مثال 5 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 استعمال القطع المتطابقة من قاطعين وإنشاءات هندسية

المفاهيم الأساسية

نتيجة 6.2: إذا قطعت ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر قاطعين، وكانت الأجزاء على أحد القاطعين متطابقة، فإن الأجزاء على القاطع الآخر تكون متطابقة.

خريطة المفاهيم

```markmap

المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة

الأجزاء المتناسبة في المثلث

نظرية التناسب في المثلث (نظرية 6.5)

#### الشرط

• إذا وازى مستقيم ضلعًا من أضلاع مثلث
• وقطع ضلعيه الآخرين

#### النتيجة

• يقسم الضلعين إلى قطع مستقيمة متناظرة
• أطوال هذه القطع متناسبة

#### مثال: إذا كان CD || BE

• فإن النسبة: \frac{AB}{BC} = \frac{AE}{ED}

تطبيق عملي

مثال 1: إيجاد طول ضلع

تحقق من فهمك

عكس النظرية

عكس نظرية التناسب في المثلث (نظرية 6.6)

#### الشرط

• إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث
• وقسمهما إلى قطع متناظرة أطوالها متناسبة

#### النتيجة

• فإن المستقيم يوازي الضلع الثالث

#### مثال: إذا كان \frac{AE}{EB} = \frac{CD}{DB}

• فإن ED \parallel AC

#### مثال 2: تحديد توازي مستقيمين

القطعة المنصفة في المثلث

التعريف

• قطعة طرفاها نقطتا منتصف ضلعين
• كل مثلث له ثلاث قطع منصفة
• تشكل مثلثًا داخليًا (مثلث القطع المنصفة)

نظرية القطعة المنصفة (نظرية 6.7)

#### الخاصية 1: التوازي

• القطعة المنصفة توازي الضلع الثالث

#### الخاصية 2: الطول

• طول القطعة المنصفة = نصف طول الضلع الموازي

#### مثال: إذا كانت J, K منتصفي FH, HG

• فإن: JK \parallel FG
• و: JK = \frac{1}{2} FG

#### مثال 3: تطبيق النظرية

• في ΔRST، XZ، XY قطعتين منصفين
• XZ = 1/2 RT
• XY = 1/2 ST
• XZ || RT (وبالتالي ∠RYX ≅ ∠YZX)

الأجزاء المتناسبة من قاطعين لمستقيمات متوازية

نتيجة 6.1

#### الشرط

• ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر (مثل: AE || BF || CG)
• يقطعها قاطعان (مثل: AC، EG)

#### النتيجة

• أطوال أجزاء القاطعين تكون متناسبة

#### التناسب الأساسي

• \frac{AB}{BC} = \frac{EF}{FG}

#### تناسبات أخرى ممكنة

• \frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FG}
• \frac{AC}{EG} = \frac{BC}{FG}

نتيجة 6.2

#### الشرط

• ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر
• يقطعها قاطعان
• تكون الأجزاء على أحد القاطعين متطابقة

#### النتيجة

• تكون الأجزاء على القاطع الآخر متطابقة

#### مثال: إذا كان CG || BF || AE

• وكان AB ≅ BC
• فإن EF ≅ FG

تطبيق نتيجة 6.2 (مثال 5)

#### الشرط

• JM || KP || LQ
• MP ≅ PQ

#### النتيجة

• JK ≅ KL

#### حل جبري لإيجاد x

• JK = 6x - 5
• KL = 4x + 3
• بما أن JK ≅ KL، إذن: 6x - 5 = 4x + 3
• الحل: x = 4

إنشاءات هندسية

تقسيم قطعة مستقيمة إلى ثلاثة أجزاء متطابقة

#### الخطوة 1

• ارسم القطعة AB
• ارسم AC (زاوية حادة)
• ثبت الفرجار عند A، وارسم قوسًا يقطع AC عند X

#### الخطوة 2

• استعمل نفس فتحة الفرجار لتعيين Y, Z على AC
• بحيث: AX ≅ XY ≅ YZ
• ارسم ZB

#### الخطوة 3

• أنشئ من X و Y مستقيمين يوازيان ZB
• المستقيمان يقطعان AB عند J و K

#### النتيجة

• AJ ≅ JK ≅ KB

```

نقاط مهمة

• يمكن تقسيم قطعة مستقيمة إلى جزأين متطابقين برسم العمود المنصف.
• لا يمكن تقسيم قطعة مستقيمة إلى ثلاثة أجزاء متطابقة برسم أعمدة منصفة.
• لتقسيم قطعة مستقيمة إلى ثلاثة أجزاء متطابقة، نستعمل المستقيمات المتوازية ونتيجة 6.2.

