DG/GF) تساوي النسبة بين الأجزاء على الضلع EF (مثل EH/HF).
ج) إثبات أن طول GH يساوي نصف طول DE.
د) إثبات أن النقطة G هي منتصف الضلع DF والنقطة H هي منتصف الضلع EF.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إثبات أن النسبة بين الأجزاء على الضلع DF (مثل DG/GF) تساوي النسبة بين الأجزاء على الضلع EF (مثل EH/HF).

الشرح: 1. لتطبيق عكس نظرية التناسب (نظرية 6.6) للتحقق من توازي GH و DE. 2. يجب حساب النسبة بين القطع على الضلع الذي يحتوي على النقطة G (DG/GF). 3. يجب حساب النسبة بين القطع على الضلع الذي يحتوي على النقطة H (EH/HF). 4. إذا تساوت النسبتان، فإن GH || DE.

تلميح: تتطلب النظرية مقارنة نسبتين من أجزاء الضلعين الذين يقطعهما المستقيم GH.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما نص نظرية 6.7 (نظرية القطعة المنصفة في المثلث)؟

أ) القطعة المنصفة في المثلث تنصف زواياه وتتوازى مع قاعدته.
ب) القطعة المنصفة في المثلث عمودية على الضلع الثالث وطولها يساوي ضعفه.
ج) القطعة المنصفة في المثلث توازي أحد أضلاعه، وطولها يساوي نصف طول ذلك الضلع.
د) القطعة المنصفة في المثلث تقسم المثلث إلى مثلثين متطابقين.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: القطعة المنصفة في المثلث توازي أحد أضلاعه، وطولها يساوي نصف طول ذلك الضلع.

الشرح: 1. تعريف القطعة المنصفة: قطعة طرفاها منتصفا ضلعين في المثلث. 2. الخاصية الأولى: توازي القطعة المنصفة الضلع الثالث. 3. الخاصية الثانية: طول القطعة المنصفة = نصف طول الضلع الثالث.

تلميح: تتعلق النظرية بخصائص القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين في المثلث.

التصنيف: تعريف | المستوى: متوسط

في ΔDEF، إذا كان EH=3، HF=9، و DG = (1/3)GF، فما قيمة النسبة EH/HF؟ وهل يمكن استنتاج أن GH || DE؟

أ) EH/HF = 1/4، ولا، GH لا يوازي DE لأن النسب غير متساوية.
ب) EH/HF = 1/3، ونعم، GH || DE لأن النسبة تساوي DG/GF.
ج) EH/HF = 3، ونعم، GH || DE لأن النسبة أكبر من 1.
د) EH/HF = 1/3، ولا، GH لا يوازي DE لأن النظرية لا تنطبق هنا.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: EH/HF = 1/3، ونعم، GH || DE لأن النسبة تساوي DG/GF.

الشرح: 1. حساب النسبة EH/HF: 3/9 = 1/3. 2. النسبة DG/GF معطاة = 1/3. 3. بما أن DG/GF = EH/HF = 1/3. 4. وفقاً لعكس نظرية التناسب (نظرية 6.6)، فإن GH || DE.

تلميح: احسب النسبة EH/HF أولاً، ثم قارنها مع النسبة المعطاة DG/GF.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

كيف ترتبط نظرية القطعة المنصفة في المثلث (نظرية 6.7) بعكس نظرية التناسب في المثلث (نظرية 6.6)؟

أ) هما نظريتان متعارضتان لا يمكن تطبيقهما معاً.
ب) نظرية القطعة المنصفة هي حالة خاصة من عكس نظرية التناسب، حيث تكون النسبة بين الأجزاء 1:1 (لأن النقاط هي منتصفات الأضلاع).
ج) عكس نظرية التناسب مشتق من نظرية القطعة المنصفة عندما تكون الأضلاع متساوية.
د) كلتاهما تتطلبان إثبات تساوي الزوايا أولاً قبل إثبات التوازي.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: نظرية القطعة المنصفة هي حالة خاصة من عكس نظرية التناسب، حيث تكون النسبة بين الأجزاء 1:1 (لأن النقاط هي منتصفات الأضلاع).

الشرح: 1. في عكس نظرية التناسب: إذا كان DG/GF = EH/HF، فإن GH || DE. 2. في حالة القطعة المنصفة: النقطتان G و H هما منتصفا الضلعين. 3. لذلك، DG = GF و EH = HF، مما يعني DG/GF = 1 و EH/HF = 1. 4. النسبتان متساويتان (1=1)، وبالتالي تنطبق نظرية 6.6 وتثبت التوازي. كما أن الطول يكون نصف الضلع الثالث.

تلميح: فكر في النسب عندما تكون النقاط هي منتصفات الأضلاع.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب