مثال 3 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الفصل 6: التشابه (صفحة 92)

المفاهيم الأساسية

القطعة المنصفة في المثلث: قطعة طرفاها نقطتا منتصف ضلعين في المثلث.

نتيجة 6.1: إذا قطع قاطعان ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر، فإن أطوال أجزاء القاطعين تكون متناسبة.

خريطة المفاهيم

```markmap

المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة

الأجزاء المتناسبة في المثلث

نظرية التناسب في المثلث (نظرية 6.5)

#### الشرط

• إذا وازى مستقيم ضلعًا من أضلاع مثلث
• وقطع ضلعيه الآخرين

#### النتيجة

• يقسم الضلعين إلى قطع مستقيمة متناظرة
• أطوال هذه القطع متناسبة

#### مثال: إذا كان CD || BE

• فإن النسبة: \frac{AB}{BC} = \frac{AE}{ED}

تطبيق عملي

مثال 1: إيجاد طول ضلع

تحقق من فهمك

عكس النظرية

عكس نظرية التناسب في المثلث (نظرية 6.6)

#### الشرط

• إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث
• وقسمهما إلى قطع متناظرة أطوالها متناسبة

#### النتيجة

• فإن المستقيم يوازي الضلع الثالث

#### مثال: إذا كان \frac{AE}{EB} = \frac{CD}{DB}

• فإن ED \parallel AC

#### مثال 2: تحديد توازي مستقيمين

القطعة المنصفة في المثلث

التعريف

• قطعة طرفاها نقطتا منتصف ضلعين
• كل مثلث له ثلاث قطع منصفة
• تشكل مثلثًا داخليًا (مثلث القطع المنصفة)

نظرية القطعة المنصفة (نظرية 6.7)

#### الخاصية 1: التوازي

• القطعة المنصفة توازي الضلع الثالث

#### الخاصية 2: الطول

• طول القطعة المنصفة = نصف طول الضلع الموازي

#### مثال: إذا كانت J, K منتصفي FH, HG

• فإن: JK \parallel FG
• و: JK = \frac{1}{2} FG

#### مثال 3: تطبيق النظرية

• في ΔRST، XZ، XY قطعتين منصفين
• XZ = 1/2 RT
• XY = 1/2 ST
• XZ || RT (وبالتالي ∠RYX ≅ ∠YZX)

الأجزاء المتناسبة من قاطعين لمستقيمات متوازية

نتيجة 6.1

#### الشرط

• ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر (مثل: AE || BF || CG)
• يقطعها قاطعان (مثل: AC، EG)

#### النتيجة

• أطوال أجزاء القاطعين تكون متناسبة

#### التناسب الأساسي

• \frac{AB}{BC} = \frac{EF}{FG}

#### تناسبات أخرى ممكنة

• \frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FG}
• \frac{AC}{EG} = \frac{BC}{FG}

```

نقاط مهمة

• نظرية القطعة المنصفة في المثلث تشبه نظرية القطعة المنصفة في شبه المنحرف.
• إذا كانت XZ قطعة منصفة في ΔRST، فإن XZ || RT و XZ = 1/2 RT.
• نتيجة 6.1 هي حالة خاصة لنظرية التناسب في المثلث.
• إثبات نتيجة 6.1 موجود في السؤال 19.

---

حل مثال

مثال 3: استعمال نظرية القطعة المنصفة في المثلث

في ΔRST، إذا كانت XZ، XY قطعتين منصفين، فأوجد كل قياس مما يأتي:

(a) XZ

* الحل: نظرية القطعة المنصفة في المثلث: XZ = 1/2 RT.

* بالتعويض: XZ = 1/2 (13).

* بالتبسيط: XZ = 6.5.

(b) ST

* الحل: نظرية القطعة المنصفة في المثلث: XY = 1/2 ST.

* بالتعويض: 7 = 1/2 ST.

* بضرب كلا الطرفين في 2: ST = 14.

(c) m∠RYX

* الحل: XZ قطعة منصفة في ΔRST، إذن XZ || RT.

* نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليًا: ∠RYX ≅ ∠YZX.

* تعريف تطابق الزوايا: m∠RYX = m∠YZX.

* بالتعويض: m∠RYX = 124°.

---

تحقق من فهمك

السؤال 3: أوجد كل قياس مما يأتي معتمدًا على الشكل المجاور (مثلث ABC، D منتصف AC، E منتصف BC، AD = 15، DE = 9.2، m∠B = 82°):

* (3A) DE: DE قطعة منصفة، وهي توازي الضلع الثالث AB. طولها معطى مباشرة في الشكل: DE = 9.2.

* (3B) DB: D منتصف AC، وDE قطعة منصفة توازي AB. DB هو جزء من الضلع AB. لا توجد معلومات كافية في الصفحة 92 لحساب DB مباشرة باستخدام النظرية الحالية.

* (3C) m∠FED: الزاوية FED هي نفسها الزاوية EDC (نقاط متطابقة على استقامة واحدة). بما أن DE || AB، فإن ∠FED و ∠B زاويتان متناظرتان (أو متبادلتان داخليًا حسب الرسم) وبالتالي متطابقتان. m∠FED = m∠B = 82°.

استعمال نظرية القطعة المنصفة في المثلث

في ΔRST، إذا كانت XZ، XY قطعتين منصفين، فأوجد كل قياس مما يأتي: (a) XZ. الحل: نظرية القطعة المنصفة في المثلث: XZ = 1/2 RT. بالتعويض: XZ = 1/2 (13). بالتبسيط: XZ = 6.5. (b) ST. الحل: نظرية القطعة المنصفة في المثلث: XY = 1/2 ST. بالتعويض: 7 = 1/2 ST. بضرب كلا الطرفين في 2: 14 = ST. (c) m∠RYX. الحل: XZ قطعة منصفة في ΔRST، إذن XZ || RT. نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليًا: ∠RYX ≅ ∠YZX. تعريف تطابق الزوايا: m∠RYX = m∠YZX. بالتعويض: m∠RYX = 124°.

القطعة المنصفة: نظرية القطعة المنصفة في المثلث، تشبه نظرية القطعة المنصفة في شبه المنحرف، والتي تنص على أن القطعة المنصفة في شبه المنحرف توازي القاعدتين، وطولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين.

تحقق من فهمك

أوجد كل قياس مما يأتي معتمدًا على الشكل المجاور:

الأجزاء المتناسبة من قاطعين لمستقيمات متوازية

هناك حالة خاصة أخرى لنظرية التناسب في المثلث تتضمن ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر، يقطعها قاطعان. لاحظ أنه إذا مُدَّ القاطعان a, b، فإنهما يصنعان ثلاثة مثلثات لها ثلاثة أضلاع متوازية.

نتيجة 6.1

إذا قطع قاطعان ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر، فإن أطوال أجزاء القاطعين تكون متناسبة. مثال: إذا كان: AE || BF || CG، وكان AC, EG قاطعان لها، فإن AB/BC = EF/FG

تناسبات أخرى: في النتيجة 6.1، يمكن كتابة تناسبين آخرين للمثال: AB/EF = BC/FG AC/EG = BC/FG