---

حل مثال

مثال 5: أوجد قيمة x

• المعطيات: JM || KP || LQ، MP ≅ PQ، JK = 6x - 5، KL = 4x + 3.
• الاستنتاج: وفق نتيجة 6.2، إذا قطعت مستقيمات متوازية قاطعين وكانت الأجزاء على أحد القاطعين متطابقة (MP ≅ PQ)، فإن الأجزاء على القاطع الآخر تكون متطابقة (JK ≅ KL).
• الحل الجبري:

1. JK = KL (تعريف التطابق)

2. 6x - 5 = 4x + 3 (بالتعويض)

3. 2x - 5 = 3 (بطرح 4x من الطرفين)

4. 2x = 8 (بإضافة 5 للطرفين)

5. x = 4 (بقسمة الطرفين على 2)

---

تحقق من فهمك

أوجد قيمة كل من x, y.

5A: أوجد قيمة x من الشكل 5A.

• المعطيات: ثلاثة مستقيمات متوازية تقطع قاطعين. على القاطع الأول: أجزاء طولها 8 و 8 (متطابقة). على القاطع الثاني: أجزاء طولها (7x - 2) و (4x + 3).
• الاستنتاج: وفق نتيجة 6.2، بما أن الأجزاء على القاطع الأول متطابقة، فإن الأجزاء على القاطع الثاني متطابقة.
• المعادلة: 7x - 2 = 4x + 3
• الحل:

1. 7x - 4x = 3 + 2

2. 3x = 5

3. x = 5/3

5B: أوجد قيمة x و y من الشكل 5B.

• المعطيات: مثلث قائم، فيه مستقيم داخل المثلث يوازي أحد الأضلاع (الساق). يقسم هذا المستقيم الوتر إلى جزأين متطابقين (3y + 1) و (5y - 9)، ويقسم القاعدة إلى جزأين (2x + 1) و (3x - 5).
• الاستنتاج: وفق نتيجة 6.2 (أو عكس نظرية التناسب)، بما أن المستقيم يوازي ضلعًا ويقسم الوتر إلى جزأين متطابقين، فإنه يقسم القاعدة أيضًا إلى جزأين متطابقين.
• المعادلة الأولى (لـ y): 3y + 1 = 5y - 9

- الحل: 1 + 9 = 5y - 3y → 10 = 2y → y = 5

• المعادلة الثانية (لـ x): 2x + 1 = 3x - 5

- الحل: 1 + 5 = 3x - 2x → 6 = x → x = 6

• الإجابة النهائية: x = 6, y = 5

مثال 5

استعمال القطع المتطابقة من قاطعين

جبر: أوجد قيمة x. بما أن: JM || KP || LQ, MP ≅ PQ, فإن JK ≅ KL وفق النتيجة 6.2.

تعريف التطابق JK = KL بالتعويض 6x - 5 = 4x + 3 بطرح 4x من كلا الطرفين 2x - 5 = 3 بإضافة 5 للطرفين 2x = 8 بقسمة كلا الطرفين على 2 x = 4

تحقق من فهمك

أوجد قيمة كل من x, y.

يمكن تقسيم قطعة مستقيمة إلى جزأين متطابقين، برسم العمود المنصف للقطعة المستقيمة، ولكن لا يمكن تقسيم قطعة مستقيمة إلى ثلاثة أجزاء متطابقة برسم أعمدة منصفة، ولعمل ذلك تستعمل المستقيمات المتوازية والنتيجة 6.2.

إنشاءات هندسية

تقسيم قطعة مستقيمة إلى ثلاثة أجزاء متطابقة

ارسم قطعة مستقيمة AB، ثم استعمل النتيجة 6.2؛ لتقسيمها إلى 3 أجزاء متطابقة.

الخطوة 1: ارسم AC، ثم ثبت الفرجار عند A، وارسم قوسًا يقطع AC عند X.

الخطوة 2: استعمل الفرجار بالفتحة نفسها؛ لتعيين النقطتين Z , Y، بحيث AX ≅ XY ≅ YZ. ثم ارسم ZB.

الخطوة 3: أنشئ من X و Y مستقيمين يوازيان ZB كما درست سابقًا، وسم نقطتي تقاطعهما مع AB بالحرفين K , J.

94 الفصل 6 التشابه

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- SECTION: مثال 5 --- مثال 5 --- SECTION: استعمال القطع المتطابقة من قاطعين --- استعمال القطع المتطابقة من قاطعين جبر: أوجد قيمة x. بما أن: JM || KP || LQ, MP ≅ PQ, فإن JK ≅ KL وفق النتيجة 6.2. تعريف التطابق JK = KL بالتعويض 6x - 5 = 4x + 3 بطرح 4x من كلا الطرفين 2x - 5 = 3 بإضافة 5 للطرفين 2x = 8 بقسمة كلا الطرفين على 2 x = 4 --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك أوجد قيمة كل من x, y. 5A. أوجد قيمة x من الشكل 5A. 5B. أوجد قيمة x و y من الشكل 5B. يمكن تقسيم قطعة مستقيمة إلى جزأين متطابقين، برسم العمود المنصف للقطعة المستقيمة، ولكن لا يمكن تقسيم قطعة مستقيمة إلى ثلاثة أجزاء متطابقة برسم أعمدة منصفة، ولعمل ذلك تستعمل المستقيمات المتوازية والنتيجة 6.2. --- SECTION: إنشاءات هندسية --- إنشاءات هندسية --- SECTION: تقسيم قطعة مستقيمة إلى ثلاثة أجزاء متطابقة --- تقسيم قطعة مستقيمة إلى ثلاثة أجزاء متطابقة ارسم قطعة مستقيمة AB، ثم استعمل النتيجة 6.2؛ لتقسيمها إلى 3 أجزاء متطابقة. --- SECTION: الخطوة 1 --- الخطوة 1: ارسم AC، ثم ثبت الفرجار عند A، وارسم قوسًا يقطع AC عند X. --- SECTION: الخطوة 2 --- الخطوة 2: استعمل الفرجار بالفتحة نفسها؛ لتعيين النقطتين Z , Y، بحيث AX ≅ XY ≅ YZ. ثم ارسم ZB. --- SECTION: الخطوة 3 --- الخطوة 3: أنشئ من X و Y مستقيمين يوازيان ZB كما درست سابقًا، وسم نقطتي تقاطعهما مع AB بالحرفين K , J. 94 الفصل 6 التشابه وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: The diagram shows three parallel lines (JM, KP, LQ) intersected by two transversals. The top transversal connects points J, K, L. The bottom transversal connects points M, P, Q. The segment JK on the top transversal is labeled '6x - 5'. The segment KL on the top transversal is labeled '4x + 3'. The segments MP and PQ on the bottom transversal are each marked with a single tick mark, indicating they are congruent (MP ≅ PQ). The lines JM, KP, and LQ are marked with arrows indicating they are parallel. Data: Segments JK and KL are given by algebraic expressions. Segments MP and PQ are congruent. Lines JM, KP, LQ are parallel. Key Values: JK = 6x - 5, KL = 4x + 3, MP ≅ PQ, JM || KP || LQ Context: This diagram illustrates the Parallel Lines and Proportional Segments Theorem (Theorem 6.2), where if three or more parallel lines intersect two transversals, then they cut off the transversals proportionally. Since MP ≅ PQ, it implies that JK ≅ KL. **DIAGRAM**: Untitled Description: The diagram shows three parallel lines, indicated by arrows on the lines. These parallel lines are intersected by two transversals. On the left transversal, the upper segment is labeled '7x - 2' and the lower segment is labeled '4x + 3'. On the right transversal, both the upper and lower segments are labeled '8'. Both segments on the right transversal are marked with a single tick mark, indicating they are congruent. Data: The segments on the right transversal are congruent (both length 8). The segments on the left transversal are given by algebraic expressions. The three lines are parallel. Key Values: Left segments: 7x - 2, 4x + 3, Right segments: 8, 8, Segments of length 8 are congruent Context: This diagram applies the Parallel Lines and Proportional Segments Theorem. Since the parallel lines cut off congruent segments on one transversal (8 = 8), they must also cut off congruent segments on the other transversal. Therefore, 7x - 2 = 4x + 3. **DIAGRAM**: Untitled Description: The diagram shows a large right-angled triangle. A horizontal line segment forms the base, and a vertical line