رسم - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 استعمال القطع المتناسبة من قاطعين

المفاهيم الأساسية

النتيجة 6.1: إذا قطع قاطع ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر، فإن أطوال أجزاء القاطعين تكون متناسبة.

النتيجة 6.2: إذا قطع قاطع ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر، وكانت أجزاؤه متطابقة، فإن أجزاء أي قاطع آخر لها تكون متطابقة.

خريطة المفاهيم

```markmap

المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة

الأجزاء المتناسبة في المثلث

نظرية التناسب في المثلث (نظرية 6.5)

#### الشرط

• إذا وازى مستقيم ضلعًا من أضلاع مثلث
• وقطع ضلعيه الآخرين

#### النتيجة

• يقسم الضلعين إلى قطع مستقيمة متناظرة
• أطوال هذه القطع متناسبة

#### مثال: إذا كان CD || BE

• فإن النسبة: \frac{AB}{BC} = \frac{AE}{ED}

تطبيق عملي

مثال 1: إيجاد طول ضلع

تحقق من فهمك

عكس النظرية

عكس نظرية التناسب في المثلث (نظرية 6.6)

#### الشرط

• إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث
• وقسمهما إلى قطع متناظرة أطوالها متناسبة

#### النتيجة

• فإن المستقيم يوازي الضلع الثالث

#### مثال: إذا كان \frac{AE}{EB} = \frac{CD}{DB}

• فإن ED \parallel AC

#### مثال 2: تحديد توازي مستقيمين

القطعة المنصفة في المثلث

التعريف

• قطعة طرفاها نقطتا منتصف ضلعين
• كل مثلث له ثلاث قطع منصفة
• تشكل مثلثًا داخليًا (مثلث القطع المنصفة)

نظرية القطعة المنصفة (نظرية 6.7)

#### الخاصية 1: التوازي

• القطعة المنصفة توازي الضلع الثالث

#### الخاصية 2: الطول

• طول القطعة المنصفة = نصف طول الضلع الموازي

#### مثال: إذا كانت J, K منتصفي FH, HG

• فإن: JK \parallel FG
• و: JK = \frac{1}{2} FG

#### مثال 3: تطبيق النظرية

• في ΔRST، XZ، XY قطعتين منصفين
• XZ = 1/2 RT
• XY = 1/2 ST
• XZ || RT (وبالتالي ∠RYX ≅ ∠YZX)

الأجزاء المتناسبة من قاطعين لمستقيمات متوازية

نتيجة 6.1

#### الشرط

• ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر (مثل: AE || BF || CG)
• يقطعها قاطعان (مثل: AC، EG)

#### النتيجة

• أطوال أجزاء القاطعين تكون متناسبة

#### التناسب الأساسي

• \frac{AB}{BC} = \frac{EF}{FG}

#### تناسبات أخرى ممكنة

• \frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FG}
• \frac{AC}{EG} = \frac{BC}{FG}

نتيجة 6.2

#### الشرط

• ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر
• يقطعها قاطعان
• تكون الأجزاء على أحد القاطعين متطابقة

#### النتيجة

• تكون الأجزاء على القاطع الآخر متطابقة

#### مثال: إذا كان CG || BF || AE

• وكان AB ≅ BC
• فإن EF ≅ FG

```

نقاط مهمة

• تطبق النتيجة 6.1 في الرسم المنظوري لحساب أطوال القطع المتناظرة.
• إذا كانت النسبة بين أطوال أجزاء القاطعين تساوي 1، فإن المستقيمات المتوازية تقطع أجزاء متطابقة (وهذا جوهر النتيجة 6.2).
• ستُبرهن النتيجة 6.2 في سؤال لاحق (السؤال 20).

---

حل مثال

مثال 4: من واقع الحياة (الرسم المنظوري)

* المعطيات: في رسم منظور، المستقيمات AD, BC, WZ, XY متوازية.

AB = 8 cm, DC = 9 cm, ZY = 5 cm.

* المطلوب: إيجاد WX.

* الحل:

1. وفق النتيجة 6.1: بما أن المستقيمات متوازية، فإن الأجزاء المقطوعة من القاطعين متناسبة.

\frac{AB}{WX} = \frac{DC}{ZY}

2. بالتعويض:

\frac{8}{WX} = \frac{9}{5}

3. باستخدام خاصية الضرب التبادلي:

9 \times WX = 8 \times 5

9WX = 40

4. بقسمة الطرفين على 9:

WX = \frac{40}{9} \approx 4.4 \, \text{cm}

* التحقق: نسبة DC إلى ZY هي 9 إلى 5 (≈ 1.8)، ونسبة AB إلى WX هي 8 إلى 4.4 (≈ 1.8). الإجابة معقولة.

---

تحقق من فهمك

السؤال 4: عقارات

* المعطيات (من الرسم):

* قطعة أرض مقسمة إلى A و B بخط موازٍ للبحر والشارع.

* الواجهة البحرية للقطعة A = 60 م.

* الواجهة على الشارع للقطعة A = 58 م.

* الواجهة على الشارع للقطعة B = 42 م.

* المطلوب: أوجد طول الواجهة البحرية للقطعة B.

* الحل:

1. الخط الفاصل بين القطعتين موازٍ لحافة البحر والشارع. إذن، لدينا ثلاثة مستقيمات متوازية يقطعها قاطعان (حدود القطعة).

2. وفق النتيجة 6.1، تكون الأجزاء المقطوعة متناسبة:

\frac{\text{واجهة البحر A}}{\text{واجهة البحر B}} = \frac{\text{واجهة الشارع A}}{\text{واجهة الشارع B}}

3. بالتعويض:

\frac{60}{\text{واجهة البحر B}} = \frac{58}{42}

4. باستخدام خاصية الضرب التبادلي:

58 \times \text{واجهة البحر B} = 60 \times 42

58 \times \text{واجهة البحر B} = 2520

5. بقسمة الطرفين على 58:

\text{واجهة البحر B} = \frac{2520}{58} \approx 43.4 \, \text{م}

* الجواب: طول الواجهة البحرية للقطعة B هو حوالي 43.4 متر.

استعمال القطع المتناسبة من قاطعين

مثال 4 من واقع الحياة

رسم: ترسم مريم ممراً في منظور ذي نقطة تلاشي واحدة، فاستعملت مريم الخطوط الإرشادية المبينة؛ لرسم نافذتين على الجدار الأيسر. إذا كانت القطع المستقيمة: AD, BC, WZ, XY متوازية، وكان: AB = 8 cm, DC = 9 cm, ZY = 5 cm، فأوجد WX.

بما أن AD || BC || WZ || XY وفق النتيجة 6.1. إذن AB/WX = DC/ZY

النتيجة 6.1: AB/WX = DC/ZY

بالتعويض: 8/WX = 9/5

خاصية الضرب التبادلي: WX × 9 = 8 × 5

بالتبسيط: 9WX = 40

بقسمة كلا الطرفين على 9: WX = 40/9 ≈ 4.4 cm

يستعمل الرسامون إيحاءات إدراكية متنوعة، تجعل الرسم الثنائي الأبعاد يبدو ثلاثي الأبعاد منها: • الحجم: تبدو الأشياء البعيدة أصغر حجماً. • الوضوح: تبدو الأجسام القريبة أكثر وضوحاً. • التفاصيل: تتضمن الأجسام القريبة تفاصيل دقيقة، في حين تتضمن الأجسام البعيدة معالم عامة.

تحقق: نسبة DC إلى ZY هي 9 إلى 5، وهي تقريباً 10 إلى 5 أو 2 إلى 1. وكذلك نسبة AB إلى WX هي 8 إلى 4.4 وهي تقريباً 8 إلى 4 أو 2 إلى 1؛ إذن الإجابة معقولة. ✓

تحقق من فهمك

عقارات: واجهة قطعة الأرض هي طول حدها المحاذي لمعلم ما مثل شارع أو بحر أو نهر، أوجد طول الواجهة البحرية للقطعة A إلى أقرب عشر المتر.

إذا كانت النسبة بين أطوال أجزاء القاطعين تساوي 1، فإن المستقيمات المتوازية تقطع أجزاء متطابقة من القاطعين.

الأجزاء المتناسبة من قاطعين لمستقيمات متوازية: إذا قطع قاطع ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر، وكانت أجزاؤه متطابقة، فإن أجزاء أي قاطع آخر لها تكون متطابقة. مثال: إذا كان: CG || BF || AE ، وكان EG, AC قاطعين لها، بحيث AB ≅ BC فإن EF ≅ FG