ستبرهن النتيجة 6.1 في السؤال 19

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

الفصل 6 التشابه 92

--- SECTION: مثال 3 --- استعمال نظرية القطعة المنصفة في المثلث --- SECTION: 3 --- في ΔRST، إذا كانت XZ، XY قطعتين منصفين، فأوجد كل قياس مما يأتي: (a) XZ. الحل: نظرية القطعة المنصفة في المثلث: XZ = 1/2 RT. بالتعويض: XZ = 1/2 (13). بالتبسيط: XZ = 6.5. (b) ST. الحل: نظرية القطعة المنصفة في المثلث: XY = 1/2 ST. بالتعويض: 7 = 1/2 ST. بضرب كلا الطرفين في 2: 14 = ST. (c) m∠RYX. الحل: XZ قطعة منصفة في ΔRST، إذن XZ || RT. نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليًا: ∠RYX ≅ ∠YZX. تعريف تطابق الزوايا: m∠RYX = m∠YZX. بالتعويض: m∠RYX = 124°. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- القطعة المنصفة: نظرية القطعة المنصفة في المثلث، تشبه نظرية القطعة المنصفة في شبه المنحرف، والتي تنص على أن القطعة المنصفة في شبه المنحرف توازي القاعدتين، وطولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 3 --- أوجد كل قياس مما يأتي معتمدًا على الشكل المجاور: 3A. DE 3B. DB 3C. m∠FED --- SECTION: الأجزاء المتناسبة من قاطعين لمستقيمات متوازية --- الأجزاء المتناسبة من قاطعين لمستقيمات متوازية هناك حالة خاصة أخرى لنظرية التناسب في المثلث تتضمن ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر، يقطعها قاطعان. لاحظ أنه إذا مُدَّ القاطعان a, b، فإنهما يصنعان ثلاثة مثلثات لها ثلاثة أضلاع متوازية. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- نتيجة 6.1 --- SECTION: نتيجة 6.1 --- إذا قطع قاطعان ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر، فإن أطوال أجزاء القاطعين تكون متناسبة. مثال: إذا كان: AE || BF || CG، وكان AC, EG قاطعان لها، فإن AB/BC = EF/FG --- SECTION: إرشادات للدراسة --- تناسبات أخرى: في النتيجة 6.1، يمكن كتابة تناسبين آخرين للمثال: AB/EF = BC/FG AC/EG = BC/FG ستبرهن النتيجة 6.1 في السؤال 19 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 الفصل 6 التشابه 92 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A triangle labeled RST. Inside the triangle, there are two segments, XY and XZ. X is a point on RS, Y is a point on RT, and Z is a point on ST. Segment XY is parallel to ST, and XZ is parallel to RT. Segment RT has a length of 13 units. Segment XY has a length of 7 units. Angle RYZ is labeled as 124°. The diagram indicates that XZ and XY are midsegments. Context: Illustrates the Midsegment Theorem in a triangle for Example 3. **DIAGRAM**: Untitled Description: A trapezoid labeled ABCD. The top base is AB and the bottom base is DC. A segment EF is drawn parallel to AB and DC, connecting the non-parallel sides AD and BC. Hash marks indicate that E is the midpoint of AD (AE and ED have single hash marks) and F is the midpoint of BC (BF and FC have double hash marks). Key Values: EF || AB || DC, EF = 1/2 (AB + DC) Context: Illustrates the Midsegment Theorem in a trapezoid as part of the study guide. **DIAGRAM**: Untitled Description: A triangle labeled ABC. D is a point on side AC, and E is a point on side BC. A segment DE connects D and E. Side AD has two hash marks, and side DC also has two hash marks, indicating D is the midpoint of AC. Side BE has three hash marks, and side EC also has three hash marks, indicating E is the midpoint of BC. The length of segment AD is 15 units. The length of segment DE is 9.2 units. Angle B (∠ABC) is labeled as 82°. Context: Used for 'Check Your Understanding' questions 3A, 3B, 3C, applying the Midsegment Theorem. **DIAGRAM**: Untitled Description: Three horizontal parallel lines are labeled m, p, and r from top to bottom. Two non-parallel transversals, labeled a and b, intersect these three parallel lines. Pink arrows on the transversals indicate segments formed between the parallel lines. Context: Illustrates the concept of proportional parts formed by transversals intersecting parallel lines. **DIAGRAM**: Untitled Description: Three vertical parallel lines are labeled AE, BF, and CG. Two transversals, AC and EG, intersect these parallel lines. The points of intersection are A, B, C on the first transversal and E, F, G on the second transversal. Arrows on the lines AE, BF, CG indicate they are parallel. The segments formed on the transversals are AB, BC, EF, and FG. Key Values: AE || BF || CG, AB/BC = EF/FG Context: Illustrates Corollary 6.1 regarding proportional segments formed by parallel lines and transversals.