segment forms one leg. A transversal line segment is drawn inside the triangle, parallel to the vertical leg. This transversal connects the base to the hypotenuse. The segment of the hypotenuse above the transversal is labeled '3y + 1', and the segment below it is labeled '5y - 9'. Both of these hypotenuse segments are marked with a single tick mark, indicating they are congruent. The segment of the base to the left of the transversal is labeled '2x + 1', and the segment to the right is labeled '3x - 5'. Right angle markings are shown at the bottom-left corner of the large triangle and where the transversal meets the base, confirming parallelism. Data: The hypotenuse is divided into two congruent segments (3y + 1 and 5y - 9). The base is divided into two segments (2x + 1 and 3x - 5). The transversal is parallel to the vertical leg of the triangle. Key Values: Hypotenuse segments: 3y + 1, 5y - 9 (congruent), Base segments: 2x + 1, 3x - 5, Transversal is parallel to the vertical leg Context: This diagram applies the Triangle Proportionality Theorem or the Midsegment Theorem's converse. Since a line parallel to one side of a triangle intersects the other two sides, it divides the two sides proportionally. Given that the hypotenuse segments are congruent, the transversal must also divide the base into congruent segments. Therefore, 3y + 1 = 5y - 9 and 2x + 1 = 3x - 5. **DIAGRAM**: Untitled Description: A horizontal line segment labeled AB. From point A, a ray AC is drawn upwards at an acute angle. A compass arc is drawn with its center at A, intersecting the ray AC at a point labeled X. This marks the first congruent segment AX on the ray AC. Data: Line segment AB. Ray AC originating from A. Point X on AC, defined by an arc from A. Context: This is the first step in a geometric construction to divide a line segment into three congruent parts. It involves drawing an auxiliary ray and marking the first segment using a compass. **DIAGRAM**: Untitled Description: A horizontal line segment labeled AB. From point A, a ray AC is drawn upwards at an acute angle. Points X, Y, and Z are marked on the ray AC such that AX ≅ XY ≅ YZ. This congruence is indicated by three consecutive arcs of the same radius, originating from A, X, and Y respectively, intersecting AC at X, Y, and Z. A line segment ZB is drawn connecting point Z on ray AC to point B on the horizontal line segment. Data: Line segment AB. Ray AC. Points X, Y, Z on AC such that AX, XY, YZ are congruent. Line segment ZB. Key Values: AX ≅ XY ≅ YZ Context: This is the second step in the geometric construction. It involves marking three congruent segments on the auxiliary ray AC using a compass and then drawing a line segment connecting the last marked point (Z) to the endpoint (B) of the original segment. **DIAGRAM**: Untitled Description: A horizontal line segment labeled AB. From point A, a ray AC is drawn upwards at an acute angle. Points X, Y, and Z are marked on the ray AC such that AX ≅ XY ≅ YZ. A line segment ZB is drawn. From point X, a line is drawn parallel to ZB, intersecting AB at point J. From point Y, another line is drawn parallel to ZB, intersecting AB at point K. This construction divides the original line segment AB into three segments: AJ, JK, and KB. Data: Line segment AB. Ray AC with congruent segments AX, XY, YZ. Line ZB. Lines from X and Y parallel to ZB, intersecting AB at J and K. Key Values: AX ≅ XY ≅ YZ, XJ || YK || ZB Context: This is the third and final step in the geometric construction. By drawing lines parallel to ZB through points X and Y, the Parallel Lines and Proportional Segments Theorem ensures that the segments AJ, JK, and KB on line segment AB are also congruent, thus dividing AB into three equal parts.