ستبرهن النتيجة 6.2 في السؤال 20

الدرس 3-6 المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة

93

استعمال القطع المتناسبة من قاطعين مثال 4 من واقع الحياة --- SECTION: رسم --- رسم: ترسم مريم ممراً في منظور ذي نقطة تلاشي واحدة، فاستعملت مريم الخطوط الإرشادية المبينة؛ لرسم نافذتين على الجدار الأيسر. إذا كانت القطع المستقيمة: AD, BC, WZ, XY متوازية، وكان: AB = 8 cm, DC = 9 cm, ZY = 5 cm، فأوجد WX. بما أن AD || BC || WZ || XY وفق النتيجة 6.1. إذن AB/WX = DC/ZY --- SECTION: النتيجة 6.1 --- النتيجة 6.1: AB/WX = DC/ZY --- SECTION: بالتعويض --- بالتعويض: 8/WX = 9/5 --- SECTION: خاصية الضرب التبادلي --- خاصية الضرب التبادلي: WX × 9 = 8 × 5 --- SECTION: بالتبسيط --- بالتبسيط: 9WX = 40 --- SECTION: بقسمة كلا الطرفين على 9 --- بقسمة كلا الطرفين على 9: WX = 40/9 ≈ 4.4 cm --- SECTION: الربط مع الحياة --- يستعمل الرسامون إيحاءات إدراكية متنوعة، تجعل الرسم الثنائي الأبعاد يبدو ثلاثي الأبعاد منها: • الحجم: تبدو الأشياء البعيدة أصغر حجماً. • الوضوح: تبدو الأجسام القريبة أكثر وضوحاً. • التفاصيل: تتضمن الأجسام القريبة تفاصيل دقيقة، في حين تتضمن الأجسام البعيدة معالم عامة. --- SECTION: تحقق --- تحقق: نسبة DC إلى ZY هي 9 إلى 5، وهي تقريباً 10 إلى 5 أو 2 إلى 1. وكذلك نسبة AB إلى WX هي 8 إلى 4.4 وهي تقريباً 8 إلى 4 أو 2 إلى 1؛ إذن الإجابة معقولة. ✓ تحقق من فهمك --- SECTION: 4 --- عقارات: واجهة قطعة الأرض هي طول حدها المحاذي لمعلم ما مثل شارع أو بحر أو نهر، أوجد طول الواجهة البحرية للقطعة A إلى أقرب عشر المتر. إذا كانت النسبة بين أطوال أجزاء القاطعين تساوي 1، فإن المستقيمات المتوازية تقطع أجزاء متطابقة من القاطعين. --- SECTION: نتيجة 6.2 --- الأجزاء المتناسبة من قاطعين لمستقيمات متوازية: إذا قطع قاطع ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر، وكانت أجزاؤه متطابقة، فإن أجزاء أي قاطع آخر لها تكون متطابقة. مثال: إذا كان: CG || BF || AE ، وكان EG, AC قاطعين لها، بحيث AB ≅ BC فإن EF ≅ FG ستبرهن النتيجة 6.2 في السؤال 20 الدرس 3-6 المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة 93 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A perspective drawing illustrating a vanishing point. Two vertical rectangular segments, labeled AB and CD, are shown on the left side, representing objects closer to the viewer. A smaller rectangular segment, labeled WX and ZY, is further down the hallway, representing an object further away. All parallel lines in reality (AD, BC, WZ, XY) are shown converging to a single 'نقطة تلاشي' (vanishing point) on the horizon line. A painting is also visible on the right wall, also converging towards the vanishing point. Key Values: AB = 8 cm, DC = 9 cm, ZY = 5 cm Context: Illustrates the concept of perspective drawing and vanishing points, showing how parallel lines appear to converge and how objects appear smaller as they recede into the distance, leading to proportional segments as described in Example 4. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing a piece of land bordered by the 'البحر' (sea) on one side and a 'شارع' (road) on the other. The land is divided into two segments, 'القطعة A' (Segment A) and 'القطعة B' (Segment B), by a line parallel to the sea and the road. The length of the sea frontage for Segment A is 60 m. The road frontage for Segment A is 58 m and for Segment B is 42 m. The diagram implies parallel lines (sea, dividing line, road) cut by two transversals (the sides of the land plot). Key Values: Sea frontage for Segment A: 60 m, Road frontage for Segment A: 58 m, Road frontage for Segment B: 42 m Context: This diagram is used to solve a real estate problem (Question 4) involving proportional segments formed by parallel lines and transversals, likely applying geometric theorems related to parallel lines. **DIAGRAM**: Untitled Description: A geometric diagram illustrating three parallel lines, labeled AE, BF, and CG, which are intersected by two transversals, labeled AC and EG. The parallel lines are indicated by arrows. The transversals cut the parallel lines, forming segments AB and BC on transversal AC, and segments EF and FG on transversal EG. Tick marks indicate that segment AB is congruent to segment BC (AB ≅ BC), and segment EF is congruent to segment FG (EF ≅ FG). Key Values: AE || BF || CG, AB ≅ BC, EF ≅ FG Context: This diagram visually represents 'نتيجة 6.2' (Theorem 6.2), which states that if three or more parallel lines cut off congruent segments on one transversal, then they cut off congruent segments on every transversal. It is used to understand or prove this theorem, as referenced in Question 20.